Aula 1 Metodos Determinísticos II

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Aula
FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSAS
1
O b j e t i v o s
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
1 entender e trabalhar com o conceito de função
crescente e de função composta;
2 entender os conceitos de função sobrejetiva, in-
jetiva, bijetiva e de função inversa;
3 decidir se uma função possui ou não inversa;
4 resolver problemas envolvendo funções inversas
e representar graficamente as soluções.
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
Nesta aula, vamos identificar propriedades importantes das
funções. Continuamos nosso trabalho considerando funções re-
ais de variável real. Ou seja, os domı́nios Dom( f ) das funções f
são sempre subconjuntos de números reais, isto é, Dom( f )⊂R,
enquanto que o contradomı́nio é constituı́do de todos os números
reais R. Para iniciar, eis o conceito de função composta.
FUNÇÕES COMPOSTAS
Considere uma função f cujo domı́nio é Dom( f ) e outra
função g cujo domı́nio é Dom(g). Suponha ainda que a imagem
de f , Im( f ), esteja contida no domı́nio de g, isto é, Im( f ) ⊂
Dom(g). Veja a representação da situação no esquema a seguir:
f : Dom( f )−→R , Im( f )⊂ Dom(g) e g : Dom(g)−→R.
Note que, como Im( f ) ⊂ Dom(g), então para todo número x ∈
Dom( f ), f (x) ∈ Dom(g). Logo é permitido aplicar a função g
ao número f (x), isto é, calcular o resultado g( f (x)). Assim pro-
cedendo, estaremos associando a cada número real x ∈ Dom( f )
um número real g( f (x)). Portanto, este esquema permite definir
uma nova função h, a partir das funções f e g,
h : Dom( f )−→ R,
pela fórmula
h(x) = g( f (x)) .
A nova função h é denominada a composta de f com g. Para
facilitar, a notação e o cálculo da função composta, vamos con-
siderar x a variável para a função f e y a variável para a função
g. Como Im( f ) ⊂ Dom(g), a imagem da função f está contida
no domı́nio da função g e, então, podemos escrever y = f (x).
Também representando por w os elementos que estão na Im(g),
podemos escrever que
y = f (x) , w = g(y)⇒ w = h(x) = g( f (x)).
Usamos a notação h= g◦ f para representar a função obtida pela
composição das funções f e g. Veja, também, a Figura 1.1 que
simboliza a composição de funções.
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U
L
A
1
1
M
Ó
D
U
L
O
1
( ) ( ( ))
replacements
x
f g
R
Im f
Dom( f )
Dom(g)
y = f (x) g(y) = g( f (x))
Figura 1.1: A função composta h = g ◦ f .
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Exemplo 1.1
Considere as funções f : R→ R e g : R→ R dadas por
f (x) = x−2,
g(y) = y3 .
a. Encontre a função composta h = g◦ f .
b. Mostre que x = 2 é uma das raı́zes da equação h(x) = 0.
Solução: a. A função composta h = g ◦ f tem como fórmula a
expressão
h(x) = g( f (x)) = g(x−2) = (x−2)3 = x3 −6x2 +12x−8 .
b. Usando a fórmula da função encontramos que
h(2) = 23 −6(2)2 +12(2)−8 = 8−24+24−8 = 0 .
Portanto, x = 2 é raiz da equação h(x) = 0.
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Exemplo 1.2
Sejam as funções g : R→ R e f : R→ R definidas por
g(x) =
{
x2 se x ≥ 0,
x se x < 0,
e f (x) = x−3 .
Encontre a expressão que define h = g◦ f .
Solução: Temos que
h(x) = g( f (x)) = g(x−3) .
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
Em virtude da definição de g, precisamos saber quando x− 3 ≥ 0 e
quando x−3 < 0.
Ora
x−3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 e x−3 < 0 ⇔ x < 3 .
Logo,
h(x) =
{
(x−3)2 se x ≥ 3,
x−3 se x < 3.
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Exemplo 1.3
Sejam as funções reais f (x)= 3x+2 e (g◦ f )(x)= x2−x+1.
Determine a expressão de g.
Solução: Temos que
(g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(3x+2) = x2 − x+1 .
Façamos agora
3x+2 = y ⇒ x = y−2
3
.
Logo,
g(y) =
(
y−2
3
)2
− y−2
3
+1
g(y) =
y2 −4y+4
9
− y−2
3
+1
g(y) =
1
9
(
y2 −4y+4−3(y−2)+9
)
g(y) =
1
9
(
y2 −7y+19
)
.
FUNÇÕES SOBREJETORA, INJETORA E
BIJETORA
Até agora, ao tratar das funções, estamos sempre supondo
que o contradomı́nio é todo o conjunto R. Neste momento, é
útil para explicar os conceitos desta parte do nosso estudo, consi-
derar que o contradomı́nio das funções é um subconjunto B⊂R.
Uma função f : A → B é sobrejetora se Im( f ) = B. Ou seja,
para todo elemento y ∈ B existe x ∈ A, tal que f (x) = y.
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A
U
L
A
1
1
M
Ó
D
U
L
O
1
Uma função f : A → B é injetora (ou injetiva) se todo par
de elementos diferentes x1 e x2 no domı́nio A dão como ima-
gens elementos g(x1) e g(x2) também diferentes. Ou seja, vale
a propriedade:
x1,x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ g(x1),g(x2) ∈ Im(g) e g(x1) 6= g(x2) .
Uma função f : A → B, que tem ambas as propriedades injetora
e sobrejetora, é dita uma função bijetora.
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Exemplo 1.4
Sejam A = {0,1,2}, B = {1,2,3} e f , g : A → B como nos
diagramas abaixo.
A função f não é injetora, nem sobrejetora. A função g é
bijetora.
A B
Dom( f ) = A
Im( f ) 6= B
f
0 1
1 2
2 3
A B
Dom( f ) = A
Im(g) = B
g
0 1
1 2
2 3
Figura 1.2: As funções f e g.
FUNÇÃO INVERSA
Sobre qualquer conjunto não vazio de números reais A ⊂ R,
podemos definir uma função chamada identidade IdA : A → A
pela equação IdA(x) = x. A partir da função identidade e do
conceito de composição de funções, podemos perguntar sobre a
existência de funções inversas. Veja como o problema é colo-
cado.
Considere uma função f : A → B onde A e B são subconjun-
tos de números reais. Estamos interessados em encontrar con-
dições para que exista uma função g : B → A que seja a função
inversa de f . Essa nova função deve ter as duas propriedades
g◦ f (x) = IdA
e
f ◦g(x) = IdB.
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
Veja a primeira propriedade expressa no seguinte diagrama de
funções.
A
f−→ B g−→ A
x 7−→ f (x) 7−→ g( f (x)) = x
Examine o diagrama e verifique que x é o ponto de partida e
de chegada. Mas, quais são as propriedades que devem verificar
uma função f : A → B para garantir a existência de uma função
inversa?
Vamos dedicar nossa energia para encontrar uma resposta,
em dois tempos.
Primeiramente, afirmamos que a função deve ser injetiva. De
fato, se uma função f não é injetiva, então não existe inversa.
Veja um exemplo, representado no diagrama a seguir, onde
A = {5,6,7} e B = {1,2} .
A função inversa não pode ser definida para o elemento 1, pois
f (5) = f (6) = 1.
A B
f
5 1
2
6
7
Figura 1.3: Temos que f (5) = f (6) = 1.
Em segundo lugar, se a função não é sobrejetora, então não
existe inversa. Veja um exemplo de uma função f não sobreje-
tora, representado no diagrama a seguir, onde
A = {5,6,7} e B = {1,2,3,4} .
A função inversa não pode ser definida em 4 ∈ B.
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A
U
L
A
1
1
M
Ó
D
U
L
O
1A B
f
5 1
26
7
3
4
Figura 1.4: Não existe x ∈ A tal que f (x) = 4.
Finalmente, para uma função f bijetora está claro, depois da
discussão que fizemos, que existe uma função inversa. Vamos
denotar de agora em diante por f−1 : B → A a função inversa
de f .
Portanto, uma função f : A → B possui a função inversa f−1
se, e somente se, f é bijetora.
Além disso, a função inversa f−1 : B → A tem as seguintes
propriedades:
(i) f−1 é uma função bijetora de B em A.
(ii) Dom
(
f−1
)
= Im( f ) = B.
(iii) Im
(
f−1
)
= Dom( f ) = A.
OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA
INVERSA
A relação entre os pares ordenados que compõem os gráficos
de f e f−1, os quais são denotados por G( f ) e G
(
f−1
)
, pode ser
expressa simbolicamente por
(x,y) ∈ G( f ) ⇔ (y,x) ∈ G
(
f−1
)
ou
y = f (x) ⇔ x = f−1(y) .
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
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Exemplo 1.5
As funções f : R−{0} → R−{0} e f (x) = 1
x
é tal que
f = f−1. Veja as contas para comprovar:
(
f−1 ◦ f
)
(x) = f−1
(
f (x)
)
= f−1
(
1
x
)
= x ⇒f−1(x) = 1
x
.
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Exemplo 1.6
Qual a função inversa da função bijetora f : R→ R definida
por f (x) = 3x+2?
Solução: Se y = f (x) então f−1(y) = x.
Partindo de y = f (x), y = 3x+2, procuramos isolar x.
y = 3x+2 ⇒ x = y−2
3
.
Logo,
f−1(y) = x =
y−2
3
.
� Como a variável independente pode indiferentemente ser
trocada também, podemos escrever, para a função inversa
f−1 do exemplo anterior, que
f−1(x) =
x−2
3
.
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Exemplo 1.7
Qual é a função inversa da função bijetora em f : R → R
definida por f (x) = x3?
Solução: Temos que
y = f (x) = x3,
logo,
x = 3
√
y .
Portanto
f−1(y) = x = 3
√
y.
Ou seja,
f−1(x) = 3
√
x.
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U
L
A
1
1
M
Ó
D
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L
O
1
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Exemplo 1.8
Um exemplo interessante é o da função identidade.
I : R→ R, I(x) = x. Isto é, se escrevermos y = I(x), temos que
y = x. A representação gráfica desta função resulta na bissetriz
do primeiro e terceiro quadrante. Veja a figura a seguir.
x
y
y = x
2
2
Figura 1.5: A função I(x) = x.
É claro que I−1 = I, isto é, a função identidade e sua inversa
coincidem.
Um exame do gráfico a seguir nos leva à conclusão que os
pontos (x,y) e (y,x) do plano, abaixo representados, são simétricos
com relação à reta y = x.
x
x
y
y
(x,y)
(y,x)
y = x
Figura 1.6: Simetria dos pontos (x,y) e (y,x).
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
Lembrando a relação
(x,y) ∈ f ⇔ (y,x) ∈ f−1,
podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma
função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x. Isto
é, os gráficos que representam f e f−1 são simétricos em relação
à reta bissetriz do 1o e 3o quadrante. Veja um exemplo deste fato
a seguir.
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Exemplo 1.9
Considere a função f e sua inversa f−1 definidas por
f : (0,+∞) −→ (0,+∞)
x 7−→ f (x) = x2 e
f−1 : (0,+∞) −→ (0,+∞)
x 7−→ f−1(x) =√x .
Observe a propriedade de simetria dos gráficos a seguir.
x
y
y =
√
x
y = x
y = x2
1
1
Figura 1.7: Gráficos de funções inversas.
FUNÇÕES MONÓTONAS
Dentre as funções que são injetivas destacam-se as funções
crescentes, decrescentes e similares. Acompanhe a formulação
destes conceitos.
Considere uma função f : A → B onde A e B são subconjun-
tos de números reais. Então, a função é dita:
• crescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)< f (x2) ;
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A
U
L
A
1
1
M
Ó
D
U
L
O
1
• decrescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)> f (x2) ;
• não-crescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)≥ f (x2) ;
• não-decrescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)≤ f (x2) ;
Veja, nas Figuras 1.8 e 1.9, representações gráficas de funções
com as propriedades acima.
x
y = f (x)
x
y = f (x)
Figura 1.8: Função f crescente e decrescente.
x
y = f (x)
x
y = f (x)
Figura 1.9: Função f não-crescente e não-decrescente.
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Exemplo 1.10
A função f : (0,∞)→ (0,∞), f (x) = x2 é crescente. Veja a
justificativa.
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
Suponha dois números reais a e b positivos, devemos mos-
trar que se
a < b ⇒ f (a)< f (b)⇔ a2 < b2 .
Para comprovar, acompanhe as contas:
a2 < b2 ⇔ a2 −b2 < 0 ⇔ (a−b) · (a+b)< 0. (1.1)
Como os números são positivos, então (a+ b) > 0. Também,
como a < b, então a− b < 0. Logo, (a− b) · (a+ b) < 0. Isto
mostra que (1.1) é verdadeiro e que, portanto, a2 < b2 é verda-
deiro. Portanto, a função é crescente. Veja o gráfico da função
representado na Figura 1.10.
x
y = x2
2
4
9
3
Figura 1.10: Gráfico de uma função crescente.
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Exemplo 1.11
Considere a função h : R→ R, onde
h(x) =



2 se x ≤−2,
−x se −2 < x ≤ 0,
x2 se x > 0.
Então f é constante no intervalo (−∞,−2], decrescente no in-
tervalo (−2,0] e crescente no intervalo (0,+∞). Examine estas
propriedades no gráfico da função apresentado na Figura 1.11.
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A
U
L
A
1
1
M
Ó
D
U
L
O
1
x
h(x)
−2
2
Figura 1.11: Gráfico da função h(x).
Exercı́cio 1.1
1. Examine, nos intervalos (−∞,2], (−2,2] e (2,+∞), o com-
portamento da função g : R→R, onde
g(x) =



−x2 se x ≤−2,
−4 se −2 < x ≤ 2,
−x−2 se x > 2.
2. Dados f (x) = x2 −1, g(x) = 2x, determine:
a) f ◦g(x); b) f ◦ f (x); c) g◦ f (x); d) g◦g(x).
3. Sendo f a função real definida por f (x)= x2−6x+8, para
todos os valores x > 3. Construa o gráfico de f , conclua
que existe a inversa f−1 e determine o valor de f−1(3).
4. A função inversa da função bijetora f : R− {−4} →
R−{2} definida por f (x) = 2x−3
x+4
é:
a) f−1(x) =
x+4
2x+3
; d) f−1(x) =
4x+3
x−2 ;
b) f−1(x) =
x−4
2x−3; e) f
−1(x) =
4x+3
x+2
.
c) f−1(x) =
4x+3
2− x ;
5. Dada a função real de variável real f , definida por
f (x) =
x+1
x−1, x 6= 1:
a) determine ( f ◦ f )(x);
b) escreva uma expressão para f−1(x).
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Métodos Determinı́sticos II | Funções Compostas e Inversas
6. Suponha que f : R→R é da forma f (x)= ax+b e verifica
f [ f (x)] = x+1. Calcule a e b.
7. Seja a função f tal que f : (R − {−2}) → R, onde
f (x) =
x−2
x+2
. Encontre o número real x que satisfaz
f ( f (x)) =−1.
8. Sendo f (x−1) = 2x+3 uma função de R em R, a função
inversa f−1(x) é igual a:
a) (3x+1) ·2−1; d) x−3
2
;
b) (x−5) ·2−1; e) (x+3) ·2−1.
c) 2x+2;
9. Seja f : (0,+∞)→ (0,+∞) a função dada por f (x) = 1
x2
e f−1 a função inversa de f . Calcule o valor de f−1(4).
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