Teste de Conhecimento - Aula 10

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1. 
 
 
Considere cada uma das afirmativas abaixo que dizem respeito à noção de vizinhança 
no espaço métrico R. 
 
(I) Uma vizinhança aberta de um ponto x=c em R é um intervalo aberto da forma 
Vc=(c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. 
 
(II) Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é 
construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-
r,c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. 
 
(III) A distância entre os números reais x e y pode ser notada por d(x,y)=|x-y|. 
 
Com relação as afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço métrico R, é CORRETO 
afirmar 
 
 
I, II e III. 
 
 
I e II somente. 
 
 
III somente. 
 
 
II e III somente. 
 
 
I e III somente. 
 
2. 
 
 
Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a 
ele. 
 
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y} 
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S: fr S={(x,y)∈R2:x=y}S={(x,y)∈R2:x=y} 
(III) Fecho de S: ¯¯̄S2=SS¯2=S 
Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto 
 
 
 
I e II somente. 
 
 
II e III somente. 
 
 
I somente. 
 
 
I e III somente. 
 
I, II e III. 
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3. 
 
 
<r}`A noção de bola é fundamental no estudo de espaços métricos. Considerando x 
como um ponto no espaço métrico E e dado um número real r>0r>0, considere as 
afirmativas a seguir. </r}` 
<r}`(I) Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada uma vizinhança de 
x.</r}` 
<r}`(II) Uma boa aberta pode ser indicada 
por N(x,r)={y∈Rp, ∣|x−y|}∣N(x,r)={y∈Rp, ∣|x-y|}∣</r}` 
<r}`(III) Uma boa aberta pode ser indicada 
por N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)}N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)} 
</r}` 
<r}`Com relação a noção de bola e ás afirmativas acima, é correto</r}` 
 
 
 
II e III somente. 
 
 
I e III somente. 
 
 
I, somente. 
 
I, II e III . 
 
 
I e II somente. 
 
4. 
 
 
Seja f(x) é uma função onde assume o valor zero se - 5 < x < 0 e assumirá valor 3 se 0 
< x < 5. f(x+10) = f(x) é sua série de Fourier definida como g(x) = (3/2) + 
(6/ππ) ∑n=1∞12n-1(sen(2n-1)πx/5). 
Determine a convergência da série de Fourier. 
 
 
 
 
 
A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 nos 
pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). 
 
 
A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3 nos 
pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). 
 
 
A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de descontinuidade e para 3/2 
nos pontos de continuidade (média dos limites laterais). 
 
 
A série de Fourier não satisfaz as condições de Dirichlet portanto não converge . 
 
 
A série de Fourier diverge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 nos 
pontos de descontinuidade (média dos limites laterais). 
 
 
 
 
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5. 
 
 
Seja o conjunto S={(1n,0):n∈N}S={(1n,0):n∈N}. Considere agora as afirmativas 
O interior de S é o conjunto vazio (afirmativa I) 
pois 
qualquer vizinhança de um número racional contém números irracionais. (afirmativa II) 
 
 
 
As duas afirmativas são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira. 
 
 
Somente a primeira afirmativa é verdadeira. 
 
 
As duas afirmativas são falsas. 
 
 
Somente a segunda afirmativa é verdadeira. 
 
As duas afirmativas são verdadeiras e a segunda justifica a primeira. 
 
6. 
 
 
Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. 
Com relação a noção de ínfimo de um conjunto é somente correto afirmar que 
 
(I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A. 
(II) x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A, e se z for uma cota inferior de A então 
x<=z. 
(III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A. 
 
 
 
(III) 
 
 
(II) 
 
 
(I) e (II) 
 
 
(I) e (III) 
 
 
(I) 
7. 
 
 
No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se 
existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Além 
disso, o interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais 
podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. 
No espaço métrico R, considere as afirmativas. 
 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. 
(III) (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). 
 
Com relação a estas afirmativas e o espaço métrico R, é CORRETO 
 
 
 
I e II somente. 
 
 
I e III somente. 
 
 
III somente. 
 
 
I, II e III. 
 
 
II e III somente. 
 
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8. 
 
 
Seja o Problema de Valor Inicial y(t)- 3y(t)+2y(t)=4 
e2t com condições iniciais y(0)=-3 e y (0)=5. 
Encontre a solução do problema sujeito as condições 
iniciais. 
 
 
 
y(t) = -7et + 4 e2t 
 
 
y(t) = et + e2t + 5t e2t 
 
 
y(t) = 3et + 5 e2t + 7 t e2t 
 
 
y(t) = -7et + 4 e2t + 4 t e2t 
 
 
y(t) = 4 e2t + 4 t e2t 
 
 
 
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