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II -LISTA DE MATEMÁTICA ÂNGULOS 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcular x no triângulo abaixo: 
 
 
 
 
2) Calcule x no triângulo 
abaixo: 
 
3) Calcule x no triângulo abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? 
 
2) Copie e complete o quandro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo. 
 
 
 
3) Determine x em cada um dos triângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine x em cada um dos triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine a medida dos ângulos x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 
 
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 
ângulos internos não-adjacentes. 
 
Prova: 
 
consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(Â) + m (B) 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Calcule o valor de x no triângulo abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor de x: 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcule w e y : 
 
 
 
7) Calcule x: 
 
 
 
CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
 
Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um 
deles sobre o outro, de modo que eles coincidam. 
 
 
 
Definição 
 
Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes 
são congruentes. 
 
logo: 
 
 
 
 
CASOS DE CONGRUÊNCIA 
 
O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o 
menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes. 
 
1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado) 
 
Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes. 
 
 
 
 
2º CASO L. A. L. (lado, ângulo, lado) 
 
Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente 
congruentes são con gruentes. 
 
 
 
3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado , ângulo) 
 
Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente 
congruentes são congruentes. 
 
 
4º CASO : L. A. A° ( lado , ângulo, ângulo oposto) 
 
Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado 
respectivamente congruentes são congruentes. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcular x no triângulo abaixo: 
 
 
 
 
2) Calcule x no triângulo abaixo: 
 
 
 
3) Calcule x no triângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE THALES 
 
Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus 
vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados homólogos 
proporcionais. 
Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a semelhança: 
• ângulos correspondentes dois a dois congruentes; 
• lados homólogos proporcionais. 
 
Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra “automaticamente” também se verifica. 
 
Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo, também 
escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm. 
Basta verificar a proporcionalidade entre os lados: 
 
 
Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre os ângulos 
correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores. 
Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50°, 60° e 70°, ele é semelhante a 
todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de conhecermos as medidas de 
seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses triângulos são proporcionais. 
 
Exemplo 2: Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De fato, os lados dos triângulos são proporcionais: 
 
)semelhança de razões(
2
1k
12
6
8
4
6
3
==== 
 
Além disso, Jˆ Iˆ e Kˆ Hˆ Lˆ Gˆ ≡≡≡ , embora não conheçamos as medidas desses ângulos. 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos 
respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.” 
 
G 
3 
H 4 
I 
6 
J 
8 
K 
6 
L 
12 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
“A bissetriz externa de um ângulo de um triângulo secciona o prolongamento do lado oposto e o divide 
em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.” 
 
 
 
 
Triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Diagonal do quadrado 
 
2) Altura do triângulo eqüilátero 
 
 
Exercícios de fixação 
 
 
2) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 
42 e que as retas r, s e t são paralelas. 
 
A diferença x - y é: 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 10. 
e) 12. 
 
3) 
 
A área do retângulo DEFB acima é: 
a) 24 
b) 160 
c) 120 
d) 20 
e) 180 
 
4) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo 
instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. 
 
A altura do prédio, em metros, é 
a) 25. 
b) 29. 
c) 30. 
d) 45. 
e) 75. 
 
 
5) No Δ da figura a seguir, DE//BC nessas condições determine: 
 
a) a medida x 
b) o perímetro do Δ ABC 
 
 
4) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. 
Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a 
figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do 
chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. 
 
a) 1,50 m 
b) 1,75 m 
c) 2,00 m 
d) 2,25 m 
e) 2,50 m 
 
5) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que 
medem 4 cm e 2 cm. 
 
Determine o perímetro do triângulo MBN. 
 
6) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a 
altura PR desse triângulo mede: 
 
Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
 
7) 
 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que 
estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m 
acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se 
afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
 
 
 
8) O valor de x abaixo é: 
 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
 
 
9) Na figura abaixo, OP=2, AB=8, O é o centro dos círculos e åæ é tangente em P ao círculo menor. 
 
A área do disco maior é 
a) 8π. 
b) 10π. 
c) 20π. 
d) 64π. 
e) 68π. 
 
 
10) O valor do raio “r” do círculo inscrito no trapézio retângulo abaixo é: 
 
 
a) 8 cm 
b) 7 cm 
c) 6 cm 
d) 5 cm 
e) 4 cm 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática,escrever um poema do qual extraímos o 
fragmento a seguir: 
 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, 
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente 
por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável 
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; 
olhos rombóides, boca trapezóide, 
corpo retangular, seios esferóides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, 
até que se encontraram no Infinito. 
"Quem és tu?" - indagou ele em ânsia radical. 
Sou a soma dos quadrados dos catetos. 
Mas pode me chamar de hipotenusa." 
 (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.) 
 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte 
resposta: 
a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." 
b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." 
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa." 
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa." 
 
 
 
2) Um triângulo retângulo tem catetos 6 cm e 8 cm. Determine: 
a) a hipotenusa do triângulo. 
b) a altura relativa a hipotenusa. 
c) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 
3) (UFF) No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas 
matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, 
que eram oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é 
composta por cinco círculos que se tangenciam. 
 
Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = AB/2 e DF = EC, pode-se concluir que 
DF/OB é igual a: 
a) 0,65 
b) 0,6555... 
c) 0,666... 
d) 0,7 
e) 0,7333... 
 
4) É dado um quadrado ABCD de lado 8. Traça-se uma circunferência centrada em 0 e de raio r. A 
circunferência tangencia o quadrado ABCD no lado BC e passa pelos vértices A e D, conforme a figura. 
Calcule o raio da circunferência. 
 
 
 
Lista de exercícios do teorema de Tales 
 
1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x. 
a) b) 
c) d) 
 
e) e) 
 
f) g) 
2) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas. 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
3) Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas. 
 
 
 
4) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC determina o ponto D em AB e 
E em AC . Sabendo – se que AD= x, BD= x + 6, AE = 3 e EC= 4, determine o 
lado AB do triângulo. 
 
 
5) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. 
as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para 
a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua 
B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 
 
 
 
 
6) Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma transversal três 
segmentos consecutivos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos 
dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o 
segmento desta, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 60 cm. 
 
 
7) As alturas de dois postes estão entre si assim como 3 esta para 5. Sabendo que o 
menor deles mede 6 m, então o maior mede: 
 
 
8) A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e 
cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados 
pelas ruas paralelas tem 80 m e 90 m de comprimento, respectivamente. Na 
segunda avenida, um dos quarteirões determinados mede 60 m. Qual o 
comprimento do outro quarteirão? 
 
 
9) Na figura abaixo, sabe – se que RS //DE e que AE = 42 cm. Nessas condições, 
determine as medidas x e y indicadas. 
 
A 
 
 
 
10) Num triângulo ABC, o lado ABmede 24 cm. Por um ponto D, sobre o lado AB , 
distante 10 cm do vértice A, traça – se a paralela ao lado BC , que corta o lado AC 
tem 15 cm de comprimento, determine a medida do lado AC . 
 
 
11) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as medidas dos 
lados AB e ACdo triângulo. 
 A 
 
 
12) Na figura abaixo, AE // BD . Nessas condições, determine os valores de a e b. 
 
 
13) A planta abaixo no mostra três terrenos cujas laterais são paralelas. Calcule, em 
metros, as medidas x, y e z indicadas. 
 
 
 
14) Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e 
um fio bem esticado de 5 m liga seus topos, como mostra a figura abaixo. 
Prolongando esse fio até prende – lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. 
Determine a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais 
próximo a ele. 
 
 
15) No triângulo abaixo, sabe –se que DE // BC . Calcule as medidas dos lados AB e 
ACdo triângulo. 
 
 
 
16) Uma reta paralela ao lado BCde um triângulo ABC determina o lado 
AB segmentos que esta reta determina sobre o lado BC , de medida 10 cm. 
 
 
17) No triângulo ao lado, DE // BC . Nessas condições, determine: 
a) a medida de x. 
b) o perímetro do triângulo, sabendo que BC= 11 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
18) Esta planta mostra dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. 
Quais as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida. Sabendo – se 
que a frente total para essa avenida é de 90 metros? 
 
 
 
19) O mapa abaixo mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias 
transversais. Calcule as distâncias entre os cruzamentos dessas vias, supondo as 
medidas em km: 
 
 
20) Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , CQe DR são paralelos. A medida 
do segmento PQ , em metros, é: 
 
 
 
21) Uma antena de TV é colocada sobre um bloco de concreto. Esse bloco tem 1 m de 
altura. Em um certo instante, a antena projeta uma sombra de 6 m, enquanto o 
bloco projeta uma sombra de 1,5 m. Nessas condições, qual é a altura da antena? 
 
 
22) Uma estátua projeta uma sombra de 8 m no mesmo instante que seu pedestal 
projeta uma sombra de 3,2 m. Se o pedestal tem 2 m de altura, determinar a altura 
da estátua. 
 
 
 
23) No triângulo da figura abaixo, temos DE // BC . Qual é a medida do lado AB e a 
medida do lado AC desse triângulo? 
 
 
24) Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal aos pontos A, B 
e C, tal que AB = 10 cm e BC = 25 cm, e sobre uma transversal b os pontos M, N 
e P, tal que MP= 21 cm. Quais as medidas dos segmentos MN e 
NPdeterminados sobre a transversal? Faça a figura. 
 
 
25) Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento 
no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de 
comprimento. Qual é a altura da árvore? 
 
 
26) Uma ripa de madeira de 1,5 m de altura, quando colocada verticalmente em 
relação ao solo, projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, uma torre 
projeta uma sombra de 15 m. Calcule a altura da torre. 
 
 
27) Na figura abaixo, AB // ED . Nessas condições, determine os valores de x e y. 
 
 
 
28) As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 8 cm 
e 4 cm. A medida de cada lado congruente do primeiro triângulo é 10 cm. Nessas 
condições, calcule: 
a) a medida de cada lado congruente do segundo triângulo. 
b) os perímetros dos triângulos. 
c) a razão de semelhança do primeiro para o segundo triãngulo. 
 
 
29) Um mastro usado para hasteamento de bandeiras projeta uma sombra cujo 
comprimento é 6 m no mesmo instante em que uma barra vertical de 1,8 m de 
altura projeta uma sombra de 1,20 m de comprimento. Qual é a altura do mastro? 
 
 
30) A razão de semelhança entre dois triângulos equiláteros é 
3
2 . Sabendo – se que o 
perímetro do menor mede 18 cm, quanto medem os lados do triângulo maior? 
 
 
31) Umtriângulo tem seus lados medindo 10 cm, 12 cm e 15 cm, respectivamente. 
Determine as medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, 
sabendo que seu maior lado mede 27 cm. 
 
 
 
32) Na figura abaixo, o triângulo ABC é semelhante ao um triângulo DEF, de acordo 
com as indicações. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas: 
 
 
 
 
33) Considerando a figura abaixo, determine a medida x indicada: 
 
 
 
34) Dois triângulos, T1 e T2, são semelhantes, sendo 
3
4 a razão de semelhança. O 
triângulo T1 tem 38 cm de perímetro e dois lados do triângulo T2 medem 6 cm e 9 
cm. Determine as medidas dos lados do triângulo T1 e a medida do lado 
desconhecido do triângulo T2. 
 
 
35) Para determinar a altura de uma árvore utilizou – se o esquema mostrado. Nessas 
condições, qual e a altura da árvore? 
 
 
36) Num terreno em forma de triângulo retângulo, conforme nos mostra a figura, 
deseja – se construir uma casa retangular cujas dimensões são indicadas, em 
metros, por x e 
2
x . Nessas condições, determine: 
a) a medida x. 
b) a área ocupada pela casa(área do retângulo = base vezes altura). 
 
37) Uma pessoa se encontra a 6,30 m da base de um poste, conforme nos mostra a 
figura. Essa pessoa tem 1,80 m de altura e projeta uma sombra de 2,70 m de 
comprimento no solo. Qual é a altura do poste? 
 
 
 
38) Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema abaixo. Nessas 
condições, obteve – se um triângulo ABC semelhante a um triângulo EDC. 
Determine, então, a largura x do lago. 
 
 
 
39) Os trás lados de um triângulo ABC medem 9 cm, 18 cm e 21 cm. Determine os 
lados de um triângulo A’B’C’ semelhante a ABC, sabendo que a razão de 
semelhança do primeiro para o segundo é igual a 3. 
 
40) Os lados de um triângulo medem 2,1 cm, 3,9 cm e 4,5 cm. Um segundo triângulo 
semelhante a esse tem 70 cm de perímetro. Determine seus lado. 
 
 
41) O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 25 m. Qual o perímetro do 
triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado cuja medida foi dada mede 15 m? 
 
42) Na figura abaixo temos MN // BC . Nessas condições, calcule: 
a) as medidas x e y indicadas. 
b) as medidas dos lados AB e ACdo triângulo. 
 
 
43) um edifício projeta uma sombra de 30 m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m 
projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o 
poste são perpendiculares ao solo? 
 
 
 
44) Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco. Qual é a altura desse 
garoto que projeta uma sombra de 1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta 
uma sombra de 40 cm ? 
 
 
 
 
 
45) A sombra de uma árvore mede 4,5 m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 
0,6 m, mantido na vertical, mede 0,4 m. A altura da árvore é: 
 
 
46) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 
m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 
0,6 m. A altura do poste é: 
 
 
47) Certa noite, uma moça de 1,50 m de altura estava a 2 m de distância de um poste 
de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: 
 
 
48) Uma pessoa percorre a trajetória de A até C, passando por B. Qual foi a distância 
percorrida? 
 
49) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura. Qual o comprimento da 
escada que está encostada na parte superior do prédio? 
 
 
 
50) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual o 
comprimento dessa tábua, se a porteira mede 1,2 m por 1,6 m ? 
 
 
 
51) Um automóvel parte da posição 0 e percorre o caminho 0ABC indicado. Qual a 
distância percorrida? 
 
 
 
 
 
 
 
52) Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam com 
velocidade constante em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma 
hora de viagem, a distância entre os dois navios é 13 milhas. Se um deles é 7 
milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio. 
 
 
 
53) Quantos metros de fio são necessários para “puxar luz” de um poste de 6 m de 
altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do poste? 
 
 
 
54) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 14 cm e um dos catetos mede 
35 cm. Determine a medida do outro cateto. 
 
 
55) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo medem ( )52 + cm e ( )52 +− 
cm. Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. 
 
 
56) Um terreno triangular tem frentes de 12 m e 16 m em duas ruas que formam um 
ângulo de 90º. Quanto mede o terceiro lado desse terreno? 
 
 
57) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde as medidas indicadas estão 
expressas em centímetros. Nessas condições, vamos calcular: 
 
 
 
58) Determine a medida x do lado BCdo quadrilátero ABCD, onde as diagonais são 
perpendiculares e BMAM ≅ . As medidas indicadas na figura estão expressas em 
centímetros. 
 
 
 
59) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma 
um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 m e 
sabendo – se que a ponta da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual a 
altura do tronco da árvore que restou em pé? 
 
 
60) Qual a distância percorrida, em linha reta, por um avião do ponto A até o ponto B, 
quando ele alcança a altura indicada na figura abaixo? 
 
 
61) Um ciclista, partindo de um ponto A, percorre 15 km para norte; a seguir, fazendo 
um ângulo de 90º, percorre 20 km para leste, chegando ao ponto B. Qual a 
distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A? 
 
62) Uma antena de TV é sustentada por 3 cabos, como mostra a figura abaixo. A 
antena tem 8 m de altura, e cada cabo deve ser preso no solo, a um ponto distante 
6 m da base da antena. Quantos metros de cabo serão usados para sustentar a 
antena? 
 
 
63) Em um retângulo, a medida da diagonal é expressa pro (x + 8) cm e as medidas 
dos lados são expressas pro x cm e 12 cm. Nessas condições, qual é o perímetro 
desse retângulo? 
 
 
64) Unindo os pontos médios dos lados de um retângulo ABCD, obtemos um losango. 
Se o lado AB do retângulo mede 16 cm e o lado BCmede 12 cm, qual é a medida 
x do lado do losango? 
 
65) A figura seguinte é um trapézio isósceles, cujas medidas estão indicadas. Nessas 
condições, determine: 
 
 
66) Dona Lurdinha ganhou um bibelô que lembrava um pavão. Curiosa, resolveu fazer 
algumas medições: quais as medidas de x, y e z? 
 
 
67) Aplicando o teorema de Pitágoras, determine a medida x nos seguintes triângulos 
retângulos: 
a) b) 
 
b) d) 
 
 
68) Na figura abaixo, determine os valores de x e y : 
 
 
 
 
 
 
 
69) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 1 cm e um dos catetos mede 0,6 
cm. Determine a medida do outro cateto. 
 
 
70) Na figura abaixo, determine os valores de a, b e c: 
 
 
 
71) Em um triângulo retângulo isósceles a hipotenusa mede 8 m. Determine as 
medidas dos catetos desse triângulo. 
 
 
72) Determine a medida da diagonal de um retângulo cujo perímetro é 30 cm, sabendo 
que um lado medo o dobro do outro. 
 
 
73) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede a metade do outro cateto, e a 
hipotenusa mede 10 cm. Nessas condições, determine: 
a) a medida do menor cateto. 
b) o perímetro do triângulo 
 
74) Uma escada de 2,5 m de altura está apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5 m 
da parede. Determine a altura que a escada atinge na parede, nessas condições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão Geometria Plana – Áreas e Apótemas 
 
ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 
1) Retângulo 
 
 
2) Quadrado 
 
 
3) Paralelogramo 
 
 
4) Trapézio 
 
 
5) Losango 
 
 
6) Triângulosa) Triângulo qualquer 
 
 
b) Triângulo retângulo 
 
 
c) Fórmula trigonométrica da área 
 
 
 
 
d) Fórmula de Heron 
 
onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados. 
 
e) Triângulo eqüilátero 
 
 
f) Em função dos lados e do raio da circunferência 
circunscrita 
 
 
7) Hexágono regular 
 
 
8) Polígono regular 
 
Onde 
p é o semiperímetro e a é o apótema do polígono. 
9) Círculo 
 
 
Comprimento 
C = 2.π.r 
Área 
A = π.r2 
 
10) Coroa circular 
 
A = π.(R2 – r2) 
 
11) Setor circular 
 
A = 
 
QUADRO RESUMO DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS REGULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Num quadrado de lado 10 cm está circunscrita uma circunferência. Determine o raio, o comprimento e a 
área da circunferência. 
 
2) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 2 cm. Determine a medida da 
altura do triângulo, do raio da circunferência, da área do triângulo e da área da circunferência. 
 
3) Um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular. Determine o perímetro e a área do 
hexágono. 
 
4) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. Determine a área do hexágono 
regular inscrito nessa mesma circunferência. 
 
5) Se um circulo de área A e um quadrado de área Q tem o mesmo perímetro, determine a razão Q/A. 
 
6) Determine a área das figuras abaixo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
7) Os quadrados ABCD e APQR, representados na figura abaixo, são tais que seus lados medem 6 e o 
ângulo PAD mede 30°. 
 
Ligando-se o ponto B com o ponto R e o ponto D com o ponto P, obtém-se o hexágono BCDPQR, cuja área 
é: 
a) 90. 
b) 95. 
c) 100. 
d) 105. 
e) 110. 
 
8) No quadrado ABCD de lado 2, traçam-se dois arcos com centro nos vértices A e C e raio igual ao lado do 
quadrado. Determine área delimitada por estes dois arcos. 
 
9) O quadrado ABCD da figura a seguir tem lado igual a 6 cm. Os círculos com centros em A, B, C e D, 
respectivamente, têm raios iguais a 1/3 do lado do quadrado. Pode-se então afirmar que a área hachurada 
da figura é, em cm2, igual a: 
 
a) 8 (2π + 1). 
b) 4 (3π + 2). 
c) 8 (2π - 1). 
d) 6 (2π + 1). 
e) 16π. 
 
10) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros 
dos dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do retângulo sombreado? 
 
 
11) Sabendo-se que a área do circulo da figura abaixo é 2π cm², determine a área da região que esta 
sombreada. 
 
12) Na figura abaixo, as circunferências têm centro nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a três 
lados do retângulo. Sabendo que cada circulo tem área 2, qual a área do retângulo? 
 
 
13) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado cm, e ABE e BCF são triângulos eqüiláteros. 
Determine a área do triangulo BEF. 
 
 
14) Uma propriedade rural tem a forma do triangulo ABC representado na figura. A região cultivada 
corresponde apenas a porção sombreada. Sabendo-se que AD = AB e AE = AC, que porcentagem da 
área da propriedade rural é cultivada? 
 
A) 50% 
B) 60% 
C) 66% 
D) 75% 
E) 80% 
 
15) Na figura abaixo, o raio r da circunferência mede 8 cm. Se os arcos AB, BC e BD representam 
semicircunferências, então o valor da área em negrito, em cm², é: 
 
A) 64π 
B) 32π 
C) 24π 
D) 16π 
E) 8π 
 
16) (UFPE/06) Na ilustração a seguir, temos um retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e duas 
faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de mesma medida. Se a área da região colorida e a da 
região do retângulo ABCD exterior a área colorida são iguais, qual a medida de EF? 
 
A) 1,8 
B) 1,9 
C) 2,0 
D) 2,1 
E) 2,2 
 
 
 
ÁREAS: QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS 
 
1.(UNICAMP) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de 22.500cm 
pergunta-se: 
 
a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 metros de comprimento por 
50 metros de largura? 
b) Se 3/56 da população de uma cidade lota a praça, qual é, então, a população da cidade? 
 
2. Duas regiões, uma com a forma de um quadrado e a outra com a forma de um hexágono regular, têm os 
lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais. Veja as figuras abaixo: 
 
A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada é: 
a) 33
2
 b) 32
3
 c) 3 d) 3
3
 
 
3.(Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o 
formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. 
Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas 
faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 
 
4. Um retângulo de base 6cm está inscrito num círculo de diâmetro 10cm. Indique a opção que apresenta a 
área do retângulo (em cm2). 
 
a) 34 b) 28 c) 16 d) 48 e) 60 
 
5. (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na 
figura 2. 
 
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual a: 
a) 112 b) 88 c) 64 d) 24 
 
6. (UERJ) A figura 1 mostra uma pessoa em uma asa-delta 
O esquema na figura 2 representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e 
ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando 
esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = θ2 
 
Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 dm2 de vela para cada 0,5 kg de massa total. 
Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa de 75 kg. 
De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de: 
a) θcos9 b) θsen18 c) 
9
cosθ d) 18senθ 
 
7.(Q.E.P.P.E) Dois irmãos, Edu e Vicente, estavam discutindo o seguinte problema: “Num triângulo ABC, as 
medidas de AB e AC, são respectivamente, 3cm e 4cm, e a medida de sua área é igual 3cm2. Nestas 
condições, determine o ângulo ”. 
Edu afirmou que o a medida do ângulo A é igual a 30°. Vicente afirmou que esse ângulo mede 150°. 
Podemos concluir que: 
a) Edu está certo e Vicente está errado. 
b) Vicente está certo e Edu está errado. 
c) Os dois estão certos. 
d) Os dois estão errados porque a medida do ângulo é de 90°. 
 
 
 
8. Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal a seguir 
 
Quantos metros quadrados de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio? 
 
a) 75 m2 b) 36 m2 c) 96 m2 d) 48 m2 e) 60 m2 
 
9. Em um dos jogos da última Copa das Confederações, na África do Sul, foi colocado, numa praça de 
forma semicircular, com perímetro igual a )2010( +π metros, um telão. Nessa praça, 785 pessoas assistiam 
ao jogo. Supondo que houvesse o mesmo número de pessoas por metro quadrado da praça, em cada 
metro quadrado haveria (usar 14,3≅π ) 
a) 9 pessoas b) 7 pessoas c) 5 pessoas 
d) 10 pessoas e) 12 pessoas 
 
10. Uma das mais belas fórmulas da geometria plana é a fórmula de Heron de Alexandria, que descreve a 
relação entre a área A de um triângulo qualquer com os valores a, b e c de seus lados e seu semiperímetro 
p. A fórmula é dada pela expressão: 
 
 
 
Utilizando a Fórmula de Heron, demonstre que a área “A” de um triângulo eqüilátero de lado L é dada 
pela expressão: 
4
3.2LA = 
11.(FEI-SP) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a 
medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa? 
 
a) π2040 − b) π20400 − c) π100100 − 0 ™d) π2020 − e) π100400 − 
 
 
 
 
12. Para a encenação de uma peça teatral, os patrocinadores financiaram a construção de uma arena 
circular com 10m de raio. O palco ocupará a região representada pela parte hachurada na figura a seguir: 
 
Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, a área do palco, em m2, vale: 
a) 
3
)50375( π+
 b) 
3
)325( π
 c) 
2
)250( π+ 
))()(( cpbpappA −−−= 
d) 
3
)250( π+ e) π100 
13. Um triângulo de cartolina é cortado por dois segmentos paralelos à base, determinando 2 trapézios de 
áreas iguais ( 21 S e S ). Sabendo-se que a base mede 3cm e o segmento superior 1cm, determinar a medida 
do segmento x. 
 
 
14. (Enem cancelado 2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para 
seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva 
legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o 
filho, conforme a figura. 
 
 
 
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura 
x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da 
faixa é 
a) 10%(a + b)2 b) 10%(a . b)2 
 
c) a b+ − (a + b) 
d) )()( 2 baabba +−++ 
e) )()( 2 baabba ++++ 
 
 
15. (UERJ 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo 
comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. 
Observe o esquema: 
 
 
 
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. 
Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 
 
16. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 
cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 
 
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: 
 
 
 
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN: 
 
 
 
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 
 
 
 
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a: 
a) ( )−25 4 3 b) ( )−25 6 3 c) ( )−50 2 3 
d) ( )−50 3 3 
 17. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC 
medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de 
materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara 
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 
 
18. Visando desenvolver seus dons artísticos, o professor Walter desenhou num pedaço de cartolina o 
triângulo eqüilátero ABC de lado 2m. A seguir marcou os pontos médios M, N e P dos lados AB; AC e BC 
respectivamente. Com um compasso, desenhou 3 arcos de circunferências centrados nos vértices do 
triângulo e de raio igual a 1m, determinando assim,dentro do triângulo, três setores circulares de 60°.Logo 
após, pintou a parte exterior aos setores, no interior do triângulo eqüilátero. 
a) Faça um desenho da situação descrita. 
b)Calcule a área da figura pintada pelo professor. 
 
19. Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado 12, os arcos DE, EF, FD estão contidos em 
circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais 
próximo da área da região hachurada? 
(Use as aproximações 14,3≅π e 73,13 ≅ ) 
 
GABARITO: 
1. a) 30.000 pessoas b) 560.000 pessoas 
2. [A] 3. [B] 4.[D] 5.[C] 6.[D] 7. [C] 8. [D] 9. [C] 
10. dem. 11. [E] 12. [A] 13. 5 
14. [D] 15. 100 16. [B] 17.[ B] 
18. (A) B) 
2)
2
3( mπ− 19. 3 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios 
 
 
Essa lista contém 50 questões de Geometria. Da questão 1 à questão 30 temos questões recentes de vestibulares, e da 
questão 31 à questão 50 temos questões dos últimos ENEM’s. 
Bom trabalho e ótima férias à todos. 
Abraço!! 
Profº: Fabrício Sousa. 
 
• Exercícios Vestibulares 
 
Questão 01:(Upe 2014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por 
números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? 
a) 15 cm2 
b) 25 cm2 
c) 125 cm2 
d) 150 cm2 
e) 300 cm2 
 
Questão 02:(Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em 
progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a 
a) 3,0 m2. 
b) 2,0 m2. 
c) 1,5 m2. 
d) 3,5 m2. 
 
Questão 03:(Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
Para a transmissão da copa do mundo de 2014 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço 
acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas 
câmeras se desloque por um plano paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo 
representa o campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no tamanho real. 
 
 
01) A equação da circunferência que delimita o círculo central do campo na figura é 2 2x y 12x 8y 51 0.+ − − + = 
02) Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, representado na figura por A(4, 2), até outro ponto, 
representado na figura por C(10, 6), então a equação da reta que corresponde a essa trajetória na figura é 
2x 3y 2 0.− − = 
04) Na figura, o ponto B(8, 3) está a uma distância de 8 unidades da reta que passa pelos pontos a A(4, 2) e 
C(10, 6). 
08) Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) não são colineares. 
16) No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 2100 m .π 
 
Questão 04:(Insper 2014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados 
e pela reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
Questão 05:(Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b= e AD h,= que foi dividido 
em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH. 
 
 
 
As retas EF,BD
suur suur
 e GH
suur
 são paralelas. Dessa forma, sendo AE x= e AF y,= a razão 
x
b
 é igual a 
a) 2 2 .
3
 
b) 2 .
2
 
c) 3 .
2
 
d) 6 .
4
 
e) 6 .
3
 
 
Questão 06:(G1 - cftrj 2014) Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua área, 
em cm2, é um número: 
a) no máximo igual a 9 
b) no máximo igual a 8 
c) no máximo igual a 7 
d) no máximo igual a 6 
 
Questão 07:(Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB,= e ABCD é um quadrado. Sendoθ a 
medida do ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se 
 
Dados os valores aproximados: 
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
° ≅ ° ≅
° ≅ ° ≅
 
a) 14 28θ° < < ° 
b) 15 60θ° < < ° 
c) 20 90θ° < < ° 
d) 25 120θ° < < ° 
e) 30 150θ° < < ° 
 
Questão 08:(G1 - utfpr 2014) A área do círculo, em cm2, cuja circunferência mede 10 cm,π é: 
a) 10 .π 
b) 36 .π 
c) 64 .π 
d) 50 .π 
e) 25 .π 
 
Questão 09(G1 - cftmg 2014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões, conforme a 
figura seguinte. 
 
 
 
Sabe-se que: 
- AOB representa o setor circular de raio 2 m com centro no ponto O. 
- CDEF é um quadrado de área 21m . 
- a área da região II é igual a 23 m .
3 2
π⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
- a região IV é reservada para o plantio de flores. 
 
A área, em m2, reservada para o plantio de flores é 
a) .
3
π 
b) .
2
π 
c) 2 .
3
π 
d) 3 .
2
π 
 
Questão 10:(Ufsc 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um 
veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. 
 
 
 
Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual 
a 227 3 cm , determine a medida do raio desta circunferência em centímetros. 
 
Questão 11:(Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do 
que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará 
a) XYX Y %.
100
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
b) X YXY %.
100
+⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
c) X Y XY %.
100
+ +⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
d) (X Y)%.+ 
e) (XY)%. 
 
Questão 12:(Espcex (Aman) 2014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada 
canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 
360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em 
km2, a área total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si. 
a) 23
2
π 
b) 23
4
π 
c) 385
8
π 
d) 195
4
π 
e) 529
4
π 
 
Questão 13:(Uece 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de 
frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida 
da área do palco, em m2, é 
a) 80. 
b) 90. 
c) 108. 
d) 1182. 
 
Questão 14:(G1 - ifsp 2014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e possui uma parte 
interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura. 
 
 
 
Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a 
a) 148. 
b) 152. 
c) 156. 
d) 160. 
e) 164. 
 
Questão 15:(Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos 
regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme 
representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros. 
 
 
 
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. 
a) 1.600 m2 
b) 1.800 m2 
c) 2.000 m2 
d) 2.200 m2 
e) 2.400 m2 
 
Questão 16:(G1 - cftrj 2014) Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. Sabendo que o perímetro de DEF é 3 
unidades maior do que o perímetro de ABC e sua área é o dobro da área de ABC, qual é a medida dos lados de ABC? 
 
Questão 17:(Uerj 2014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um 
estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que 
ˆDAE 45°= e ˆBAC 30°,= conforme ilustrado a seguir: 
 
 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. 
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 1,7,= a área, em 2cm , do triângulo CAE equivale a: 
a) 80 
b) 100 
c) 140 
d) 180 
 
Questão 18:(Ufg 2014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de segurança. 
A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas 
hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera. 
 
 
 
De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente, 
a) 90,90% da área total da loja. 
b) 91,54% da área total da loja. 
c) 95,45% da área total da loja. 
d) 96,14% da área total da loja. 
e) 97,22% da área total da loja. 
 
Questão 19:(G1 - cftmg 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25m2. Sabendo-se que o metro 
linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com 
a cerca, em reais, foi de 
a) 420,25. 
b) 450,00. 
c) 500,00. 
d) 506,75. 
 
Questão 20:(Ufg 2014) Na figura a seguir, as circunferências 1 2 3C , C , C e 4C , de centros 1 2 3O ,O ,O e 4O , 
respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à circunferência C de centro O e raio R. 
 
 
 
Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os centros 1 2 3O ,O ,O e 4O . 
 
Questão 21:(G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta pela 
justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2. 
 
 
 
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm2, é igual a 
a) 12. 
b) 18. 
c) 22. 
d) 24. 
 
Questão 22:(Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos 
regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento 
exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um 
quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. 
 
 
 
A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse 
quadrado é S, então a área do “Octógono” vale 
a) S(2 2 1).+ 
b) S( 2 2).+ 
c) 2S( 2 1).+ 
d) 2S( 2 2).+ 
e) 4S( 2 1).+ 
 
Questão 23:(Upe 2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo 
centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. 
 
 
 
Considere: 3π ≅ e 3 1,7≅ 
 
Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? 
a) 2,0 cm2 
b) 3,0 cm2 
c) 7,2 cm2 
d) 8,0 cm2 
e) 10,2 cm2 
 
Questão 24:(G1 - cps 2014) A Jornada Mundial da Juventude (JMJ) aconteceu no Rio de Janeiro, em julho de 2013, e 
atraiu visitantes do Brasil e de vários outros países. 
 
Segundo a Prefeitura do Rio, 3,2 milhões de pessoas compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ, que ocorreu 
na Praia de Copacabana. 
(folha.uol.com.br/poder/2013/07/1318073-calculo-oficial-de-3-milhoes-de-pessoasem-copacabana-e-superestimado-
diz-datafolha.shtml Acesso em: 16.08.2013. Adaptado) 
 
 
A área da superfície ocupada pelas pessoas que compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ equivale à área da 
superfície de cerca de N campos de futebol do estádio do Maracanã. 
 
Sabendo-se que o campo de futebol do Maracanã tem forma retangular com dimensões de 105 metros por 68 metros e 
adotando-se que, em uma concentração de grande porte como essa, um metro quadradoé ocupado por 4 pessoas, em 
média; então, considerando os dados apresentados, o número inteiro positivo mais próximo de N será 
a) 45. 
b) 57. 
c) 112. 
d) 136. 
e) 144. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma: 
 
 
 
 
Questão 25:(Uerj 2014) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equação 0x x= divide ao meio a área 
do polígono formado pelas barras retangulares, o valor de 0x corresponde à mediana da distribuição dos dados 
representados. 
Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. 
 
Questão 26:(Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices no gráfico da função polinomial dada por 
( ) 3 25x 65x 235x 155= − + −f x e dois vértices no eixo x como na figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que se pede. 
a) Determine as coordenadas do vértice D. 
b) Determine as coordenadas do vértice C. 
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
 
Questão 27:(Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação 
2x 11y x 3
6 6
= − + e dois 
vértices no eixo x, como na figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. 
a) Determine as coordenadas do ponto A. 
b) Determine as coordenadas do ponto C. 
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
 
Questão28:(Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, 
quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. 
 
 
 
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. 
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. 
c) Determine o volume da caixa formada. 
 
Questão 29:(Ufsc 2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os pontos P e Q são 
pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. 
 
 
02) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a área do 
quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE. 
 
 
04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A perpendicular à 
hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo 
MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC. 
 
 
08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro é 288cm3. 
 
 
16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango. 
 
Questão 30:(Uepb 2013) Uma circunferência e uma reta têm equações cartesianas 2 2 2x y r+ = e x y 4+ = 
respectivamente, e são tangentes em um ponto P do sistema de eixos cartesianos xy. A área em 2cm da região entre os 
dois gráficos e os semieixos positivos é: 
a) 2(4 )π− 
b) 4(2 )π− 
c) 2( 4)π − 
d) 4(2 )π+ 
e) 2(4 )π+ 
 
• Exercícios ENEM 
 
Questão 31:(Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais 
complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação 
ao ponto O. 
 
 
 
A imagem que representa a nova figura é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Questão 32:(Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes 
de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos 
AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os 
segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. 
 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1m 
b) 2m 
c) 2,4 m 
d) 3 m 
e) 2 6 m 
 
Questão 33:(Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. 
Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta 
pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e 
conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. 
 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: 
a) N
9
 
b) N
6
 
c) N
3
 
d) 3N 
e) 9N 
 
Questão 34:(Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de 
suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou 
bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre 
durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. 
 
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
 
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. 
Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. 
 
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em 
a) 4%. 
b) 20%. 
c) 36%. 
d) 64%. 
e) 96%. 
 
Questão 35:(Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e 
colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver 
uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de 
metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. 
b) 65,5. 
c) 74,0. 
d) 81,0. 
e) 91,0. 
 
Questão 36:(Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos 
desse restaurante têm o formato representado na figura: 
 
 
 
Considere que 7AC BD
5
= e que l é a medida de um dos lados da base da bandeja. 
Qual deve ser o menor valor da razão 
BD
l para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos 
de uma só vez? 
a) 2 
b) 14
5
 
c) 4 
d) 24
5
 
e) 28
5
 
 
Questão 37:(Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A 
sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) 
com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50°. 
 
Questão 38:(Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da 
medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte 
sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa 
R$ 50,00 o m2. 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
Questão 39:(Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores noseu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus 
clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h 
(gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 
m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua 
cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que 
deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). 
 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 
 
Questão 40:(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a 
primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o 
tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro 
após ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy 
b) 15 – 3x 
c) 15 – 5y 
d) –5y – 3x 
e) 5y + 3x – xy 
 
Questão 41:(Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas 
giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para 
que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma 
circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida 
L do lado da base da estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? 
a) R L/ 2≥ 
b) R 2L/π≥ 
c) R L/ π≥ 
d) R L/2≥ 
e) ( )R L/ 2 2≥ 
 
Questão 42:(Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à 
prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em 
formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam 
gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos 
terrenos disponíveis para a construção da praça: 
 
Terreno 1: 55 m por 45 m 
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher 
o terreno 
a) 01. 
b) 02. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
Questão 43:(Enem 2011) 
 
 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de 
a) 45°. 
b) 60°. 
c) 90°. 
d) 120°. 
e) 180°. 
 
Questão 44:(Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura 
ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do 
centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois 
semicírculos da pista são iguais. 
 
 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo 
beneficiado? 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 7 
e) 8 
 
Questão 45:(Enem 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando 
medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um 
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três 
eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme 
pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. 
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde 
a) a mesma área do triângulo AMC. 
b) a mesma área do triângulo BNC. 
c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
Questão 46:(Enem 2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear 
de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 
50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). 
 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. 
 
Questão 47:(Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça 
com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 
10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as 
suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. 
b) 2 cm. 
c) 3 cm. 
d) 4 cm. 
e) 5 cm. 
 
Questão 48:(Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os 
antigos egípcios ao construírem as pirâmides. 
 
 
 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco 
de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é 
a) y = R. 
b) y = 2R. 
c) y = ðR. 
d) y = 2ðR. 
e) y = 4ðR. 
 
Questão 49:(Enem 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra 
os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida 
por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com 
extremidades em DF e em 4. 
 
 
 
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135o 
graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, 
Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-
horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um 
avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela 
descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em 
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. 
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. 
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. 
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. 
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.Questão 50:(Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um 
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é 
 
a) 1,16 metros. 
b) 3,0 metros. 
c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. 
e) 7,04 metros. 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Sejam , 5+l l e 10+l as medidas dos lados do triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
2 2 2 2 2 2
2
( 10) ( 5) 20 100 10 25
10 75 0
15cm.
+ = + + ⇔ + + = + + +
⇔ − − =
⇒ =
l l l l l l l ll ll 
 
Em consequência, o resultado pedido é 215 20 150cm .
2
⋅
= 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Sejam x, x r+ e x 2r+ as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.> 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r.= Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r. 
 
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 
 
13r 4r 5r 6 r .
2
+ + = ⇔ = 
 
Portanto, a área do triângulo é igual a 
 
2
23r 4r 16 1,5 m .
2 2
⋅ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Resposta da questão 3: 
 01 + 02 + 16 = 19. 
 
[01] Correto. A circunferência de raio 1 e centro em (6, 4) tem por equação 
 
2 2 2 2 2(x 6) (y 4) 1 x y 6x 4y 51.− + − = ⇔ + − − + 
 
[02] Correto. A equação da reta que passa por A e C é dada por 
 
6 2y 2 (x 4) 2x 3y 2 0.
10 4
−
− = ⋅ − ⇔ − − =
−
 
 
[04] Incorreto. A distância d do ponto B à reta AC
suur
 é igual a 
 
2 2
| 2 8 3 3 2 | 5d .
132 ( 3)
⋅ − ⋅ −
= =
+ −
 
 
[08] Incorreto. Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) são colineares, pois 
 
7 4 10 7
14 24 40 (16 20 42) 0.
4 2 6 4
= + + − + + = 
 
[16] Correto. A área do círculo central é igual a 2 210 100 m .π π⋅ = 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Fazendo y 0= na equação 12x 5y 60,+ = obtemos o ponto A (5, 0),= que é o ponto de interseção da reta com o eixo 
das abscissas. Tomando x 0,= encontramos o ponto B (0,12),= que é o ponto de interseção da reta com o eixo das 
ordenadas. 
 
 
 
Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita 
no triângulo AOB. 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 13.= Logo, temos 
 
OA OB OA OB AB r 5 12 (5 12 13) r
2 2
r 2.
⋅ + +
= ⋅ ⇔ ⋅ = + + ⋅
⇔ =
 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Seja (AEF) 2S.= Pela simetria da figura, temos (EBDF) (BDHG) S.= = Além disso, os triângulos AEF e ABD são 
semelhantes por AA. 
 
Portanto, como 
 
(ABD) (AEF) (EBDF) 3S,= + = 
 
tem-se 
 
2 2(AEF) 2Sx x
(ABD) 3Sb b
x 6 ,
b 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ =
 
 
que é o resultado pedido. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC. 
 
Temos então a área do triângulo pedida 
 αsen43
2
1A ⋅⋅⋅= 
 
Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a 1,= portanto a área máxima do triângulo será: 
 
2
máx cm61432
1A =⋅⋅⋅= 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB. 
 
 
 
Do triângulo retângulo OMB, obtemos 
 µ BM ABtgMOB MO .
MO 2tg
2
θ= ⇔ = 
 
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1.= Assim, 
 
AB MO 1(AOB) .
2 4 tg
2
θ⋅= = 
 
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se 
 
2 1(ABCD) (AOB) 1
4 tg
2
1tg 0,25.
2 4
θθ
> ⇒ >
⇒ > =
 
 
Logo, como tg15 0,2679 0,25° ≅ > e 0 180 ,θ° < < ° vem que 30 180 .θ° < < ° Note que ]30 ,150 [ ]30 ,180 [.° ° ⊂ ° ° 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
2 r 10 cm,π π⋅ = 
 
Logo, r = 5 cm. 
 
Portanto, sua área será dada por: 2 2A 5 25 cm .π π= ⋅ = 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Sabendo que 2(CDEF) 1m ,= é imediato que CF 1m.= Logo, do triângulo OCF, vem 
 µ µµCF 1senCOF senCOF 2OF COF 30 .= ⇔ =⇒ = ° 
 
Daí, tem-se que µAOF 90 30 60 .= ° − ° = ° Portanto, sendo µ µAOF 2 COF,= ⋅ encontramos 
 
2
22 2 2(AOF) m .
3 4 3
π π⋅
= ⋅ = 
 
Resposta da questão 10: 
 Como os arcos determinados por A,B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é equilátero. 
Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r é dada por 23 3 r ,
4
⋅ 
temos 
 
23 3 r 27 3 r 6cm.
4
⋅ = ⇒ = 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por 
 
Y XX 1 Y 1 .
100 100
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Logo, o resultado pedido é 
 
Y XX 1 Y 1 X Y
X Y XY100 100 100% 1 1 100%
X Y 100 100 10000
XYX Y %.
100
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⋅ + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ = + + + − ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
 
 
Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C , respectivamente, temos: 
 
x y 9
y z 8
x z 6
+ =⎧
⎪
+ =⎨
⎪ + =⎩
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
x 3 2, y 11 2 e z 5 2.= = = 
 
Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos: 
2 2 2
27 11 5 195A km .
2 2 2 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ππ π π 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
 
 
Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos: 
 
2 2 2
2
h 12 15 h 9m.
(15 9) 9A 108m
2
+ = ⇒ =
+ ⋅
= =
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Dimensões da praça: 
15 + 2 + 2 = 19m 
20 + 2 + 2 = 24m 
 
Portanto, sua área total será 219 24 456 m .⋅ = 
Área da parte interna será 215 20 300 m .⋅ = 
Logo, a área da calçada será 2456 300 156 m .− = 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Seja l a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. 
 
Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, 
obtemos 
 
25 325 tg30 m.
3
= ⋅ ° =l 
 
Desse modo, a área da piscina é dada por 
 
22
2
3 3 9 25 33 3
2 2 3
1875 3
2
1.623,8 m
⎛ ⎞
⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⋅
≅
l
 
 
e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima da área da piscina. 
 
Resposta da questão 16: 
 Considerando x a medida do lado do triângulo ABC e y a medida do lado do triângulo DEF, temos o seguinte sistema. 
 
 
) II ( 2xy
4
3x2
4
3y
 ) I ( 1xy3x3y3
22
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⇔⋅=
+=⇔+=
 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
12x
21
21
12
1x
1x2x
x21x
+=
+
+
⋅
−
=
=⋅−
⋅=+
 
 
Portanto, a medida dos lados do triângulo ABC é ( 2 1)+ unidades. 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Do triângulo ABC, obtemos 
 µ BC 1senBAC BC 40 20cm
2AC
= ⇔ = ⋅ = 
e µ AB 3cosBAC AB 40 34cm.
2AC
= ⇔ = ⋅ ≅ 
 
Além disso, como µDAE 45 ,= ° segue que AD DE BC 20cm.= = = 
 
Portanto, a área do triângulo ACE é dada por 
 
2
(ACE) (ADC) (ADE)
34 20 20 20
2 2
140cm .
= −
⋅ ⋅
= −
=
 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
 
 
2
ABD
AB 1,5 0,682 1,5ABD ~ DEC : AB 0,682 e A 0,51 m
2,5 5,5 2ΔΔ Δ ⋅= ⇒ = = = 
2
FGH
FG 1 0,667 1FGH ~ HIC : FG 0,667 e A 0,33 m
2 3 2ΔΔ Δ ⋅= ⇒ = = = 
 
Área da loja: 2 2A 4 7 1,5 2 1 23,75 m= ⋅ − ⋅− = 
 
Área não coberta pela câmera em porcentagem: %46,96
75,23
33,051,075,23
=
−− 
 
Observação: O resultado apresentado não confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial considerou que os 
ângulos BDA e FHG são congruentes. 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Lado do quadrado: 5m 
 
Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m 
 
Valor pedido: 20 (23,25 1,75)20 25 R$500,00⋅ + = ⋅ = 
 
Resposta da questão 20: 
 Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R. 
 
 
 
Como o triângulo 1 2OO O é retângulo isósceles, segue-se que 2 4OO OO r 2.= = Logo, 
 
2 2 4 4AB AO O O O B 2R 2r 2r 2
Rr
2 1
r ( 2 1) R.
= + + ⇔ = +
⇔ =
+
⇔ = − ⋅
 
 
Portanto, como 1 2 3 4O O O O é quadrado, temos 
 
2
1 2 3 4
2
2
O O O O (2r)
4 [( 2 1) R]
4(3 2 2) R .
=
= ⋅ − ⋅
= − ⋅
 
 
Resposta da questão 21: 
 [D] 
 
A área pedida é dada por 
 
21 2 2 1 2 114 4 6 24cm .
2 2 2 2
⎡ ⎤⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135 ,° segue-se que os quatro triângulos, resultantes da 
decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a 2 .
2
 Logo, como a área do quadrado 
destacado no centro do octógono é 2S a ,= tem-se que o resultado pedido é 
 
2 21 a 2 a 2 a 24 S a 2 2a Sa
2 2 2 2
2S 2 2S
2S( 2 1).
⎛ ⎞
⋅ + = + +⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
= +
 
 
Resposta da questão 23: 
 [C] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
2
2 23 2 3 1 6 1,7 3 7,2cm .
2
π⋅ ⋅ − ⋅ ≅ ⋅ − = 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
0448179,112N
468105
000.200.3N468105N000.200.3 =⇔
⋅⋅
=⇔⋅⋅⋅= 
 
Ou seja, N é aproximadamente 112. 
 
Resposta da questão 25: 
 Área total da figura: ( )0,1 3 9 6 2 2⋅ + + + = 
 
Metade da área 1, logo 01,7 x 1,8< < 
 
Tem-se então a equação ( )0 o0,1 3 x –1,7 9 1 x 1,7777...⋅ + = ⇒ =⋅ 
 
Resposta da questão 26: 
 a) Sabendo que A (1, 0),= vem D Ax x 1.= = Além disso, como D pertence ao gráfico de f, vem 
 
D D
3 2
y f(x )
5 1 65 1 235 1 155
20.
=
= ⋅ − ⋅ + ⋅ −
=
 
 
b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que C Dy y 20.= = Logo, 
 
3 2 3 2
C C C C C C5x 65x 235x 155 20 x 13x 47x 35 0.− + − = ⇔ − + − = 
 
Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que as possíveis raízes racionais dessa equação pertencem ao conjunto 
{ 1, 5, 7}.± ± ± De fato, após inspeção, concluímos que 1, 5 e 7 são raízes. Portanto, segue que C Bx x 5.= = 
 
c) A área do retângulo ABCD é dada por 
 
B A D(x x ) f(x ) (5 1) 20 80 u.a.− ⋅ = − ⋅ = 
 
Resposta da questão 27: 
 a) Sabendo que D (3, 0),= vem A Dx x 3.= = Além disso, como A pertence à parábola, temos 
 
A A
2
y f(x )
3 11 3 3
6 6
1.
=
= − ⋅ +
= −
 
 
b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que B Ay y 1.= = − Assim, 
 
2
2C
C C C
C
x 11x 3 1 x 11x 24 0
6 6
x 8
− + = − ⇔ − + =
⇒ =
 
 
e, portanto, C (8, 0).= 
 
c) A área do retângulo ABCD é dada por 
 
C D A(x x ) | f(x ) | (8 3) | 1| 5 u.a.− ⋅ = − ⋅ − = 
 
Resposta da questão 28: 
 a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é 
 
2 [(23 6) (14 6)] 8 3 74 u.c.⋅ − + − + ⋅ = 
 
Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c. 
 
b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por 
 
223 14 4 3 322 36
286 u.a.
⋅ − ⋅ = −
=
 
 
c) A caixa formada tem dimensões 17 8 3.× × Portanto, seu volume é igual a 
 
17 8 3 408 u.v.⋅ ⋅ = 
 
Resposta da questão 29: 
 02 + 04 + 08 + 16 = 30. 
 
01) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base. 
02) Verdadeira, pois 
AECD EDC AECD BEC
ADE AECD EDC
BEC EDC AECD ADE
A A A A
A A A
como A A , temos A A
− = −
= −
= =
 
04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC (área do triângulo MBC). 
Observe na figura: 
 
 
 
8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide 
 
 
 
V = 2.(1/3).x2.h 
V = 2.(1/3).72.6 
V = 288 cm3 
 
16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango. 
 
Resposta da questão 30: 
 [A] 
 
A reta y x 4= − + intersecta os eixos cartesianos nos pontos A (0, 4)= e B (4, 0).= Daí, é imediato que AB 4 2.= 
Além disso, como P é o ponto em que a reta tangencia a circunferência, segue-se que OP é a mediana relativa ao 
vértice O do triângulo OAB, com O sendo a origem do sistema de eixos cartesianos. Logo, ABOP 2 2.
2
= = Ora, 
mas OP r= e, portanto, a área pedida é 
 
2 21 1 1 1OA OB OP 4 4 (2 2)
2 4 2 4
8 2
2 (4 ) u.a.
π ππ π
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= −
= ⋅ −
 
 
Resposta da questão 31: 
 [E] 
 
Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que PO P'O= e P' pertence à 
reta PO,
suur
 segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 32: 
 [C] 
 
É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, 
 
AF AC AF 4
6BF BD BF
AF BF 2 3
2AF
AF 2 .
5AF BF
= ⇔ =
+ +
⇔ =
⇔ =
+
 
 
Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem 
 
AF EF AF EF
6AB BD AF BF
EF 2
6 5
EF 2,4 m.
= ⇔ =
+
⇔ =
⇔ =
 
 
Resposta da questão 33: 
 [A] 
 
Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como 2S N y ,= ⋅ 2S' X 9y= ⋅ e S' S,= temos 
 
2 2 NX 9y N y X .
9
⋅ = ⋅ ⇔ = 
 
Resposta da questão 34: 
 [C] 
 
Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 
 
21 0,8 1 0,64 0,36 36%.− = − = = 
 
Resposta da questão 35: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado 
BC e D é a interseção da reta OC
suur
 com o círculo de raio 30cm e centro em C. 
 
 
 
Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que 
 
60 3OC 34cm.
3
= ≅ 
 
Portanto, 
 
R OC CD DE
34 30 10
74cm.
= + +
= + +
=
 
 
Resposta da questão 36: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que BD x= e AC y.= 
 
 
 
Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter 
 
2472 (x y) 2 x.x x
55
⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ =+⎜ ⎟
⎝ ⎠
l 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
 
24 x 245 .
x 5BD
= =
l 
 
Resposta da questão 37: 
 [B] 
 
3’= (3/60)° = 0,05° 
 
124° 3’ 0” = 124,05° 
 
Resposta da questão 38: 
 [B] 
 
O custo pedido é dado por 
 
2
1 1 1 1
3 14 2 4 21 4 30 4 50 30 50
2 2 4 4
R$ 35,00.
⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
 
 
Resposta da questão 39: 
 [C] 
 
Calculando as áreas dos ambientes, obtemos 
 
2
IS 8 5 40m ,= ⋅ = 
 
2
IIS (14 8) 5 30m ,= − ⋅ = 
 
2
IIIS (14 8) (9 5) 24m= − ⋅ − = 
e 
2
IV
(14 8) 4S 7 35m .
2
− +
= ⋅ = 
 
Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) 
e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). 
 
Resposta da questão 40: 
 [E] 
 
Como o retângulo de dimensões x y× está contido nos retângulos de dimensões 5 y× e 3 x,× segue que a área 
perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy.+ − 
 
Resposta da questão 41: 
 [A] 
 
 
 
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: 
 
R2 + R2 = L2 
 
2
2 LR
2
LR
2
=
=
 
 
Portanto: 
 
LR .
2
≥ 
 
Resposta da questão 42: 
 [C] 
 
Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um deles, temos: 
2
3
2
4
A 60 30 1800 m
A 70 20 1400 m
= ⋅ =
= ⋅ =
 
Logo, o terreno com maior área que possui 180 m de perímetro é o terrenos de no 3. 
 
Resposta da questão 43: 
 [D] 
 
360 : 3 = 120° 
 
 
 
Resposta da questão 44: 
 [A] 
 
Na raia 1, o