Apostila_CLTT_2012_REV_06_2016

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APOSTILA DE CIRCUITOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
TRIFÁSICOS 
 
 
PROFESSOR 
 
DR. EDVAL DELBONE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
1. Curto circuito trifásico 
 Cálculo de correntes e tensões 
- Cálculo de curto circuito trifásico é extremamente necessário para dimensionamento de 
disjuntores, chaves seccionadora, Transformador de Corrente, ajuste de relés de proteção e 
cabos de energia. Curto circuito trifásico é quando há uma conexão atraavés de um cabo com 
impedância quase nula, fazendo com que a corrente suba para valores elevados e a tensão caia 
para valores próximo de zero. Curto circuito trifásico é um sistema equibilbrado que as correntes 
das 3 fases embora sejam elevadas mas seus módulos são iguais e a defasagem entre fases são 
de 120 graus. O nivel de curto circuito para um sistema interligado como é o caso do Brasil, 
tendem a crescer na medida que a carga e as fontes geradoras de energia aumentem. É 
necessário estar sempre acompanhando o crescimento da carga e da produção de energia para 
que os equipamentos não tenham seus níveis de curto circuito superados. 
Curto circuito trifásico 
 Dimensionamento de condutores 
- Há 3 modos de dimensionamento de cabos e na escolha dos cabos deverão atender esses 
modos e adotar sempre o condutor que tenha a maior área. Os metódos de queda de tensão e 
capacidade de corrente são abordados intensamente na matéria de instalações elétricas, mas 
nessa aula será enfatizado com bastante clareza o método de curto circuito. Em uma eventual 
falta trifásica os cabos deverá suportar por determinado período até o disjuntor abrir. 
 
 
1) Determinar a capacidade de interrupção, com abertura durante o regime subtransitório, de um disjuntor “D” de 
média tensão, a vácuo, quando alimenta um sistema a vazio, conforme abaixo. 
 
2) Uma concessionária de energia elétrica alimenta uma fabrica na cidade de São Paulo em media tensão, conforme circuito abaixo. 
Determinar a corrente de curto - circuito trifásica na barra 2 e na barra 3. 
Base adotada: Sb = 1 MVA e Vb1 = 13,8 kV 
Gerador 
13,8kV 
10 MVA 
X”=15% 
X’ =25% 
Xd=120% 
Transformador de 
13,8 – 4.16 kV, 10MVA, X = 5 % 
 
 
G 
1 
D 
Bases: Sb = 10 MVA, 
Vb (gerador) = 13,8 kV 
 3 
 
3) Uma fabrica na cidade de São Paulo em media tensão, conforme circuito abaixo. Determinar a corrente de curto - circuito 
trifásica na barra 2 e na barra 3. ( 4,0 pontos ) - Base adotada: Sb = 1 MVA e Vb1 = 13,8 kV 
 
 
4) Uma industria de alumínio é alimentado pela concessionária local em 13,8 kV, Trifásico, Corrente de Curto-circuito 
Trifásica, Icc3Φ = 15 kA. O projeto elétrico da industria foi concebido utilizando 4 transformadores, trifásico, ligado em 
delta no primário e estrela aterrado no secundário. Serão utilizados 8 disjuntores trifásicos, sendo 5 disjuntores de 
média tensão e 3 disjuntores de baixa tensão. Determinar qual é a capacidade disruptiva de cada disjuntor, A, B, C, D, 
E, F, G e H. As cargas alimentadas na Industria são iluminação, ar condicionado, Fornos, Aquecedores e pequenos 
motores de indução que são desprezíveis na contribuição do curto-circuito. Adotar como base na concessionária, Vb = 
13,8 e Sb = 2 MVA. ( 5 pontos ) 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 400MVA 
T1 
T1- 13,8-0,44 kV, 1 MVA, X = 8 % 
 
 
C
G 
1 2 3 
Linha de Transmissão 
X = j0,4 pu, na base adotada 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 300MVA 
T1 
T1- 13,8-0,44 kV, 1 MVA, X = 8 % 
 
 
C
G 
1 2 3 
Linha de Transmissão 
X = j0,3 pu, na base adotada 
 4 
 
 
 
 
RESPOSTAS: DISJUNTORES A,B,C,D,E >= 15 kA 
Disjuntor F 
X = X/Zb = [(13,8.103)2/(√3x13,8.103x15.103) / [(13,8.103)2/2.106)] = 0,0055 
I = 1,0 / (0,0055+0,06//0,06) =28,1 pu; Icc = 28,1 x 2.106/(√3x0,44.103) = 74 kA 
Logo o disjuntor F deverá ter capacidade disruptiva de curto circuito com I >= 74 kA 
 
Disjuntor G, H: 
 
I = 1,0 / (0,0055 + 0,06) = 15,2 pu; Icc = 15,2 x 2.106/(√3x0,44.103) = 40 kA 
5) Um sistema elétrico de potencia (SEP), trifásico, transmite energia elétrica para atender algumas cargas na região local 
com tensões 138, 88 e 13,8 kV através de linhas de transmissão (linha curta). Deseja-se conhecer os níveis de curto 
circuito trifásicos em vários segmentos do circuito, portanto determinar a corrente de curto-circuito trifásica nas barras 
1, 2, 3, 4, 5 e 6. A barra 5 alimenta outras cargas que foram desconsideradas para esse cálculo. Adotando como base: Sb 
= 100 MVA e Vb (concessionaria) = 138 kV (5 pontos) 
CARGAS CARGAS CARGAS 
A 
B 
E 
D C 
F G 
H 
Concessionaria 
 13,8 kV 
Icc3Φ = 15 kA 
 
T1 = 2 MVA, X= 6%, 13,8/0,44 kV 
T2 = 2 MVA, X = 6%, 13,8/0,44 kV 
T3 = 2 MVA, X = 6%,13,8/0,44 kV 
T4= 2 MVA, X = 6%,13,8/0,44 kV 
 
 
T1 
T2 
T4 
T3 
c 
 5 
 
 
Resposta: 
 
Icc(1) = (1,0/ j0,02+j0,1) + 1,0/(j0,15+j0,1+j0,1) = -j11,2 pu; 11,2x100.106 / √3.88103 = 7,3 kA 
 
Icc(2) = (1,0/ j0,02+j0,1+j0,1) + 1,0/(j0,15+j0,1) = -j8,5 pu; 8,5x100.106 / √3.88103 = 5,6 kA 
 
Icc(3) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1} =-j4,6 pu; 4,6x100.106 / √3.13,8.103 = 19,2 kA 
 
Icc(4) = (1,0/ j0,02+j0,1+j0,1+j0,1) + 1,0/(j0,15) =-j9,8 pu; 9,8x100.106 / √3.13,8.103 = 41 kA 
 
Icc(5) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1+j1,57} =-j0,56 pu; 0,56x100.106 / √3.13,8.103 = 2,3 kA 
 
Icc(6) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1+j1,57+j4,0} =-j0,17 pu; 0,17x100.106 / √3.4,16.103 = 2,4 kA 
C: Concessionária 
Estrela Aterrado 
138kV 
Scc3ф = 5000 MVA (Potencia de 
Curto-circuito trifásica) 
Linha de Transmissão 
LT1=LT2=LT3:z= j0,3 Ω/km 
T1- 138/88 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
T2- 88/13,8 kV, 100MVA, X = 10 %, ΔΥ 
T3 –88/13,8 KV,100MVA, X = 10%, ΔΥ 
T4 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
T5 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
T6 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
 
Gerador – x’’ d = 15%, 100MVA, 13,8 kV 
T3 
CARGAS 
CARGAS 
CARGAS 
 T6 
C 
1 
3 
4 
LT1 
LT2 
LT3 
10 KM 
T2 
T4 
Gerador 
LT1=LT2=50 KM 
T1 
2 
6 
5 
T5 
8 
7 
T3=j0,1 
CARGAS 
CARGAS 
CARGAS 
 T6 
C 
1 
3 
4 
LT1 
LT2 
LT3 
J1,57 
T2=j0,1 
T4=j4 
Gerador= 
j0,15 
LT1=LT2=j0,2 
T1 =J0,1 
2 
6 
5 
T5 
8 
7 
C =J0,02 
 6 
 
Fórmulas: 
 
xn = xv (Vv/Vn)2. (Sn/Sv) 
 
Zb = Vb2/Sb 
Z(pu) = Z / Zb 
X (pu) = X/Zb 
Ib = Sb / (Raiz3.Vb) 
 
Xc = Vc2 / Scc 
 
Valor em pu = Valor Real / Valor de Bas 
 
6) Em um sistema elétrico de potência “SEP” constituído de 1(um) gerador síncrono “G”, dois transformadores 
em paralelo, T1 e T2, alimenta um motor de indução, “M”, que em caso de curto- circuito contribui para 
aumentar a corrente de curto-circuito. O transformador T3 alimenta cargas gerais dentro de uma indústria 
farmacêutica. Dimensionar a capacidade disruptiva dos disjuntores “A, B, C, D, E, F, G e H”, sendo que a 
Potência de Base é 10 MVA e a tensão de base do lado do gerador é 13,8 kV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Uma Industria localizada em uma fazenda, onde não tem acesso a energia elétrica da concessionária, foi 
instalado um gerador síncrono a diesel de 10 MVA, 13,8 kV, reatância sub-transitória de 8%. Esse gerador 
tem o principal objetivo de alimentar um motor de indução de 3 MVA, 4,16 kV e uma reatância sub-
transitória de 12%. Alem do motor, o gerador também alimenta cargas gerais da fazenda através do 
13,8 kV 
10 MVA 
X’d=8% 
T3 
T1- 13,8 / 4,16 kV, 10 MVA, X = 10% 
T2 -13,8 / 4,16 kV , 10 MVA, X = 10% 
T3 – 4,2 kV / 0,48 kV, 2 MVA, X = 8% 
G 
MOTOR 
INDUÇÃO 
4,2 kV 
2 MVA 
X= 7% 
T1 
B 
M 
H 
D 
F 
T2 
G 
Formula: 
xn = xv . ( Vv/Vn )2 . (Sn/Sv) 
C E 
B 
A 
 7 
transformador T3. Considerando que o motor “M” também contribui para um eventual curto-circuito na 
instalação, devido a presença de campo residual, dimensionar a capacidade disruptivados dsjuntores “A, B, 
C, D e E”. A Potência de Base é 10 MVA e a tensão de base do lado do gerador é de 13,8 kV. 
 
 
 
 
8) Em um sistema elétrico de potencia , trifásico, transmite energia elétrica entre duas cidades através de uma linha de 
transmissão de 230 kV, circuito simples, cabo de alumínio 336 MCM, com alma de aço, cuja a impedância é Z = 0,05 + j 
0,3 (pu). Calcular a corrente de curto-circuito trifásica na barra 3 ( 3 pontos ).Base adotada: Sb = 100 MVA e Vb 
(concessionaria) = 13,8 kV 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Um Shopping Center é alimentado pela concessionária local em 13,8 kV, Trifásico, Corrente de Curto-circuito, Icc = 8 
kA. O projeto elétrico do Shopping foi concebido utilizando 4 transformadores, trifásico, ligado em delta no primário e 
estrela aterrado no secundário. Serão utilizados 8 disjuntores trifásicos, sendo 5 disjuntores de média tensão e 3 
disjuntores de baixa tensão. Determinar qual é a capacidade disruptiva de cada disjuntor, A, B, C, D, E, F, G e H. As 
cargas alimentadas no Shopping são iluminação, ar condicionado, Fogões, Aquecedores e pequenos motores de indução 
13,8 kV 
10 MVA 
X’’=8% 
T3 
T1- 13,8/ 4,16 kV, 10 MVA, X = 8% - ΔΥ 
T2 -13,8/ 4.16 kV, 10 MVA, X = 8% - ΔΥ 
T3 - 4.16/ 0,38-0,22 kV, 3 MVA, X = 7% - ΔΥ 
 
G 
MOTOR 
4,16 kV 
3 MVA 
X’’= 12% 
T1 
A 
M 
E 
B C 
T2 
D 
Formula: 
xn = xv . ( Vv/Vn )2 . (Sn/Sv) 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 5000 MVA ( Potencia de Curto-circuito 
trifásica) 
Z = 0,05 + j 0,3 (Ω/km) 
T2 
C
G 
1 3 4 
Linha de Transmissão 
 
 100 km 
2 
T1- 13,8/230 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
T2- 230/13,8 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
 
T1 
 8 
que são desprezíveis na contribuição do curto-circuito. Adotar como base na concessionária, Vb = 13,8 e Sb = 2 MVA. ( 
3 pontos ) 
 
 
 
 
 
9) Determinar a capacidade de interrupção, com abertura durante o regime subtransitório, de um disjuntor “D” de 
média tensão, a vácuo, quando alimenta um sistema a vazio, conforme abaixo. 
 ( Não DP ON LINE ) 
 
 
10) Uma concessionária de energia elétrica alimenta uma fabrica na cidade de São Paulo em media tensão, conforme 
circuito abaixo. Determinar a corrente de curto - circuito trifásica na barra 2 e na barra 3. ( 4,0 pontos ) 
 
Base adotada: Sb = 1 MVA e Vb1 = 13,8 kV 
CARGAS CARGAS CARGAS 
A 
B 
E
A 
D C 
F G 
H 
13,8 kV 
Icc = 8 kA 
3Φ 
T1 = 2 MVA, X= 5,9%, 13,8/0,38-0,22 kV 
T2 = 2 MVA, X = 5,9%, 13,8/0,38-0,22 kV 
T3 = 2 MVA, X = 5,9%,13,8/0,38-0,22 kV 
T4= 2 MVA, X = 5,9%,13,8/0,38-0,22 kV 
 
 
T1 
T2 
T4 
T3 
Gerador 
13,8kV 
10 MVA 
X”=15% 
X’ =25% 
Xd=120% 
Transformador de 
13,8 – 4.16 kV, 10MVA, X = 5 % 
 
 
G 
1 
D 
Bases: Sb = 10 MVA, 
Vb (gerador) = 13,8 kV 
 9 
 
 
11) uma fabrica na cidade de São Paulo em media tensão, conforme circuito abaixo. Determinar a corrente de curto - circuito 
trifásica na barra 2 e na barra 3. ( 4,0 pontos ) 
 
Base adotada: Sb = 1 MVA e Vb1 = 13,8 kV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Uma industria de alumínio é alimentado pela concessionária local em 13,8 kV, Trifásico, Corrente de Curto-
circuito Trifásica, Icc3Φ = 15 kA. O projeto elétrico da industria foi concebido utilizando 4 transformadores, 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 400MVA 
T1 
T1- 13,8-0,44 kV, 1 MVA, X = 7 % 
 
 
C
G 
1 2 3 
Linha de Transmissão 
X = j0,4 pu, na base adotada 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 400MVA 
T1 
T1- 13,8-0,44 kV, 1 MVA, X = 8 % 
 
 
C
G 
1 2 3 
Linha de Transmissão 
X = j0,4 pu, na base adotada 
 10 
trifásico, ligado em delta no primário e estrela aterrado no secundário. Serão utilizados 8 disjuntores trifásicos, 
sendo 5 disjuntores de média tensão e 3 disjuntores de baixa tensão. Determinar qual é a capacidade disruptiva de 
cada disjuntor, A, B, C, D, E, F, G e H. As cargas alimentadas na Industria são iluminação, ar condicionado, 
Fornos, Aquecedores e pequenos motores de indução que são desprezíveis na contribuição do curto-circuito. Adotar 
como base na concessionária, Vb = 13,8 e Sb = 2 MVA. 
 
 
 
 
RESPOSTAS: DISJUNTORES A,B,C,D,E >= 15 kA 
Disjuntor F 
X = X/Zb = [(13,8.103)2/(√3x13,8.103x15.103) / [(13,8.103)2/2.106)] = 0,0055 
I = 1,0 / (0,0055+0,06//0,06) =28,1 pu; Icc = 28,1 x 2.106/(√3x0,44.103) = 74 kA 
Logo o disjuntor F deverá ter capacidade disruptiva de curto circuito com I >= 74 kA 
 
Disjuntor G, H: 
 
I = 1,0 / (0,0055 + 0,06) = 15,2 pu; Icc = 15,2 x 2.106/(√3x0,44.103) = 40 kA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Um sistema elétrico de potencia (SEP), trifásico, transmite energia elétrica para atender algumas cargas na região 
local com tensões 138, 88 e 13,8 kV através de linhas de transmissão (linha curta). Deseja-se conhecer os níveis de 
CARGAS CARGAS CARGAS 
A 
B 
E 
D C 
F G 
H 
Concessionaria 
 13,8 kV 
Icc3Φ = 15 kA 
 
T1 = 2 MVA, X= 6%, 13,8/0,44 kV 
T2 = 2 MVA, X = 6%, 13,8/0,44 kV 
T3 = 2 MVA, X = 6%,13,8/0,44 kV 
T4= 2 MVA, X = 6%,13,8/0,44 kV 
 
 
T1 
T2 
T4 
T3 
c 
 11 
curto circuito trifásicos em vários segmentos do circuito, portanto determinar a corrente de curto-circuito trifásica 
nas barras 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A barra 5 alimenta outras cargas que foram desconsideradas para esse cálculo. 
Adotando como base: Sb = 100 MVA e Vb (concessionaria) = 138 kV (5 pontos) 
 
 
Resposta: 
 
Icc(1) = (1,0/ j0,02+j0,1) + 1,0/(j0,15+j0,1+j0,1) = -j11,2 pu; 11,2x100.106 / √3.88103 = 7,3 kA 
 
Icc(2) = (1,0/ j0,02+j0,1+j0,1) + 1,0/(j0,15+j0,1) = -j8,5 pu; 8,5x100.106 / √3.88103 = 5,6 kA 
 
Icc(3) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1} =-j4,6 pu; 4,6x100.106 / √3.13,8.103 = 19,2 kA 
 
Icc(4) = (1,0/ j0,02+j0,1+j0,1+j0,1) + 1,0/(j0,15) =-j9,8 pu; 9,8x100.106 / √3.13,8.103 = 41 kA 
 
C: Concessionária 
Estrela Aterrado 
138kV 
Scc3ф = 5000 MVA (Potencia de 
Curto-circuito trifásica) 
Linha de Transmissão 
LT1=LT2=LT3:z= j0,3 Ω/km 
T1- 138/88 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
T2- 88/13,8 kV, 100MVA, X = 10 %, ΔΥ 
T3 –88/13,8 KV,100MVA, X = 10%, ΔΥ 
T4 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
T5 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
T6 –13,8/4.16 KV, 2MVA, X = 8%, ΔΥ 
 
Gerador – x’’ d = 15%, 100MVA, 13,8 kV 
T3 
CARGAS 
CARGAS 
CARGAS 
 T6 
C 
1 
3 
4 
LT1 
LT2 
LT3 
10 KM 
T2 
T4 
Gerador 
LT1=LT2=50 KM 
T1 
2 
6 
5 
T5 
8 
7 
T3=j0,1 
CARGAS 
CARGAS 
CARGAS 
 T6 
C 
1 
3 
4 
LT1 
LT2 
LT3 
J1,57 
T2=j0,1 
T4=j4 
Gerador= 
j0,15 
LT1=LT2=j0,2 
T1 =J0,1 
2 
6 
5 
T5 
8 
7 
C =J0,02 
 12 
Icc(5) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1+j1,57} =-j0,56 pu; 0,56x100.106 / √3.13,8.103 = 2,3 kA 
 
Icc(6) =1,0 {[(j0,02+j0,1+j0,1)//(j0,15+j0,1)] + j0,1+j1,57+j4,0} =-j0,17 pu; 0,17x100.106 / √3.4,16.103 = 2,4 kA 
 
Fórmulas: 
 
xn = xv (Vv/Vn)2. (Sn/Sv) 
 
Zb = Vb2/Sb 
Z(pu) = Z / Zb 
X (pu) = X/Zb 
Ib = Sb / (Raiz3.Vb) 
 
Xc = Vc2 / Scc 
 
Valor em pu = Valor Real / Valor de Bas 
 
 
 
14) Em um sistema elétrico de potencia , trifásico, transmite energia elétrica entre duas cidades através de uma linha 
de transmissão de 230 kV, circuito simples, cabo de alumínio 336 MCM, com alma de aço, cuja a impedância é Z 
= 0,05 + j 0,3 (pu). Calcular a corrente de curto-circuito trifásica na barra 3 ( 3 pontos ).Base adotada: Sb = 100 
MVA e Vb (concessionaria) = 13,8 kV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Um Shopping Center é alimentado pela concessionária local em 13,8 kV, Trifásico, Corrente de Curto-circuito, Icc 
= 8 kA. O projeto elétrico do Shopping foi concebido utilizando 4 transformadores, trifásico, ligado em delta no 
Concessionária 
Estrela Aterrado 
13,8kV 
Scc = 5000 MVA ( Potencia de Curto-circuito 
trifásica) 
Z = 0,05 + j 0,3 (Ω/km) 
T2 
C
G 
1 3 4 
Linhade Transmissão 
 
 100 km 
2 
T1- 13,8/230 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
T2- 230/13,8 kV, 100MVA, X =10 %, ΔΥ 
 
T1 
 13 
primário e estrela aterrado no secundário. Serão utilizados 8 disjuntores trifásicos, sendo 5 disjuntores de média 
tensão e 3 disjuntores de baixa tensão. Determinar qual é a capacidade disruptiva de cada disjuntor, A, B, C, D, E, 
F, G e H. As cargas alimentadas no Shopping são iluminação, ar condicionado, Fogões, Aquecedores e pequenos 
motores de indução que são desprezíveis na contribuição do curto-circuito. Adotar como base na concessionária, Vb 
= 13,8 e Sb = 2 MVA. 
 
 
 
16) Se a corrente de curto circuito na saída do gerador for de 10 p.u. e utilizando os dados nominais do gerador como 
base, o que isso significa. 
 
a) A corrente de curto é 10 vezes a nominal 
b) Não é possível saber, pois depende dos parâmetros interno do gerador 
c) A corrente de curto é igual a nominal 
d) A corrente de curto é o dobro da nominal 
e) A corrente de curto é a metade da nominal 
 
Resposta “ a “ 
 
17) Se a corrente de curto circuito na saída de uma linha de transmissão for de 10 kA, em um sistema radial, quanto 
deverá ser a capacidade dis-ruptiva do disjuntor. 
 
a) Menor que 10 kA 
b) Maior ou igual 10 kA 
c) Igual a 10 kA e nunca maior 
d) Somente maior e nunca igual a 10 kAl 
e) Somente menor e nunca igual a 10 kA 
 
Resposta “ b “ 
 
 
18) Em um sistema de potência, podemos afirmar que: 
 
CARGAS CARGAS CARGAS 
A 
B 
E
A 
D C 
F G 
H 
13,8 kV 
Icc = 8 kA 
3Φ 
T1 = 2 MVA, X= 5,0%, 13,8/0,38-0,22 kV 
T2 = 2 MVA, X = 5,0%, 13,8/0,38-0,22 kV 
T3 = 2 MVA, X = 5,0%,13,8/0,38-0,22 kV 
T4= 2 MVA, X = 5,0%,13,8/0,38-0,22 kV 
 
 
T1 
T2 
T4 
T3 
 14 
a) A corrente de curto circuito trifásica sempre é maior do que a fase-terra 
b) A corrente de curto circuito fase-terra sempre é maior do que a trifásica 
c) Não é possível afirmar que a corrente de curto circuito trifásica é maior do que a fase-terra, pois 
depende das impedâncias envolvidas 
d) A corrente de curto circuito trifásica sempre é igual do que a fase-terra 
e) A corrente de curto circuito trifásica sempre é diferente do que a fase-terra 
Resposta “ c “ 
 
19) Em um sistema de potência, podemos afirmar que: 
 
a) A corrente de curto circuito fase-fase sempre é maior do que a trifásica 
b) A corrente de curto circuito fase-fase sempre é menor do que a trifásica 
c) Não é possível afirmar que a corrente de curto circuito fase-fase é maior do que a trifásica, pois 
depende das impedâncias envolvidas 
d) A corrente de curto circuito fase-fase sempre é igual do que a trifásica 
e) A corrente de curto circuito fase-fase é maior raiz de 3 vezes maior do que a fase-terra 
Resposta “ b “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
 
 
 
TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP 
 
 
 17 
 
 
 18 
Sistema de Transmissão Linhas de Transmissão Tipos de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 
 
Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros que influem em seu comportamento : 
resistência , indutância , condutância e capacitância. 
 CONDUTÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
A condutância entre condutores ou entre condutor e terra leva em conta a corrente de fuga nos isoladores das 
linhas aéreas de transmissão ou na isolação dos cabos subterrâneos . 
 
No entanto, a condutância entre condutores de uma linha aérea pode ser considerada nula pois a fuga nos 
seus isoladores é desprezível. 
 
Outra razão pra que se despreze a condutância reside no fato de não existir nenhum meio apropriado de 
considerá-la, por ser ela muito variável. 
 
A fuga de corrente pelos isoladores, que é a principal fonte de condutância, varia apreciavelmente com as 
condições atmosféricas e com as propriedades de condução da poeira que se deposita sobre os isoladores. 
 
O efeito corona (ionização do ar em volta dos condutores, provocada por um elevado gradiente de potencial 
na sua superfície), que resulta em fuga de corrente através dos condutores das linhas, é também bastante 
variável com as condições atmosféricas 
 
 
 RESISTÊNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 1 - Tipos de cabos 
Os códigos utilizados para identificar os diversos tipos de cabos de alumínio são : 
 CA  cabo de alumínio puro 
 CAA  cabo de alumínio com alma de aço (aluminum conductors steel reinforced - ACSR) 
 ACAR  cabo de alumínio com alma de liga de alumínio (aluminum conductors alloy reinforced) 
 AAAC  cabo de liga de alumínio pura ( all aluminum alloy conductors ) 
 
Cada coroa de fios de um cabo é encordoada em sentido oposto ao da coroa inferior, para evitar que o cabo 
se desenrole e para fazer com que o raio externo de uma coroa coincida com o raio interno da seguinte. 
A disposição em coroas mantém a flexibilidade até mesmo de cabos de grande secção transversal. 
 
O número de fios depende do número de coroas e do fato de serem ou não todos eles de mesmo diâmetro. O 
número total de fios em cabos concêntricos no qual todo o espaço é preenchido por fios de diâmetro 
uniforme obedece a seguinte equação : N fios = 3x2 + 3x + 1 onde x é o n de camadas 
 
 
 CAA 6 / 1 
 
 
Outro tipo de cabo conhecido como CAA expandido, possui um enchimento, em geral de papel, separando os 
fios internos de aço das coroas externas de fios de alumínio. Para a mesma condutividade e mesma resistência 
à tração, o papel aumenta o diâmetro e portanto diminui o efeito corona. 
O CAA expandido é usado em algumas linhas de extra-alta-tensão (EAT). 
Os cabos para transmissão subterrânea são usualmente construídos com condutores encordoados de cobre e 
são isolados com papel impregnado em óleo. 
A resistência dos condutores e cabos é a principal causa da perda de energia das linhas de transmissão . 
javascript:window.close();
 20 
 2 - Resistência efetiva e em corrente contínua 
 
 R = Pdissipada / | I |2  por unidade de comprimento do condutor ou cabo 
 
 Rdc =  x ( L / S )  no comprimento L 
 
A resistividade do cobre recozido tomado como padrão ( IACS - padrão internacional do cobre recozido ) é a 
20C e sendo de 100% a sua condutividade, é de 0,017241  x mm2 / m . 
 
O fio de cobre têmpera dura tem 97,3% e o alumínio duro comercial tem 61% da condutividade do cobre 
recozido padrão. 
 
A 20C, o cobre têmpera dura tem uma resistividade de 0,01772  x mm2 / m (ou 10,66  x CM / pé ) 
A 20C, o alumínio comercial tem uma resistividade de 0,283  x mm2 / m (ou 17,00  x CM / pé ) 
 
 1 pé (’)  12 polegadas (”)  0,3048 m 
 1 polegada (”)  0,0254 m 
 
 
 
 x 0,3048 
 
 
 
 x 12 x 0,0254 
 
 pés polegadas metro 
 
 
 : 12 : 0,0254 
 
 : 0,3048 
 
 
 1 milha = 1.609 m = 1,609 Km 
 
 
Um circular-mil (CM) é a área de um círculo cujo diâmetro é um milésimo de polegada (mil). 
 
A área da secção transversal de um condutor cilíndrico sólido em milímetros quadrados é : 
 S = ( / 4) x d2 
 
A área da secção transversal de um condutor cilíndrico sólido em CM é : 
 S = d2 sendo d em mils 
 
A área em milímetros quadrados é igual à área em CM multiplicada por 5,067 x 10-4 
 5,067 x 10-4 x CM = mm2 
 
 
 
 
 
 21 
 3 - Encordoamento e seu efeito sobre a resistência 
A resistência em corrente contínua (Rdc) de cabos encordoados é maior do que o valor que seria obtido a 
partir da equação acima , isto porque os fios componentes, trançados helicoidalmente, possuem um 
comprimento maior que o do cabo. 
 
Para cada quilômetro de cabo a corrente tem que percorrer, emtodos os fios exceto no central, mais do que 
um quilômetro. Estima-se em 1% o aumento da resistência em corrente contínua, devido ao 
encordoamento, para cabos com três fios e em 2% para cabos com fios concêntricos. 
 
 
 
 
 4 - Correção da resistência para variações de temperatura 
Na faixa normal de operação, a variação da resistência de um condutor metálico com a temperatura é 
praticamente linear. 
 
No gráfico a seguir , que relaciona a resistência em função da temperatura, um prolongamento da porção 
retilínea do gráfico fornece um método de se fazer tal correção. 
 
O ponto de interseção do prolongamento da reta com o eixo da temperatura, para resistência zero, é uma 
constante do material ( T ) . 
 
 228,0 C para o alumínio duro comercial com 61% de condutividade 
 T = 234,5 C para o cobre recozido com 100% de condutividade ( padrão ) 
 241,0 C para o cobre têmpera dura com 97,3% de condutividade 
 
 
 
 t (C) 
 
 
 t2 
 t1 
 
 R1 R2 R () 
 
 
 
 
 T 
 
 
 
 
 R2 / R1 = ( T + t2 ) / ( T + t1 ) 
 
 R2 = R1 x [ ( T + t2 ) / ( T + t1 ) ] 
 
 
 
 
 
 22 
 5 - Influência do efeito pelicular sobre a resistência 
A distribuição uniforme de corrente na secção transversal de um condutor só ocorre quando se trata de 
corrente contínua. 
Em corrente alternada, com o aumento da freqüência, a desuniformidade se torna mais acentuada, 
aumentando a concentração de corrente do centro para a superfície externa do condutor . Esse efeito é 
chamado de efeito pelicular. 
Para condutores de raio suficientemente grande pode-se ter uma densidade de corrente oscilante ao longo do 
raio. 
Mesmo para as freqüência usuais em sistemas de potência , esse efeito é bastante pronunciado em condutores 
de maior secção transversal, como pode ser verificado nas tabelas de condutores. 
 
 
 
 
 6 - Resistência a partir de tabelas de condutores 
Os fabricantes geralmente fornecem tabelas das características elétricas de seus condutores, onde poderemos 
comprovar a variação da resistência com a temperatura, com a secção transversal, com o tipo de material 
utilizado, com o encordoamento e com o efeito pelicular. 
 
Compare os valores de resistência de um cabo de cobre, com bitola 66370 CM, constituído por 1, 3 e 7 fios, 
em corrente contínua. Note que as resistências no caso dos condutores de 3 e 7 fios são, respectivamente, 1% 
e 2% superiores à do condutor maciço. 
 
No caso do condutor maciço de cobre de bitola 66370 CM, o valor de sua resistência, em corrente contínua, 
é de 0,864 e 0,945  / milha, respectivamente para 25 C e 50C. 
 
A resistência em corrente contínua desse condutor maciço de cobre de 6370 CM, a 20C e a 50 C, poderia 
ter sido calculada pela equação : 
 
 Rdc 20C = (10,66 x 1 ) / 66370 = 0,160615 x 10
-3  / pé = 0,848  / milha 
 
 sendo  = 10,66  x CM / pé 1 pé = ( 1 / 5.278,87 ) milhas 
 
 Rdc 50C = 0,848 x [ ( 241,0 + 50) / ( 241,0 + 20) ] = 0,945  / milha 
 
O efeito pelicular em 60 Hz para condutores de pequena secção torna-se desprezível. 
Mas se observarmos o cabo de cobre duro de 500 MCM ou 500.000 CM, o valor de sua resistência em 
corrente contínua a 50C é de 0,1280  / milha e a resistência efetiva a 60 Hz e a 50C é de 0,1303 
/milha . 
 
 
 
IMPORTANTE : 
Para linhas com mais de um condutor por fase, a resistência da fase será a resistência de cada 
condutor dividida pelo número de condutores em paralelo na fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
 
 INDUTÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 1 - Introdução e definições : 
 
Mostramos abaixo um condutor cilíndrico , retilíneo , maciço , de comprimento infinito , homogêneo e 
isolado , bem afastado do solo e de outros condutores que conduzam correntes , de forma que não seja 
influênciado pelos mesmos . 
 
 Px Hx 
 
 
 x 
  i (t)  
 
 
 2r 
 
A corrente i (t) que passa pelo condutor , produz um campo magnético concêntrico (  ) , cuja intensidade 
desse campo ( H ) é proporcional à intensidade da corrente . 
 
A uma distância x do centro do condutor , a intensidade de fluxo magnético vale Hx . 
 
Como a corrente que passa pelo condutor está entrando no plano do papel , o campo magnético tem sentido 
horário . 
 
Esse campo magnético existe tanto no espaço que envolve o condutor ( x > r  no ar ) , como no 
interior do condutor ( x < r  no material condutor ) . 
 
Mostramos abaixo uma linha monofásica , composta de dois condutores maciços , e seus campos elétricos e 
magnéticos . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + i (t) - i (t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
As linhas de campo elétrico originam-se nas cargas positivas de um condutor e terminam nas cargas negativas 
do outro . 
 
As linhas de campo magnético são fechadas , envolvem os condutores atravessando o circuito formado por 
eles. Dizemos que elas estão “concatenadas” com este circuito . 
 
A variação da corrente nos condutores ( corrente alternada ) provoca uma variação no número de linhas de 
fluxo magnético concatenadas (  ) com o circuito . 
 
 i   
 
Por sua vez , qualquer variação de fluxo concatenado provoca a indução de uma tensão no circuito , 
cujo valor é proporcional à taxa de variação do fluxo no tempo . 
 
   tensão induzida ( e ) volts = d / dt Weber-espiras/ segundo 
 
 
O fluxo concatenado é calculado com base no número de Weber-espiras , que é o produto de cada Weber de 
fluxo pelo número de espiras do circuito que ele atravessa . 
 
Por exemplo , na linha monofásica da página anterior , onde o circuito se constitui de 1 espira , se cada linha 
de fluxo correspondesse a 1 Weber , e se o fluxo decrescer a zero em 1 segundo , a tensão induzida no 
circuito seria de 12 volts . 
 
 
INDUTÂNCIA : é a propriedade do circuito que relaciona “a tensão induzida por variação de fluxo 
concatenado” com “a taxa de variação da corrente” . 
 
 tensão induzida (e) = L x ( di / dt ) 
 
 d / dt = L x ( di / dt ) 
 
 L = d / di Henrys 
 
Se o meio onde se estabelece o campo magnético não tiver permeabilidade constante , esta equação é valida , 
mas a indutância será variável . 
 
Considerando-se que o meio onde se estabelece o campo magnético tenha permeabilidade constante , 
o fluxo concatenado será diretamente proporcional à corrente , e a tensão induzida será proporcional à 
taxa de variação da corrente . 
 
 se  r = constante  fluxo concatenado  varia linearmente com a corrente 
 
 L =  / i Weber-espiras / Ampère 
 
 Definição de auto-indutância : é o fluxo concatenado com o condutor , por unidade de corrente 
que nele circula . 
 
Se a corrente é senoidal , o fluxo concatenado também o será . 
  (t) = L x i (t) 
 . . . . 
  = L x I L é um número real e  e I estarão em fase 
 25 
 
 
O fasor queda de tensão devido ao fluxo concatenado será : 
 . . . . 
 V = j x XL x I = j x  x L x I = j x  x  volts 
 
 
Indutância Mútua entre dois circuitos : é o fluxo concatenado com um circuito , devido à corrente no 
outro circuito , por unidade de corrente nesse circuito . 
 . . . 
 M12 = 12 / I2 Henrys 
 
 é a indutância mútua entre o circuito 1 e o circuito 2 , é o fluxo concatenado no circuito 1 , 
devido à corrente no circuito 2 . 
 
 
 
O fasor queda de tensão no circuito 1 devido ao fluxo concatenado produzido pela corrente I2 será : 
 . . . . 
 V1= j x  x M12 x I2 = j x  x 12 volts 
 
 
 
 2 - Fluxo concatenado parcial : 
 
No interior dos condutores existe campo magnético , muito embora a quantidade de fluxo interno possa ser 
tão pequena que se torne desprezível em altas freqüências . 
 
  f  desuniformidade  efeito pelicular 
 
 
 
 
 i /n 
 
 fluxo concatenado parcial 
 
 
 
 
 
A variação desse fluxo também contribui para a tensão induzida no circuito e portanto para a indutância . 
 
Os fluxos concatenados parciais são os produzidos pelos fluxos que envolvem apenas parte da corrente . O 
fluxo concatenado total devido ao fluxo interno é a somatória de todos os fluxos parciais . 
 
 n 
  interno =   parciais = L interna x i circuito 
 n=1 
 
 
 
 26 
 3 - Indutância de um condutor devido ao fluxo interno : 
 
É mostrada abaixo a secção transversal de um condutor de comprimento unitário , percorrido pela corrente 
I uniformemente distribuída , produzindo linhas de fluxo magnéticas internas . 
 
O retorno dessa corrente se dá a uma distância suficiente para não afetar seu campo magnético , fazendo com 
que as linhas de fluxo sejam concêntricas . 
 
 
 Hx 
 ds 
 
 r 
 x dx 
 
 
 
 d 
 
 fluxo devido à corrente 
 
 
Ix = corrente envolvida até a distância radial x 
s = distância ao longo do contorno em metros 
 
A força magnetomotriz ( fmm ) , em ampères-espiras , ao longo de qualquer contorno é igual à corrente que 
atravessa a área delimitada por este contorno . A fmm também é igual à integral da componente tangencial da 
intensidade de campo magnético ao longo do contorno . 
 
 FMM = Hx ds Ix.  ampères-espiras 
 = 2x .Hx = Ix Ix = ( x2 / r2 ) . I 
 
 Hx = ( x / 2r2 ) . I A-esp / m 
 
 Bx =  . Hx = (  . x . I ) / ( 2r2 ) Wb / m2 
 
 onde  é a permeabilidade magnética do condutor o = 4 . 10-7 H/m no vácuo 
  r =  / o 
 
 d = Bx . dárea do elemento = Bx . ( dx . 1 ) Wb / m 
 
 d = [ ( x2 ) / ( r2 ) ] . d = [ (  . I . x3 ) / ( 2 . r4 ) ] . dx Wb-esp / m 
 
  interno = dx
r
0
 = (  . I ) / ( 8  ) Wb-esp / m 
 para uma permeabilidade relativa unitária ,  = 4 . 10-7 H / m 
 
  interno = ( I / 2 ) . 10-7 Wb-esp / m 
 L interna = ½ . 10-7 H / m indutância interna por unidade de comprimento 
 ou simplesmente doravante  indutância interna 
 27 
 4 - Fluxo concatenado entre dois pontos externos de um condutor isolado : 
 
 
 Fluxo d 
 P1 
 D1 H2 
 
 
 Hx 
 x 
 dx 
 
 D2 
 
 
 P2 
 
 
Força magnetomotriz que cria o fluxo externo é o produto da corrente total que é concatenada, pelo número 
de condutores . 
 FMM = 1 x I = 2 x . Hx A-esp 
 
A intensidade de fluxo externo vale : 
 Hx = (1 x I) / ( 2 x ) A-esp / m 
 
A densidade de fluxo externo vale : 
 Bx =  . Hx = ( . I) / ( 2 x ) Wb-esp / m2 
 pois a permeabilidade do ar  = 4 . 10-7 H/m 
 
O fluxo externo é o produto da densidade de fluxo externo pela área cortada por ele : 
  = B . A 
O fluxo externo no elemento tubular de espessura dx e profundidade unitária vale : 
 d = Bx . dA = [( . I) / ( 2 x )] . ( dx . 1 ) Wb-esp / m 
 
O fluxo externo ao condutor concatena toda a corrente do condutor uma só vez, logo o fluxo externo é igual 
ao fluxo concatenado com o condutor. 
 d = d 
 
O fluxo concatenado total entre P1 e P2 é : 
 D2 
 12 =  [( . I) / ( 2 x )] dx = [( . I ) / ( 2 )] . ln ( D2 / D1 ) Wb-esp / m 
 D1 
 
 12 = 2 . 10
-7 . I . ln ( D2 / D1 ) Wb-esp / m 
 
 
A indutância devida apenas ao fluxo entre P1 e P2 é : 
 
 L12 = 12 / I = 2 . 10
-7 . ln ( D2 / D1 ) H / m 
 
 ou L12 = 0,7411 . log ( D2 / D1 ) mH / milha 
 
 28 
 Exercício 4 : Dar a conversão de ln em log e vice-versa. 
 
 M = ln N  eM = N 
 
 
 log eM = log N  M x log e = log N 
 
 
 M = ( 1 / log e ) x log N 
 
 
  
 ln N = ( 1 / log e ) x log N 
 
 
 ln N = 2,302585 x log N 
 
 
 2 x 10-7 x ln G H / m = 2 x 10-7 x 2,302585 x log G H / m 
 
 = 4,6052 x 10-7 x log G H / m 
 
 = 4,6052 x 10-4 x log G mH / m ( ou H / km ) 
 
 = 4,6052 x 10-4 x 1.609 x log G mH / milha 
 
 = 0,7411 x log G mH / milha 
 
 
 
 
A resistência e a reatância indutiva uniformemente distribuídas ao longo da linha formam a 
impedância em série da linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
 5 - Indutância de uma linha monofásica a dois fios : 
 
 
 
 
 2 
 
 1 
 
 r1 r2 
 +I - I 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo magnético mostrado na figura acima, devido somente à corrente no condutor 1, tem início na 
superfície do condutor 1 e sua intensidade vai decrescendo até se tornar nulo no infinito. 
 
Uma linha de fluxo externo, a uma distância maior que r1 e menor do que ( D-r2 ), envolve toda corrente I 
do condutor 1. 
 
Uma linha de fluxo externo, a uma distância maior do que ( D + r2 ), não concatena o circuito, pois envolve as 
correntes +I e -I . 
 
Uma linha de fluxo externo, a uma distância maior que (D - r2 ) e menor do que ( D + r2 ), envolve uma 
parte da corrente I, que pode variar de 0 a I . 
 
Na Prática : 
Se D >> r1 e r2 e se a densidade de fluxo for aproximadamente uniforme : 
 - o fluxo produzido pelo condutor 1 até o centro do condutor 2, envolve toda a corrente; 
 - a porção de fluxo que ultrapassa esse ponto, não envolve nenhuma corrente. 
 
 
a) Indutância do circuito devido à corrente do condutor 1 : 
 
 L1 int. = 0,5 x 10
-7 H / m 
 
fazendo: D2 = D e 
 D1 = r1 
 
 L1 ext. = 2 x 10
-7 x ln ( D / r1 ) H / m 
 
 
 L1 = [ 0,5 + 2 x ln ( D / r1)] x 10
-7 H / m 
 = 2 x 10-7 [ ¼ + ln ( D / r1 )] = 2 x 10
-7 [ ln e1/4 + ln ( D / r1 )] = 
 = 2 x 10-7 x ln [ D / ( r1 x e
-1/4 )] sendo r1 x e
-1/4 = r1’ 
 onde r1 x e
-1/4 = r1 x 0,7788 = r1’ 
 30 
 L1 = 2 x 10
-7 x ln ( D / r1’ ) H / m 
 
 ou L1 = 0,7411 x log ( D / r1’ ) mH / milha 
 
que é a indutância por condutor, que vale metade da indutância da linha monofásica. 
 
O raio r1’ corresponde a um condutor fictício, sem fluxo interno, porém com a mesma indutância do 
condutor real de raio r1 . 
 
A equação acima foi deduzida a partir de um condutor sólido de secção circular, portanto, o fator e-1/4 
só é aplicável a esse tipo de condutores. 
 
 
 
 
b) Indutância do circuito devido à corrente do condutor 2 : 
 
A corrente do condutor 2 é -I , logo, o fluxo concatenado com o circuito, produzido por ela apenas, penetra 
no circuito no mesmo sentido que o produzido pela corrente do condutor 1. 
 
Portanto, análogamente : 
 L2 = 2 x 10
-7 x ln ( D / r2’ ) H / m 
 
 
 
 
c) Indutância total do circuito : 
 
O fluxo resultante para os dois condutores é determinado pela soma das respectivas FMM. Para 
permeabilidade constante, podemos portanto somar seus fluxos concatenados e também suas indutâncias. 
 ______ 
 L = L1 + L2 = 4 x 10
-7 x ln ( D /  r1’ . r2’ )se r1’ = r2’ = r’ 
 
 L = 4 x 10-7 x ln ( D / r’ ) H / m ou 
 
 L = 1,4822 x log ( D / r’ ) mH / milha 
que é a indutância por unidade de comprimento da linha ( m ou milha ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
 
 6 - Fluxo concatenado com um condutor de um grupo de condutores da mesma fase 
 
 +I1 
 1 D1P 
 +I2 D2P P 
 2 
 3 +I3 
 D3P 
 n DnP 
 +In n 
  In = 0 
 1 
 
O fluxo concatenado com o condutor 1, devido à corrente I1 , incluindo-se o fluxo interno e excluindo-se 
todo fluxo além do ponto P, vale : 
 
1P1 = (I1/2) x 10
-7 + 2 x 10-7 x I1 x ln ( D1P / r1 ) 
 
1P1 = 2 x 10
-7 x I1 x ln ( D1P / r1’ ) Wb-esp / m 
 
 
O fluxo concatenado com o condutor 1, devido à corrente I2 do condutor 2, excluindo-se todo fluxo além 
do ponto P, vale : 
 
1P2 = 2 x 10
-7 x I2 x ln ( D2P / D12 ) Wb-esp / m 
 
 
O fluxo concatenado com o condutor 1, devido à corrente I3 do condutor 3, excluindo-se todo fluxo além 
do ponto P, vale : 
 
1P3 = 2 x 10
-7 x I3 x ln ( D3P / D13 ) Wb-esp / m 
 
 
O fluxo concatenado com o condutor 1, devido à corrente In do condutor n, excluindo-se todo fluxo além 
do ponto P, vale : 
 
1Pn = 2 x 10
-7 x In x ln ( DnP / D1n ) Wb-esp / m 
 
 
O fluxo concatenado com o condutor 1, devido à todos os condutores do grupo, excluindo-se todo fluxo 
além do ponto P, vale : 
 
1P = 2 x 10
-7 [ I1 x ln ( D1P / r1’ ) + I2 x ln ( D2P / D12 ) + ... + In x ln ( DnP / D1n ) ] Wb-esp / m 
 
 = 2 x 10-7 [I1x ln D1P + I2x ln D2P +...+ In x ln DnP + I1x ln (1/r1’) + I2x ln (1/D12) +...+ In x ln (1/D1n) ] 
 
como : In = - ( I1 + I2 + ... + In-1 ) 
 
 
1P = 2 x 10
-7 [ (I1x ln D1P - I1x ln DnP) + (I2x ln D2P - I2x ln DnP) +...+ (In-1x ln Dn-1P - In-1x ln DnP) + 
 32 
 
 + I1x ln (1/r1’) + I2x ln (1/D12) +...+ In x ln (1/D1n) ] 
 33 
1P = 2 x 10
-7 [ I1x ln (D1P / DnP) + I2x ln (D2P / DnP) +...+ In-1x ln (Dn-1P / DnP) + 
 
 + I1x ln (1/r1’) + I2x ln (1/D12) +...+ In x ln (1/D1n) ] 
 
 
levando-se o ponto P para bem longe, de modo que : D1P  D2P  D3P .... Dn-1P  DnP 
 
 
1 = 2 x 10
-7 [ I1x ln (1/r1’) + I2x ln (1/D12) +...+ In x ln (1/D1n) ] Wb-esp / m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 - Indutância de cabos 
 
Os cabos para linhas aéreas são constituídos por fios sólidos colocados em coroas superpostas, encordoados 
em sentidos opostos para evitar que eles se desenrolem e para fazer com que o raio externo de uma coroa, 
coincida com o raio interno da seguinte, tornando flexíveis os cabos com secção transversal grande. 
 
O número de fios internos depende do número de coroas e do fato de serem ou não todos os fios internos de 
mesmo diâmetro. 
 
 n fios = 3x2 - 3x +1 onde x = número de coroas, incluíndo a central, 
 constituída por um único fio condutor. 
 
 
Por exemplo : x = 2  7 fios de mesmo diâmetro 
 
 
 
Os cabos constituídos por vários fios iguais ( que dividem igualmente a corrente entre si ), colocados em 
paralelo, são classificados como condutores compostos. 
Portanto dois cabos em paralelo também podem ser assemelhados a fios componentes de um condutor 
composto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 8 - Indutância de uma linha monofásica composta por dois cabos 
 
 condutores iguais e cilíndricos 
 a’ b’ 
 a b 
 c’ 
 c n d’ m 
 
 cabo X Cabo Y 
corrente total do cabo : + I - I 
corrente de cada fio : +I / n - I / m 
 
 
O fluxo concatenado com o condutor a do cabo X, devido a todos os outros condutores do grupo é : 
 
a = 2 x 10-7 x (I/n) [ ln (1/ra’) + ln (1/Dab) + ln (1/Dac) +...+ ln (1/Dan) ] + 
 
 + 2 x 10-7 x (-I/m) [ ln (1/Daa’) + ln (1/Dab’) + ln (1/Dac’) +...+ ln (1/ Dam) ] 
 
 _______________________ ____________________ 
a = 2 x 10-7x I x ln [(m Daa’. Dab’. Dac’.... . Dam ) / (n ra’. Dab . Dac .... . Dan )] Wb-esp / m 
 
 
 La = a / (I/n) = 2n x 10-7 x ln [ ] H / m 
 
analogamente : 
 Lb = b / (I/n) = 2n x 10-7 x ln [ ] H / m 
 
A indutância média de cada fio do cabo X é : 
 Lmédia fio = ( La + Lb + Lc +... + Ln ) / n H / m 
 
A indutância do cabo X é : 
 LcaboX = Lmédia fio / n = = ( La + Lb + Lc +... + Ln ) / n2 H / m 
 _____________________________________________________________________ 
Lx =2x10-7x ln {[m.n (Daa’.Dab’.Dac’....Dam).(Dba’. Dbb’. Dbc’... Dbm)...(Dna’. Dnb’. Dnc’... Dnm)] / 
 ________________________________________________________________ 
 / [n2 (Daa .Dab .Dac ... Dan).(Dba .Dbb .Dbc ... Dbn)...(Dna .Dnb .Dnc ... Dnn)] } H / m 
 
sendo : Daa = ra’ = GMS do fio ou seja a distância do fio a para ele próprio 
 
 
Lx = 2 x 10-7 x ln ( GMD / GMS do cabo X ) H / m ou 
 
Lx = 0,7411 x log ( GMD / GMS do cabo X ) mH / milha 
 
 
Análogamente : Ly = 2 x 10-7 x ln ( GMD / GMS do cabo Y ) H / m ou 
 
 Ly = 0,7411 x log ( GMD / GMS do cabo Y ) mH / milha 
 
A indutância da linha monofásica de cabos é : 
 L = Lx + Ly 
 35 
 9 - GMD e GMS 
 
Definição de GMD : é a distância média geométrica entre um grupo de elementos de uma fase e um grupo 
de elementos de uma outra fase. É a média geométrica das distâncias mútuas entre os elementos das fases. 
 
 
 
 
 P D1 
 D2 ____________ 
 D3 GMD = 
4 D1. D2. D3. D4 
 
 D4 
 
 
 
 
 P 
 
 GMD = D 
 
 
 D 
 
 
 
 
 
 
 
 GMD = D 
 
 
 D 
 
 
 
 _______ 
 GMD = 49 ..... 
 
 D se D >> r 
 GMD = D 
 
 
 
 1 a 
 
 b ____________________ 
 2 GMD = 6 1a . 1b . 1c . 2a . 2b . 2c 
 c 
 D se D >> r 
 GMD = D 
 36 
Definição de GMS : é o limite ao qual tende a média geométrica das distâncias entre todos os pares de 
elementos dessa área, quando o número de elementos cresce indefinidamente. É a média geométrica das 
distâncias próprias entre os elementos da mesma fase. 
 
 
 P 
 
 GMS = raio da circunferência 
 
 
 
 
 
 n pontos igualmente espaçados 
 r ___ 
 GMS = r x n-1 n 
 
 
 
 
 
 raio de cada fio = r 
 _________ 
 GMS = 9 r’3 x (2r)6 = 1,46048 x r 
 
 
 
 1 2 
 _______________________________________________ 
 3 4 5 GMS = 49 D11D22D33D44D55D66D77 . D12D13.....D17 . D21D23D24.....D76 
 \--------------------------/ 
 r’ 7 7 fios de alumínio 
 6 7 2 camadas 
 
 1 2 
 _______________________________________________ 
 3 4 GMS = 36 D11D22D33D44D55D66 . D12D13.....D16 . D21D23D24.....D65 
 \-----------------------/ 
 r’ 6 
 5 6 6/1 (6 fios de alumínio e 1 de aço) 
 fio central de aço, que práticamente não conduz corrente 
 2 camadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 Exercício 7 : Um cabo é composto de sete fios idênticos de alumínio, cada um com raio r . Determine 
o fator pelo qual seu raio deve ser multiplicado para obter a média geométrica das distância próprias do cabo. 
 
 1 2 
 D12 = 2rD17 = 4r __ 
 3 4 5 D15 = 2r x  3 
 
 6 7 
 
 
 
 Exercício 9 : O diâmetro externo de um cabo ACSR formado por uma única camada de fios 
de alumínio n 6 AWG , é 5,03 mm . O diâmetro de cada fio é 1,68 mm . Determinar, a 60 Hz, a reatância 
indutiva para 30,48 cm de espaçamento. Desprezar o efeito do condutor central de aço . 
 
 
 P 
 
 
 30,48 cm = 1 pé 
 
 
 
 
 
 
 38 
 Exercíco 10 : Determine a GMS dos cabos não convencionais abaixo, em função do raio de seus fios. 
Supor que todos os fios tenham o mesmo raio e a mesma densidade de corrente. 
 
a) 
 
 GMS = 1,7229 x r 
 
 
b) 
 
 GMS = 1,6922 x r 
 
 
 
c) 
 
 GMS = 2,5643 x r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 11 : Calcular, em 60 Hz, a reatância indutiva a 3 metros de espaçamento, para um cabo 
formado por 94 fios iguais, formando apenas uma camada, que envolve uma alma não condutora. O diâmetro 
de cada fio é 0,5 mm e o diâmetro externo do cabo é 5 cm. 
 
 
 
 
 Exercíco 12 : A distância entre os cabos de uma linha monofásica é de 3,05 m . Cada cabo é 
formado por sete fios iguais, cujo diâmetro é 2,54 mm. Determinar a indutância da linha em H / Km. 
 
 
 Se ra  rb : L = La + Lb 
 
 L = 2 x 10-7 x ln (D/ra) + 2 x 10-7 x ln (D/rb) 
 
 = 2 x10-7 x ( ln D - ln ra ) + 2 x 10-7 x ( ln D - ln rb ) 
 
 = 2x 10-7 x ln D - 2 x 10-7 x ln ra + 2 x 10-7 x ln D - 2 x 10-7 x ln rb 
 
 = 4 x 10-7 x ln D - 2 x 10-7 x ln ra - 2 x 10-7 x ln rb 
 
 = 4 x 10-7 x [ ln D - ½ ln ra - ½ x ln rb ] 
 
 = 4 x 10-7 x [ ln D - ln ra-1/2 - ln rb-1/2 ] 
 ______ 
 = 4 x 10-7 x ln ( D /  ra x rb ) 
 
 39 
 
 
 
 
 
 10 - Uso de tabelas 
 
Todos os fabricantes fornecem tabelas onde estão incluídos os valores da GMS de seus cabos, principalmente 
para os cabos não homogêneos como o ACSR . 
 
Ao invés da indutância, é preferível conhecer-se o valor da reat6ancia indutiva, para um dos cabos de uma 
linha monofásica a dois cabos idênticos, ou para uma fase de uma linha trifásica. 
 
 
 XL = 2 x f x L = 2 x f x 0,7411 x 10
-3 x log ( GMD / GMS ) H / milha 
 
 = 4,657 x 10-3 x f x log ( GMD / GMS )  / milha 
 
 
As tabelas fornecem o GMS para 60 Hz , 25 Hz e para corrente contínua, pois aumentando-se a freqüência, a 
densidade de corrente no cabo não permanece constante, havendo uma diminuição da indutância devida ao 
fluxo interno, acarretando diferentes valores para a GMS. Essa desuniformidade na distribuição de corrente 
devida à freqüência dessa corrente é chamada de “Efeito Pelicular” . 
 
 
 XL = 4,657 x 10
-3 x f x log ( 1 / GMS ) + 4,657 x 10-3 x f x log GMD  / milha 
 xa xd 
 
Se o GMD e GMS forem dados em pés, o primeiro termo será a reatância indutiva para um pé de 
espaçamento, sendo função de GMS e da freqüência. 
 
O segundo termo é independente do tipo do cabo, dependendo só da freqüência e do espaçamento, é 
chamado de fator de espaçamento da reatância indutiva e será menor que zero quando GMD for menor que 1 
pé . 
A reatância indutiva será a soma dos dois termos, para a freqüência dada. 
 
 
 Exercício 17 : Determine a reatância indutiva do condutor CAA tipo Rail , em ohms por milha, a um 
pé de espaçamento e a 60 Hz. 
 
 
 Exercício 18 : Determine a reatância indutiva de uma linha monofásica de dois cabos, operando em 
60 Hz. Os cabos são ambos de bitola 1/0 AWG , constituídos por sete fios de cobre duro e a distância entre 
seus centros é de 18 pés . 
 
Por fórmula : 
 40 
 Pelas tabelas : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 19 : Qual dos condutores listados na tabela A1 , possui uma reatância indutiva de 0,6510 
/milha a 60 Hz e a 7 pés de espaçamento ? 
 
 
 Exercício 20 : Calcular a reatância indutiva, em 60 Hz, de uma linha monofásica constituída por dois 
condutores maciços de cobre n 6 AWG, espaçados entre si de 2,24 m. 
 
 Por fórmula : 
 
 
 
 Pelas tabelas : 
 
 
12 - Indutância de uma linha trifásica com espaçamento equilateral 
 
 a Ia + Ib + Ic = 0 
 
 ra = rb = rc = r 
 D D 
 
 b c 
 D 
 
Fluxo concatenado com o condutor a : 
 
 a = 2 x 10-7 x [ Ia x ln (1 / r’) + Ib x ln ( 1 / D ) + Ic x ln ( 1 / D ) ] Wb-esp / m 
 
 a = 2 x 10-7 x [ Ia x ln (1 / r’) - Ia x ln ( 1 / D ) ] Wb-esp / m 
 
 a = 2 x 10-7 x Ia x ln ( D / r’ ) Wb-esp / m 
 
 La = 2 x 10-7 x ln ( D / r’ ) H / m 
 ou por fase 
 La = 0,7411 x log ( D / r’ ) mH / milha 
 
Se os condutores não forem maciços, devemos calcular o valor de seu GMS e substituir no lugar do r’ . 
 
 
 
 
 
 
 41 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 21 : Os condutores de uma linha trifásica são sólidos com 4,11 mm de diâmetro. Eles 
ocupam os vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 2,44 m . Determine a indutância por fase . 
 
13 - Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico 
 
Neste caso, o fluxo concatenado e a indutância correspondente a cada fase não são os mesmos. 
 
Uma indutância diferente em cada fase, faz com que o circuito seja desequilibrado e resulta na indução de 
tensões em linhas de comunicações adjacentes, mesmo quando as correntes estiverem equilibradas. 
 
Essas características indesejáveis podem ser superadas pela troca de posições entre os condutores, em 
intervalos regulares ao longo da linha, chamada “transposição” . 
 
 
 a c b posição 1 
 D31 D12 b a c posição 2 
 
 D23 c b a 
 posição 3 
 Ciclo de Transposição 
 
O resultado dessa transposição é que cada condutor terá a mesma indutância média, considerando o ciclo 
completo. 
 
Felizmente, a assimetria entre as fases de uma linha não transposta é pequena e pode ser desprezada em 
muitos casos. Assim, a reatância indutiva é calculada como se a linha fosse transposta, ou seja, a reatância 
indutiva de cada fase é tomada igual ao valor médio da reatância indutiva de uma fase, como se ela fosse 
transposta. 
 
 
 a pos.1 = 2 x 10-7 x [ Ia x ln ( 1/r’) + Ib x ln ( 1/ D12) + Ic x ln ( 1/D13) ] Wb-esp / m 
 
 a pos.2 = 2 x 10-7 x [ Ia x ln ( 1/r’) + Ib x ln ( 1/ D23) + Ic x ln ( 1/D21) ] Wb-esp / m 
 
 a pos.3 = 2 x 10-7 x [ Ia x ln ( 1/r’) + Ib x ln ( 1/ D31) + Ic x ln ( 1/D32) ] Wb-esp / m 
 
 
 a = ( a pos.1 + a pos.2 + a pos.3 ) / 3 
 Ia = - ( Ib + Ic ) 
 
 ____________ 
 a = 2 x 10-7 x Ia x ln [ ( 3 D12 x D23 x D31 ) / r’ ] Wb-esp / m 
 
 _____________ 
 GMDeq. = 3 D12 x D23 x D31 
 
 42 
 
 La = 2 x 10-7 x ln ( GMDeq / r’ ) H / m 
ou indutância média por fase 
 La = 0,7411 x log ( GMDeq / r’ ) mH / milha 
 
Se os condutores não forem maciços, devemos substituir o r’ por GMS do cabo. 
 
 
 
Exercício 22 : Uma linha trifásica é constituída por três condutores maciços de cobre n 2 AWG, operando 
em 60 Hz, com transposição total de fases. Determine a reatância indutiva por fase da linha assimétrica. 
 a 
 
 1,37 m 1,37 m 
 
 b c 
 2,44 m 
 
 
Pelas tabelas : 
 
 
 
 
 Exercício 23 : Uma linha trifásica é projetada para ter um espaçamento equilateral de 2,44 m. Decide-
se então construí-la num plano horizontal, sendo Dac = 2 x Dab = 2 x Dbc . Os condutores sólidos com 
4,11 mm de diâmetro, estão transpostos ao longo da linha. Qual deverá ser o espaçamento entre os 
condutores adjacentes, a fim de seobter a mesma indutância que no projeto original ? 
 
 a b c 
 
 
 x x 
 
 
 exercício 18  L = 1,4659 x 10-3 H / km por fase 
 GMS = 0,0016 m 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
 
 Exercício 25 : Uma linha trifásica de 60 Hz, tem os seus condutores CAA alinhados horizontalmente 
com 10 m entre condutores adjacentes. Estes condutores possuem um GMS de 0,0133 m . Determine a 
reatância indutiva por fase em /km. Qual é o nome deste condutor ? 
 
 
14 - Linhas trifásicas de circuitos paralelos ( circuito duplo ) 
 
Dois circuitos trifásicos idênticos e em paralelo possuem a mesma reatância indutiva. 
Para o circuito equivalente aos dois em paralelo, a retância indutiva será a metade da de cada circuito 
considerado isoladamente, desde que a separação entre eles seja tal que a indutância mútua possa ser 
desprezada. 
 
 a c’ c b’ b a’ 
 
 
 b b’ a a’ c c’ 
 
 c a’ b c’ a b’ 
 
 dois cabos em paralelo, constituindo a fase A, 
 nas três posições do ciclo de transposição. 
 Condutor Composto 
 
A indutância da fase A, será menor se a distância entre os condutores da fase forem grandes ( GMS grande ) 
e se as distâncias entre as fases forem pequenas ( GMD pequeno ), o que é conseguido colocando-se em 
diagonal os condutores de duas das fases, ao invés da disposição simétrica. 
 
 a a’ c c’ b b’ 
 
 
 b b’ a a’ c c’ 
 
 c c’ b b’ a a’ 
 
 _________________________ 
 GMDeq. = 3 GMDab x GMDbc x GMDca 
 _________________ 
 GMDab = 4 ab x ab’ x a’b x a’b’ = GMDbc 
 _________________ 
 GMDca = 4 ac x ac’ x a’c x a’c’ 
 
 _____________________ 
 GMS eq. = 3 GMS1 x GMS2 x GMS3 fase a = fase b = fase c 
 
 GMS1 = GMS3 > GMS2 
 __________________ 
 GMS = 4 aa x aa’ x a’a x a’a’ 
 para um condutor sólido  aa = a’a’ = r’ 
 para um cabo  aa = a’a’ = GMS do cabo ( tabelado ou calculado) 
 
 44 
 
 L = 2 x 10-7 x ln ( GMDeq. / GMSeq. ) H / m / fase 
 L = 0,7411 x log ( GMDeq. / GMSeq. ) mH / milha / fase 
 
Se a distância entre os dois circuitos for muito grande ( torres diferentes ), a indutância mútua entre eles será 
desprezível e a indutância por cabo será aproximadamente igual à do circuito simples. 
 L cada cabo da fase  2 x L da fase  L linha singela 
 15 - Cabos Múltiplos 
 
A tendência no emprego de tensões cada vez mais altas estimulou o uso de dois ou mais cabos por fase, com 
distâncias pequenas se comparadas com o espaçamento entre fases, da ordem de 10 vezes o diâmetro de um 
cabo, ou seja, da ordem de 20 a 50 cm. 
 
 fase A fase B fase C 
 d 
 a1 a2 
 d 
 
 a3 a4 
 
 D D 
 
 D >> d 
 20 < d < 50 cm 
 cabo múltiplo composto por 4 cabos em paralelo 
 
A única diferença entre um cabo múltiplo e um cabo formado por vários fios em paralelo, é que os cabos 
componentes do cabo múltiplo estão separados um do outro pela distância d. 
 
A utilização de feixes( cabos múltiplos) com 2 cabos em paralelo, é uma alternativa “barata” para o 
aumento de capacidade de transmissão da linha já existente. Lógicamente, economiza-se em direitos 
de passagem e na construção da linha própriamente dita. No entanto, enquanto o uso de cabos 
múltiplos reduz a reatância de cerca de 25%, aumentando assim a capacidade de transmissão de 
potência em um terço, uma nova linha em paralelo reduziria a reatância total de 50%, dobrando 
portanto a capacidade de transporte de potência. 
 
Exercício 27 : Uma linha trifásica de 60 Hz possui um único cabo por fase, tipo CAA - Bluejay, disposto 
horizontalmente com espaçamento de 11m entre fases adjacentes. Compare a reatância indutiva em /km por 
fase desta linha com a de outra, na qual fossem usados dois condutores CAA - Bluejay e 11m medidos de 
centro a centro dos cabos duplos. Os condutores de cada fase estão 40 cm afastados. 
 
 a b c 
 
 
 
 11 m 11 m 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
 
 a a’ b b’ c c’ 
 
 
 40 cm 
 
 11 m 11 m 
 
 
 
 
 
Exercício 28 : Uma linha trifásica, circuito duplo, tem seus cabos dispostos em um plano vertical. Os cabos 
são ACSR 30/7 de 2,82 cm2. Calcular a indutância por fase da linha. Comparar a indutância por fase de um 
dos circuitos da linha, com a indutância por fase de uma linha singela com o mesmo espaçamento vertical. 
Considere a linha como transposta. 
 
 a1 a2 
 1 CM = 5,067 x 10-4 mm2 
 x = 282 mm2 
 3,66 m 
 b1 b2 x = 556.542,3 CM  556.500 CM 
 
 
 3,66 m 
 c1 c2 
 Da tabela : GMS cabo = 0,0328 pés 
 = 0,009997 m 
 7,32 m 
 
 
 
 
 
 46 
 Exercício 29 : Uma linha trifásica de 60 Hz de cabo múltiplo tem três condutores de CAA tipo Rail 
por fase, com espaçamento de 45 cm entre eles. Calcule a reatância indutiva em  / km, considerando que os 
espaçamentos entre as fases são de 9m, 9m e 18m. 
 0,45 m 
 
 
 
 
 9 m 9 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 30 : Seis cabos de CAA tipo Drake constituem uma linha trifásica de 60 Hz e circuito 
duplo, posicionados como é indicado abaixo. Determine a indutância por fase por milha e a reatância em 
ohm por milha. 
 25’ __________ 
 ab =  3,52 + 142 = 14,43’ 
 a c’ __________ 
 14’ aa’ =  282 + 252 = 37,54’ 
 ___________ 
 b b’ ab’ =  142 + 28,52 = 31,75’ 
 
 32’ 14’ 
 c a’ 
 
 25’ 
 
 47 
 CAPACITÂNCIA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 1 - Introdução 
 
A condutância e a reatância capacitiva uniformemente distribuída ao longo da linha formam a 
admitância em paralelo ( ou derivação ) da linha. 
 
A capacitância de uma linha de transmissão resulta da diferença de potencial entre os condutores. 
Essa diferença de potencial faz com que os condutores se carreguem de modo semelhante às placas de um 
capacitor entre as quais exista uma diferença de potencial. 
 
 +v -q +q +V 
 - + 
 a _ - Vba + b 
 + 
 
A capacitância entre condutores é a carga por unidade de diferença de potencial. 
 
 q = carga por unidade de comprimento Coulombs / m 
 V = diferença de potencial V 
 
 C = q / V F / m 
 
A capacitância enre condutores em paralelo é uma constante que depende das dimensões e do afastamento 
entre os condutores. 
 
 C = o x (A / d) o é a permissividade do vácuo = 8,85 x 10
-12 F / m 
 A é a área das placas desse capacitor 
 d é a distância entre as placas 
 
 
A permissividade relativa r é a razão entre a permissividade real de um material e a permissividade do 
vácuo. r =  / o 
Para o ar seco, r = 1,00054  1,0 F/m em cálculos de linhas aéreas, ou seja  = o . 
 
 
A aplicação de uma tensão alternada a um linha faz com que, em qualquer ponto, as cargas dos condutores 
cresçam e decresçam com o aumento e a diminuição do valor instantâneo da tensão entre os condutores 
naquele ponto considerado. 
 C = q / V 
 
 
O deslocamento de cargas é uma corrente, e a corrente causada pelo carregamento e descarregamento 
alternados de uma linha, devidos a uma tensão alternada é chamada “corrente de carregamento” da 
linha. 
A corrente de carregamentoexiste na linha mesmo quando ela está em vazio. 
 
 
Ela afeta tanto a queda de tensão ao longo da linha quanto o seu rendimento, o seu fator de potência e a 
estabilidade do sistema ao qual pertence a linha. 
 
 
 48 
 2 - Campo elétrico de um condutor longo e reto 
 
As linhas de fluxo elétrico se originam nas cargas positivas de um condutor e terminam nas cargas negativas 
do outro. 
O fluxo elétrico total que emana de um condutor é numéricamente igual à carga do condutor em Coulombs 
 
 
 
 
 
 x 
 + + 
 + q + 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
A densidade de fluxo elétrico é o fluxo elétrico por metro quadrado e é medida em C / m2 . 
 
Se um condutor cilindrico, longo e reto, estiver mergulhado em um meio uniforme como o ar, tendo uma 
carga uniforme em toda a sua extensão e se estiver isolado de outras cargas, sua carga estará uniformemente 
distribuída sobre toda a sua superfície e o fluxo será radial. 
Todos os pontos eqüidistantes de um tal condutor serão pontos eqüipotenciais e terão uma mesma densidade 
de fluxo elétrico. 
 
A densidade de campo elétrico a uma distância de x metros do centro do condutor será : 
 D = fluxo total emanado / área atravessada 
 
 D = Q / ( 2 . x . L ) = q / ( 2 . x ) C / m2 
 onde q é a carga por metro de comprimento ( L = 1 m ) 
 
A intensidade de campo elétrico é igual à densidade de fluxo elétrico dividida pela permissividade do meio. 
 
 E = D /  = q / ( 2 . x .  ) V / m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 3 - Diferença de potencial entre dois pontos devido a uma carga 
 
A diferença de potencial, em volts, entre dois pontos é numéricamente igual ao trabalho em joules por 
Coulomb necessário para mover um Coulomb de carga entre os dois pontos. 
 
A intensidade de campo elétrico é uma medida da força sobre uma carga no campo. 
A intensidade de campo elétrico, em V/m, é igual à força, em N/C, sobre um Coulomb de carga considerada. 
 
A integral de linha da força, em Newtons, que age sobre um Coulomb de carga positiva entre dois pontos, é o 
trabalho realizado para mover a carga do ponto de potencial mais baixo para o ponto de potencial mais alto e 
é numéricamente igual à diferença de potencial entre os dois pontos. 
 
 
 
 
 
 P1 
 caminho de integração 
 D1 
 
 +q P2 
 D2 
 
 A carga positiva +q ( C / m ) do fio exerce uma força de 
 repulsão sobre uma carga positiva colocada no campo. 
 Por essa razão e por ser neste caso, D2 > D1 , deve ser realizado 
 trabalho para movê-la de P2 para P1 , e assim P1 estará a um 
 potencial mais alto do que P2. 
 
 A diferença de potencial é o trabalho realizado por Coulomb de carga movida 
 
Por outro lado, se a carga positiva se move de P1 para P2 , o campo realizará trabalho, gastando energia.Esse 
trabalho por unidade de carga transportada, é a queda de tensão de P1 até P2 . 
A diferença de potencial é independente do caminho percorrido. 
 
Deslocamentos sobre a linha equipotencial não realizam trabalho. 
 
O modo mais simples de se calcular esta diferença entre os dois pontos, é calcular a diferença de potencial 
entre as superfícies eqüipotenciais que passam por P1 e por P2 por integração da intensidade de campo sobre 
uma trajetória radial entre as duas superfícies eqüipotenciais. 
 
A queda de tensão instantânea entre P1 e P2 é : 
 D2 
 v12 =  E . dx = (q / 2 .  ) x ln ( D2 / D1 ) V 
 D1 
 onde q é a carga instantânea no condutor em C / m 
 
A queda de tensão acima pode ser positiva ou negativa, conforme a carga que provoca a diferença de 
potencial seja positiva ou negativa, e conforme a queda de potencial seja calculada de um ponto mais 
afastado para outro mais próximo ou vice-versa. 
 
 
 50 
 4 - Capacitância por unidade de comprimento de uma linha a dois fios 
 
 D 
 
 ra rb 
 a b 
 qa qb = -qa 
 
 
 C = q / v F / m 
 
 
A tensão vab entre os dois condutores, pode ser determinada achando-se a queda de tensão devido a qa em a, 
e em seguida, a queda devido a qb em b. Pelo princípio da superposição, a queda de tensão vab será a soma 
das quedas provocadas por cada uma das cargas consideradas isoladamente. 
 
Seja qa a carga em a e admita que o condutor b esteja sem carga, sendo simplesmente uma superfície no 
campo criado por qa. A distorção dessas linhas eqüipotenciais nas proximidades de b é devida ao fato de ser 
b, ele próprio, uma superfície eqüipotencial. O potencial desse condutor b é o mesmo da superfície 
eqüipotencial que o corta. 
 
vab = (qa / 2 . ) x ln ( D / ra ) + ( qb / 2 . ) x ln ( rb / D ) V 
 devido a qa devido a qb 
 
como : qb = - qa 
 
vab = (qa / 2 . ) x [ ln ( D / ra) - ln ( rb / D) ] V 
 
vab = ( qa / 2 . ) x ln [ D2 / (ra . rb)] V 
 
 
A capacitância entre os condutores a e b é : 
 
 Cab = qa / vab = (2 . ) / ln [ D2 / (ra . rb) ] F / m 
 
 = 0,0388 / log [ D2 / (ra . rb) ] F / milha 
 
 
 
 se ra = rb = r 
 
 
 
 Cab = ( . ) / ln ( D / r ) F / m 
 
 = 0,0388 / 2 x log ( D / r ) = 0,0194 / log ( D / r ) F / milha 
 
 
 
 
 
 
 51 
As vezes é necessário conhecer-se a capacitância entre um dos condutores e um ponto neutro entre eles. Por 
exemplo, na ligação de uma linha a um trafo ligado em , com o centro das fases aterrados. A diferença de 
potencial entre cada condutor e a terra será a metade da difernça entre os condutores e a capacitância à 
terra ou ao neutro será o dobro da capacitância entre condutores . 
 
 Vn = Van = Vbn = ½ x Vab 
 
 Can = Cbn = Cn = qa / Van = 2 qa / Vab = 2 x Cab 
 
 
 Cn = (2 . ) / ln ( D / r) F / m para o neutro 
 
 = 0,0388 / log ( D / r ) F / milha para o neutro 
 
 
O raio nas equações da capacitância é o raio externo do condutor e não o raio fictício r’ ou o GMS do 
cabo, como era feito na indutância. 
 
 
 a Cab b a n b 
 
 
 Can = 2xCab Cbn = 2xCab 
 
 
A suposição de estar a carga uniformemente distribuída nos condutores, conduz a erros muito pequenos, 
desde que o espaçamento entre os condutores seja grande comparado com seus diâmetros ( caso real das 
linhas aéreas, onde D>>r ). 
 
 Relação D / r Erro em Cn ( % ) 
 10 0,4400 
 20 0,0840 
 50 0,0100 
 100 0,0020 
 200 0,0005 
 
Sabendo que o fluxo elétrico é perpendicular à superfície de um condutor perfeito, o campo elétrico na 
superfície de um cabo encordoado não será igual ao que existe na superfície de um condutor cilíndrico. 
Portanto estaremos cometendo um erro ao calcularmos a capacitância de um condutor encordoado pela 
substituição de r pelo raio externo do condutor, devido à diferença entre o campo na vizinhança de um 
condutor desse tipo e o campo próximo a um condutor cilíndrico para o qual foi deduzida a equação . 
Esse erro, no entanto, é muito pequeno porque somente o campo muito próximo à superfície do condutor é 
afetado. Assim sendo, é usado o raio externo do condutor encordoado no cálculo da capacitância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
 5 - Uso de tabelas 
 
Tendo sido obtida a capacitância ao neutro, a reat6ancia capacitiva entre um condutor e o neutro, para uma 
permissividade r = 1 , é calculada usando a expressão : 
 
 Xcn = 1 /( 2 . f . C ) = ( 2,862 / f ) x 109 x ln ( D / r )xm p/ o neutro 
 
 = ( 4,093 / f ) x 106 x log ( D / r ) xmilha p/ o neutro 
 
Devemos lembrar que esta é a reatância para um metro de linha. 
Como as reatâncias capacitivas estão em paralelo ao longo da linha, Xc em xm ou em xmilha 
deve ser dividida pelo comprimento da linha em metros ou em milhas, para que se obtenha a reatância 
capacitiva ao neutro em ohms para toda a linha. 
 
As tabelas dos fabricantes fornecem os diâmetros externos dos condutores. Se D e r forem dados em pés, a 
reatância capacitiva para um pé de espaçamento ( Xa’ ) será o primeiro termo , e o fator de espaçamento de 
reatância capacitiva ( Xd’ ) será o segundo termo na equação abaixo. 
 
Xcn = ( 4,093 / f ) x 106 x log ( 1 / r ) + ( 4,093 / f ) x 106 x log D xmilha p/ o neutro 
 
 Xa’ Xd’ 
 
A susceptância capacitiva é dada por : 
Bcn = 1 / Xcn S / milha p/ o neutro 
 
 
 
 Exercício 31 : Determine a susceptância capacitiva ao neutro por milha de uma linha monofásica que 
opera a 60 Hz. O condutor é o Partridge e o espaçamento entre centros é de 20 pés. 
 
 6 - Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento eqüilátero 
 
Supondo-se que não existam outras superfícies carregadas nas vizinhanças, a soma das cargas nos condutores 
das fases será zero. Se o solo estiver afastado o suficiente para que seu efeito seja desprezível. Se os 
espaçamentos entre as fases forem grandes em comparação com qualquer dos raios, a distribuição de cargas 
nas superfícies dos condutores das fases será uniforme. 
 
 b 
 
 
 D D 
 
 
 
 a D c 
 
Três condutores idênticos de raio r , com distribuição uniforme de cargas em cada um. 
 
 
A tensão vab de uma linha trifásica devida somente às cargas dos condutores a e b é : 
 
 vab = ( 1 / 2 .  ) [ qa x ln ( D / r ) + qb x ln ( r / D ) ] V 
 53 
 
 
A equação do item 3, nos permite incluir o efeito de qc , pois a distribuição uniforme de carga sobre a 
superfície de um condutor é equivalente a uma carga concentrada no centro do condutor. Portanto, devido 
somente à carga qc : 0 
 vab = ( qc / 2 .  ) x ln ( D / D ) que é zero , pois qc é eqüidistante de a e b. 
 
 
Entretanto, podemos escrever : 
 0 
 vab = ( 1 / 2 .  ) [ qa x ln ( D / r ) + qb x ln ( r / D ) + qc x ln ( D / D ) ] V 
 
Da mesma forma : 
 0 
 vac = ( 1 / 2 .  ) [ qa x ln ( D / r ) + qb x ln ( D / D ) + qc x ln ( r / D ) ] V 
 
 
Somando-se as equações acima : 
 
 vab + vac = ( 1 / 2 .  ) [ 2 x qa x ln ( D / r ) + (qb + qc ) x ln ( r / D ) V 
 sendo qb + qc = - qa 
 
 vab + vac = [( 3 x qa ) / ( 2 x  )] x ln ( D / r ) V 
 
 
 vab 
 van vbc 
 
 vca 
 
 __ 
 vab =  3 x van  +30 
 __ __ 
 vca =  3 x van  +150 vac = - vca =  3 x van  -30 
 
 vab + vac = 3 x van 0 
 
Substituindo esse valor na equação da soma de vab + vac : 
 
 van = ( qa / 2 x  ) x ln ( D / r ) V 
 
 Cn = qa / Van 
 
 Cn = (2 . ) / ln ( D / r) F / m para o neutro 
 
 = 0,0388 / log ( D / r ) F / milha para o neutro 
 
Comparando com as equações do item 4 , vemos que elas são idênticas e que representam a 
capacitância para o neutro de uma linha trifásica com espaçamento eqüilátero e de uma linha 
monofásica. 
 
 
 54 
 
 7 - Corrente de carregamento 
 
É a corrente associada com a capacitância de uma linha. 
 
Para um circuito monofásico, esta corrente é o produto da tensão de linha pela susceptância linha-linha. 
 
 Ichg = j Bab x Vab = j  Cab x Vab A / unidade de comprimento 
 
Para uma linha trifásica, esta corrente é obtida multiplicando a tensão de fase pela susceptância capacitiva ao 
neutro. 
 Ichg = j Bn x Van = j  Cn x Van A / unid. comprimento / fase 
 
 
 
 
 8 - Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico 
 
Quando os condutores de uma linha trifásica não estão com espaçamento eqüilátero, torna-se mais difícil o 
cálculo da capacitância. 
 
Na linha usual, sem transposição, as capacitâncias de cada fase ao neutro não são iguais. 
 
Em uma linha transposta, a capacitância média ao neutro, em um ciclo completo de transposição, é a mesma 
para qualquer das fases. 
 2 
 
 D12 D23 
 
 
 1 3 
 D31 
 
 
Com a fase a na posição 1 , b na 2 e c na 3 : 
 
 vab = ( 1/ 2 x ) [ qa x ln (D12 / r ) + qb x ln ( r / D12) + qc x ln ( D23 / D31 ) ] V 
 
Com a na 2 , b na 3 e c na 1 : 
 
 vab = ( 1/ 2 x ) [ qa x ln (D23 / r ) + qb x ln ( r / D23) + qc x ln ( D31 / D12 ) ] V 
 
Com a na 3 , b na 1 e c na 2 : 
 
 vab = ( 1/ 2 x ) [ qa x ln (D31 / r ) + qb x ln ( r / D31) + qc x ln ( D12 / D23 ) ] V 
 
 
A tensão média entre os condutores a e b é : 
 
 vab = (1/ 6 x ) [ qa x ln (D12 D23 D31 / r
3 ) + qb x ln ( r3 / D12 D23 D31 ) + 
 
 + qc x ln ( D12 D23 D31 / D12 D23 D31 ) ] V 
 55 
 
 
 = ( 1/ 2 x ) [ qa x ln (GMDeq. / r ) + qb x ln ( r / GMDeq.) ] V 
 
 __________ 
 sendo GMDeq. = 3 D12 D23 D31 
 
 
Da mesma forma pode ser calculada a queda de tensão entre a e c : 
 
 vac = ( 1/ 2 x ) [ qa x ln (GMDeq. / r ) + qc x ln ( r / GMDeq.) ] V 
 
 
vab + vac = 3 x van = ( 1/ 2 x ) [ 2 x qa x ln (GMDeq / r ) + qb x ln ( r / GMDeq.) + 
 
 + qc x ln ( r / GMDeq. ) ] V 
Como qa + qb + qc = 0 
 
3 x van = ( 3/ 2 x ) x qa x ln (GMDeq / r ) V 
 
Cn = qa / van 
 
Cn = ( 2 x  ) / ln ( GMDeq. / r ) F / m 
 
 __________ 
 sendo GMDeq. = 3 D12 D23 D31 
 
 
 
 
 
 Exercício 34 : Calcular a reatância capacitiva para o neutro da linha trifásica 60 Hz abaixo, 
constituída por condutores CAA tipo Drake. 
 
 a b c 
 
 
 4’ 4’ 
 
 
 56 
 10 - Cabos múltiplos 
 
Num cabo múltiplo, os fios de cada cabo estão em paralelo e podemos admitir que a carga por cabo se divide 
igualmente entre os fios deste cabo, pois D >> d . 
 
 a a’ b b’ c c’ 
 
 
 d 
 
 D12 D23 
 
 
 D31 
 
 
Se a carga na fase a for qa , cada um dos condutores ( a e a’ ) terá uma carga qa / 2 . 
 
vab = (1/2.){ qa/2 [ ln(D12/r) + ln(D12/d) ] + qb/2 [ ln(r/D12) + ln(d/D12) ] + 
 a a’ b b’ 
 
 + qc/2 [ ln(D23/D31) + ln(D23/D31) ] } 
 c c’ 
 
 ___ ___ 
vab = (1/2.){ qa x ln ( D12 /  r.d ) + qb x ln (  r.d / D12 ) + qc x ln ( D23 / D31 ) } 
 ___ 
esta equação é semelhante à equação do item 8, com exceção da substituição de r por  r.d . 
 
 
 
Caso a linha fosse considerada transposta , a capacitância para o neutro seria : 
 ___ 
 Cn = ( 2. ) / ln ( GMDeq. /  r.d ) F / m 
 ___ 
o termo  r.d será chamado de GMR , semelhante ao aplicado às indutâncias, porém no GMR substitui-se 
o GMS do cabo pelo seu raio externo. 
 
 
 
De forma semelhante poderemos calcular o GMReq. para qualquer número de cabos por fase. 
 
 Cn fase = ( 2. ) / ln ( GMDeq. / GMReq. )