MATEMATICA AVANÇADA

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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
AVANÇADAAVANÇADA
Me. Talita Druziani Marchiori
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Iniciaremos esta unidade de�nindo o que é a antiderivada de uma função e
observando que ela não é única. Chamaremos a família de todas as antiderivadas de
integral inde�nida, denotando-a . Ainda neste tópico, exploraremos
algumas propriedades da integral inde�nida que facilitam o seu cálculo.
Já no segundo tópico, vamos entender como realizar a integração por substituição.
Esse método nos auxilia na determinação da antiderivada de uma função quando
não conseguimos encontrá-la de forma imediata. Em seguida, vamos de�nir o
conceito de integral de�nida e conhecer algumas regras para essas integrais.
Como veremos, a de�nição das integrais de�nidas é feita por meio do limite de uma
soma. Assim, seu cálculo pela de�nição costuma ser longo e trabalhoso, porém, no
último tópico desta unidade, estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo cujo
resultado nos possibilita avaliar a integral de�nida por meio do cálculo da
antiderivada, ou seja, ele relaciona o cálculo diferencial e o cálculo integral.
f (x) dx∫
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Já estamos familiarizados com operações inversas; adição e subtração, multiplicação
e divisão são operações inversas, por exemplo, bem como a potenciação e a
radiciação. Neste tópico, vamos desenvolver a operação inversa da derivação,
chamada de antiderivação ou integral inde�nida.
De�nição 3.1: uma função é chamada de antiderivada de se
Para qualquer no domínio de .
Observação 3.1: a) O processo de obtenção de antiderivadas é chamado de
antiderivação.
b) Após obter uma antiderivada, é muito fácil veri�car se está correta, basta derivá-
la e veri�car se o resultado é igual a função original.
Exemplo 3.1: veri�que que é uma antiderivada de 
.
Integral Inde�nidaIntegral Inde�nida
F (x) f (x)
(x) = f (x)F ′
x f (x)
F (x) = + 5x + 2x
3
3
f (x) = + 5x2
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Solução: pela de�nição, é uma antiderivada de se, e apenas se,  
. Derivando , temos
,
logo, é uma antiderivada de .
Exemplo 3.2: determine uma antiderivada de:
a)    .
b)    .
Solução: a)   Note que, se considerarmos 
,
então, é uma antiderivada de .
Se considerarmos 
Ou seja, também é uma antiderivada de .
b)   Se , Logo, 
 é uma antiderivada de .
Se 
Isto é, é outra antiderivada de 
Observação 3.2:  a)  No exemplo anterior, pudemos perceber que uma função tem
mais de uma antiderivada. Se é uma das antiderivadas de , qualquer função da
forma , em que é uma constante, também é uma
antiderivada de , uma vez que:
F (x) f (x)
(x) = f (x)F ′ F
(x) = (3 ) + 5 = + 5 = f (x)F ′ 1
3
x2 x2
F f
f (x) = 2x
g (x) = sinsinx
F (x) = x2
(x) = 2x = f (x)F ′
F (x) = x2 f (x) = 2x
H (x) = + 10,x2
(x) = 2x = f (x) .H ′
H (x) = + 10x2 f (x) = 2x
G (x) = −coscosx (x) = − (−sinsinx) = sinsinx = g (x) .G′
G (x) = −coscosx g (x) = sinsinx
J (x) = −coscosx − 32
(x) = sinsinx = g (x) .J ′
J (x) = −coscosx − 32 g (x) = sinsinx.
F f G
G (x) = F (x) + C C
f
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pois a derivada de uma constante é e é uma antiderivada de .
b)   Representamos a família de todas as antiderivadas de usando o símbolo
que é chamado de integral inde�nida de , em que é uma antiderivada de ,
ou seja,
   e   .
Falamos integral inde�nida porque envolve uma constante que pode assumir
qualquer valor.
c)   Quando trabalhamos com a  integral inde�nida , o
símbolo é chamado de sinal de integração, a função é chamada de
integrando, é a constante de integração e é uma diferencial que utilizamos
para indicar que é a variável de integração.
d)   Para qualquer função derivável ,
pois, como sabemos,   é uma antiderivada de .
(x) =G′ [F (x) + C]
′
(x) +F ′ C ′
(x)F ′
f (x) ,
0 F f
f (x)
f (x) dx = F (x) + C,∫
f (x) F f
(x) = f (x)F ′ d (F (x)) = f (x) dx
C
f (x) dx = F (x) + C∫
∫ f (x)
C dx
x
F
(x) dx = F (x) + C,∫ F ′
F (x) (x)F ′
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A relação existente entre as derivadas e integrais e as regras de derivação já
conhecidas nos permite obter propriedades para as integrais inde�nidas. Vamos
enunciar e exempli�car algumas.
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante ,
REGRA DA POTÊNCIA: para qualquer ,
REGRA DO LOGARITMO: para qualquer ,
REGRA DA EXPONENCIAL: para qualquer constante ,
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante ,
REGRA DA SOMA:
REGRA DA DIFERENÇA:
k
kdx = kx + C.∫
n ≠ −1
dx = + C.∫ xn x
n+1
n + 1
x ≠ 0
dx = lnln |x| + C.∫ 1
x
k ≠ 0
dx = + C.∫ ekx
1
k
ekx
k
kf (x) dx = k f (x) dx.∫ ∫
[f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx.∫ ∫ ∫
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Exemplo 3.3: determine as seguintes integrais:
a)    .
b)    .
c)    .
d)    .
e)    .
f)    .
Solução: a) Pela regra da constante,
b)   Pela regra da potência,
c)   Usando a regra da exponencial, temos:
d)   Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
[f (x) − g (x)] dx = f (x) dx − g (x) dx.∫ ∫ ∫
17dx∫
dx∫ 1
x5
dx∫ e4x
dx∫ 3x
[ ] dx∫ −8 +2xx
3 x2
x
∫
3dx = 3x + C.∫
dx = dx = + C = + C.∫ 1
x5
∫ x−5 x
−4
−4
−1
4x4
dx = + C.∫ e4x 1
4
e4x
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em que .
e)   Primeiro, vamos escrever o integrando de forma apropriada. Note que,
Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da
constante e da potência, temos:
Observe que não precisamos somar a constante três vezes, pois soma de
constante continua sendo uma constante.
f)   Pelas regras da constante, da exponencial, da soma e da potência:
dx = 3 dx = 3 (ln |x| + C) = 3ln |x| +∫ 3
x
∫ 1
x
C1
= 3CC1
= − 8x + 2.
− 8 + 2xx3 x2
x
x
2
[ ] dx = [x2 − 8x + 2] dx∫ − 8 + 2xx
3
x
2
x
∫
x dx − 8 xdx + 2dx∫ 2 ∫ ∫
− 8( ) + 2x + C.x
3
3
x
2
2
− 4 + 2x + C.
x
3
3
x
2
C
[9 + ]∫ e−5t √
9( ) + dx1
−5
e
−5t ∫ t
1
2
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Exemplo 3.4: determine a função cuja tangente tem uma inclinação 
para qualquer valor e cuja curva passa pelo ponto .
Solução: sabemos que a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto 
é da derivada de . Assim,
e, portanto,
Para determinar o valor de , usamos o fato de que a curva de passa pelo ponto 
, ou seja,
   e    
em que . Assim, a função procurada é .
− +
9
5
e−5t
1
3/2
t3/2
− +
9
5
e−5t
2
3 √
f (x) 3 + 1x2
x (2, 6)
(x, f (x))
f (x)
(x) = 3 + 1f ′ x2
f (x) = (x) dx = (3 + 1) dx = + x + C.∫ f ′ ∫ x2 x3
C f
(2, 6)
f (2) = + 2 + C23 f (2) = 6
C = −4 f (x) = + x − 4x3
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praticarVamos Praticar
Por de�nição, a família de todas as antiderivadas de uma função é denominada integral
inde�nida e representada por . Utilizando a teoria estudada sobre integrais
inde�nidas, analise as alternativas a seguir e assinale a correta.
a) .
b) 
reflita
Re�ita
Sabemos que, em geral, podemos interpretar a derivada segunda
como uma taxa de variação. Um dos exemplos mais conhecidos é a
aceleração. A partir disso, tente resolver a situação abaixo.
“Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à
taxa constantede 6 metros por segundo. Se o carro está a 65 km⁄h
quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre
até parar?” (HOFMANN; BRADLEY, 2008, p. 306).
Fonte: Hoffmann (2008).
f
f (x) dx∫
− 2xdx = − 2 + C∫ x2 x3 x2
dx = + C.∫ x−8 −19 x
−9
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c) 
d) 
e) 
dx = + 4 + C.∫ +8x
3
x
x
4
4
x2
−3 dx = + C.∫ e−3x e−3x
−coscosxdx = sinsinx + C.∫
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Muitas integrais aparentemente simples podem exigir o uso de métodos especiais
para serem resolvidas. Por exemplo, aplicando a regra da potência, podemos
facilmente determinar que
Por outro lado, se desejamos calcular
como devemos proceder?
Poderíamos expandir o integrando e integrar termo a termo, porém,
seria trabalhoso. Em vez disso, fazemos uma mudança de variável
, em que ou .
Integração porIntegração por
SubstituiçãoSubstituição
dx = + C.∫ x5 1
6
x
6
dx,∫ (5x + 3)6
(5x + 3)6
u = 5x + 3 du = 5dx dx = du1
5
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Assim:
Para veri�car se a integral inde�nida foi calculada de forma correta, derivamos o
resultado encontrado. Pela regra da soma e da cadeia para derivadas:
O método de mudança de variável que acabamos de utilizar é chamado de
integração por substituição e pode ser encarado como o inverso da regra da cadeia
para derivação. Resumindo, para integrar por substituição:
primeiro, escolhemos uma substituição que simpli�que o integrando 
, depois, expressamos a integral em termos de e . Feito isso, a
integral deve estar na forma
dx = ( du)∫ (5x + 3)6 ∫ u6 1
5
du
1
5
∫ u6
( ) + C1
5
1
7
u7
+ C
1
35
u7
+ C.
1
35
(5x + 3)7
[ + C ]= [ ] + [C]d
dx
1
35
(5x + 3)7
d
dx
1
35
(5x + 3)7
d
dx
.7 .5 + 0
1
35
(5x + 3)6
.(5x + 3)6
u = u (x)
f (x) u du = dxu′
f (x) dx = g (u) du.∫ ∫
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Após esses passos, calculamos a integral, se possível. Ou seja, determinamos a
derivada de . Para �nalizar, substituímos por em assim,
obtemos uma antiderivada para , concluindo que
Exemplo 3.5: determine:
Solução: para resolver todos os itens, vamos utilizar a integração por substituição.
a)   Vamos substituir . Disso,
 donde .
Logo,
G (u) g (u) u u (x) G (u) ,
G (u (x)) f (x)
f (x) dx = G (u (x)) + C.∫
2x∫ √
coscos ( + 2) dt∫ t3 t4
3 dy∫ y6e −9y7
u = (1 + )x2
du = 2xdx = dxdu
2x
2x∫ √
∫ √
+ C
1
3/2
u3/2
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Note que, no estágio �nal, retornamos para variável original .
b)   Fazendo a substituição , temos que
Com isso,
c)   Substituindo , obtemos
portanto,
+ C.
2
3
(1 + )x2
3/2
x
v = (t4 + 2)
dv = 4 dt = dt.t3
dv
4t3
coscos ( + 2) dt = coscosv( )∫ t3 t4 ∫ t3 dv
4t3
coscosvdv
1
4
∫
sinsinv + C
1
4
sinsin ( + 2) + C.
1
4
t4
u = + 9y7
du = 7 dy ⇒ = dy;y6
du
7y6
3 dy = 3 ( )∫ y6e −9y7 ∫ y6eu du
7y6
du
3
7
∫ eu
+ C
3
7
eu
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praticarVamos Praticar
Um artesão estima que o custo marginal para produzir unidades de um certo produto é 
 reais por unidade . Se o custo para a produção de duas
unidades é de , assinale a alternativa que apresenta qual o custo para se
produzir unidades.
a) R$4400,00.
b) R$8600,00.
c) R$14300,00.
d) R$117950,00.
e) R$5334310,00.
+ C.
3
7
e +9y
7
x
(x) 8xC ′ (4 − 4)x2 2 (x > 1)
R$550, 00
8
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Considere a região que está limitada pelo grá�co de uma função contínua (em que 
 pelas retas verticais e e pelo eixo . Sendo qualquer
número no i-ésimo subintervalo , com para todo , a área da
região pode ser expressa como:
em que .
Se tentarmos determinar a distância percorrida por um objeto, um limite da forma
acima também irá aparecer. Esse mesmo limite ocorre em uma grande variedade de
situações, mesmo quando não é necessariamente uma função positiva. Daremos,
portanto, a esse tipo de limite, um nome e uma notação especiais.
Seja uma função contínua no intervalo , suponha que esse
intervalo tenha sido dividido em partes iguais de largura e seja um
número qualquer pertencente ao intervalo de ordem , para qualquer 
 Forme a soma
Integral De�nidaIntegral De�nida
S
f (x) ≥ 0 x = a x = b x xi
[ , ]xi−1 xi a ≤ ≤ bxi i
S
A =,
x = b−a
n
f
f (x) a ≤ x ≤ b
n x = b−a
n
xi
i
i = 1, 2, … , n.
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conhecida como soma de Riemann.
Nesse caso, a integral de�nida de no intervalo , representada pelo
símbolo
é dada pelo limite da soma de Riemann quando caso o limite exista, ou seja,
se o limite existir. Denominamos a função de integrando e  os números e 
 de limite inferior de integração e limite superior de integração, respectivamente.
Como na integral inde�nida, indica que a variável independente é .  O processo
de calcular uma integral de�nida é chamado de integração de�nida.
Observação 3.3: a) A integral de�nida é um número, não depende de
$x$. Podemos usar qualquer letra sem mudar o valor da integral:
b)   Nem todas as funções são integráveis, mas o resultado que enunciaremos  abaixo
mostra que a maioria das funções são integráveis:
Teorema 3.1: se for contínua em ou tiver apenas um número �nito de
descontinuidades de saltos, então é integrável em , ou seja, a integral de�nida
 existe.
f (x) a ≤ x ≤ b
f (x) dx,∫
a
b
n → ∞
f (x) dx =∫
a
b
f (x) a b
dx x
f (x) dx∫
a
b
f (x) dx = f (t) dt = f (s) ds.∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
f [a, b]
f [a, b]
f (x) dx∫
a
b
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c)   Quando de�nimos a integral de�nida , implicitamente, assumimos
que , mas a de�nição faz sentido mesmo que . Nesse caso, mudará de 
 para . Então,
d)   Se , então, e
Agora, vamos enunciar algumas regras básicas das integrais de�nidas, assim como
�zemos para integrais inde�nidas. Estas regras auxiliam o cálculo das integrais
de�nidas, tornando-o mais simples. Suponha que e são funções contínuas, é
válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante ,
REGRA DA SOMA:
REGRA DA DIFERENÇA:
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante ,
f (x) dx∫
a
b
a < b a > b x
b−a
n
a−b
n
f (x) dx = − f (x) dx.∫
a
b
∫
b
a
a = b x = 0
undersetb f (x) dx = 0.∫
a
f g
k
kdx = k (b − a) .∫
a
b
f (x) + g (x) dx = f (x) dx + g (x) dx∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
f (x) − g (x) dx = f (x) dx − g (x) dx∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
k
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REGRA DO INTERVALO: para qualquer ,
REGRAS COMPARATIVAS:
Se para , então,
Se para , então,
Se para , então,
Exemplo 3.6: considere duas funções e contínuas no intervalo 
. Vamos supor que tais funções satisfaçam:
Determine o valores de
kf (x) dx = k f (x) dx.∫
a
b
∫
a
b
c ∈ [a, b]
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.∫
a
b
∫
a
c
∫
c
b
f (x) ≥ 0 a ≤ x ≤ b
f (x) dx ≥ 0.∫
a
b
f (x) ≥ g (x) a ≤ x ≤ b
f (x) dx ≥ g (x) dx.∫
a
b
∫
a
b
m ≤ f (x) ≤ M a ≤ x ≤ b
m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) .∫
a
b
f (x) g (x)
−2 ≤ x ≤ 5
f (x) dx = 3 g (x) dx = −4 f (x) dx = 7.∫
5
−2
∫
5
−2
∫
5
3
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Solução: pelas regras que acabamos de ver,
Novamente, pelas regras acima,
então,
[2f (x) − 3g (x)] dx e  f (x) dx.∫
5
−2
∫
3
−2[2f (x) − 3g (x)] dx  =   2f (x) dx − 3g (x) dx∫
5
−2
∫
5
−2
∫
5
−2
= 2 f (x) dx  −  3  g (x) dx∫
5
−2
∫
5
−2
=  2 .  3  −  3 .   (−4)
= 18.
f (x) dx  =   f (x) dx + f (x) dx,∫
5
−2
∫
3
−2
∫
5
3
f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx∫
3
−2
∫
5
−2
∫
5
3
3 − 7
−4.
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praticarVamos Praticar
Já sabemos que as integrais de�nidas, por de�nição, é o limite de uma soma, mas em alguns
casos, podemos utilizar as propriedades das integrais de�nidas para resolvê-las, não
recorrendo diretamente à de�nição. Com base nas regras sobre as integrais de�nidas,
analise as alternativas a seguir e assinale a correta.
a) Se então 
b) 
c) Sendo e , temos que 
d) Sabendo que , temos que 
e) 
g (t) dt = −2,∫
b
a
−3g (t) dt = 6.∫
a
b
dx > 1.∫
1
0
e−x
2
f (x) dx = 17∫
10
0
f (x) dx = 12∫
8
0
f (x) dx = 5.∫
10
8
x dx =∫
3
1
2 26
3
− 7dx = .∫
3
1
x2 5
3
4dx = 0.∫
1
0
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Como pudemos perceber anteriormente, o cálculo da integral de�nida por meio de
sua de�nição, ou seja, por meio do cálculo de um limite de uma soma, na maioria das
vezes, é longo e difícil, logo, se essa fosse a única forma de determinar uma integral
de�nida, não teríamos tantas aplicações dela, mas matemáticos formularam um
teorema que nos apresenta um processo mais simples para excetuar o cálculo dessas
integrais. Esse resultado será o estudo deste tópico; ele relaciona a integral de�nida
à antiderivação.
Teorema 3.2: se for contínua em , então, a função de�nida por
é contínua em e derivável em e
O Teorema 3.2 é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1.
O Teorema FundamentalO Teorema Fundamental
do Cálculodo Cálculo
f [a, b] g
g (x) = f (t) dta ≤ x ≤ b∫
x
a
[a, b] (a, b)
(x) = f (x) .g′
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Exemplo 3.7: determine a derivada da função .
Solução: uma vez que é contínua, a Parte 1 do Teorema Fundamental do
Cálculo fornece que
O próximo resultado nos fornece um método mais simples para o cálculo de
integrais de�nidas.
Teorema 3.3: se for contínua em , então,
em que é qualquer primitiva de , isto é, uma função tal que .
O Teorema 3.3 é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2.
Exemplo 3.8: calcule a integral 
Solução: sabemos que é contínua em todo seu domínio, em particular, é
contínua em . Também sabemos que é uma primitiva de 
. Logo, pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo,
Observe que o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2 diz que podemos usar
qualquer primitiva de , portanto, podemos usar a mais simples, ou seja, nenhuma
constante somando.
Exemplo 3.9: calcule a área da região sob a reta no intervalo 
.
g (x) = ∫
x
0
√
f (t) = √
(x) = f (x) =g′ √
f [a, b]
f (x) dx = F (b) − F (a)∫
b
a
F f = fF ′
dx.∫
3
1
ex
f (x) f
[1, 3] F (x) = ex
f (x) = ex
dx = F (3) − F (1) = − e.∫
3
1
ex e3
F f
y = 2x + 1
5 ≤ x ≤ 8
16/03/2020 Ead.br
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Solução: já sabemos que a área de uma região pode ser calculada por meio de
integrais de�nidas. Como é contínua em todo seu domínio, pelas regras da integral
de�nida e pelo Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2:
uma vez que é uma primitiva de e é uma
primitiva de . Observe que também poderíamos considerar a primitiva 
 de e calcular
Juntas, as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo mostram que a
derivação e a integração são processos inversos; cada um desfaz o que o outro fez.
Esse resultado é o mais importante do cálculo e realmente é um dos grandes feitos
da mente humana.
f
A = (2x + 1) dx = 2 xdx + 1dx∫
8
5
∫
8
5
∫
8
5
+(2 )x
2
2
8
5
(x)85
( − ) + (8 − 5)82 52
39 + 3
42,
F (x) = x
2
2
(x) = xf1 G (x) = x
(x) = 1f2
H (x) = + xx2 f (x) = 2x + 1
A = (2x + 1) dx = H (8) − H (5)∫
8
5
( + 8) − ( + 5)82 52
72 − 30
42.