Aulas 12-15-Convecção (incompleta)

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Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR CONVECTIVA 
 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de 
resfriamento de Newton, dada por: 
 
)(  TTAhq S
 
onde, 
 
Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; 
A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; 
h = coeficiente de transferência de calor por convecção. 
 
O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do 
valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor 
é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver 
uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se 
conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação 
diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, 
pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as 
propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica), 
velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas, 
serão apreentadas expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas 
condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais 
que controlam a transferência de calor convectiva. 
 
Análise Dimensional 
 
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema 
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto, 
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar 
familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os 
números de Biot e de Fourier. 
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A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação 
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser 
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta 
do problema em análise. 
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões 
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em 
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas 
MLtT, onde: 
Comprimento L 
Tempo t 
Massa M 
Temperatura T 
 
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes 
dimensões: 
Força ML/t
2
 
 
O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse: 
 
Condutividade térmica ML/t
3
T 
Calor ML
2
/t
2
 
Velocidade L/t 
Densidade M/L
3
 
Velocidade M/Lt 
Calor específico a pressão constante L
2
/t
2
T 
Coeficiente De transmissão de calor M/t
3
T 
 
 
Teorema dos 
Π
ou de Buckingham 
 
Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema. 
É dado por: 
M = N – P 
Onde, 
M – número de grupos adimensionais independentes; 
N – número de variáveis físicas dos problemas; 
P – número de dimensões primárias; 
Sendo  um adimensional genérico, pode-se escrever, então: 
 
0),...,( 21 mF 
 
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Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões 
primarias. Logo, 
M = 5-3 = 2, de onde se obtém: 
0),( 21 F
 ou 
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma. 
)( 21  f
 
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como 
indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com 
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar a dependência de 1. Com 
isso, reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário 
fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema. 
 
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
 
 
 
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. 
Nesse caso, tem-se: 
0),,( 321 F
, ou 
),( 321  f
 
 
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constante, e variando 
2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo. 
 
2
tesconsdecurvas tan31

 
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Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada 
 
Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura 
abaixo. 
 
fluido
V
Tubo
aquecido
D
 
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: 
 
 
 Variáveis Eq. Dimensional 
D Diâmetro do Tubo L 
k Condutividade térmica do fluido ML/t
3
T 
V Velocidade do fluido L/t 
ρ Densidade do fluido M/L3 
μ Viscosidade do fluido M/Lt 
CP Calor especifico a pressão constante L
2
/t
2
T 
h Coef. de transferência de calor M/t
3
T 
 
Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em: 
 
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) 
 
Seja um grupo adimensional genérico do tipo: 
 
g
c
f
p
edcba hcVKD  
 
 
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem: 
 
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
ML
L 




































32
2
33
 
 
ou, após rearranjo, vem: 
 
    gfbgfecbfedcbagedb TtLM  32323 
 
Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é: 
 
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










0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
 
 
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O 
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto 
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo, 
 
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de 
valores 





0
1
dc
g 
 
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: 
 
a = 1 
b = -1 
e = f = 0 
 
Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por: 
 
Nu
k
Dh
1
 
 
(B) – Agora vamoseliminar h e assumir outros valores 
 








0
1
0
f
a
g
 
 
(para não aparecer h) 
 
 A solução do sistema fornece: 
 
b = 0 
c = d = 1 
e = -1 
 
De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de 
Reynolds, dado por: 
 
D
VD
Re2  


 
 
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(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores 
 
 e = f =1 
 b = -1 
 
Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de 
Prandtl, 
Pr3 
k
cp
 
Então, há uma função do tipo 
 
0),,( 321 F
 ou 
0),,( PrReDNuF
. 
 
Isolando o número de Nusselt, vem: 
 
),( PrReDfNu 
 
 
Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os 
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno). 
Vimos, então, que: 
),( PrReDfNu 
 
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima 
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo. 
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no 
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser 
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez 
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar 
com outros fluido, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis. 
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleo
ar
3<ReD<100
10
0,01
Re
 
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AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA 
PLACA OU SUPERFICIE PLANA 
 
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma 
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno. 
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De 
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma 
experimental ou analítica em algumas poucas situações. 
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser 
obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais 
que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em 
regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo, 
considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme 
ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular) 
antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai 
desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite 
laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície. 
Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades 
vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a 
extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição 
ocorra para a seguinte condição 
5105Re  

xu
xtransição
 (às vezes também se usa 
3 105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque). 
y
u
laminar
x
Transição Turbulento 
 
 
 
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No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a 
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por 
dy
du
 
 
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de 
escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir. 
 
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar 
 
Hipóteses principais: 
 
- Fluido incompressível 
- Regime permanente 
- Pressão constante na direção perpendicular à placa 
- Propriedades constantes 
- Força de cisalhamento na direção y constante 
 
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL), 
como indicado. 
 
x
y
dy
dx
 
 
Equação da continuidade ou da conservação de massa. 
 
dydx
x
u
u )(



dxdy
y
v
v )(



vdx
udy
dx
dy
 
 
Como 
entrasai mm  
, então substituindo os termos, vem: 
dydx
x
u
udxdy
y
v
vvdxudy )()(





 
. Simplificando, tem-se 
0





y
v
x
u
 ou 
0VDiv
 
 
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Equação da conservação da quantidade de movimento 
 
Da 2ª lei de Newton, tem-se que 
 
 extF
 variação do fluxo da quantidade de movimento 
 
Balanço de forças na direção x. 
 
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível) 
dxdy
y
)(




dx
pdy dydxx
p
p )(



 
 
dydx
x
p
pdxdxdy
y
pdyFx )()(





 
 
 
ou, simplificando, 
dxdy
x
p
dxdy
y
Fx






 
 
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se 
dy
du
 
 que, substituindo, em. 
 
dxdy
x
p
dxdy
y
u
Fx





 2
2

 
 
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x) 
 
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))((






vudx
dydx
x
u
u 2)(


dyu2
 
 
 
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Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão: 
 
superior ordem de termos2
)( 
)(2
))(()(
2
222
22







































dxdy
y
v
udxdy
y
u
vdxdy
x
u
u
uvdxdxdy
y
u
y
v
dxdy
y
v
udxdy
y
u
vvudxdyudydx
x
u
dxdy
x
u
udyu
uvdxdxdy
y
u
udy
y
v
vdyudydx
x
u
u




 
 
Ainda é possível simplificar esta equação para obter 
 
dxdy
y
v
x
u
udxdy
y
u
v
x
u
u
decontinuida

0
)()(












 
 
dxdy
x
u
v
x
u
u )(





 
 
 
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a 
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação: 
 
x
p
y
u
y
u
v
x
u
u











2
2
)( 
 
 
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica 
 
- Condução na direção x desprezível 
- Energia cinética desprezívelface à entalpia 
 
dxdy
y
u
udy
y
v
v ))((






dydx
x
u
u 2)(



dxdy
y
u
u )
)(
(



 )( 2
2
dy
y
T
y
T
kdx






dx
dy
y
T
kdx



dxuvhdx
uhdy
 
 
Potência (térmica) líquida das forças viscosas 
dydy
x
h
hdy
x
u
u ))((






dydy
y
h
hdy
y
u
u ))((






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dydx
y
u
uu
y
dydx
y
u
dxudxdy
y
u
u 





















)()(  
 
Conservação de energia: 
 








































 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeo deixa
 que energia de fluxo
 tempode unidade
 na realizado
líquido trabalho
 tempode unidade na
 ldiferencia controle
 de volumeno entra
 que energia de fluxo
 
 
Agora, vamos tratar cada termo em particular 
 
Fluxo de energia que entra 
 
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível) 
 
y
T
kdxuhdyvhdx


 
 
 
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas) 
 
dxdy
y
u
u
y 











 
 
Fluxo de energia que entra 
 
)())(())((
2
2
dy
y
T
y
T
kdxdydx
x
h
hdx
x
u
udxdy
y
h
hdy
y
v
v

















  
 
Desprezado os termos de ordem superior 
 
dxdy
x
u
kdxdy
y
v
hdxdy
y
h
vdxdy
x
u
hdxdy
x
h
udydx
y
u
u
y 2
2
00
























  
2
2
0
)(
x
u
k
y
v
x
u
h
x
h
v
x
h
u
y
u
u
y
decontinuida



























 
Com 
Tch p
 e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma 
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo: 
 



















y
u
u
yy
T
k
y
T
vc
x
T
uc pp  2
2 
 
 
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96 
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível 
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia). 
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada 
para: 
 
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u







 
 
 
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o 
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como: 
 
2
2
y
u
y
u
v
x
u
u







 
 
 
onde, 


 
 é a viscosidade cinemática 
 
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando 
 
, ou seja, 
1Pr 


 
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de 
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 
1Pr65,0 
. 
 
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada 
limite laminar são: 
 
 
Conservação de massa 0





y
v
x
u
 
 
 
Conservação da quantidade de movimento 
direção x 
x
p
y
u
x
u
v
x
u
u











2
2
)( 
 
2
2
y
u
x
u
v
x
u
u







 
 pressão constante 
 
Conservação de energia 
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u







 
 
 
 
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do 
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius. 
 
 
 
 
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97 
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes: 
 
Crescimento da camada limite hidrodinâmica (CLH): 
x
x
Re
5

; 
 
Coeficiente local de atrito local : 
2/1
, Re664,0

 xxfc
; 
 
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 
2/1
, Re328,1

 LLfc
; 
 
Razão entre camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 
3/1Pr
t

; 
 
Número de Nusselt local: 
 Pr6,0PrRe332,0 3/1
2/1
xxNu
 50 
 
Número de Nusselt médio: 
3/12/1 PrRe664,0 LLuN 
 . 
 
Definição do coeficiente de atrito: 
2/
2


u
c sf


, 
s
 tensão de cisalhamento na parede 
 
 
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número 
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH. 
 Tu ,
)1(Pr T
)1(Pr  T
)1(Pr T
x
 
 
C.L.T C.L.H
 TS 
T u 
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98 
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO 
INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN 
 
 
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os 
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi 
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução 
para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada 
no método integral, também conhecida como solução de von Karman. 
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do 
escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite, 
isto é,
H
, conforme ilustrado na figura abaixo. 
x
y
1 2
A A
dx
H
 
 
Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima: 
 
Balanço de massa 
 
Fluxo mássico na face 1 – A: 

H
udy
0

 
 
Fluxo mássico na face 2 – A: 
dxudy
dx
d
udy
HH








 
00

 
 
Balanço de fluxo de quantidade de movimento 
 
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: 

H
dyu
0
2
 
 
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: 
dxdyu
dx
d
dyu
HH








 
0
2
0
2 
 
 
 
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99 
 Fluxo de Q. M. na Face A – A: 
dxudy
dx
d
u
H









0

 
 
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle 
 
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) = 
 
Fluxo liquido de Q. M. =
dxudy
dx
d
udxdyudx
d
HH
















 
00
2 
 
 
Lembrando da regra do produto de diferenciação que: 
 
)()()(  ddd 
 ou 
)()()(  ddd 
 
 
Fazendo 
 u
 
 

H
udy
0

, vem 
 
dx
dx
du
udydxudyu
dx
d
dxudy
dx
d
u
HHH

 
























000
 
 
dxudy
dx
du
dxudyu
dx
d
HH
















 


00

 
 
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem: 
 
dxudy
dx
du
dxudyu
dx
d
dxdyu
dx
d
MQfluxo
HHH
























 


000
2..  
 
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma 
mais compacta: 
 
dxudy
dx
du
dxudyuu
dx
d
MQfluxo
HH
















 


00
)(..  
 
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos 
considerar as forças de pressão e de atrito. 
 
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100 
- força resultante da pressão: 
dx
dx
dP
H
 
 
- força de cisalhamento na parede: -dx
0



y
p
y
u
dx
 
p
dx
dx
dx
dP
P P
 
 
 
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser 
escrita (2ª lei de Newton): 
 
dxudy
dx
du
dxudyuudx
dx
dP
H
y
u
dx
HH
y



















 


 000
)(  
 
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento 
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa 
hipótese não vale): 
0
dx
dP
 
 
Essa hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja 
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou 
cte
uP
 
2
 
 
De forma que, na forma diferencial: 
00
2
2
 
 du
duudP

 
Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a: 











  

H
y
udyuu
dx
dp
y
u
00
)(
 
 
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então: 
 
00
)(













y
y
u
udyuu
dx
d 
 
 
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento 
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o 
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se 
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada. 
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar 
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101 
hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da 
borda de ataque. (x). 
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de 
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção 
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de 
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia 
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem 
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a 
analisar as condições de contorno do problema , que são: 
0/0
/0
/
0/0
2
2









yp
y
u
yp
y
u
ypuu
ypu


 
 
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira 
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a 
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser 
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação 
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula 
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são 
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de 
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por: 
 
3
4
2
321)( yCyCyCCyu 
 
 
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado 
de velocidades: 
3
2
1
2
3)(







 
yy
u
yu 
 
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem: 
 
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
3
1











































y
y
u
dy
yyyy
dx
d
u 
 
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102 
 
Do que resulta, após algum trabalho: 
 

  




 u
u
dx
d
2
3
280
39 2
 
 
Integrado essa equação, lembrando que para x = 0  δ = 0 (a CL começa na borda de 
ataque): 
 


u
vx
x 64,4)(
, ou 
x
x
x
Re
64,4)(


 
 
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: 
x
x
x
Re
5)(


 
 Ver Holman Apêndice B ou Incropera 
 
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável. 
 
 
 Camada Limite Térmica Laminar 
 
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema 
térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que 
junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de 
calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os 
dois termos da seguinte maneira: 
0
)(





y
p
y
T
kTTh
, ou 
 







TT
y
T
k
h
p
y 0 
 
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a 
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso 
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas: 
 
Condições de contorno 
 
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103 
0/0
/
/0
0/
2
2









yp
y
T
ypTT
yp
y
T
ypTT
t
t
p


 
 
Método integral (aproximado) 
 
x
y
x0
tuT
cteTp 
 
 
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um 
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem: 
(ver Holmam) 
00
2
0
)(

























 
y
H
p
H
y
T
dy
dy
du
c
udyTT
dx
d 
 
 
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e 
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 
3
2
1
2
3)()(










 ttp
p yy
TT
TyTy

 
 
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas) 
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as 
espessuras de camadas limites: 
 
3/1
4/3
03/1 1Pr
026,1
1














 
x
xt

 
 
Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos 
 
3/1Pr
026,1
1 

 t
 
 
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104 
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos 
11
11
/Pr


 t
 
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de 
velocidades, calculada junto à parede 
 



















tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
T
k
h 

 2
3
2
3
2
3
)(
)(0, ou 
3/1
4/3
0
3/1
1
Pr026,1
2
3
















x
xk
hx 
, ou ainda 
 
3/1
4/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0























x
x
x
u
khx 
 
 
Lembrando da definição do número de Nusselt, 
k
xh
Nu xx 
, vem: 
3/1
4/3
02/13/1 1RePr332,0
















x
x
Nu xx
 
 
As equações anteriores são para valores locais. 
 
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0: 
 
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
 







0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0
, ou 
 
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
L
u
hL








, ou finamente: 
 
LxL h
L
u
h 
 














 2Pr332,02
2/1
3/1

 
 
Analogamente, para esse caso: 
LxL Nu
k
Lh
uN  2
 
 
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105 
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as 
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf 
 
2


TT
T
p
f
 
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se: 
 
3/12/1 PrRe453,0 LL
k
hL
Nu 
 
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5 
 
 
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom) 
 
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa 
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma 
temperatura de 90ºC. Determine: 
 
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica  ao final da placa 
(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa 
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa 
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida. 
 
São dados: 
Propriedades calculadas a 
CT f
065
2
9040



 

 = 7,3810-8 ms/s 
fk
= 0,213 W/m
o
C 

= 6,510-5 m2/s 

= 9,57102 kg/m
3
 

 = 6,2210-2 N.s/m2 
pC
= 3016 
Ck
J
g

 
 
 
 
CTp  90
u
T t
 
Solução 
 
Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa 
 
)105(Re5538
105,6
606,0
Re 5
5






transiçãoL
Lu

 
(a) 
x
x Re
5


; x = L = 6m 
m40,0
5538
65



 
(b) 
3/1
8
5
3/13/1 881
1038,7
105,6
)/(Pr 


 







 
 t 
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106 
mt 042,0
881
4,0
3/1



 
(c) 2/1
3/1Pr332,0 





 
L
u
khx 
 
Cm
W
hx









 2
2/1
5
3/1 4,8
6105,6
06,0
)881(213,0332,0
 
Cm
W
hh LxL

  28,164,822
 
(d) 
)(  TThAq s
  
m
W
TTLh
L
q
s
p
5040)4090(68,16)(  
 
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107 
AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E 
CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO 
 
2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn 
 
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento 
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta 
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a 
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com 
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição 
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente 
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os 
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor. 
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por: 
 
2
2


u
C
p
f

 
 
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso), 
a tensão de cisalhamento na parede é: 
 
0



y
p
y
u

 
 
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja: 3
2
1
2
3







 
yy
u
u , 
temos que a derivada junto à parede resulta em: 





 u
y
u
y
2
3
0
 
 
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da 
camada limite, isto é, 
x
x Re
64,4


 que, mediante substituição na definição da tensão de 
cisalhamento na parede, resulta em: 
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108 
x
uu x
p
Re
323,0
2
3  


 
 
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem: 
 
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re
323,0
2 2




 
 
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de 
Nusselt,
2/13/1 RePr332,0 xxNu 
 que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como: 
2/13/2 RePr332,0
PrRe
 x
St
x
x
x
Nu

, onde Stx 


uc
h
p
x

 é o número de Stanton. Então, 
reescrevendo de forma compacta: 
 
x
xSt
Re
332,0
Pr 3/2 
 
 
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles sãoiguais a 
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta 
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter: 
 
2
Pr 3/2
fx
x
c
St 
 
 
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito 
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa 
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de 
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será 
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no 
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido – continuação do anterior 
 
Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14). 
 
 
Sabe-se que 
3/2Pr
2
tS
C f

 
 
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109 
Por outro lado, 
5
2
1070,9
06,030161057,9
8,16 




uc
h
tS
p
L

 
 
Assim da analogia, podemos obter 
23/25 1078,1881107,92  fC
, de forma 
que a tensão de cisalhamento na superfície é: 
 
2
2
222
1007,3
2
)06,0(9571078,1
2 m
Nu
C fp


 


 
 
Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é: 
 
m
N
L
L
F
p
p
184,061007,3 2  
 
______________________________________________________________________ 
 
 
 
Camada Limite Turbulenta 
 
A transferência de calor covectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente 
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da 
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três 
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo: 
 
x
y
turbulenta
Camada amortecedora
Sub camada laminar
 
 
A CLT é subdividida em: 
- subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular 
- camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas 
- turbulento – misturas macroscópicas de fluido 
 
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o 
comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo. 
t
u
u
 
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110 
 
Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua 
consideravelmente em torno de um valor médio, 
u
. Este fato de flutuação da 
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa 
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito 
equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a 
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação, 
como indicado: 
velocidade na direção paralela: 
'uuu 
 
 
velocidade na direção transversal: 
'vvv 
 
 
pressão: 
  
fluctuacàomedio
táneoins
valor
PPP '
tan

 
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e um apóstrofe, 
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças 
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser 
consideradas na análise. 
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da 
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se 
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções” 
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para 
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna 
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção”correspondente (2) desce para 
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de 
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada 
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem. 
 
 
 
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111 
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do 
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise 
mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem. 
O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de 
movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos 
correspondentes de média e flutuação, isto é, 
'uuu 
, 
'vvv 
 e 'PPP  . Em 
seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é, 
realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial: 
 




















''
1
uv
y
u
yx
P
y
u
v
x
u
u 
 
No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações 
e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal 
do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do 
problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes 
valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de 
Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui. 
 
O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e 
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões 
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela 
7.9 do Incropera e Witt. 
 
Local : 
318,0 PrRe0296,0 xxNu 
 
60Pr6,010Re 8 x
 
Médio : 
  318,0 Pr871Re037,0  LLNu
 
810Re L
 
2,0Re37,0  x
x
 810Re L
 
Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula. 
 
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média 
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105 
 
 
 
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112 
______________________________________________________________________ 
Exemplo resolvido (Holman 5-7) 
Ar a 20
o
C e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de 
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa. 
Propriedades avaliadas à 
CT 

 40
2
6020
 
Ckg
kJ
c p

 007,1
 
3
128,1
m
kg

 
7,0Pr 
 
Cm
W
k

 02723,0
 
ms
kg
x 510007,2 
 
610475,1Re x
VL
L  
 
2055)871Re037,0(Pr
8,03/1  LL
k
Lh
Nu
 
CmWNu
L
k
h L 
2/6,74
 
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(  
 
______________________________________________________________________ 
 
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos 
 
No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais 
complexa.O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência , isto é, 
Nu(), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite. 
A figura ao lado indica o que acontece com o 
número local de Nusselt. Para ReD  10
5
, o 
número de Nusselt decresce como conseqüência 
do crescimento da camada limite laminar (CLL) 
até cerca de 80
o
. Após este ponto, o escoamento 
se descola da superfície destruindo a CLL e 
gerando um sistema de vórtices e mistura que 
melhora a transferência de calor (aumento de 
Nu(). Para ReD > 10
5
, ocorre a transição e 
formação da camada limite turbulenta (CLT). Na 
fase de transição (80
o
 a 100
o
) ocorre a melhora 
da transferência de calor. Uma vez iniciada a 
CLT, novamente se verifica a diminuição do 
coeficiente local de transferência de calor devido 
ao crescimento da CLT para, em torno de 140
o
, 
descolar o escoamento da superfície que destrói 
a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e 
mistura que volta a melhorar a transferência de 
calor. No caso turbulento há, portanto, dois 
mínimos. 
 
 
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113 
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante 
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de 
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de 
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da 
correlação empírica de Hilpert, dada por: 
 
3
1
PrRemDD C
k
Dh
Nu 
 
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como 
função do número de Reynolds. 
 
ReD C m 
0,4 – 4 0,989 0,330 
4 – 40 0,911 0,385 
40 – 4.000 0,683 0,466 
4.000 – 40000 0,193 0,618 
40.000 – 400.000 0,027 0,805 
 
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma 
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na 
próxima tabela (Jakob, 1949). 
 
 
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114 
 
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão 
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por 
 
4/1
Pr
Pr
PrRe 






s
nm
DD CNu
 válida para 








610Re1
500Pr7,0
D
, 
 
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são 
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se Pr  
10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36. 
 
ReD C m 
1 – 40 0,75 0,4 
40 – 1.000 0,51 0,5 
1.000 – 2105 0,26 0,6 
2105 – 106 0,076 0,7 
 
____________________________________________________________ 
 
Escoamento sobre Banco de Tubos 
 
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor. 
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula 
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é 
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio. 
Arranjos em linha ou quicôncio 
 
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115 
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos. 
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para 
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente, 
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão: 
4/1
36,0
max,
Pr
Pr
PrRe 






s
m
DD CNu
 
válida para 













6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
 
 
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é 
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre 
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo. 
Configuração ReD,max C m 
Alinhada 10-10
2
 0,80 0,40 
Em quicôncio 10-10
2
 0,90 0,40 
Alinhada 
Em quicôncio 
10
2
-10
3
 Aproximado como um único 
10
2
-10
3
 cilíndro (isolado) 
Alinhada 
(ST/SL>0,7)
a
 
10
3
-2105 0,27 0,63 
Em quicôncio 
(ST/SL<2) 
10
3
-2105 0,35(ST/SL)
1/5
 0,60 
Em quicôncio 
(ST/SL>2) 
10
3
-2105 0,40 0,60 
Alinhada 2x10
5
-2106 0,021 0,84 
Em quicôncio 2x10
5
-2106 0,022 0,84 
a
 Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados. 
 
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir 
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme 
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo. 
20
2
20 

LL N
D
N
D NuCNu
 
 
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>10
3
) 
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 
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116 
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que 
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em 
V
DS
S
V
T
T

max
, onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em 
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões, 
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição 
for satisfeita 
)()(2 DSDS TD 
 que, após uma análise trigonométrica simples, se 
obtém a seguinte condição equivalente 
22
21
2
2 DSSSS TTLD

















. Se isso 
acontecer, então:
V
DS
S
V
D
T
)(2
max


. Caso essa condição não seja satisfeita, então, a 
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente 
V
DS
S
V
T
T

max
. 
 
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt) 
 
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117 
 
 
______________________________________________________________________ 
Exercício de Aplicação 
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C. 
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de 
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C. 
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro 
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais 
condições são mantidas. Pede-se: 
(a) Em qual caso a troca de calor é maior. 
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos. 
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na 
outra, independentemente do comprimentoe velocidade do ar. Justifique sua 
resposta através de um memorial de cálculo. 
 
 
 
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118 
Solução 
Propriedades do ar à 
C
TT
T
p




45
2
 
ν = 1,68 x 10-5 m2/s 
k = 2,69 x 10
-2
 W/mK 
Pr = 0,706 
 
Placa 
L=0,25m
CTp  60
smu /4
CT  30
 
 
critL x
Lu
Re1095,5
1068,1
25,04
Re 4
5







 
5105
 
 
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/1
2/1
 xNu LL
 
Assim 
CmW
L
kNu
hL 

 2/56,15
25,0
02697,02,144
 
 
Cilindro 
 
D
CTs  60
 Tu ,
 
 
πD = L  D = 0,25/π = 0,0796 m 
 
Assim, 
4
5
10895,1
1068,1
0796,04
Re 



D
 
 
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b) 
 
3/1PrRemDD CNu 
 p/ReD=1,89510
4 
C = 0,193 
 m = 0,618 
Assim, 
63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu
 
de forma que: 
KmW
D
kNu
h
D
D
2/63,25
0796,0
02697,063,75



 
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois 
LD hh 
 e a área de troca de 
calor é a mesma. 
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119 
]b) 
Placa 
 
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(


 
 
Cilindro 
 
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(


 
 
 
c) Porção laminar 
5
, 105Re Lcrit
 
Note que 
51059,1Re/ReRe  DLD  sendo equivalente ao crítico. 
 
3/12/1 PrRe
664,0
LL
L
k
h


 (A) 
 
m
D
m
DD C
L
k
C
D
k
h Re
Pr
RePr
3/1
3/1 
 (B) 
Portanto de (A), 
2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k

, que, pode ser subst. em (B), para obter 
L
m
D
D
L
m
D
D hC
hC
h 5,0
2/1
Re669,2
Re664,0
Re  
 
 
Ou 
5,0Re669,2  mD
L
D
C
h
h
 para o caso laminar na placa 
 
 
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =510
5 
 
3/18,0 Pr)871Re037,0(  LLNu
 (Eq. 7.41 p/camada limite mista) 
 
De donde 
3/18,0 Pr)871Re037,0(  L
L
k
Lh
 e 
871Re037,0
Pr
8,0
3/1


L
Lh
L
k
 (C) 
 
sub. em (B), vem 
871Re037,0
Re
8,0 

L
L
m
D
D
hC
h
 
 
Subs. ReL = πReD, vem: 
871Re037,0
Re
8,0 

L
m
D
L
D C
h
h  
 
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa 
 
871Re037,0
Re
8,0 

L
m
D
L
D C
h
h  
 
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões 
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e, 
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do 
cilindro (na faixa de validade das expressões) 
 
 
ReD C m hD/hL 
regime 
4 0,898 0,33 2,09 laminar 
40 0,911 0,385 1,59 “ 
4000 0,683 0,466 1,38 “ 
40000 0,193 0,618 1,8 “ 
159000 0,027 0,805 2,78 “ 
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb 
400000 0,027 0,805 1,43 “ 
 
 
 
 
 
L
D
h
h
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
ReD