Atividade de Matemática - Estruturas Algébricas e Teoria de Conjuntos

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 MATEMÁTICA
#ATIVIDADE - 1
DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2020
Resolva as questões
OBS: Deve ser entregue a memória de cálulo de todos os exercícios 
1 - Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:
A=3 		B=0 		C= 0		D=7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B+ C+D=20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
a) agosto
b) setembro
c) outubro
d) novembro
Sendo assim para termos a soma, pegaremos A + B + C + D = 20, consideramos os maiores valores de A + B e de C + D. O maior valor da soma A + B corresponde a 11, tendo em vista o dia do nascimento 29. Do mesmo modo, o maior valor de C + D corresponde a 9, tendo em vista o mês de nascimento Setembro ou mês 09.
2- Em um edifício com apartamentos somente nos andares de 1º ao 4º, moram 4 meninas, em andares distintos: Joana, Yara, Kelly e Bete, não necessariamente nessa ordem. Cada uma delas tem um animal de estimação diferente: gato, cachorro, passarinho e tartaruga, não necessariamente nessa ordem. Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no andar imediatamente acima do seu. Joana, que não mora no 4º, mora um andar acima do de Kelly, que tem o passarinho e não mora no 2º andar. Quem mora no 3º andar tem uma tartaruga. Sendo assim, é correto afirmar que
a) Kelly não mora no 1º andar.
b) Bete tem um gato.
c) Joana mora no 3º andar e tem um gato.
d) o gato é o animal de estimação da menina que mora no 1º andar.
e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro.
	Para definir os andares e os animais usei o seguinte raciocínio:
Conforme o que foi anunciado Joana não mora no 4º e ela está em um andar acima de Kelly, ou seja, no 1º também não poderá morar, logo ela possivelmente poderá morar no 2º ou 3º andar. Como Kelly não mora no 2º andar, como foi anunciado e Joana mora acima de Kelly, então Joana mora no 2º andar enquanto que Kelly mora no 1º andar.
No andar acima de onde Beth mora tem um cachorro, logo Bete só pode morar no 3º, pois no andar acima do dela tem um cachorro, então Yara mora no 4º andar e têm o cachorro.
Foi anunciado que a tartaruga está no 3º andar.
Acima do andar da Bete tem um cachorro, logo, é o 4º andar
Kelly tem um passarinho, conforme o que foi anunciado 
O gato foi o único animal que não teve nenhum enunciado e como os outros animais já estão definidos os andares, então, o gato mora no 2º andar com Joana.
	Andar
	Nome da menina
	Animal de estimação
	1º
	Kelly
	Pássaro 
	2º
	Joana
	Gato 
	3º
	Beth
	Tartaruga 
	4º
	Yara
	Cachorro 
3- Sabendo que é verdadeira a afirmação “Todos os alunos de Fulano foram aprovados no concurso”, então é necessariamente verdade:
a) Fulano não foi aprovado no concurso.
b) Se Roberto não é aluno de Fulano, então ele não foi aprovado no concurso.
c) Fulano foi aprovado no concurso.
d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano.
e) Se Elvis foi aprovado no concurso, então ele é aluno de Fulano.
	Essa questão envolve somente a lógica matemática, pois se diz na questão se todos alunos de fulano foram aprovado no concurso, então consideremos a melhor hipótese de acordo com o enunciado:
Cada proposição é igual a si própria - Princípio da identidade
Cada proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo - Princípio da não-contradição. 
Cada proposição é verdadeira ou falsa - Princípio do terceiro excluído.
4-Considere a afirmação: “Se hoje é sábado, amanhã não trabalharei.” A negação dessa afirmação é:
a) Hoje é sábado e amanhã trabalharei.
b) Hoje não é sábado e amanhã trabalharei.
c) Hoje não é sábado ou amanhã trabalharei.
d) Se hoje não é sábado, amanhã trabalharei.
e) Se hoje não é sábado, amanhã não trabalharei.
p = hoje é sábado
q = amanhã não trabalharei
Sua negação é dada por “p e ~q”, onde:
~q = amanhã trabalharei
Podemos então escrever a negação “p e ~q” assim: Hoje é sábado e amanhã trabalharei.
5-A tabela-verdade da fórmula:
~(P ∨ Q) ⇒ Q
a) Só é falsa quando P e Q são falsos.
b) É uma tautologia.
c) É uma contradição.
d) Só é falsa quando P e Q são verdadeiros.
e) Só é falsa quando P é verdadeiro e Q é falso
Tabela verdade da fórmula proposicional:
QUESTÕES SOBRE TEORIA DE CONJUNTOS
1- Considere o conjunto A={x ∈ U | x satisfaz p}. Sobre A podemos afirmar:
a) Se x ∈ U então x ∈ A
b) Se x ∉ A então x ∉ U
c) Se x não satisfaz p então x ∉ A
d) U ⊂ A
Observe que a simbologia utilizada significa que para que um elemento x pertença ao conjunto A, ele deve pertencer ao conjunto universo U e satisfazer a propriedade p.
Basta interpretar a frase acima, se x não satisfaz a condição p ele nunca irá pertencer a A.
2-Considere o conjunto A = {1, 2, {3}} e assinale a alternativa que contém um sub conjunto de A.
A) {3}
B) {1, 3}
C) {2, 3}
D) {4, {3}}
E) {{3}}
Um subconjunto de A é um conjunto que só contém elementos de A. A dificuldade está em saber que o número 3 não é um elemento de A, e sim, o conjunto {3}. Assim descartamos as letras a,b e c. Claramente o 4 não pertence a A, logo descartamos também a letra d. Nos resta a letra e, que como vimos, {3} pertence a A, logo {{3}} é subconjunto de A.
3- Considerando o conjunto universo U = {2, 4, 6, 8, 10} e os conjuntos não-vazios A e B, subconjuntos de U, tais que B ⊂A, A U B = {6, 8, 10} e A ∩ B = {8}, pode afirmar, CORRETAMENTE, que A é:
a) {6,8,10}
b) {4,6}
c) {4,6,8}
d) {2,6,10}
e) {6,8}
Para isso basta observar o desenho que e as informações apresentadas. A = {6, 8, 10}.
4-  Dados os conjuntos:
A = {x∈R / 1 ≤ x < 10}
B = {x∈R / (x+1)(x-6) < 0}
C = {z∈R / z² = 6z}
 
O conjunto A ∩ (C ∪ B) é:
a) (-1, 7)
b) {3} ∪ (5, 7)
c) {0, 3}
d) (5, 7)
e) [1, 6]
O conjunto A é formado pelos números reais maiores ou iguais a 1 e menores que 10. 
O conjunto B é formado pelos valores de x que fazem (x+1).(x-6) < 0. 
 x² – 6x + x – 6 < 0 x² – 5x – 6 < 0 
 x² – 5x – 6 = 0 
Utilizando o método da soma e produto: 
Soma = -b/c = 5/1 = 5 Produto = c/a = -6/1 = -6 
A solução é o conjunto composto pelo par de números cuja soma é 5 e o produto é -6. 
Obviamente, os números que satisfazem são -1 e 6. 
Analisarmos o gráfico da função f(x) = x² – 5x – 6, temos uma parábola com cavidade para cima (a > 0) e com raízes -1 e 6, logo, o conjunto B é formado pelos números reais maiores que -1 e menores que 6. 
O conjunto C é formado pelos valores de z que fazem z² = 6z, ou seja, z = 6. 
Sendo assim temos:
 A = [1, 10[ B = ]-1, 6[ C = {6} 
Logo, A ∩ (C U B) = [1, 10[ ∩ ]-1, 6] =
[1,6]