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Fundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro APAPAPAP 3333 2009/22009/22009/22009/2 Met. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. II Data: 13/12Data: 13/12Data: 13/12Data: 13/12 GabaritoGabaritoGabaritoGabarito 1ª questão1ª questão1ª questão1ª questão (3,0 pontos) Considere a função 12 16 )( + −= x x xf . a.a.a.a. (0,4 ponto) Determine o domínio da função f . b.b.b.b. (1,2 ponto) Calcule os limites: b.1. (0,5 ponto) )(lim 2 1 xf x − −→ b.2. (0,5 ponto) )(lim 2 1 xf x + −→ b.3. (0,2 ponto) )(lim 2 1 xf x −→ c.c.c.c. (0,7 ponto) A reta 2 1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f ? Justifique a sua resposta. d.d.d.d. (0,7 ponto) O gráfico de f possui assíntotas horizontais? Caso afirmativo indique a(s) assíntota(s). Justifique sua resposta. Solução:Solução:Solução:Solução: a.a.a.a. (0,4 ponto) Determine o domínio da função f . −−= 2 1 )( IRfD b.b.b.b. (1,2 ponto) Calcule os limites: b.1. (0,5 ponto) )(lim 2 1 xf x − −→ +∞=−= + −= − −→−→ −− 0 4 12 16 )( limlim 2 1 2 1 x x xf xx b.2. (0,5 ponto) )(lim 2 1 xf x + −→ −∞=−= + −= + −→−→ ++ 0 4 12 16 )( limlim 2 1 2 1 x x xf xx b.3. (0,2 ponto) )(lim 2 1 xf x −→ A função f não admite limite quando x tende a 2 1− . c.c.c.c. (0,7 ponto) A reta 2 1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f ? Justifique a sua resposta. Como os limites laterais são infinitos, então podemos dizer que a reta 2 1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f . d.d.d.d. (0,7 ponto) O gráfico de f possui assíntotas horizontais? Caso afirmativo indique a(s) assíntota(s). Justifique sua resposta. 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6 12 16 )( limlimlimlim = + − = + − = + −= +∞→+∞→+∞→+∞→ x x x x x x x x xf xxxx 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6 12 16 )( limlimlimlim = + − = + − = + −= −∞→−∞→−∞→−∞→ x x x x x x x x xf xxxx Logo, podemos dizer que a reta 2 6=y é uma assíntota horizontal ao gráfico de f . 2222ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) Seja ≥ <<−+ −≤+ = 22 21 123 )( xse xseBAx xsex xf x . Determine o valor das constantes A e B para que a função f seja contínua em 1−=x e 2=x . Solução:Solução:Solução:Solução: Para que uma função seja contínua, devemos ter )()(lim afxf ax = → . Para 1−=x : 1)1( )( 123)( limlim limlim 11 11 −=− +−=+= −=+= ++ −− −→−→ −→−→ f BABAxxf xxf xx xx Logo, devemos ter 1−=+− BA . Para 2=x : 4)2( 422)( 2)( 2 22 22 limlim limlim = ==== +=+= ++ −− →→ →→ f xf BABAxxf x xx xx Assim, temos 42 =+ BA . Temos, portanto, um sistema: =+ −=+− 42 1 BA BA , cuja solução é = = 3 2 3 5 B A . 3333ª questãoª questãoª questãoª questão (2,0 pontos) Calcule a derivada das funções a seguir: a. (1,0 ponto) 3 5 652 4 )( +− += xx x xf b. (1,0 ponto) 43 64 )( 2 ++ += xx x xf Solução:Solução:Solução:Solução: a. 3 5 652 4 )( +− += xx x xf ' 5 2 5 652 4 652 4 3)(' +− + +− += xx x xx x xf +− +−+−+−+ +− += 25 552 5 )652( )'652)(4()652()'4( 652 4 3 xx xxxxxx xx x +− −+−+− +− += 25 452 5 )652( )510)(4()652( 652 4 3 xx xxxx xx x 45 452 25 455 25 2 )652( )26408()4(3 )652( )2040510652( )652( )4( 3 +− +−−+= +− +−+−+− +− += xx xxx xx xxxxx xx x b. ( )( ) 2 1 2 2 4364 43 64 )( −+++= ++ += xxx xx x xf ( ) ( ) ( ) ' 2 1 22 1 2 436443)'64()(' +++++++= −− xxxxxxxf ( ) ( ) ( ) +++−++++= −− 2 3 22 1 2 43 2 )32( 322434 xx x xxx ( ) ( ) ( ) 2322212 4332434 −− +++−++= xxxxx ( ) ( ) ( )( )22232 3243443 +−++++= − xxxxx ( ) ( )91241612443 22232 −−−++++= − xxxxxx ( ) ( ) ( )32232 2 3 2 43 7 43 7 437 ++ = ++ =++= − xxxx xx 4444ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) Calcule a área dada pela integral definida ∫ − + 1 1 )2ln( dxx e esboce o seu gráfico, a partir do gráfico da função dada e dos limites de integração. Solução:Solução:Solução:Solução: Resolveremos primeiramente a integral indefinida ∫ + dxx )2ln( . Fazendo 2+= xt , obtemos dxdt = . Daí, ∫∫ =+ dttdxx )ln()2ln( . Aplicando a técnica de integração por partes, façamos )ln(tu = e dtdv = . Então dt t du 1= e tv = . Assim, ∫ ∫∫ +−=+−=−=−= CttCtttdtttdtttttdtt )1)(ln()ln()ln( 1 )ln()ln( Como 2+= xt , temos Cxxdxx +−++=+∫ )1)2)(ln(2()2ln( Logo, .23ln3)10()13(ln3)11(ln)13(ln3)1)2)(ln(2()2ln( | 1 1 1 1 −=−−−=−−−=−++=+ − − ∫ xxdxx
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