AM_I_Teste_2V2

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Universidade Eduardo Mondlane 
Faculdade de Ciências 
Departamento de Matemática e Informática 
Análise Matemática I para Cursos de Engenharias 
 
1.° Ano 1.° Semestre Teste II 
Data: 27/05/2015 Hora: 13:35-15:20 Duração: 100 minutos 
 
1. (2) .Calcular um ponto do intervalo  3;1 em que a tangente à curva 
223  xxy seja paralela à reta determinada pelos pontos 
   20;32;1 BeA . Que teorema garante a ex is tência do di to ponto? 
2. (6).Fazer o estudo completo da função 
12 

x
x
y atendendo ao domínio, contradomínio, 
interseção com os eixos coordenados, assíntotas, monotonia (e possíveis pontos 
extremos), concavidade (e possíveis pontos de inflexão) e ao gráfico. 
3. (3).Calcular a integral dx
xxx
x
 

1
53
23
 
4. (3).Decidir a convergência ou divergência da integral dx
x
x


1
5 1
. 
5. (3).Determine a área da região limitada pela parábola 
).0,1(12 Ppontopassaqueexyaparalelaretapelaexy  
6. (3). Achar o comprimento do arco da curva  xy cosln compreendido entre os valores 
2
0

 xx 
FIM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de correção Laboral Versão 2:13:35-15:20 
 
1(2).Calcular um ponto do intervalo  3;1 em que a tangente à curva 
223  xxy seja paralela à reta determinada pelos pontos    20;32;1 BeA . Que 
teorema garante a ex istência do di to ponto? 
Equação da reta que passa pelos 2 pontos: 79
220
2
13
1






xy
yx
.Por
223  xxy ser cont ínua em  3;1 e derivável em  3;1 ,pode-se apl icar o 
teorema de Lagrange : 
6
1122
09239)('
13
220 2 


cccxf . 
2(6).Fazer o estudo completo da função 
12 

x
x
y atendendo ao domínio, contradomínio, 
interseção com os eixos coordenados, assíntotas, monotonia (e possíveis pontos extremos), 
concavidade (e possíveis pontos de inflexão) e ao gráfico. 
a(0.5).  0;8\;  RyRx 
b(0.5). )0;0(P 
c(0.5).AV:não existe por Rx ; AH: 00lim 

y
x
y
x
;AO não existe pois existe a AH. 
d(2).
 
.10)(';
1
1
)('
22
2



 xxy
x
x
xy 
 
 
3;00'';
)1(
62
)1(
)1(4)1(2
)1(
)1(2)1(2)1(2
'')2.(
32
3
42
22
42
222









 xy
x
xx
x
xxxx
x
xxxxx
ye
 
x - -1 1 
y’ - 0 + 0 - 
y 
 
 
-1/2 
 
1/2 
 
 
x - 
- 
 0 
+ 
 
 f0.5).Gráfico 
 
3(3).Calcular a integral dx
xxx
x
 

1
53
23
 
    
      
   























c
x
xx
x
dx
x
dx
x
dx
I
CBAeporxentesucessivamdoSubstituinxCxxBxA
x
x
C
x
B
x
A
xx
x
Idx
xxx
x
1
4
1ln
4
1
1ln
2
1
1
4
14
1
12
1
4,
4
1
,
2
1
,01,1.1111
53
11111
53
,
1
53
2
2
2223
4(3).Decidir a convergência ou divergência da integral dx
x
x


1
5 1
. 
dx
x
x
dx
x
x
b
b  

 

1
5
1
5 1
lim
1
. 
55 1
0
x
x
x
x


 para todo x>0, pois para 
todo >0. dx
x
dxxdx
x
x



1 2
3
1
2
3
1
5
1
.Para , dx
x

1
1

 diverge, para , converge. Logo, 
pelo Critério da Comparação, a integral imprópria dada também converge. 
5(3).Determine a área da região limitada pela parábola 
).0,1(12 Ppontopassaqueexyaparalelaretapelaexy  
 
 
 
    .
2
9
,
6
7
|
2
|1
3
2
11
,
3
10
|
2
|
2
3
1
11,3,2;0,1
1;002
1
1
1
1
;1:Re
21
1
0
20
1
3
1
0
0
1
2
3
1
23
1
3
1
3
1
2
3
1
2
22


































 
AAA
x
xxdxxdxxA
x
xx
dxxdxxAxyxy
yyy
yx
yx
xy
xy
xypontopelopassandoparalelata
6(3).Achar o comprimento do arco da curva y = ln(cos x) compreendido entre os valores x = 
0 e x = π/2 
y ’’ - 0 + 0 - 0 + 
y baixo N E cima 0 baixo NE cima 
javascript:;
 
2
0
2
0
2
0
2
2
0
222 |
2
ln
cos
1
1'1,','
 
x
tgdx
x
dxxtgdxyLxtgytgxy 
 
FIM