funes_variasvariaveisII

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Plano tangente a uma superficie: G(f). 
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o 
plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que 
passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são 
co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe. 
 
Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) RRAf 
2:
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto 
 (x0,y0,z0), z0=f(x0,y0) 
0)0.(1)()(
00 00
 zzfyyfxx yx
),( 000 yxx
f
f x


 ),( 000 yxy
f
f y



Plano tangente a uma curva. 
A interseção do plano e 
A curva z=f(x,y) é 
justamente o ponto 
(x0,y0) 
http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html 
h
rfuhrf
dh
df
fD huu
)()(
lim|)( 000

 
Derivada direcional 
Definição: Seja RRAf n : uma função real 
de variável vetorial 
Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de R
n. 
A derivada direcional de f no ponto r0 é 
Se o limite existe. Define uma reta L 
que passa por r0 na direção u . 
ruhr  0
Derivada direcional 
)
),,(
- 
),,(
(lim
000
302010
0
h
zyxf
h
huzhuyhuxf
fD hu

 
RRAf  3:Seja , e ro = (x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3) 
ro 
ro+ h u = r 
u 
Conforme h0, r  r0 
Derivada direcional 
Derivada direcional 
u
f
fD
u


 É a taxa de variação de f no ponto r0, ao 
longo do vetor unitário u . 
Particularizando para u = e1= (1,0) = i 
Particularizando para u = e1 = (0,1) = j 
01
|
)()(
lim 0100 rhe x
f
h
rfehrf
fD




 
02
|
)()(
lim 0200 rhe y
f
h
rfehrf
fD




 
Derivada parcial como taxa de variação. 
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0), 
),( 00 yx
x
f


A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1), 
),( 00 yx
y
f


Notemos que na definição de derivada direcional o 
vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se 
o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não 
dependeria somente do ponto e da direção, mas 
também do comprimento do vetor. 
Derivada direcional e gradiente. Z=f(x,y) 
u.|f 
),.(|),( 
|)(|)( 
|)(|)(|)(|)(
P0
210
2010
000, 0






uu
dy
df
dx
df
u
dy
df
u
dx
df
dh
dy
dy
df
dh
dx
dx
df
ud
df
dh
df
P
PP
PPPPu
0020100 rP ; ;uh x x,  uhyyuhrr

0|Pf Gradiente de f(x,y) no ponto P0 
: vetor unitário u

Exemplo de operador gradiente 
No exemplo anterior ( ), a medida que o ponto se 
afasta da origem o comprimento do gradiente cresce 
ficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem. 
rf

2
F(x,y)= x2- y2, grad(f) = (2x, -2y) 
costuma se pensar em grad (f) como um campo de 
 vetores no domínio de f 
Seja z = f(x,y), R2  R 
Consideremos a curva de nível c = f(x,y) do plano R2 
Consideremos uma parametrização desta curva 
))(),(()( tytxtr 

R2  R , c = f(x(t),y(t)), 
0.
,0),).(,(
,0
,0))(),((













dt
rd
f
dt
dy
dt
dx
y
f
x
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dc
tytxf
dt
d

O vetor grad(f) é perpendicular á curva de nível, 
desde que dr/dt é o vetor tangente á curva de nível. 
gradiente de f 
Z=f(x,y)=x2+y2+1 
grad(f) = (2x,2y) 
Exemplo : Seja a elipse x2+y2/4 = 5, determine a equação da 
Reta tangente no ponto (2,-2) desta elipse, utilize o conceito 
de gradiente. 
Gradiente de uma função real de variável 
vetorial. 
Definição: Seja )uf( )x,..,x,(xu 
:
n21 
 RRAf n
uma função real de variável vetorial , sendo u um 
vetor arbitrário de A subconjunto de Rn 
 )
f
,...,
f
,
f
()( f 
: 
n21 xxx








fgrad
RRfgrad n

Existe uma transformação linear que leva f a um vetor Rn 
chamado de vetor gradiente “grad f” 
 “grad”  Operador gradiente 
grad (f)  vetor gradiente 
n
x
2
x
1
x
e
f
...e
f
e
f
)(
n21








fgrad
)1,....,0,0(
.
)0,...,1,0(
)0,....,0,1(
2
1



ne
e
e
Caso f: R3  R, f=f(x,y,z) 
)
f
,
f
,
f
()
f
,
f
,
f
()(
yxxxx 321 z
fgrad














Propriedades algébricas do vetor gradiente 
.
g
grad(g) )( 
)(
),( )() (
, ) (
2
ffgradg
g
f
grad
ggradfgfgradgfgrad
grad(g)grad(f)gfgrad



 
α, β são constantes. 
Exemplos: 
1.- seja f(x,y,z)= x + yz, g(x,y,z)= x2+y2, 
determine grad(f/g) e grad( f+g) utilizando as 
propriedades anteriores. 
 
Propriedade importante: seja f: Rn  R 
Seja grad(f) : R  Rn 
ufgradfD
u
 ).(
Exemplo: Determine o vetor gradiente da função 
f(x,y,z,w) = x2+y2+z, verifique a relação anterior no 
ponto r0=(1,2,0,-1) e na direção 
u é um vetor 
unitário de Rn 
6
)1,0,2,1( 
u

Seja w = f(x,y,z), R3  R 
Consideremos a superfície de nível S: c = f(x,y,z) do 
espaço R3. Consideremos uma parametrização desta 
superfície.Logo é uma curva lisa 
sobre esta superfície. 
))(),(),(()( tztytxtr 

r(t): R3  R , c = f(x(t),y(t),z(t)), 
0.
,0),,).(,,(
,0
,0))(),(),((


















dt
rd
f
dt
dz
dt
dy
dt
dx
z
f
y
f
x
f
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dc
tztytxf
dt
d

O vetor grad(f) é perpendicular a qualquer vetor 
 tangente á curva que mora na superfície de nível, logo 
ela é ortogonal ao plano tangente à S (definido pelos 
vetores tangentes as curvas que passam pelo ponto P0.) 
Consideremos um ponto P0 
na superfície de nível S. 
 
A analise feita nesta pagina 
é sempre no mesmo ponto P0. 
 Plano tangente a uma superfície de nível 
 
Seja w = f(x,y,z), R3  R 
Consideremos a superfície de nível S: c = f(x,y,z) do 
espaço R3. Seja P0 = (x0,y0,z0) um ponto de S. 
Considere uma curva r1(t)=(x(t),y(t),z(t)) sobre a 
superfície S, ao derivar esta curva iremos obter um vetor 
tangente “vetor velocidade” à curva em cada ponto da 
curva. Podemos pensar em outra curva r2(t) que também 
mora na superfície S, tal que as curvas se intersecam no 
ponto P0. Os dois vetores tangentes v1,v2 as curvas 
respectivamente no ponto P0 , vão definir o plano 
tangente no ponto P0. Um vetor normal à superfície S no 
ponto P0 (e normal ao plano tangente) será . 21 vv 
Seja P0 = (x0,y0,z0) , podemos utilizar o vetor gradiente em P0 para 
determinar a equação do plano tangente em P0. 
Equação do plano tangente à superfície S em P0 
000
000
|;|;|
,0)()()(
000
000
PzPyPx
zyx
z
f
f
y
f
f
x
f
f
fzzfyyfxx










,|),,(| 00 PP
z
f
y
f
x
f
f







A analise feita na pagina 18 mostra que um vetor ortogonal à 
superfície S no ponto P0, e também ortogonal ao plano tangente 
no mesmo ponto é o vetor gradiente 
Propriedade importante 
1|| , .  uuffD
u
)cos(|| ffD
u

fD
u
Varia com o ângulo ϴ, sendo esta variação 
máxima quando ϴ = 00 
Dado um ponto r =(x1,x2,...,xn) de R
n, sendo f= f(x1,x2,...,xn) 
Propriedades importantes 
1) A taxa máxima de crescimento de f no ponto r 
 ocorre na direção do gradiente. 
2) O valor máximo de no ponto r é |grad(f)| 
 
3) Se grad(f)=(0,...,0)= 0 então para 
todo u 
4) Derivada direcional como taxa de variação 
fD
u
0fDu
dhufdf P ) .|( 0


df da a estimativa da variação da função diferençável f 
 quando nos movemos uma pequena distancia dh a partir do 
ponto P0 na direção do vetor unitário u. 
 Exercícios 
1.- Seja f(x,y)= x2+y2+1, determine a derivada direcional da 
função f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitário 
u=(u1,u2). 
 
2.- Seja f(x,y,z)=x2 + 2 y2 – z, determine a derivada 
direcional de f no ponto (1,1,1) na direção v=(1,2,1) 
 
3.- Determine a taxa de variação do potencial elétrico 
V = k (x2+y2+z2)-1/2 no ponto (1,2,0) na direção v=(1,2,0), 
K é uma constante, assuma k=1. 
Continua... 
4.- Seja a função real de variável vetorial 
 w = f(x,y,z)= 2sin(x+y)+z 
a) Determine o gradiente de f no ponto (π/4,π/4,1) = P0. 
b) Determine a derivada direcional de f(x,y,z) no ponto 
P0 na direção u=(1,0,1), v=(0,1,1), w=(0,0,1), 
respectivamente. 
c) Em que direção a derivada direcional de f no ponto P0 
tem a taxa máxima de variação. 
d) Qual é a taxa máxima de variação de f no ponto P0 
e) Determine a equação do plano tangente em P0 à 
superfície de nível c = 2sin(x+y) + z 
 
5.- Uma superfície de nível S esta definida pela equação c= 5 = 
f(x,y,z) = x2+ y2 + z2. Considere a curva r1 (t) = (cos(t), sin(t), 
z1(t)) e r2 (t) =(x(t), y(t),z(t)) , sendo r2 (t) a curva definida 
pela interseção da superfície S e o plano x=y. r1(t) e r2(t) 
pertencem à S. 
a) Determine r2 (t). 
b) Encontre o ponto de interseção das duas curvas P0 
c) Determine o vetor gradiente da função f(x,y,z). 
d) Determine a equação do plano tangente à superfície S no 
ponto P0. 
e) Determine os vetores unitários T, N correspondente à 
curva r1 (t) no ponto P0. 
f) Determine a deriva direcional da função f(x,y,z) no ponto 
P0 na direção T. 
Observação: P0 está no primeiro oitante. 
 
Respostas: (exercício 5) 
• a) 
 
• b) , 
• d) 
 
• e) 
 
• f) 0 
))cos(5),sin(
2
5
),sin(
2
5
()(2 ttttr 
)2),sin(),(cos()(1  tttr )2,2
2
,
2
2
(0 P
10422  zyx
)0,
2
2
,
2
2
(T