Unidade V Introdução a Teoria das Filas

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Simulação e Tomada 
de Decisão
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Roberto Luiz Gárcia Vickinsky
Revisão Textual:
 Profa. Ms. Fátima Furlan
Introdução à Teoria das Filas
• Teoria das Filas
• Variáveis Básicas de um Modelo de Fila
• Fórmulas Importantes
• Exemplos de Aplicação
 · Apresentar os conceitos fundamentais da Teoria das Filas, desta-
cando as notações e características dos elementos que compõem 
um sistema de fila.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Introdução à Teoria das Filas
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
Contextualização
A formação de filas de espera é um fenômeno muito comum no nosso cotidiano. 
Formamos fila nos supermercados, postos de combustível, cinemas, lanchonetes, e 
em muitos outros locais onde a procura por um determinado produto ou serviço é 
maior que a capacidade de atendimento. Apesar de já estarmos acostumados a esse 
inevitável fenômeno, é fato que nos irritamos com a demora nas filas de espera. 
Porém, o reflexo maior dessa demora, que vai além da nossa irritação pessoal, são 
os impactos negativos na economia do país, gerados pelo tempo não produtivo 
gasto pela população nas filas de espera. Segundo Hillier & Lieberman (2013), 
estima-se que nos Estados Unidos, a população gasta 37 bilhões de horas por ano 
em filas de espera. Se esse tempo fosse empregado em atividades úteis, o resultado 
seria aproximadamente 20 milhões de pessoas/ano de trabalho produtivo por ano.
Mas o problema não se restringe apenas às filas de espera protagonizadas por 
pessoas. O fenômeno da espera pode ser observado nas mais diversas situações 
envolvendo protagonistas não humanos, como por exemplo: máquinas esperando 
manutenção, caminhões aguardando carregamento, aviões esperando liberação 
para decolagem, dados aguardando transmissão através de um sistema eletrônico 
de comunicações, requisições aguardando liberação em um almoxarifado, dentre 
outros. Fica claro que qualquer atraso no atendimento das filas de espera dos 
exemplos citados, gerará prejuízos financeiros que podem ser bastante significativos, 
dependendo do modelo de negócio.
Nesse contexto, torna-se muito clara a importância do estudo da Teoria das Filas, 
que é um ramo dentro da probabilidade que estuda o fenômeno da formação das filas 
de espera, fornecendo ferramentas para análise de desempenho e otimização dos 
serviços de atendimento, com o objetivo de tornar o sistema de filas mais eficiente.
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Teoria das Filas
Conceito de Fila
No nosso cotidiano, a espera por atendimento é um fenômeno comum que pode 
ser percebido nas mais diversas situações. Esperamos ser atendidos, por exemplo, 
dentro de uma agência bancária, na sala de espera de um consultório médico, no 
balcão de uma padaria, no restaurante, no caixa de um supermercado, dentre 
muitas outras situações onde é necessário que aguardemos pelo atendimento, 
geralmente, em uma fila de espera. Entretanto, a espera por atendimento não é 
um fenômeno que ocorre somente com o ser humano. Pode-se percebê-lo também 
nas mais variadas situações em que os protagonistas da espera são objetos, como 
por exemplo:
 · Caminhões aguardando carregamento em um centro de distribuição;
 · Carros em uma montadora aguardando processo de pintura;
 · Chapas de aço aguardando corte em uma indústria metalúrgica;
 · Notas fiscais em uma pasta ou arquivo eletrônico aguardando registro contábil;
 · Dados aguardando transmissão em um canal eletrônico de comunicação;
 · Petições sobre a mesa de um juiz aguardando decisão judicial;
 · Pilha de pratos sobre a pia aguardando lavagem.
Nota-se que em todas as situações citadas existe a necessidade de se estabelecer 
certa organização para a realização do atendimento. Essa organização normalmente 
se dá por meio de uma fila de espera, a qual determina a ordem do atendimento, 
que em geral é feito obedecendo-se a ordem de chegada do cliente, ou seja, o 
primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido. Salienta-se que o termo cliente, 
aqui empregado, refere-se a toda entidade, seja humana ou não, que compõe uma 
fila de espera.
Entretanto, nem sempre o atendimento obedece a ordem do “primeiro a chegar, 
primeiro a ser atendido”. Existem situações onde, por exemplo, o primeiro a chegar 
é o último a ser atendido, como no caso da pilha de pratos sobre a pia aguardando 
a lavagem. Nesse caso, o prato que está no topo da pilha (último a chegar) será 
o primeiro a ser lavado, e o prato que se encontra embaixo da pilha (primeiro a 
chegar) será o último a ser lavado.
Em resumo, Fila de espera, ou simplesmente Fila, é um termo que define a 
organização de uma população de clientes que aguardam por atendimento. Porém, 
para o nosso estudo, o termo Fila ganha um caráter mais abrangente, englobando 
todo o processo que, para efeito de análise, inclui a forma de chegada dos clientes, 
a organização dos clientes na fila e as características do agente servidor (atendente). 
É comum o uso do termo “Modelo de Fila” para referenciar esse processo mais 
abrangente, cuja representação gráfica é apresentada na Figura 1.
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
Figura 1 – Representação gráfica de um Modelo de Fila
Componentes de um Modelo de Fila
Os elementos ou agentes principais (protagonistas) de um modelo de fila, que 
podemos simplesmente chamar de Fila, são o cliente e o servidor. O primeiro 
representa os indivíduos provenientes de uma fonte (população) que aguardam por 
atendimento; o segundo é o agente responsável pelo atendimento e realização do 
serviço. Entretanto, existem outros elementos e outros componentes conceituais 
que compõem e caracterizam um modelo de fila, sendo eles:
 · tamanho da fonte;
 · padrão de chegada;
 · padrão de atendimento;
 · número de canais de serviço;
 · disciplina da fila;
 · capacidade do sistema;
 · etapas do processo de atendimento.
Esses componentes são abordados nos itens de “a” a “g” apresentados a seguir.
 Tamanho da Fonte
Fonte (ou população) é o termo que designa a origem dos clientes que compõem 
uma fila. Quanto ao tamanho, uma fonte pode ser finita ou infinita.
Fonte finita: Na Teoria das Filas, considera-se fonte finita aquela que limita a 
chegadade novos clientes em função da capacidade de atendimento dos clientes 
que já estão no sistema. Para ilustrar, tomemos o exemplo da fila de caminhões 
aguardando o carregamento em um centro de distribuição de uma pequena empresa. 
Considerando que essa empresa possui cinco caminhões, e que o sistema possui 
capacidade ajustada para atender apenas esses cinco caminhões, a possibilidade de 
entrada de um novo caminhão no sistema é nula. A Figura 2 ilustra essa situação. 
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Figura 2 – Sistema de fi la com fonte fi nita
Fonte infinita: Na Teoria das Filas, para efeito prático, considera-se fonte infinita 
aquela que apresenta um número muito grande de indivíduos (clientes potenciais) 
perante um sistema com capacidade de atendimento supostamente ilimitada. 
A suposição de uma fonte infinita é tomada como padrão para a maioria dos 
modelos de fila, até mesmo para sistemas que apresentam capacidade limitada de 
atendimento, desde que esse limite seja relativamente grande e que a chegada de 
um novo cliente na fila não afete de forma significativa a taxa de chegada de clientes 
subsequentes. Para ilustrar, tomemos o exemplo da fila de pessoas aguardando o 
embarque em uma estação de trem. Nesse caso, a fonte é considerada infinita 
por conter um número muito grande de clientes potenciais, e a capacidade de 
atendimento do sistema, apesar de na prática possuir certa limitação, pode ser 
considerada ilimitada em função do número relativamente grande de clientes que 
podem ser atendidos. A Figura 3 ilustra essa situação.
Figura 3 – Sistema de fi la com fonte infi nita.
Padrão de Chegada
O padrão de chegada descreve a maneira pela qual os clientes ingressam em 
um sistema de fila. Existem duas importantes variáveis que são consideradas para 
a determinação do padrão de chegada, sendo elas:
 · Taxa média de chegada: define o ritmo de chegada, ou seja, a 
quantidade média de clientes que ingressam no sistema de fila em um 
determinado período de tempo. Essa variável é representada pela letra 
grega λ (lambda);
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
 · Intervalo médio entre chegadas: define o tempo médio entre as 
chegadas, ou seja, o intervalo médio entre uma chegada e outra em unidade 
de tempo. Essa variável é representada pelas letras IC e corresponde ao 
inverso de λ (1/λ).
Para ilustrar esses conceitos, tomemos como exemplo um sistema de fila de 
um supermercado. Suponha que entre o período das 8 horas às 12 horas da 
manhã (período de 4 horas) 60 pessoas ingressaram na fila. Dessa forma, podemos 
concluir que a taxa média de chegada é de 15 clientes por hora (60 clientes ÷ 4 
horas) e o intervalo médio entre as chegadas é 4 minutos (60 minutos ÷ 15 clientes 
ou 240 minutos ÷ 60 clientes). Portanto:
� � � � �
60
4
15
60
240
clientes
horas
clientes por hora
clientes
minutos
11
4
cliente por minuto
IC
clientes
por cliente= =
240
60
4
minutos
minutos
Como visto, as variáveis λ e IC são quantificadas com valores médios, descrevendo 
o comportamento da fila para um período determinado, que no nosso exemplo 
foi de 4 horas. Considerando-se esse mesmo exemplo, existe a possibilidade de 
dois ou mais clientes terem chegado ao mesmo tempo na fila, sendo que nesse 
caso o intervalo de chegada entre eles será igual a zero, apresentando um desvio 
de 100% em relação ao intervalo médio entre as chegadas (IC). Podemos ainda 
considerar a possibilidade extrema de todos os clientes terem chegado exatamente 
às 8 horas. Isso não alteraria os nossos cálculos, ou seja, a taxa média de chegada 
(λ) e o intervalo médio entre chegadas (IC), calculados para o período de 4 horas 
(das 8 às 12 horas), seriam os mesmos. Sendo assim, fica claro que para o estudo 
do comportamento da fila, apenas o conhecimento de λ e IC não é suficiente, é 
necessário conhecer também como os valores que compõem essas variáveis se 
distribuem em torno da média.
Existem modelos de fila onde o intervalo entre as chegadas é constante, ou seja, 
entre uma chegada e outra o intervalo de tempo é sempre o mesmo. Esses casos 
geralmente são observados em processos que possuem alto nível de automatização, 
como por exemplo, o processo de envasamento em uma indústria de refrigerante, 
onde as garrafas entram na fila (esteira) em intervalos de tempo exatamente iguais. 
Padrão de Atendimento
O padrão de atendimento descreve o ritmo e a duração do serviço ou atendimento 
realizado pelo servidor. Essas informações são quantificadas por meio de duas 
importantes variáveis, a saber:
 · Ritmo de atendimento: indica a quantidade média de clientes atendidos 
em um determinado período de tempo. Utiliza-se a letra grega µ (mi) para a 
representação dessa variável;
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 · Tempo de atendimento: indica o tempo gasto ou a duração média do 
atendimento. Essa variável é representada pelas letras TA e corresponde ao 
inverso de µ (1/µ).
Para ilustrar esses conceitos, voltemos ao exemplo do sistema de fila de um 
supermercado, no qual ingressaram 60 clientes no período de 4 horas. Supondo 
que apenas 40 desses clientes foram atendidos dentro desse período, temos como 
ritmo de atendimento (µ) o resultado da divisão da quantidade de clientes atendidos 
pelo tempo total do período considerado (40 clientes ÷ 4 horas = 10 clientes por 
hora). O tempo médio de atendimento (TA), considerando o mesmo exemplo, é 
o resultado da divisão do tempo total pela quantidade de clientes atendidos (240 
minutos ÷ 40 clientes = 6 minutos por cliente). Portanto:
� � � � �
40
4
10
40
240
clientes
horas
clientes por hora
clientes
minutos
11
6
cliente por minuto
TA = =
240
40
6
minutos
minutos
clientes
por cliente
Número de Canais de Serviço
Refere-se à quantidade de servidores operando simultaneamente em um sistema 
de fila. Essa quantidade pode variar entre um único canal a múltiplos canais de 
serviço, sendo que nesse último caso, as filas podem ser organizadas de duas formas: 
fila única (apenas uma fila para ser atendida por vários servidores) e filas múltiplas 
(uma fila para cada servidor). A Figura 4 ilustra essas situações, apresentando as 
estruturas básicas de modelos de fila.
Figura 4 – Estruturas básicas de modelos de fi la
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
Disciplina da Fila
Corresponde à regra adotada em um sistema de fila para a determinação 
do próximo cliente a ser atendido. Normalmente, o atendimento é realizado 
obedecendo-se a ordem de chegada do cliente na fila, ou seja, o primeiro a chegar é 
o primeiro a ser atendido. Essa é a disciplina mais comum empregada em sistemas 
de fila, conhecida como FIFO (First In, First Out - primeiro a entrar, primeiro a sair). 
Entretanto, outras disciplinas podem ser adotadas em função das características do 
sistema, como por exemplo, em sistemas de processamento eletrônico de dados, 
onde os indivíduos que compõem a fila são os próprios dados (elementos não 
físicos), pode-se adotar a regra do “último a chegar é o primeiro a ser atendido”, 
de maneira que os dados que chegarem ao sistema serão gravados em posições 
superiores (mais altas) da memória de armazenamento, acima dos dados que foram 
gravados anteriormente. Ainda neste exemplo, e considerando que no processo de 
recuperação a leitura dos dados é feita a partir da posição mais alta até a posição 
mais baixa de memória, teremos então uma disciplina de fila do tipo LIFO (Last In, 
First Out - último a entrar, primeiro a sair). Esta situação nos faz lembrar da pilha 
de pratos sobre a pia aguardando a lavagem, onde o último prato colocado no topo 
da pilha será o primeiro a ser lavado.
Essas duas disciplinas básicas aplicadas em modelos de fila (FIFO e LIFO), são 
exemplificadas na Figura 5.
Figura 5 – Exemplos das disciplinas FIFO e LIFO aplicadas em modelos de fila
Além das disciplinas de fila apresentadas, outras alternativas podem ser 
empregadas de acordo com as necessidades e particularidades do sistema. Duas 
alternativas são destacadas a seguir: 
• Priority Service (PRI): atendimento prioritário oferecidopara determinadas ca-
tegorias de clientes, independente da ordem de chegada no sistema. Como exem-
plo, podemos apontar o atendimento prioritário para idosos, gestantes e porta-
dores de necessidades especiais em um sistema de fila de uma agência bancária;
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• Service in Random Order (SIRO): atendimento realizado de forma aleatória, 
sem levar em consideração a ordem de chegada dos clientes no sistema. Como 
exemplo, podemos destacar o sistema de embarque em uma estação do metrô, 
onde não existe formação de fila.
Capacidade do Sistema
Em qualquer modelo de fila, os clientes que ingressam no sistema devem aguardar 
pelo atendimento em uma área destinada para esse fim. Tanto para sistemas físicos 
(fila em uma agência bancária, por exemplo) como para sistemas virtuais (fila em um 
sistema eletrônico de serviço ao consumidor, por exemplo), existem limitações em 
função das dimensões da área de espera: uma agência bancária limita o tamanho 
da fila em função do espaço físico de suas instalações, ao passo que um sistema 
eletrônico de serviço ao consumidor limita o tamanho da fila de espera em função 
da capacidade de sua estrutura de rede de comunicação. Portanto, o tamanho da 
área de espera determina a capacidade do sistema para receber clientes.
Etapas do Processo de Atendimento
Um modelo de fila pode ter uma ou várias etapas de atendimento. Nos modelos 
de uma única etapa, existe um único servidor (atendente) que realiza plenamente 
o atendimento ou o serviço, ao passo que nos modelos de múltiplas etapas, o 
cliente é atendido por mais de um servidor, cada qual realizando uma etapa do 
atendimento ou serviço.
Como exemplo de modelo de fila com única etapa, podemos apontar o sistema de 
atendimento de um supermercado, onde o cliente ingressa na fila para registrar e pagar 
suas compras, sendo seu atendimento iniciado e finalizado por um único atendente.
Para exemplificar um modelo de múltiplas etapas, podemos citar o sistema de 
fila para renovação da carteira de habilitação para condutores de veículos, onde o 
cliente deve ingressar em uma fila para solicitar o serviço, sendo encaminhado a 
outra fila para a realização de exame médico, e outra fila para pagamento da taxa 
de serviço. Somente após passar por esses estágios, onde vários servidores foram 
envolvidos, o cliente terá o serviço realizado. 
A Figura 6 ilustra esses dois modelos de fila.
Figura 6 – Modelos de fi la com única e múltiplas etapas de atendimento
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
Variáveis Básicas de um Modelo de Fila
Para realizarmos a análise comportamental ou a medição de performance de 
um modelo de fila, devemos conhecer as variáveis básicas que integram o sistema, 
assim como as relações entre elas. Algumas dessas variáveis já foram referenciadas 
em seções anteriores desta unidade, no entanto, veremos agora um resumo onde 
são incluídas as outras variáveis significativas, conforme representação gráfica 
apresentada na Figura 7.
Figura 7 – Variáveis básicas de um Modelo de fila
Observe que as variáveis estão agrupadas de acordo com os seus respectivos 
processos, sendo esses: chegada (processo de chegada de novos clientes no sistema), 
fila (processo de formação das filas) e atendimento (processo de atendimento e 
prestação do serviço). Para esse agrupamento ou classificação das variáveis, os 
processos de fila e atendimento são tratados como um único processo denominado 
“processo de sistema”. A seguir, são discriminadas as variáveis básicas de um 
modelo de fila.
Variáveis do Processo de Chegada
λ - Número médio de clientes que chegam ao sistema (taxa média de chegada 
ou ritmo médio de chegada);
IC - Intervalo médio entre as chegadas (1/λ).
Variáveis do Processo de Fila
NF - Número médio de clientes aguardando atendimento em uma fila de espera 
(tamanho da fila);
TF - Tempo médio que o cliente permanece na fila de espera.
Variáveis do Processo de Atendimento
M - Número de servidores (capacidade de atendimento);
NA - Número médio de clientes que estão em atendimento (número médio de 
transações);
TA - Tempo médio de atendimento por cliente (1/µ);
µ - Taxa média de atendimento por servidor (ritmo médio de atendimento).
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Variáveis do Processo de Sistema
NS - Número médio de clientes no sistema (número médio de transações);
TS - Tempo médio que o cliente permanece no sistema.
Além dessas variáveis básicas, existem dois indicadores de performance 
importantes dentro do estudo da teoria das filas, são eles:
• Taxa de utilização dos servidores: corresponde ao intervalo médio de tempo 
em que cada atendente está ocupado. Este indicador é representado pela letra 
grega ρ (rô). Para exemplificar, imagine um sistema que tem apenas 1 servidor 
com capacidade para atender 10 clientes por hora. Se nesse sistema chegarem 
6 clientes por hora, podemos dizer que a taxa de utilização do servidor é de 0,6 
(6/10), ou seja, o atendente estará ocupado 60% do tempo. Se aumentarmos 
o número de atendentes para 2, a taxa de utilização dos servidores cairá pela 
metade (6/20 = 0,3).
• Intensidade de tráfego: indica o número mínimo de atendentes para um 
determinado volume de tráfego. Este indicador é representado pela letra i e 
sempre assume o próximo valor inteiro da relação entre o ritmo de chegada 
(λ) e o ritmo de atendimento (µ). Por exemplo, em um sistema onde ritmo de 
chegada é 10 clientes por hora e o ritmo de atendimento por servidor é de 3 
clientes por hora, o número mínimo de servidores é 4, ou seja, 10÷3 = 3,33. 
Veja que a relação λ÷µ gera um valor fracionário (3,33), dessa forma, para 
determinarmos o número mínimo de servidores para que o sistema se torne 
estável, devemos tomar o próximo valor inteiro da relação, que neste caso é 4. 
Fórmulas Importantes
Indicador Fórmula
Intervalo médio entre chegadas IC = λ
1
Tempo médio de atendimento TA = µ
1
Taxa média de utilização do servidor ρ =
λ
M μ⋅
Intensidade de tráfego ou número de atendentes i =
λ
μ






Número médio de clientes no sistema NS = NF + NA
Número médio de clientes em atendimento NA = ρ =
λ
M μ⋅
Tempo médio em que o cliente permanece no sistema TS = TF + TA
Número médio de clientes na fila ou tamanho da fila (Lei de Little*) NF = λ TF⋅
Número médio de clientes no sistema ou número médio de transações (Lei de Little*) NS = λ TS⋅
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
*John Dutton Conant Little: professor do Instituto de Tecnologia de 
Massachusetts (MIT). No início da década de 1960, o professor John Little 
desenvolveu um dos mais importantes estudos dentro da Teoria das Filas. Nesse 
trabalho, Little relacionou o tamanho médio de um sistema de fila com o tempo 
médio de espera em um sistema equilibrado, propondo duas equações que 
ficaram conhecidas como “Fórmulas de Little” ou “Lei de Little”, sendo elas:
• NF=λ .TF
(Tamanho da fila = Taxa de chegada x Tempo de espera)
• NS=λ .TS
(Número de transações = Taxa de chegada x Tempo de permanência no sistema)
Exemplos de Aplicação
Vejamos agora alguns exemplos práticos onde aplicaremos os conceitos 
estudados sobre algumas situações que envolvem sistemas de fila.
Exemplo 1: Em um determinado sistema, chegam em média 10 clientes por 
minuto (λ). Qual é intervalo médio entre as chegadas (IC)?
Solução:
λ = 10 (taxa média de chegada = 10 clientes por minuto)
IC = 1/λ (Intervalo médio entre chegadas)
IC = 1/10 ⇒ IC = 0,1 minuto = 0,1 x 60 segundos = 6 segundos
Exemplo 2: Sabendo-se que a taxa média de atendimento (µ) em um dado 
sistema é de 4 clientes por minuto, qual é o tempo médio de atendimento (TA)?
Solução:
µ = 4 (taxa média de atendimento = 4 clientes por minuto)
TA = 1/µ (tempo médio de atendimento)
TA = 1/4 ⇒ TA = 0,25 minuto = 0,25 x 60 segundos = 15 segundos
Exemplo 3: Qual é a quantidade necessária de atendentes (i) em um sistema 
onde a taxa média de chegada (λ) é de 13 clientes por hora e o tempo médio de 
atendimento (TA) é de 12 minutos?
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Solução:
λ = 13 (taxa média de chegada = 13 clientespor hora)
TA = 12min = 0,2h (tempo médio de atendimento = 12 minutos ou 0,2 hora)
µ = 1/TA = 1/0,2 = 5 (taxa média de atendimento = 5 clientes por hora)
i = [λ / µ] = [13/5] = [2,6] = 3 (número de atendentes = 3)
Exemplo 4: Em um determinado sistema, a taxa média de chegada (λ) é de 
20 clientes por hora, o ritmo de atendimento (µ) é de 25 clientes por hora e o 
tempo médio que o cliente permanece no sistema (TS) é de 15 minutos. Qual é o 
tamanho médio da fila (NF) e qual é o número médio de clientes no sistema (NS)?
Solução:
λ = 20 (taxa média de chegada = 20 clientes por hora)
µ = 25 (taxa média de atendimento = 25 clientes por hora)
TA = 1/µ = 1/25 = 0,04 (tempo médio de atendimento = 0,04h)
TS = 15min = 0,25h (tempo médio de permanência no sistema = 0,25h)
TF = TS - TA = 0,25 - 0,04 = 0,21 (tempo médio de espera na fila = 0,21h)
NF = λ.TF = 20.(0,21) = 4,2 (tamanho médio da fila = 4,2 clientes)
NS = λ.TS = 20.(0,25) = 5 (número médio de clientes no sistema = 5 clientes)
Exemplo 5: Em um sistema com 2 atendentes, a taxa média de chegada (λ) é 
de 36 clientes por hora e o ritmo de atendimento (µ) é de 40 clientes por hora. 
Qual é a taxa média de utilização dos servidores (ρ)?
Solução:
λ = 36 (taxa média de chegada = 36 clientes por hora)
µ = 40 (taxa média de atendimento = 40 clientes por hora)
M = 2 (número de servidores = 2)
ρ = λ / (M.µ) = 36/(2x40) = 0,45 (taxa média de utilização dos servidores = 
0,45, ou seja, cada servidor ficará ocupado 45% do tempo)
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UNIDADE Introdução à Teoria das Filas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Introdução à Pesquisa Operacional
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Mc Graw-Whill, 2013. Capítulo 17.
Pesquisa Operacional
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8ª edição. Pearson, 2007. Capítulo 15
 Leitura
Teoria das Filas: Conceitos e Aplicações
https://goo.gl/8LX1ai
Pesquisa Operacional: Uma aplicação da Teoria das Filas a um Sistema de Atendimento
https://goo.gl/j4HHNA
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Referências
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para a 
Análise de Decisão. 4. ed. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Técnicos e Científicos, 2011.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: Mc Graw-Whill, 2013.
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8.ed. Pearson, 2007.
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