Equações Modulares (Só Exatas)

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 Equações Modulares 
 
1. (Espcex (Aman) 2015) O número de soluções da 
equação 
1 3
| x | | x 3 | 2 x ,
2 2
⋅ − = ⋅ − no conjunto ,� é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
2. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) 
CORRETA(S). 
01) O domínio da função f dada por 
x 1
f(x)
x 3
−
=
+
 é 
{x ; x 1}.∈ ≥� 
02) O único valor inteiro que pertence à solução da 
inequação 2x 4x 3 0− + < é 2. 
04) O conjunto solução da equação modular 
| 3 2x | | x 2 |− = − é S {1}.= 
08) A função 2
x, se x 0
R(x) x , se 0 x 1
1, se x 1
− <

= ≤ ≤
 >
 é crescente em 
todo o seu domínio. 
16) Se uma função f : →� � é simultaneamente par 
e ímpar, então f(1) 0.= 
32) Os gráficos das funções f : →� � e g : ,→� � 
dadas respectivamente por 2f(x) x= e xg(x) 2 ,= 
para todo x real, se intersectam em exatamente 
um único ponto. 
64) 2x x= para todo x real. 
 
3. (Fuvest 2014) Sobre a equação 
2x 9 2(x 3)2 log | x x 1| 0,−+ + − = é correto afirmar que 
a) ela não possui raízes reais. 
b) sua única raiz real é 3.− 
c) duas de suas raízes reais são 3 e 3.− 
d) suas únicas raízes reais são 3− , 0 e 1. 
e) ela possui cinco raízes reais distintas. 
 
4. (Espcex (Aman) 2014) Se Y {y= ∈ � tal 
que 6y 1 5y 10},− ≥ − então: 
a) 
1
Y ,
6
 
= −∞  
 
b) Y { 1}= − 
c) Y = � 
d) Y = ∅ 
e) 
1
,
6
 
+∞  
 
 
5. (Udesc 2014) A soma das raízes distintas da 
equação 2x 5x 6 x 3− + = − é: 
a) 10 
b) 7 
c) 0 
d) 3 
e) 4 
 
6. (G1 - cftmg 2013) A soma das raízes da equação 
modular 2x 1 5 x 1 4 0+ − + + = é 
a) – 7. 
b) – 4. 
c) 3. 
d) 5. 
 
7. (Esc. Naval 2013) A soma das raízes reais distintas 
da equação x 2 2 2− − = é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
8. (Unioeste 2012) Seja S o conjunto solução de 
 
23 20
2 4x
2 5 1.
2
−
 − + − − 
 
<
∣ ∣
 
 
É correto afirmar que S é igual a: 
a) { }S x ; 1 x 1 .= ∈ − < <� 
b) { }7 11S x ; x .18 18= ∈ − < <� 
c) { }S x ; x 1 .= ∈ > −� 
d) { }1 7S x ; x .2 16= ∈ − < <� 
e) { }S x ; x 10 .= ∈ <� 
 
9. (Uerj 2012) Para enviar mensagens sigilosas 
substituindo letras por números, foi utilizado um 
sistema no qual cada letra do alfabeto está associada 
a um único número n, formando a sequência de 26 
números ilustrada na tabela: 
 
Letra A B C D E ... W X Y Z 
Número 
n 
1 2 3 4 5 ... 23 24 25 26 
 
Para utilizar o sistema, cada número n, 
correspondente a uma determinada letra, é 
transformado em um número f(n), de acordo com a 
seguinte função: 
 
( )
2 3, se 1 10
na qual 
50 , se 11 26
+ ≤ ≤
= ∈
− ≤ ≤
�
n n
f n n
n n
 
 
As letras do nome ANA, por exemplo, estão 
associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizar o 
 
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sistema, obtém-se a nova matriz [f(1) f(14) f(1)], 
gerando a matriz código [5 36 5]. 
Considere a destinatária de uma mensagem cujo 
nome corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5 
30 32 21 24]. 
Identifique esse nome. 
 
10. (Uepb 2012) A soma das raízes que a equação 
modular x 2 7 6− − = é 
a) 15 
b) 30 
c) 4 
d) 2 
e) 8 
 
11. (Ita 2011) O produto das raízes reais da equação 
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a 
a) –5. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 5. 
 
12. (G1 - col.naval 2011) No conjunto dos números 
reais, o conjunto solução da equação 
( )44 2x 1 3x 2+ = + 
a) é vazio. 
b) é unitario. 
c) possui dois elementos. 
d) possui três elementos. 
e) possui quatro elementos. 
 
13. (Ufmg 2010) Considere a função f ( x )= x 1 x− . 
 
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função 
está CORRETO. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
14. (Ita 2007) Sobre a equação na variável real x, 
 
 │ │ │ x - 1 │ - 3 │ - 2 │ = 0, 
 
podemos afirmar que 
a) ela não admite solução real. 
b) a soma de todas as suas soluções é 6. 
c) ela admite apenas soluções positivas. 
d) a soma de todas as soluções é 4. 
e) ela admite apenas duas soluções reais. 
 
15. (Ufjf 2006) Sobre os elementos do conjunto-
solução da equação │ x2 │ - 4 │ x │ - 5 = 0, podemos 
dizer que: 
a) são um número natural e um número inteiro. 
b) são números naturais. 
c) o único elemento é um número natural. 
d) um deles é um número racional, o outro é um 
número irracional. 
e) não existem, isto é, o conjunto-solução é vazio. 
 
16. (Uem 2004) Considerando o conjunto A = {x ∈ R; - 
3 ≤ x ≤ 3}, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
01) O conjunto das soluções da inequação x2 < 9 é 
igual ao conjunto A. 
02) O conjunto A contém o conjunto das soluções da 
inequação - 5x2 - 14x + 3 ≥ 0. 
04) A reunião dos conjuntos das soluções das 
equações (5x - 8)2 = - 21 e |5x – 3| = - 8 está 
contida em A. 
08) O conjunto-solução da equação |x – 5| = |8x + 3| 
está contido no conjunto A. 
16) O menor elemento do conjunto A pertence à 
interseção dos conjuntos das soluções das 
inequações x2 ≤ 9 e x2 - 7x + 10 ≥ 0. 
 
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32) A interseção entre o conjunto A e o conjunto das 
soluções da inequação x2 - 7x + 10 ≤ 0 é o 
conjunto B = {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}. 
 
17. (Ufv 2002) Se x e y são números reais quaisquer, 
então é CORRETO afirmar que: 
a) se x2 < y2, então x < y. 
b) se x < y, então x2 < y2. 
c) se x2 - y2 = 0, então │x│ = │y│. 
e) - x < 0. 
 
18. (Ufmg 2000) Considere a equação (x2 - 14x + 38)2 
= 112. 
 
O número de raízes reais DISTINTAS dessa equação 
é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
19. (Fatec 2000) A igualdade -│-x │ = -(-x) é 
verdadeira para todos os elementos do conjunto 
a) IR 
b) { x ∈ IR │ x ≥ 0} 
c) { x ∈ IR │ x ≤ 0} 
d) { x ∈ IR │ 0 ≤ x ≤10} 
e) { x ∈ IR │ -3 ≤ x ≤ 3} 
 
20. (Ufpi 2000) A soma das raízes da equação │x│2 + 
2 │x│ - 15 = 0 é: 
a) 0 
b) -2 
c) -4 
d) 6 
e) 2 
 
 
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Resolução das Questões 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
2
2 2
2
2x 3x 4x 6 ou x 3x 2x
x 3 x 2(2x 3)1 3
| x 6
x 7x 6 0 ou x x 6 0 x 1 ou x 6 ou x
| | x 3 | 2
3 
x
2 2 2
 ou 
2
x 2
− = − = − + ⇒
+ = − = ⇒ = = = −
− ⋅ −
⋅ − = ⋅ − ⇒ = ⇒
− − =
−
 
 
Portanto, a equação possui quatro raízes. 
 
Resposta da questão 2: 
 02 + 16 = 18. 
 
[01] Incorreto. Lembrando que uma função está bem 
definida apenas quando se conhece o seu 
domínio, o contradomínio e a lei de associação, 
vamos supor que a proposição seja: 
 
O maior subconjunto dos números reais para o 
qual a função f, dada por 
x 1
f(x) ,
x 3
−
=
+
 está 
definida é {x ; x 1}.∈ ≥� 
 
Desse modo, 
 
x 1
0 x 3 ou x 1
x 3
−
≥ ⇔ < − ≥
+
 
 
e, portanto, o maior subconjunto dos números 
reais para o qual a função f está definida é 
{x ; x 3 ou x 1}.∈ < − ≥� 
 
[02] Correto. Tem-se 
 
2x 4x 3 0 (x 1) (x 3) 0
1 x 3.
− + < ⇔ − ⋅ − <
⇔ < <
 
 
Portanto, a única solução inteira da inequação 
2x 4x 3 0− + < é x 2.= 
 
[04] Incorreto. Sabendo que | a | | b | a b,= ⇒ = ± vem 
 
| 3 2x | | x 2 | 3 2x (x 2)
5
x 1 ou x .
3
− = − ⇒ − = ± −
⇒ = =
 
 
Por conseguinte, 
5
S 1, .
3
 
=  
 
 
 
[08] Incorreto. A função f é decrescente para x 0.< 
 
[16] Correto. Se f é simultaneamente par e ímpar, 
então f( x) f(x)− = e f( x) f(x),− = − para todo x 
real. Daí, segue-se que f(x) f( x) 0= − = para todo 
x real. 
 
[32] Incorreto. Como f(2) g(2) 4,= = 
segue-se que o ponto (2, 4) é 
comum aos gráficos de f e de g. Além disso, há 
pelo menos mais um ponto de interseção no 
intervalo 
1
1, .
2
 
− −  
 Com efeito, note que f é 
decrescente e g é crescente para x ] , 0[.∈ − ∞ 
Logo, sendo f( 1) g( 1)− > − e 
1 1
f g ,
2 2
   
− < −   
   
 
segue que os gráficos de f e de g apresentam 
pelo menos um ponto de interseção no intervalo 
1
1,
2
 
− −  
 (esboce os gráficos para concluir queexiste um único ponto nesse intervalo). 
 
[64] Incorreto. Suponhamos por absurdo que 
2x x,= para todo x real. Nesse caso, teríamos 
2 2x x ( x) x,= = − = − o que obviamente vale 
apenas para x 0.= Na verdade, 2x | x |,= para todo 
x real. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Como 
2x 92 0− > para todo x real, vem 
2x 9 2 2
2
2 2
(x 3)2 log | x x 1| 0 (x 3)log | x x 1| 0
x 3 0
 ou
| x x 1| 1
x 3
 ou
x x 1 1 ou x x 1 1
x 3
. ou
(x 1 ou x 2) ou (x 0 ou x 1)
−+ + − = ⇔ + + − =
+ =
⇔
+ − =
= −
⇔
+ − = + − = −
= −
⇔
= = − = = −
 
Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais 
distintas. 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Fatorando, obtemos 
 
2x 5x 6 | x 3 | (x 2) (x 3) | x 3 | .− + = − ⇔ − ⋅ − = − 
 
Se x 3,≥ então | x 3 | x 3.− = − Assim, 
 
2(x 2) (x 3) x 3 (x 3) 0 x 3.− ⋅ − = − ⇔ − = ⇔ = 
 
Se x 3,< então | x 3 | (x 3).− = − − Daí, 
 
(x 2) (x 3) (x 3) (x 3) (x 1) x 1 ou x 3.− ⋅ − = − − ⇔ − ⋅ − ⇔ = =
 
 
Mas x 3= não convém, pois x 3.< 
 
Por conseguinte, a soma das raízes distintas da 
equação é 1 3 4.+ = 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Resolvendo a equação na incógnita x 1+ temos: 
 
5 3
x 1 x 1 4 ou x 1 1 x 3 ou x = -5 ou x = 0 ou x = -2
2
±
+ = ⇒ + = + = ⇒ =
 
 
Calculando a soma das raízes, temos: 
( ) ( )3 5 0 2 4+ − + + − = − 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
x 2 2 2 ou x 2 2 2
x 2 4 ou x 2 0 
x 2 4 ou x 2 4 ou x 2
x 6 ou x 2 ou x 2
− − = − − = −
− = − =
− = − = − =
= = − =
 
 
Portanto, a soma das raízes será 6 ( 2) 2 6.+ − + = 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
23 20 42 4x 2 4x 2 2 22 5 91 1 2x 1 1 2x 1
2 2 9 9
7 11
x
18 18
−
 − + − −  + − −
 
< ⇒ < ⇒ − < ⇒ − < − < ⇒
⇒ − < <
∣ ∣
 
 
Resposta da questão 9: 
 De acordo com as informações, temos que 
 
1 1 1f(n ) 7 2n 3 7 n 2,= ⇔ + = ⇔ = 
 
2 2 2f(n ) 13 2n 3 13 n 5,= ⇔ + = ⇔ = 
 
3 3 3f(n ) 5 2n 3 5 n 1,= ⇔ + = ⇔ = 
 
4 4 4f(n ) 30 50 n 30 n 20,= ⇔ − = ⇔ = 
 
5 5 5f(n ) 32 50 n 32 n 18,= ⇔ − = ⇔ = 
 
6 6 6f(n ) 21 2n 3 21 n 9= ⇔ + = ⇔ = 
 
e 
 
7 7 7f(n ) 24 50 n 24 n 26.= ⇔ − = ⇔ = 
 
Portanto, o nome da destinatária é Beatriz. 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Temos 
 
x 2 7 6 x 2 7 6.− − = ⇔ − − = ± 
 
Logo, 
 
| x 2 | 13 x 2 13
x 15 ou x 11
− = ⇔ − = ±
⇔ = = −
 
ou 
 
| x 2 | 1 x 2 1
x 3 ou x 1.
− = ⇔ − = ±
⇔ = =
 
 
Portanto, o resultado é 15 ( 11) 3 1 8.+ − + + = 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
x2 – 3X + 2 = 2x – 3 ⇔ x2 – 5x + 5 = 0, temos o 
produto das raízes igual a 5. 
x2 – 3x + 2 = -2x + 3 ⇔ x2 + x - 1 = 0, temos o produto 
das raízes igual a -1. 
 
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Logo, o produto total das raízes é -1.5 = -5 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
( )+ = + ⇒ + = +
⇒ + = ± +
⇒ = − = −
44 2x 1 3x 2 | 2x 1| 3x 2
2x 1 (3x 2)
3
x 1ou x .
5
 
Mas, como ≥ ∈ �| y | 0, y , segue que 
+ ≥ ⇔ ≥ −
2
3x 2 0 x .
3
 Então, o único valor de x que 
satisfaz a equação dada é −
3
,
5
 pois − < −
2
1 .
3
 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
 0 1 
x – x2 x – x2 x2 - x 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Resposta da questão 16: 
 alternativas corretas: 02, 04, 08 e 16 
alternativas incorretas: 01 e 32 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Resposta da questão 20: 
 [A]