Material_de_apoio___Matematica_Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
MATERIAL DE APOIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOBRAL-CEARÁ 
 
 2
 
DISCIPLINA: Matemática Financeira 
CARGA HORÁRIA: 60 h/a 
Ementa: 
Funções de 1º e 2º grau. Conjuntos e subconjuntos. Exponencial e logaritmos. Matrizes 
e sistemas lineares. Limites e continuidades. Diferenciação. Integração simples. 
Funções de várias funções. Juros simples e compostos. Taxas de juros. Valor atual e 
montante. Séries de pagamentos: uniforme, gradiente, perpétua e variável. Empréstimos. 
Procedimentos básicos da matemática financeira que auxiliam no processo de gestão 
dos negócios: capital, juros e montante. O valor do dinheiro no tempo, os regimes de 
capitalização, a remuneração do capital, a taxa e o prazo de retorno do investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
SUMÁRIO 
 
1 PROPORÇÃO E PORCENTAGEM ....................................................................... 04 
1.1 Proporção .................................................................................................................. 04 
1.2 Porcentagem ............................................................................................................. 05 
2 ELEMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................. 07 
2.1 Compatibilidade dos dados ....................................................................................... 08 
2.3.1 Exemplos importantes ........................................................................................... 09 
2.3 Fluxo de caixa ........................................................................................................... 11 
2.3.2 Analisando operações no gráfico ........................................................................... 14 
3 JUROS SIMPLES ..................................................................................................... 15 
3.1 Montante simples ...................................................................................................... 17 
3.2 Cálculos e fórmulas com juros simples .................................................................... 19 
3.3 Proporcionalidade de taxas de juros ......................................................................... 20 
4 OPERAÇÃO DE DESCONTO ................................................................................ 20 
4.1 Desconto racional ou “por dentro” com juros simples ............................................. 21 
4.2 Equivalência de capitais ........................................................................................... 23 
4.3 Desconto Comercial ou “por fora” e Bancário ......................................................... 25 
4.5 Cálculo e fórmulas com descontos comercial .......................................................... 26 
4.6 O desconto bancário ................................................................................................. 27 
5 JUROS COMPOSTOS ............................................................................................. 28 
5.1 Juros sobre juros ....................................................................................................... 28 
5.2 Cálculos e fórmulas com juros compostos ............................................................... 30 
5.3 Equivalência de capitais ........................................................................................... 31 
5.4 Equivalência de taxas de juros.................................................................................. 32 
6 TAXAS ........................................................................................................................ 33 
7 SÉRIES DE PAGAMENTOS ................................................................................... 35 
8 EXERCÍCIOS PARA REVISAR ............................................................................. 38 
8 REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 43 
 
 
 
 
 
 4
}
 
 
1 PROPORÇÃO E PORCENTAGEM 
 
1.1 Proporção 
 
 
Def. 01: Dizemos que duas variáveis x e y são diretamente proporcionais, quando 
satisfazem à relação y = kx ou Y/X = K, onde k é uma constante positiva chamada 
constante de proporcionalidade. 
A relação y = kx nos permite dizer que: 
i) x ≠ 0 → y ≠ 0 
ii) x1 < x2 → y1 < y2 (pois k > 0) 
iii) y1 = kx1 → k
x
y
=
1
1 
 
y2 = kx2 → k
x
y
=
2
2 
 
Ex: Se 350 metros de tecidos custam R$ 297,50, quantos metros do mesmo tecido 
compraria com R$ 442,00? 
 
mm
m
520
442
350
5,297
=⇒= 
 
Ex: Um litro de água do mar contém 25g (0,025kg) de sal. Quantos litros de água 
devem ser evaporados para se obter 8kg de sal? 
 
LL
L
320
8
1
025,0
=⇒= 
 
 
 
 
→ 
2
2
1
1
x
y
x
y
= 
 5
 
1.2 Porcentagem 
 
 
Quando em uma proporção direta a constante de proporcionalidade está 
escrita na forma 
100
i
k = , dizemos que y é i por cento de x. 
Usamos a noção %
100
i
i
= , a qual chamamos razão percentual ou taxa 
percentual. 
Se y = i% de x, então y = 
100100
i
x
y
x
i
=⇒ 
 
Ex: Calcular 30% de 200. 
 
60200
100
30
=⇒= yy 
 
Def.02: Dizemos que duas variáveis x e y são inversamente proporcionais, quando a 
relação xy = k ou 
x
k
y = é satisfeita, onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
x1y1 = y2x2 
 
Ex: Para percorrer a distância entre duas cidades, a 80 km/h são necessários 3 horas. Em 
quantas horas farei o mesmo trajeto a 60 km/h? 
 
x1y1 = y2x2 
80*3 = 60*x2 
60
3*80
2
=x = 4 horas 
 
 6
Ex: Se 30 operários fazem um muro em 12 dias, em quantos dias 20 operários fariam o 
mesmo muro: 
 
x1y1 = y2x2 
30*12 = 20*x2 
20
12*30
2
=x = 18 dias 
 
 
Def.03: Dado um número qualquer de variáveis x, y, z, r, s, t e w. Se 
stw
yzr
kx = , onde k 
é uma constate positiva, então dizemos que x é diretamente proporcional a y, z e r; e 
inversamente proporcional a s, t e w, e k é a constante de proporcionalidade. 
Essa relação de proporcionalidade é uma generalização das duas anteriores. 
Quando dizemos, por exemplo, que x é diretamente proporcional a y, estamos 
imaginando todas as variáveis z, r, s, t e w constantes; 
 
Ex: Se 10 homens trabalhando 6 horas por dia, durante 60 dias, montam 90 televisores, 
em quantos dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia montarão 192 televisores? 
 
8036004546875,0
96
3600
192
90
96
3600
8**12
6*60*10
192
90
=⇒=⇒=⇒=⇒= xx
xxx
 dias 
 
Ex: Uma transportadora cobra vinte mil reais para transportar 50 toneladas a uma 
distância de 200 km. Quanto deverá cobrar para transportar 10 toneladas a 400 km? 
 
8000
4
1020000
4000
1000020000
400*10
200*5020000
=⇒=⇒=⇒= x
xxx
 
 
 
 
 
 
 7
 
 
2 ELEMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é 
simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos 
matemáticos. 
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também 
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua 
inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. 
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade 
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, 
ou até mesmo, com algumas condições mistas. 
Regime Processo de funcionamento 
Simples Somente o principal rende juros. 
Compostos 
Após cada período, os juros são incorporados ao 
Capital, proporcionando juros sobre juros. 
 
Notações comuns que serão utilizadas neste material 
C Capital 
n número de períodos 
j juros simples decorridos n períodos 
J juros compostos decorridos n períodos 
r taxa percentualde juros 
i taxa unitária de juros (i = r / 100) 
 8
P Principal ou valor atual 
M Montante de capitalização simples 
S Montante de capitalização composta 
 
 
 
2.1 Compatibilidade dos dados 
 
Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: dinheiro e tempo. 
Como o presente é certo e o futuro duvidoso, deve sempre existir alguma compensação 
para as incertezas futuras. O valor do dinheiro no tempo resulta de alguns componentes 
básicos, apresentados como: 
 
• Risco: sempre existe a possibilidade de os planos não ocorrerem conforme o 
previsto. De outro modo, sempre haverá o risco de não receber os valores 
programados em decorrência de fatos imprevistos. 
• Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro, 
o que somente será atraente se existir alguma compensação; 
• Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles no presente 
permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que surjam. 
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser 
respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de 
juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não 
ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades. 
Exemplo: Na fórmula 
F(i,n) = 1 + i n 
a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o 
número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número 
indicado em meses. 
 
 9
 
 
 
2.3 Fluxo de caixa 
 
 
Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado 
graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa 
aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. 
Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na 
linha de tempo com início no instante t=0. 
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de 
R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que 
se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses 
seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos. 
 
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos 
o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante 
acumulado. 
 
 
Um típico exemplo é o gráfico: 
 
 
Valor 
Presente 
 10
 
 
 
Que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma 
que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. 
Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e 
S1, S2, ..., Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas). 
No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação 
ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim: 
 
 
 
 
O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é 
assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o 
Capital num certo instante, sendo que: 
1. t=0 indica o dia atual; 
2. Ek é a Entrada de capital num momento k; 
3. Sk é a Saída de capital num momento k. 
 
 11
2.3.1 Exemplos importantes 
 
 
Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos 
os Fluxos de Caixa das mesmas. Tais situações são muito comuns nas operações 
financeiras. 
 
 
1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui a um 
mês. 
 
 
 
2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e 
seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês. 
 
 
 
 
3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e 
R$6.500,00 em 60 dias. 
 12
 
 
4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas 
iguais a partir do mês seguinte. 
 
 
 
5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas 
de R$ 876,54 a partir do mês seguinte. 
 
 
 
6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 
parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje. 
 
 13
 
 
7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas 
variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, 
sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte. 
 
 
 
8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas 
variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, 
sendo a primeira parcela paga já no momento inicial. 
 
 
 
 
 
 
 14
2.3.2 Analisando operações no gráfico 
 
 
Por exemplo, a compra a prazo de uma geladeira que custa a vista R$ 
1.000,00 pode ser paga em duas parcelas mensais (entrada no ato) no valor de $ 600,00. 
Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? 
Já que foi pago $ 1.200,00 (duas parcelas de $ 600,00) para um bem 
financiado no valor de $ 1.000,00, a taxa seria igual a 20%. Embora intuitivo, o 
raciocínio está errado. Na verdade, ao comprar e receber um bem no valor de $ 
1.000,00, o cliente já havia pagado a entrada de $ 600,00. Logo, financiou APENAS a 
diferença no valor de $ 400,00, comprometendo-se a pagar $ 600,00 um mês depois. 
Assim, a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a 50% [ = ((600/400)-1) x 
100]. 
 
 
 
 
Como na data zero existem dois valores, um positivo igual a R$ 1.000,00 e 
um negativo igual a $ 600,00, ambos poderiam ser representados por um valor líquido 
igual a $ 400,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 15
3 JUROS SIMPLES 
 
 
Pelo desejo das pessoas, de consumir hoje o que só poderia adquirir amanhã 
é que surge a idéia do empréstimo de capital e com ela apareceu o juro como a 
remuneração pelo uso do capital. 
Se eu tomo por empréstimo um capital e pretendo restituí-lo posteriormente, 
eu devo pagar pelo uso desse capital, durante todo o tempo que dele disponha uma 
quantia diretamente proporcional ao capital e também ao tempo. Esse pagamento é o 
que chamamos de juro, que pode ser definido como “pagamento pelo uso do poder 
aquisitivo por um determinado período de tempo”. 
A remuneração do capital, do ponto de vista da rentabilidade, pode ser feita 
de duas maneiras: 
 
i) Aplicação com riscos, quando o capital é empregado sem o conhecimento 
prévio de sua rentabilidade, ficando seus rendimentos por conta da oscilação 
do mercado. 
ii) Aplicação sem riscos, quando o capital é empregado com a certeza de um 
ganho percentual pré-estabelecido sobre o capital empregado. O juro é a 
forma de rendimento do capital que mais caracteriza essa aplicação sem 
riscos, e o percentual aplicado sobre o capital para o cálculo do juro é 
chamado taxa de juros, que representamos por i. 
 
1. Se n é o número de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor 
principal, então os juros simples são calculados por: 
j = P i n 
 
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à 
taxa de 14% ao ano são dados por: 
j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 
2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituímos i por r/100 e 
obtemos a fórmula: 
 16
j = P r n / 100 
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à 
taxa de 14% ao ano são dados por: 
j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00 
3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula: 
j = P r m / 100 
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos 
(48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por: 
j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00 
4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros 
exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula: 
j = P r d / 100 
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses 
(180 dias) à taxa de 0,02% ao dia sãodados por: 
j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00 
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 
6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados 
por: 
j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50 
 
 
Podemos escrever a fórmula do juro simples da seguinte forma: 
 
 
j = VP.i.n 
 17
 
Geralmente, a taxa costuma ser apresentada ao dia, ao mês, ao bimestre, ao 
trimestre, ao quadrimestre, ao semestre ou ao ano. Para simplificar a notação, os 
períodos costumam ser abreviados. 
 
Abreviatura Significado 
a.d. Ao dia 
a.d.u. Ao dia útil 
a.m. Ao mês 
a.b. Ao bimestre 
a.t. Ao trimestre 
a.q. Ao quadrimestre 
a.s. Ao semestre 
a.a. Ao ano 
 
 
Em relação aos períodos anuais, as operações financeiras costumam 
considerar diferentes números de dias em um ano. Duas convenções são empregadas: 
• Ano civil ou exato: formado por 365 dias; 
• Ano comercial: formado por 360 dias. 
 
 
3.1 Montante simples 
 
 
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é 
conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas 
calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas: 
M = P + j = P (1 + i n) ou VF = P + j 
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão 
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 18
Objetivo: M=2P 
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in) 
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo 
n = 2/3 ano = 8 meses 
 
Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor 
principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que 
deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano? 
Contagem do tempo: 
Período Número de dias 
De 10/01 até 31/01 21 dias 
De 01/02 até 28/02 28 dias 
De 01/03 até 31/03 31 dias 
De 01/04 até 12/04 12 dias 
Total 92 dias 
 
Fórmula para o cálculo dos juros exatos: 
j = P r (d / 365) / 100 
Cálculo: 
j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05 
 
 
 
 19
3.2 Cálculos e fórmulas com juros simples 
 
 
Da fórmula original de capitalização do valor futuro (VF) poderiam ser 
extraídas outras fórmulas, que permitam a obtenção direta do valor presente (VP), taxa 
ou períodos de capitalização. 
 
Cálculo do valor presente: 
).1( ni
VF
VP
+
= 
 
Cálculo da taxa de juros: 
n
VP
VF
i






−
=
1
 
 
Cálculo do número de períodos: 
i
VP
VF
n






−
=
1
 
 
 
Ex: Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 
750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Pede-se o capital da operação. 
 
).1( ni
VF
VP
+
= =
)510,01(
750
x
VP
+
= = 500=VP 
 
Ex: O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 
400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, pede-se a taxa de juros 
mensal praticada durante a operação. 
 
n
VP
VF
i






−
=
1
=
5
1
200
400






−
=i = %2020,0 ==i 
 
 20
Ex: A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita 
à taxa de 2% a.m. no regime dos juros simples. Pede-se a duração da operação. 
 
i
VP
VF
n






−
=
1
= 53,48
02,0
1
68
134
=






−
=n 
3.3 Proporcionalidade de taxas de juros 
 
 
Pelo critério de proporcionalidade de taxas de juros diz-se que duas taxas de 
juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros 
simples, são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do 
prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. 
Por exemplo, para achar a taxa mensal proporcional à taxa anual igual a 
18% a.a., basta aplicar a fórmula: 
 
..%15015,0)12/1(18,0)/.( maxnnii
abba
==== 
 
4 OPERAÇÃO DE DESCONTO 
 
 
Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro é comum o devedor oferecer ao 
credor um título que comprove esta operação. De posse deste título, empregado para 
formalizar um compromisso que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um 
prazo previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma instituição financeira 
o resgate antecipado deste título. 
As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou 
pagamento) de valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro 
tem um custo associado ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o 
custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao 
valor presente mais o desconto. 
 21
O conceito de juros está associado a operações de capitalização (levar do 
presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a operações de 
descapitalização (ou operações de desconto, trazer do futuro para o presente). 
Algebricamente, o valor presente ou líquido, o valor futuro ou nominal e o 
desconto podem ser representados por meio da seguinte equação: 
 
 
DVFVP −= ou VPVFD −= 
 
Onde: 
VP = valor presente 
VF = valor futuro 
D = desconto 
No lugar de valor futuro é comum empregar a terminologia Valor 
Nominal. Ao invés de valor presente, é comum usar expressão Valor Líquido (ou 
Valor Recebido). 
 
 
4.1 Desconto racional ou “por dentro” com juros simples 
 
 
Da fórmula dos juros simples para a obtenção do valor presente, obtém-se: 
 
).1( ni
VF
VP
+
= 
 
Assim, o desconto pode ser apresentado como: 
 
VPVFD −= = −VF
).1( ni
VF
+
 
 
Ex: Um título no valor nominal de $ 500,00, com vencimento programado para daqui a 
3 meses, foi descontado hoje. Sabendo-se que foi aplicado desconto racional no regime 
 22
de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% a.m., pede-se o desconto e o valor líquido 
recebido. 
 
53,440
)3*045,01(
500
).1(
=
+
=
+
==
ni
VF
VPVL 
 
 
47,5953,440500 =−=−= VPVFD 
 
As respostas seriam $ 59,47 e $ 440,53. O valor líquido, no desconto 
racional, corresponde ao valor presente. 
 
 
OBS.: Cálculos das taxas efetivas em operações de desconto: a taxa da operação de 
desconto racional ou por dentro é denominada de taxa efetiva, que, como o próprio 
nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto. Taxa efetiva é aquela que 
incide sobre o valor presente no processo de capitalização. 
 
 
Ex: Uma nota promissória com valor nominal igual a $ 7.200,00 e com vencimento 
programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo-se 
que o desconto sofrido foi igual a $ 480,00, pede-se a taxa mensal efetiva da operação. 
 
 23
00840336,0
5,8
0714,0
0714,05,8*
10714,15,8*
0714,15,8*1
6720
7200
)5,8*1(
7200)5,8*1(*6720
)5,8*1(
7200
6720
)5,8*1(
7200
7200480
)5,8*1(
7200
7200480
).1(
==
⇒=
⇒−=
⇒=+
⇒
−
−
=+
⇒−=+−
⇒
+
−
=−
⇒
+
−
=−
⇒
+
−=
⇒
+
−=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ni
VF
VFD
 
 
 
3.2 Equivalência de capitais 
 
 
Uma das mais importantes regras da matemática financeira diz que o 
dinheiro pode ser somado ou subtraído apenas em uma mesma data. Assim, para poder 
somar ou subtrair fluxos de caixa em datas diferentes, é preciso capitalizá-los ou 
descapitalizá-los para uma mesma data, denominada data focal. Dois fluxos são ditos 
equivalentes quando apresentam uma mesma soma em uma mesma data focal. 
 
Ex: Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples 10% a.m.). O valor 
total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As 
condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em 
duas parcelas. A primeira parcela, no valor de 70% do total de pagamentos, será paga ao 
final quarto mês, e a segunda parcela, no valor 30% do total dos pagamentos, será paga 
ao final do décimo primeiro mês. Qual o valor financiado? 
 
 24
Resposta: Pelo conceito de equivalência, é preciso somar os fluxos de caixa, 
capitalizados ou descapitalizados para uma mesma datafocal. Assim, seria preciso 
trazer os dois capitais para a data focal zero. 
 
00,4201400%30
00,9801400%70
=
=
x
x
 
 
00,700
)410,01(
980
).1(
=⇒⇒
+
=⇒⇒
+
== VP
x
VP
ni
VF
VPVL 
 
00,200
)1110,01(
420
).1(
=⇒⇒
+
=⇒⇒
+
== VP
x
VP
ni
VF
VPVL 
 
A soma dos dois fluxos de caixa descapitalizados para a data zero é igual a 
700 + 200 = $ 900. 
 
Ex: A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de $ 100,00 no fim do período t mais 
uma quantia de $ 200,00 no fim do período t + 2 são equivalentes, no fim do período t + 
1., a uma quantia de quanto? 
 
Resposta: Para isso é preciso capitalizar 100 por 1 período e descapitalizar 200 por um 
período. 
 
Capitalizando 100: 
 
125)25,01.(100)1.(
1
=⇒⇒+=⇒⇒+= VFVFiVPVF
n 
 
Descapitalizar 200: 
 
160
)25,01(
200
)1( 1
=⇒⇒
+
=⇒⇒
+
= VPVP
i
VF
VP
n
 
 
O capital equivalente é a soma dos dois: 125 + 160 = $ 285,00. 
 25
4.3 Desconto Comercial ou “por fora” e Bancário 
 
 
O desconto comercial é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro 
simples sobre o valor nominal do compromisso que será saldado n períodos antes de seu 
vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. Ou seja, a 
incidência da taxa de desconto comercial se dá sobre o valor futuro da operação. 
A razão de sua existência consiste na simplificação da operação de 
desconto. Para saber o valor do desconto, basta multiplicar a taxa pelo valor nominal 
(ou valor futuro) e pelo prazo da antecipação. Porém, essa simplificação provoca, 
sempre, majoração (aumento) da taxa efetiva da operação em relação à taxa de 
desconto. 
 
OBS.: A taxa efetiva de uma operação de desconto comercial será sempre superior à 
taxa de desconto comercial divulgada em função de esta última incidir sobre o valor 
futuro ou nominal. 
 
 
niVFD
d
..= 
 
Onde: 
VF = valor futuro 
id = taxa de desconto comercial ou por fora 
n = número de períodos de capitalização (ou desconto) 
 
 
niVFDDVFVP
d
..=⇒−= 
↓ 
).1.( niVFVP
d
−= 
 
 
 
 
 26
3.8 Cálculo e fórmulas com descontos comercial 
 
 
Cálculo do valor futuro: 
).1( ni
VP
VF
d
−
= 
 
Cálculo da taxa de juros: 
n
VF
VP
i
d






−
=
1
 
 
Cálculo do número de períodos: 
d
i
VF
VP
n






−
=
1
 
 
Ex: Sabe-se que o valor líquido resultante do desconto de uma duplicata três meses 
antes do prazo a uma taxa de desconto comercial igual a 5% a.m. foi igual a $ 
51.000,00. Encontrar o valor nominal do papel. 
 
00,000.60$
85,0
51000
)305,01(
51000
).1(
=⇒⇒=
−
=⇒⇒
−
= VF
x
VF
ni
VP
VF
d
 
 
 
Ex: Um título com valor nominal igual a $ 90.000,00 foi descontado dois meses antes 
de seu vencimento. O desconto aplicado foi igual a $ 7.200,00. Encontrar a taxa de 
desconto mensal vigente na operação. 
 
Se o desconto foi igual a $ 7.200,00, o valor líquido ou presente é igual a $ 82.800,00. 
 
 
0400,0
2
90000
82800
11
=






−
=⇒⇒






−
=
dd
i
n
VF
VP
i ou ..%00,4 ma 
 
 27
Ex: A aplicação de uma taxa de desconto igual a 4% a.m. resultou na obtenção de um 
valor líquido igual a 10.560,00, consequência do desconto de um título no valor 
nominal de 12.000,00. Obter a duração da operação em meses. 
 
3
04,0
12,0
04,0
88,01
04,0
12000
10560
11
==⇒⇒
−
=⇒⇒






−
=⇒⇒






−
= nnn
i
VF
VP
n
d
 meses 
 
 
4.4 O desconto bancário 
 
 
Uma variação do desconto comercial pode ser representada pelo desconto 
bancário. As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto 
comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na 
operação, que comumente inclui o Imposto sobre Operação Financeira (IOF), o que 
alteraria levemente a expressão anterior. 
De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto comercial 
mais uma taxa prefixada incidente sobre o valor nominal. 
 
 
VFtDD
CB
.+= 
 
 
Onde: 
t = taxa prefixada 
DB = desconto bancário 
Dc = desconto comercial 
 
 
O valor presente ou líquido da operação de desconto bancário pode ser 
calculado mediante a aplicação de seguinte fórmula: 
 
 28
 
DVFVP −= → VFtniVFVFVP
d
... −−= 
 ↓ 
).1.( tniVFVP
d
−−= 
 
 
5 JUROS COMPOSTOS 
 
 
No mundo real, a maior parte das operações que envolvem o valor do 
dinheiro no tempo costuma calcular juros incidentes sobre montantes obtidos em 
períodos imediatamente anteriores. A forma de capitalização em situações em que 
ocorrem incidências de “juros sobre juros” recebe a denominação de regime de 
capitalização composta, ou, de forma resumida, regime de juros compostos. 
 
 
5.1 Juros sobre juros 
 
 
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante 
(soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de 
juros (por período) durante n períodos. 
 
Ex: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de 
poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa 
depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado 
acumulado em 01/06/94. 
Tempo Data Valor Principal Juros Montante 
0 01/01/94 100,00 0 100,00 
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00 
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00 
 29
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50 
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20 
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38 
 
Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios 
dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores. 
 
Ex: Em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa 60% a.m., 
os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. 
Assim, a composição dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e 
compostos, pode ser vista abaixo. 
 
 
 
 
 
N 
Valor Futuro 
Simples Composto 
0 100 100 
0,1 106 104,81 
0,5 130 126,49 
0,8 148 145,61 
1 160 160 
2 220 256 
3 280 409,6 
 
 
 30
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Períodos de capitalização
V
a
lo
r 
F
u
tu
ro
 
 
 
 ]
 
 
 
 
Simples
Composto
Expon. (Composto)
Linear (Simples)
 
 
OBS.: Evite converter taxas. 
 
 
Genericamente, a equação de capitalização de juros compostos pode ser 
apresentada da seguinte maneira: 
 
n
iVPVF )1( += 
 
5.2 Cálculos e fórmulas com juros compostos 
 
 
Cálculo do valor presente: 
n
i
VF
VP
)1( +
= 
 
Cálculo da taxa de juros: 11
1
−





=−=
n
n
VP
VF
VP
VF
i 
 
Cálculo do número de períodos: 
)1log(
log
i
VP
VF
n
+






= ou 
)1ln(
ln
i
VP
VF
n
+






= 
 
Fator 
 31
Ex.: Uma operação com juros compostos rendeu um montante igual a $ 8.400,00 após 6 
meses. Sabendo-se que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcular o valor presente. 
 
⇒
+
=
n
i
VF
VP
)1(
 ⇒
+
=
6)02,01(
8400
VP ⇒=
126,1
8400
VP 03,7460=VP 
 
Ex.: Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros após permanecer aplicado 
por 4 meses. Obter a taxa de juros mensal da aplicação. 
 
⇒−





= 1
1
n
VP
VF
i ⇒−




 +
= 1
 430
80 430 4
1
i ⇒−





= 1
 430
510 4
1
i
 ( ) ⇒−= 1186,1 4
1
i 0436,0104358,1 =−=i ou ..%36,4 ma 
 
Ex: Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de 
juros compostos iguais a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? 
 
⇒
+






=
)1log(
log
i
VP
VF
n ⇒
+






=
)03,01log(
570
00,630
log
n 
( )
⇒=
)03,1log(
105,1log
n
 3,3
013,0
0434,0
==n meses 
 
5.3 Equivalência de capitais 
 
 
De forma similar ao conceito apresentado para o regime de capitalização 
simples, dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento 
determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma 
taxa de juros compostos e em idênticascondições, produzirem valores iguais. No 
regime composto, a forma de desconto será sempre racional. 
 
 32
Ex: Uma concessionária vendia certo tipo de automóvel por $ 1.600.000,00 a vista. 
Tinha um plano de pagamento em 6 meses com juros fixos compostos mensalmente. 
Um cliente comprou um destes automóveis em 6 meses, efetuando pagamentos ao fim 
de 2 e 6 meses. Se o primeiro pagamento foi de $ 2.136.000,00 e se os juros foram de 
40% ao mês, o segundo pagamento foi de quanto? 
 
• Capitalizando $ 1.600.000,00 da data 0 para a data 6 (n = 6): 
n
iVPVF )1.( += 60,257.047.12$)4,01.(1600000 6 =+=VF 
• Capitalizando $ 2.136.000,00 da data 2 para a data 6 (n = 4): 
n
iVPVF )1.( += 60,657.205.8$)4,01.(2136000 4 =+=VF 
 
O valor de X corresponde à diferença: 
60,257.047.12 - 60,657.205.8 = 00,600.841.3 
 
5.4 Equivalência de taxas de juros 
 
 
De forma similar ao regime de capitalização simples, pelo critério de 
equivalência de taxas de juros diz-se que duas taxas de juros i1 e i2 referidas a períodos 
diferentes no regime de capitalização composta, são equivalentes quando resulta no 
mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo 
principal. 
Pro exemplo, para achar a taxa mensal equivalente à taxa anual de 36% a.a., 
basta aplicar a fórmula: 
 
%5955,21])36,01[(1])1[(
)12/1()/(
=−+=−+=
nanb
ba
ii ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 33
6 TAXAS 
 
 
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a 
realização de alguma operação financeira. Taxas: (Matemática Financeira, Introdução 
ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre 
os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros 
principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento 
generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela 
consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos 
cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros." 
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos 
principais de taxas: 
 
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos 
juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 
3. 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros 
ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
1. 120% ao mês com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 
3. 1300% ao ano com capitalização anual. 
 34
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação. 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a 
taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três 
taxas, dadas por: 
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) 
 
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês 
produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é 
igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final 
deste mês, será definida por: 
vreal = 1 + ireal 
que pode ser calculada por: 
vreal = resultado / (1 + iinflação) 
isto é: 
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 
o que significa que a taxa real no período, foi de: 
ireal = 2% 
Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de 
Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu 
dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 
1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005. 
 35
Exemplo: Se uma pessoa possuía numa caderneta de poupança o valor de CR$ 
670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 
35,64% então ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de: 
 
V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77 
 
 
7 SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
Classificação das Séries de Pagamentos. 
 
a) Quanto ao TEMPO: temporária (número finito de pagamentos) ou infinita (número 
indeterminado de pagamentos). 
b) Quanto à CONSTÂNCIA ou a PERIODICIDADE: periódicas (quando ocorrem em 
intervalos de tempo iguais) ou não-periódicas. 
c) Quanto ao VALOR DOS PAGAMENTOS: fixos/uniformes (quando os pagamentos 
são iguais) ou variáveis. 
d) Quanto ao VENCIMENTO DO PRIMEIRO PAGAMENTO: imediato ( quando 
ocorre exatamente no primeiro período da série) e diferido. 
e) Quanto ao MOMENTO DOS PAGAMENTOS: antecipada (quando o pagamento é 
feito no momento 0-zero) ou postecipada (quando os pagamentos ocorrem no final de 
cada período). 
 
7.1 Séries Uniformes de Pagamentos 
 
São aquelas em que os pagamentos são constantes e ocorrem em intervalos 
iguais. Podemos assim representar graficamente as séries uniformes de pagamentos: 
 
 36
 
 
Séries Uniformes de Pagamentos – Postecipadas: São aquelas em que o 
primeiro pagamento ocorre no momento (1), isto é, após o final de cada período. 
Cálculo do valor-Presente (VP), conhecido o valor da prestação (PMT). O 
objetivo, neste caso, é o de trazer cada ponto do fluxo financeiro a valor-presente e 
somar todos os pagamentos da série: 
 
 
 
 
 37
Exemplo: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis 
pagamentos mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação 
dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação. 
 
 
 
Séries em gradiente 
 
Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos cujos 
termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro termo 
também é igual a G e ocorre no segundo período. 
O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
EXERCÍCIOS PARA REVISAR 
 
FUNÇÃO 1º GRAU 
 
1 Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha 
o valor da constante a. 
 
RESPOSTA: f(3)=7=a(3)+(-11)⇒ 7=3a – 11⇒ a = 6 
 
2 Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a e 
b.(Resolução do aluno) (a = 2; b = 4) 
 
FUNÇÃO 2º GRAU 
 
1 Faça o gráfico das seguintes funções do 2º grau: 
 
a) y = x² 
b) y = x² + 4x + 5 
 
2 Determine as raízes das funções abaixo. 
 
a) y = x² - 4x + 3 
b) y = x² + 8x - 12 
 
3 A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: 
 
a.0 
b.1 
c.2 
d.3 
e.4 
 
4 O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 - 100x + 5000. 
O valor do custo mínimo é: 
 39
 
a.3250 
b.3750 
c.4000 
d.4500 
e.4950 
 
5. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, 
obtenha o valor da constante a. 
 
6. Usando f(x) = ax+b e sabendo-se que f(-2) = 8 e f(-1 )= 2, obter os valores de a e b. 
 
EXPONENCIAL E LOGARITMO 
 
7. Determinar os valores de x para os quais 2x=32. 
 
8. Determinar os valores de x para os quais 2x=1. 
 
9. Resolver a equação 27x = 243. 
 
10. Resolver a equação 625x = 25. 
 
11. Determinar o valor de x para o qual (1/3)x=3. 
 
12. Determinar o valor de x para o qual: 
 
a. logx(128) = 7 
b. log2(8) = x ok 
c. log4(x) = 3 ok 
d. log1/2(2) = x 
e. log2(1/2) = x 
 
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 
 
13. Construa a matriz A = (aij)3x3 onde aij = 1 para i = j e aij = 0, se i ≠ j. 
 40
14. Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se 




 −
=
732
110
A e 




 −
=
910
511
B . 
15. Dada a função xxxf 2)( 2 −= , calcule f(A) onde 










=
100
010
001
A . 
16. Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções. 
 
a) 


=−
=+
123
53
yx
yx
 b) 



=−
=−
644
3
yx
yx
 
17. Determine o valor de a para que o sistema 



=+
=−
642
8
yx
yax
 seja possível e determinado 
(SPD). 
 
18. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C 
custam R$105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. 
Qual o preço do artigo C? 
 
19. Calcular usando o conceito intuitivo de limite: 
 
a. )13(lim
5
−
→
x
x
 
b. )210(lim
3
x
x
−
→
 
c. )10(lim 2
0
−
→
x
x
 
d. )1(lim 2
1
+−
−→
xx
x
 
e. 





−
+
→ 2
2
lim
4
x
x
x
 
f. 





−
+
−→ 5
3
lim
3
x
x
x
 
 
20. Verifique se a função 
3
93
+
+
=
x
x
y é contínua no ponto p = 2. 
 
 
 41
21. Calcular a derivada das seguintes funções: 
 
a. 12 += xy 
b. 1062 +−= xxy 
c. 11024 23 −+−= xxxy 
d. 16
3
2
3
+−= x
x
y 
e. 
8
4
23
xx
y
+
= 
f. 5+= xy , x ∈R 
 
22. Calcular as seguintes integrais: 
 
a. ∫ xdx3 
b. ∫− xdx5 
c. ∫ xdx 
d. ∫ dxx
2 
e. ∫ xdx 
f. ∫
−
dxx
3 
g. ∫ dx
x
2
1
 
h. ( )dxxx∫ +
23 
i. ( )dxxx∫ ++ 4
2 
j. ( )dxxx∫ ++ 523
24 
k. dxx
x
∫ 





+− 9
4
3
5
2
 
 
 
 42
ELEMENTOS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
23. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, 
durante 2 anos. 
 
24. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o 
montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual? 
 
25. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi 
efetuado o resgate no valor de R$ 107,80. Qual o valor do capital inicial? 
 
26. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em 
que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500,0? 
 
27. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? 
 
28. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo 
prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. 
 
29. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 
4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? 
 
30. Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 
anos, a juros de 10% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43
8 REFERÊNCIAS 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas. 
 
 
BRASIL ESCOLA. Disponível em:<http://www.brasilescola.com/matematica>. 
 
 
BRUNI, A.L.; FAMA, R. A matemática das finanças. 3. ed. – São Paulo: Atlas, 2008. 
 
 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 12 ed. São Paulo: 
Saraiva, 1997. 
 
 
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira. 4 ed. São Paulo: 
Makr.on Books, 1999. 
 
 
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Disponível em: <http: 
www.matematicaessencial.com.br>. 
 
 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 2003. 
 
 
VIEIRA, José Dutra. Matemática financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000.