limites exercicios resolvidos

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Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Departamento de Ciências Exatas
LCE0176 - Cálculo e Matemática Aplicados às Ciências Biológicas
Professora: Clarice G. B. Demétrio, Monitorias 1, Monitores2
Exerćıcios: Limites
1. Encontre os limites:
(a) lim
x→3
(x2−3x+5)
(b) lim
x→2
(2x3−6x2 +3x−2)
(c) lim
x→1
(
x+3
x2−6x+5
)
(d) lim
x→1
(
x3−1
x−1
)
(e) lim
x→2
(
x3 +8
x+2
)
(f) lim
x→3
3
√
x3−27
x2−2x+1
(g) lim
x→0
√
x+2−
√
2
x
(h) lim
x→1
(1/
√
(x))−1
1− x
(i) lim
x→
3
2
√
8x3−27
4x2−9
2. Seja a função f definida por:
f (x) =
{
(x2−9) se x 6=−3
4 se x =−3
(a) Encontre lim
x→−3
f (x) e mostre que lim
x→−3
f (x) 6= f (−3)
1Quarta 17h-18h sala 311, Quinta 17h-18h sala 314
2Pedro Cerqueira: phr.cerqueira@usp.br, Rafael Moral: rafael.moral@usp.br
1
(b) Trace um esboço do gráfico de f .
3. Esboce o gráfico de f (x), calcule lim
x→a+
f (x), lim
x→a−
f (x) e lim
x→a
f (x) (se existir).
(a) f (x) =
{
|x−2| se x 6=−2
3 se x =−2 (a =−2)
(b) f (x) =

x2−16
x−4
se x 6= 4
5 se x = 4 (a = 4)
(c) f (x) =

2x+3 se x < 1
2 se x = 1 (a = 1)
7−2x se x > 1
(d) f (x) = 5x+ |6x−3| x = 1/2. (a = 1/2)
(e) f (x) =
{
x2 se x 6= 2
8−2x se x > 2 (a = 2)
(f) f (x) =

x+10
|x+10|
se x 6=−10
0 se x =−10 (a =−10)
(g) f (x) =

x2−1
|x2−1|
se x 6=−1 e x 6=−1
0 se x =−1 e x = 1 (a = 1)
(h) f (x) =
{
5+ x se x 6= 3
9− x se x > 3 (a = 3)
4. Calcule os limites abaixo:
a lim
x→∞
8x2−7x
7x2 +5
b lim
x→∞
4x2−3
2x2−1
c lim
x→∞
x+7
5x2−8
d lim
x→∞
√
x3−3
3
√
x3 +3
e lim
x→∞
√
x2 +4
x+4
f lim
x→∞
3x4−7x2 +2
4x2 +1
g lim
x→−∞
8x
4
√
3x4 +5
2
h lim
x→∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
i lim
x→−∞
5x2−7x+3
8x2 +5x+1
j lim
x→−∞
x100 + x99
x101− x100
k lim
x→∞
x(
√
x2 +1− x)
5. Encontre as asśıntotas horizontais e verticais das funções abaixo e trace o gráfico.
a f (x) =
5x
3−1
b f (x) =
2−3x
3+5x
c f (x) =
3x√
2x2 +1
d f (x) =
2
x2−4
e f (x) =
−3
(x+2)2
f f (x) =
2x2
9− x2
g f (x) =
2x2 +1
2x2−3x
6. Esboce o gráfico e verifique a continuidade em x = a para as funções abaixo:
(a) f (x) =
{
|x−3| se x 6= 3
2 se x = 3 (a = 3)
(b) f (x) =

1
x+5
se x 6=−5
0 se x =−5 (a = 5)
(c) f (x) =

x2−6 se x <−1
−5 se −1≤ x≤ 10 (a = 10)
x−15 se x > 10
(d) f (x) =

x−2
|x−2|
se x 6= 2
0 se x = 2 (a = 2)
(e) f (x) =
√
x+5−
√
5
x
(a = 0)
(f) f (x) =

x2 +3 se x 6=−2
0 se x =−2 (a = 5)
11− x2 se >−2
3
(g) f (x) =
{
2− x se x > 1
x2 se x≤ 1 (a = 1)
7. Determine o valor de a para que a função f (x) seja cont́ınua em x = 1
f (x) =

2+ x se x <−1
a se x =−1
−x2−2x se x >−1
Gabarito
1. a) 5
b) -4
c) 6∃ lim
d) 3
e) 4
f) 0
g)
√
2/4
h) 1/2
i) 6
2. lim
x→−3
f (x)=0, f (−3) = 4 logo lim
x→−3
f (x) 6= f (−3)
3. a) ∃ lim 4
b) ∃ lim8
c) lim
x→1−
= 1; lim
x→1+
= 5 ∴ 6∃ lim
d) ∃ lim 5/2
e) ∃ lim 4
f) lim
x→10−
=−1; lim
x→10+
= 1 ∴ 6∃ lim
g) lim
x→1−
=−1; lim
x→1+
= 1 ∴ 6∃ lim
h) lim
x→3−
= 8; lim
x→3+
= 6 ∴ 6∃ lim
4. a) ∃ lim 8/7
b) ∃ lim 2
c) ∃ lim 0
d) ∃ lim ∞
e) ∃ lim 1
f) ∃ lim ∞
g) ∃ lim − 83√3
h) ∃ lim 1
i) ∃ lim 5/8
j) ∃ lim 0
k) ∃ lim 1/2
5. a) Não existe asśıntotas.
b) y =−3/5 é asśıntota hotizontal e x =−3/5 é asśıntota vertical.
c) y =−3/
√
2 e y = 3/
√
2 são asśıntotas hotizontalis.
d) y = 0 é asśıntota hotizontal, x = 2 e x =−2 são asśıntotas verticais.
e) y = 0 é asśıntota hotizontal e x =−2 é asśıntota vertical.
f) y =−2 é asśıntota hotizontal e x =−3 e 3 são asśıntotas verticais.
g) y = 1 é asśıntota hotizontal e x = 0 e x = 3/2 são asśıntotas verticais.
6. a) Não é cont́ınua.
b) Não é cont́ınua.
c) É cont́ınua.
d) Não é cont́ınua.
e) Não é cont́ınua.
f) É cont́ınua.
g) É cont́ınua.
7. a =−x
4