AOL 4 - Calculo integral

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) – Questionário – Calculo 
Integral 
Conteúdo do teste 
 
Pergunta 1 
1 ponto 
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental 
importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos 
observados nas ciências naturais. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como 
limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função. 
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites. 
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x). + C 
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
 
a) I, II e III. 
b) II e IV. 
c) II e III. 
d) I, e IV. 
e) II, III e IV. 
 
 
 
Pergunta 2 
1 ponto 
As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro 
contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de 
corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com 
seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a figura 
formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo 
comprimento e somando as áreas dos mesmos. 
II. (V ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área entre a 
curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) < 0. 
IV. ( F) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função par. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
a) F, V, F, V. 
b) V, V, F, F. 
c) V, F, F, V. 
d) V, V, V, F. 
e) F, F, V, F. 
 
 
 
Pergunta 3 
1 ponto 
A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de integração 
definida em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos 
estudados. 
 
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b). 
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das 
integrais dessas funções nesse intervalo. 
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das integrais 
dessas funções nesse intervalo. 
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que 
zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
a) II e III. 
b) I e IV. 
c) I e III. 
d) III e IV. 
e) II e III. 
 
 
 
Pergunta 4 
1 ponto 
Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação 
válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise 
as afirmativas a seguir: 
 
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo. 
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos. 
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo. 
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
a) I e II. 
b) I, II e IV. 
c) II e IV. 
d) I, II e III. 
e) III e IV. 
 
 
 
Pergunta 5 
1 ponto 
As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir 
do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão 
relacionadas entre si. 
 
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno. 
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante. 
III. (F ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais. 
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
a) V, V, F, V. 
b) F, F, V, V. 
c) V, F, V, F. 
d) F, V, F, F. 
e) V, F, F, V. 
 
 
 
Pergunta 6 
1 ponto 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, 
econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem 
significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a 
análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos. 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com 
seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( V) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o 
intervalo de integração. 
II. ( V) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
 
a) V, F, F, F. 
b) V, V, V, F. 
c) V, V, F, F. 
d) V, V, F, V. 
e) F, F, V, V. 
 
Pergunta 7 
1 ponto 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a 
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não 
podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a 
integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções 
circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo *π/3, π/2+ é igual a 1. 
 
Porque: 
 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por 
outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = 
cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = 
-cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
a) As asserções I e II são proposições falsas. 
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
c) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
d) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
e) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
 
 
Pergunta 8 
1 ponto 
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, possibilitando o 
cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade: 
 
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema Fundamental do 
Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, e não 
uma família de soluções. 
II. (v ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais. 
III. ( F) Para utilizá-lo, não é necessário definir oslimites de integração. 
IV. (V ) 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
 
a) V, F, V, V. 
b) F, F, V, V. 
c) V, F, F, F. 
d) V, V, F, V. 
e) V, V, V, F. 
 
 
 
Pergunta 9 
1 ponto 
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, 
tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, 
reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma integral 
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta 
possível. 
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado 
ponto. 
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas 
possível para o cálculo. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
a) II, III. 
b) I e IV. 
c) I, II e IV. 
d) II e IV. 
e) I, II, III. 
 
 
 
Pergunta 10 
1 ponto 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a 
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não 
podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a 
integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é 
D = [-6,0]. 
 
Porque: 
 
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de 
forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, 
integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a integral definida, temos F(0) – 
F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
a) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta 
da I. 
c) As asserções I e II são proposições falsas. 
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
e) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I.