SIMULADO EPCAR JUNHO2020

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SIMULADO DE MATEMÁTICA EPCAr – JUNHO DE 2020 
 
 
1) Os números inteiros de 2 a 1000 são escritos no quadro negro. Os estudantes de uma 
escola jogam o seguinte jogo. Cada estudante na sua vez escolhe um número no quadro e o 
apaga junto com todos os seus múltiplos. O jogo termina quando houver apenas números 
primos no quadro. Qual o menor número de estudantes que precisa jogar antes que o jogo 
termine? 
a) 11 
b) 31 
c) 51 
d) 71 
e) 91 
 
2) Um tipo de minério de ferro contém 72% de ferro e outro tipo contém 58% de ferro. 
Uma certa quantidade do primeiro tipo de minério é misturada com uma certa quantidade do 
segundo tipo e o minério resultante contém 62% de ferro. Se tomamos 15 kg a mais de cada 
tipo de minério, o minério obtido teria 64% de ferro. Quantos quilos do primeiro minério 
havia aproximadamente na mistura inicial? 
a) 4,0 
b) 4,3 
c) 4,5 
d) 4,8 
e) 5,0 
 
3) Sá Bido recebeu de herança de seu avô uma livraria. Ele vendeu metade dos livros com 
lucro de 10%, um terço dos livros com lucro de 5% e o restante com prejuízo de 7%. Ao final 
das vendas, Sá Bido obteve um lucro de R$ 6.600,00. O custo inicial total dos livros que 
havia na livraria era 
a) R$ 216.000,00 
b) R$ 270.000,00 
c) R$ 120.000,00 
d) R$ 136.000,00 
e) R$ 180.000,00 
 
4) Três operários cavam uma vala de 216 m em 4 dias trabalhando simultaneamente. 
Durante um dia, o terceiro operário cava tantos metros a mais que o segundo quantos o 
segundo cava a mais que o primeiro. Durante 5 dias, o terceiro operário cava tantos metros 
quanto o primeiro cava durante 7 dias. Quantos metros o primeiro operário cava por dia? 
a) 12 
b) 15 
c) 16 
d) 18 
e) 24 
 
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5) Se Sá Bido organiza seus doces em pilhas de 6 , sobram 2 . Se ele organiza os doces em 
pilhas de 9 , sobram 5 . Se ele organiza em pilhas de 15 , sobram 11. Seja N a quantidade de 
doces de Sabido e sabendo que ele possui mais de 100 e menos de 200 doces, então a soma 
dos algarismos de N é 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
6) Seja 3 3a 4 2 1   , então o valor de 
2 3
3 3 1
a a a
  é igual a: 
a) 
3
3
2
 
b) 
3
3
4
 
c) 1 
d) 
3 2
3
 
e) 
3 4
3
 
 
7) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os 
alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as 
raízes 3 e 2 . Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou 
as raízes 1 e 4 . A diferença positiva entre as raízes da equação correta é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
8) Sejam  e  as raízes da equação 2px qx r 0   . Se q é a média aritmética de p e r 
e 
1 1
4 
 
, então o valor de  é 
a) 
2 17
9
 
b) 
34
9
 
c) 
61
9
 
 
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d) 
2 13
9
 
e) 
1
9
 
 
9) As raízes do trinômio do 2° grau 2y ax bx c   são 100 e 300 . Sabendo que quando 
x vale 1050 o valor numérico de y é 513 , quando x vale 950 o valor numérico de y é 
425 e quando x vale 850 o valor numérico de y é 345 , qual é o valor numérico de y quando 
x vale 1050? 
a) 513 
b) 425 
c) 513 
d) 427,67 
e) 345 
 
10) Seja S o conjunto solução da equação 4 21 x x x 1    . Podemos afirmar que 
a) S possui 2 elementos 
b) S  
c) S  
d) S 
e) 
*S  
 
11) A solução da inequação 
2
2 2
x ax
0,
x ax 2a


  
 onde a 0 é: 
a)      , 2a a,0 a,     
b)      , 2a a,0 a,     
c)    a,0 a,2a  
d)    2a,a 0, a  
e)    2a,a 0, a  
 
12) Em um triângulo ABC são traçadas as medianas AD e BE . Se AD 4 , ˆDAB
6

 e 
ˆABE
3

 , então a área do triângulo ABC é 
a) 
64
3
 
b) 
8
3 3
 
 
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c) 
16
3
 
d) 
32
3 3
 
 
13) João construiu um círculo de papel com centro O e raio 4cm (Figura 1). Traçou dois 
diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida, dobrou o papel fazendo coincidir A, O e 
C, conforme sugere Figura 2. 
 
A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na figura 2, é igual a 
a)   2
1
96 16 cm
3
  
b)   2
1
16 48 cm
3
 
c)   21 16 12 3 cm
3
 
d)   21 16 12 3 cm
3
 
e)   21 48 3 16 cm
3
  
 
14) O Empire State Building localiza-se na 5ª Avenida em Manhattan, Nova Iorque. Ele foi 
por quase 40 anos o edifício mais alto do mundo. Dois amigos encontram-se na 5ª avenida, 
que é uma avenida retilínea, em lados opostos a esse edifício. Um deles avista o topo da 
antena no alto do Empire State sob um ângulo de 45 e o outro avista o todo da mesma 
antena sob um ângulo de 30 . Sabendo que a distância entre os dois amigos é 1196 metros, 
qual a altura aproximada do edifício (incluindo a antena), em metros? (use 3 1,7) 
a) 1196 
b) 703 
c) 443 
d) 400 
 
 
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15) Um triângulo ABC tem lados medindo AB 3 cm , BC 6 cm e AC 5 cm . Sejam 
M e H os pontos de BC tais que AM é a bissetriz interna do ângulo ˆBAC e AH é a altura 
relativa ao lado BC . Com base nessas informações, pode-se afirmar que o comprimento de 
MH , em centímetros, é igual a 
a) 
9
4
 
b) 
7
12
 
c) 
5
9
 
d) 
12
7
 
e) 
4
9
 
 
16) O gráfico a seguir apresenta informações aproximadas sobre os novos casos de COVID-
19 por semana epidemiológica de notificação. 
 
 
Fonte: https://covid.saude.gov.br/ (acesso em 26 de maio de 2020) 
 
É importante conseguir extrair e interpretar informações a partir de gráficos. Analise o 
gráfico acima e assinale a alternativa correta: 
a) O número de novos casos registrados nas últimas três semanas é inferior a 78.000. 
b) O número de novos casos registrados da semana 17 até a semana 22 é superior a 360000. 
c) O aumento percentual do número de casos novos da 20ª para a 21ª semana é inferior a 
50%. 
d) A redução percentual da 21ª para a 22ª semana é aproximadamente 65%. 
https://covid.saude.gov.br/
 
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RESPOSTAS E RESOLUÇÕES 
 
1) a (Múltiplos e divisores) 
Para minimizar o número de jogadas, cada estudante, na sua vez deve escolher um número 
primo menor do que 1000 , ou seja, um dos números 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 
e 31. Dessa forma, são necessárias pelo menos 11 jogadas antes que o jogo termine. 
Isso ocorre porque qualquer número composto menor ou igual a 1000 deve possuir pelo 
menos um fator primo menor ou igual a 31, caso contrário, se um número n possuísse dois 
fatores primos p e q ambos maiores do que 31, então 2n p q 37 1000    , o que é uma 
contradição. 
 
REFERÊNCIA: High School Mathematics Competition – University of Maryland – 2013 
 
2) b (Mistura) 
0,72 x 0,58 y
0,62 0,1 x 0,04y x 0,4y
x y
  
     

 
   
   
0,72 x 15 0,58 y 15
0,64 0,08 x 19,5 0,06 y 19,2 0,08 x 0,06 y 0,3
x 15 y 15
4x 3y 15
    
            
  
   
 
 
15 15 30
4 0,4y 3y 15 1,4y 15 y x 0,4 kg 4,3 kg
1,4 1,4 7
             
 
REFERÊNCIA: Prilepko, A. I. – Problem Book in High-School Mathematics 
 
3) c (Operações com mercadorias) 
Seja 12x o custo inicial do estoque de livros, então: 
O lucro na venda de metade dos livros foi 
10 12x
0,6x
100 2
  . O lucro na venda da terça parte 
foi 
5 12x
0,2x
100 3
  . O prejuízo na venda do restante foi 
7 12x 12x
12x 0,14x
100 2 3
 
    
 
. 
Assim, o lucro final foi de 0,6x 0,2x 0,14x 0,66x 6600 x 10000      reais. 
O custo total inicial foi então 12x 12 10000 120.000   reais.REFERÊNCIA: Compêndio Académico de Matemática – Lumbreras Editores – pg. 43. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) b (Regras de três) 
Se o segundo operário cava x m por dia, o primeiro cava  x y m e o terceiro cava 
 x y m . 
Os três operários, trabalhando durante 4 dias, cavam 
   x y x x y 4 216 x 18          . 
Como o terceiro operário durante 5 dias cava o mesmo que o primeiro durante 7 dias, temos: 
   5 18 y 7 18 y y 3       . 
Portanto, o primeiro operário cava 18 3 15 m  por dia. 
 
REFERÊNCIA: Prilepko, A. I. – Problem Book in High-School Mathematics 
 
5) e (MMC) 
Do enunciado, sabemos que N 6a 2 9b 5 15c 11      , onde a,b,c . 
Daí, vem      N 4 6 a 1 9 b 1 15 c 1       . 
Logo, N 4 é múltiplo de 6 , 9 e 15 , ou seja, N 4 é múltiplo de 
  2mmc 6,9,15 2 3 5 90    . 
Dessa forma podemos escrever N 4 90k N 90k 4     , onde k . 
Como 100 N 200  , então 100 90k 4 200 104 90k 204 k 2        . 
Portanto, N 90 2 4 176    , cuja soma dos algarismos é 1 7 6 14   . 
 
REFERÊNCIA: ARML 2011 
 
6) c (Fatoração) 
   
3
3 3 3
3
1 1
2 1 a 2 1 1 a 2 1
a2 1
         

 
 
2
3 3 3
2
1
2 1 4 2 2 1
a
      
 
3
3 3 3 3 3
3
1
2 1 2 3 4 3 2 1 1 3 4 3 2
a
          
     3 3 3 3 3
2 3
3 3 1
3 2 1 3 4 2 2 1 1 3 4 3 2 1
a a a
             
 
REFERÊNCIA: Álgebra - volume 2 – Editora Lumbreras − pg. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) c (Relações entre coeficientes e raízes da equação do 2° grau) 
Seja 
2ax bx c 0   a equação do 2° grau original, onde a 0 . 
Seja 
2ax bx c ' 0   a equação de raízes 3 e 2 , então    
b
3 2 5 b 5a.
a
         
Seja 
2ax b 'x c 0   a equação de raízes 1 e 4 , então 
c
1 4 4 c 4a
a
     . 
Assim, a equação original pode ser escrita como: 
2 2 2ax bx c 0 ax 5ax 4a 0 x 5x 4 0           , 
cujas raízes são 4 e 1 e a diferença positiva entre as raízes é    4 1 3    . 
 
Nessa questão foram utilizados os seguintes conceitos: 
Na equação do 2° grau 
2ax bx c 0   de raízes 1x e 2x , a soma das raízes é dada por 
1 2
b
S x x
a
    e o produto das raízes é dado por 1 2
c
P x x
a
   . 
 
REFERÊNCIA: EFOMM 2012 
 
 
8) d (Relações entre coeficientes e raízes da equação do 2° grau) 
Sejam  e  as raízes da equação 2px qx r 0   , então 
q
p
   e 
r
p
  . 
 
p r q r 1 1 1
q 2q p r 2 1 2 1 2 1
2 p p
1 1 1
2 4 1 9
9
  
                     
          
 
 
1 1 1 4
4 4 4 4
9 9
  
             
    
 
   
2
2 22 2 4 1 16 4 522 4 4
9 9 81 9 81
2 13
9
   
                     
   
  
 
 
REFERÊNCIA: Mathematics Today – May 2014 – pg. 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) e (Trinômio do 2° grau) 
Esse problema pode ser resolvido diretamente observando que a reta vertical que passa pelo 
vértice é o eixo de simetria do gráfico do trinômio do 2º grau e que a abscissa do vértice é a 
média aritmética das raízes. 
V
100 300
x 100
2
 
  
       f 1050 f 100 950 f 100 950 f 850 345        
Alternativamente pode-se resolver o problema usando a forma fatorada do trinômio do 2º 
grau. 
    
    
  
f x a x 100 x 300
513 1
f 1050 a 1050 100 1050 300 513 a
950 1350 2500
  
         
 
 
    
    
    
1
f 950 950 100 950 300 425
2500
1
f 850 850 100 850 300 345
2500
1
f 1050 1050 100 1050 300 345
2500
      
      
   
 
 
10) e (Equações irracionais) 
 
4 2 4 2 2 4 2 2
4 2 2 3 4 3 2
4 2
4 2
1 x x x 1 1 x x x 2x 1 x x 2x x
5
x x 4x 4x x 4x 5x 0 x 0 ou x
4
x 0 1 0 0 0 1 1 1 F
5 5 5 5 625 25 1
x 1 1 1
4 4 4 4 256 16 4
             
          
        
     
              
     
  *1S
4
  
 
REFERÊNCIA: Krechmar, V. A.  A Problem Book in Algebra  pg. 43. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11) e 
 
  
 
  
2
2 2
x ax x x a x x a
0 0 0
x 2a x a x 2a x ax ax 2a
  
    
      
 
As raízes da fração são 0 e a ; e os pontos de descontinuidade são a e 2a. Como a 0, 
temos 2a a 0 a.    
 
   S 2a,a 0, a    
 
12) d (Área de triângulos) 
 
Seja P a interseção de AD e BE , ou seja, o baricentro do ABC . 
2 8
AP 4
3 3
   
1 4
PD 4
3 3
   
BP BP 3 8 3ˆ ˆ ˆDAB ABE APB tg BP
6 3 2 AP 6 8 3 3 9
   
           
APB ABC APB
8 8 3
AP BP 32 3 32 3 32 33 9S S 3 S 3 u.a.
2 2 27 27 9


         
 
REFERÊNCIA: AIEEE 2003 
 
 
 
 
 
 
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13) e (Área de triângulos) 
A corda formada na Figura 2 divide o raio da circunferência ao meio, logo essa corda é igual 
ao raio do triângulo equilátero inscrito na circunferência. 
Dessa foram, a área pedida pode ser obtida retirando-se da área da circunferência, a área de 
4 segmentos circulares de 120 . 
2 2
2 2 2
CIRC SEG120
r r 4 3
S S 4 S r 4 sen120 r 2 r 3
3 2 3 2 3
     
                       
 
Como o raio do círculo é r = 4 cm, temos: 
 2 21S 4 3 48 3 16 cm
3 3
 
     
 
 
 
REFERÊNCIA: EFOMM 2010 
 
14) c (Trigonometria no triângulo retângulo) 
 
Os pontos A e B representam os amigos citados no enunciado e o segmento CD representa o 
Empire State Building. 
No triângulo retângulo ACD, temos 
CD
tg45 1 AD CD h.
AD
      
No triângulo retângulo BCD, temos 
CD 1
tg30 BD 3 CD 3 h.
BD 3
        
A distância entre os amigos é 
  1196AB AD BD h h 3 1196 h 1 3 1196 h
1 3
         

 
1196 1196
3 1,7 h 443
1 1,7 2,7
    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15) b 
 
Pelo teorema das bissetrizes internas, temos: 
3 3 9
BM AB 3
BM CM BM MC 6 4 4 4
3 3 15AB AC AB AC 8
CM AC 5
4 4 4

     
    
      

 
Aplicando a lei dos cossenos no ABC , temos: 
2 2 2 2 2 2 5ˆ ˆ ˆAC AB BC 2AB BC cosB 5 3 6 2 3 6 cosB cosB
9
              
No triângulo retângulo ABH , temos: 
BH 5 BH 5ˆcosB BH
AB 9 3 3
     . 
Logo, 
9 5 7
MH BM BH
4 3 12
     . 
 
REFERÊNCIA: CMBR 2009 
 
16) c (Análise de gráficos) 
Vamos avaliar cada uma das alternativas. 
a) INCORRETA 
O número de novos casos registrados nas últimas três semanas é 
77000 114000 44000 235000
78333 78000.
3 3
 
   
b) INCORRETA 
O total de novos casos apresentados no gráfico é 
22000 38000 59000 77000 114000 44000 354000 360000.       
c) CORRETA 
O aumento percentual do número de casos novos da 20ª para a 21ª semana é 
114000 77000
0,48 48% 50%.
77000

   
 
 
 
 
 
Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira 
 
madematica.blogspot.com 
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d) INCORRETA 
A variação percentual da 21ª para a 22ª semana é aproximadamente 
44000 114000
0,61 61%.
114000

    Isso corresponde a uma redução percentual de 
aproximadamente 61% e não 65%.