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Lista 1 - Teoria de Anéis - 2014
Professor: Marcelo M.S. Alves
Data: 08/08/2014
1. Seja A um anel. Mostre que
(a) a+ b = a+ c implica em b = c
(b) 0 · a = 0, ∀a ∈ A
(c) −(ab) = (−a)b = a(−b), ∀a, b ∈ A
(d) (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ A
(e) a(b− c) = ab− ac, ∀a, b, c ∈ A
(f) (a− b)c = ac− bc, ∀a, b, c ∈ A
2. Mostre que se a é um elemento de um anel A, então
(a) −a = (−1)a
(b) (−1)(−1) = 1
(c) (−1)(−a) = a
3. Seja A um anel comutativo com unidade.
(a) Mostre que o conjunto T2(A) das matrizes triangulares superiores 2× 2
[
a b
0 c
]
com a, b, c ∈ A é um subanel de M2(A).
(b) Seja agora A = R. Mostre que o conjunto das matrizes triangulares superiores 2 × 2 da
forma
[
m b
0 m
]
com m ∈ Z e b ∈ R é um subanel de T2(R).
4. Mostre que o conjunto K das matrizes triangulares superiores 2× 2
[
a 2b
b a
]
com a, b ∈ Q é um subanel de M2(Q). Mostre que, na verdade, K é um corpo.
5. Verifique que o conjunto das matrizes 2× 2 diagonais com entradas em R é um anel comutativo
com unidade, e que não é um domı́nio de integridade.
(recorde que para ser anel com unidade, basta ser subanel de M2(R))
6. Seja A um domı́nio de integridade. Mostre que
(a) a2 = 1 implica em a = 1 ou a = −1 (sugestão: produto notável...)
(b) Mais geralmente, a2 = b2 implica em a = b ou a = −b.
(c) Se a3 = a então a = 0, 1 ou −1.
(d) Para ver que a hipótese de ser domı́nio é mesmo importante, procure contra-exemplos para
as afirmações dos itens anteriores no anel do exerćıcio 5 (que não é um domı́nio).
7. Seja A um anel. Mostre que A é um domı́nio de integridade, ou seja,
se ab = ac e 6= 0 então b = c
se e somente se não possui divisores de zero, isto é,
se ab = 0 então a = 0 ou b = 0.
8. Seja A um subanel de R.
(a) Mostre que A contém Z. Sugestão: 1 ∈ A por definição, e já vimos que 0 também está em
A. Por que 2 está em A? Continue por indução.
(b) Mostre que se A é um subcorpo de R então A contém Q.
9. Seja A um anel. Definimos recursivamente potências (com expoente natural positivo) de ele-
mentos de A pelas regras:
a1 = a
a(n+1) = ana
de modo menos formal, an é o produto de a por si mesmo n vezes.
Mostre que para todos m,n, naturais, m,n > 0, e todos a, b ∈ A,
(a) am+n = aman (sugestão: fixe m e faça indução em n)
(b) se ab = ba então (ab)m = ambm (note que isso não é verdade se A não é comutativo!)
(c) (am)n = amn
(d) se ab = ba então (a+b)n = an+bn+
∑
n−1
k=1
(
n
k
)
akbn−k (sugestão: veja a prova para números
reais).
(e) Como fica (a + b)2 se A não é comutativo e, em particular, a e b não comutam (isto é,
ab 6= ba)? E quanto a (a+ b)3, (a+ b)4 . . .?
10. Os conjuntos abaixo não são anéis. Justifique isso em cada item.
(a) N com soma e multiplicação usuais.
(b) A = {±2n;n ∈ N}, com soma e produto usuais.
(c) O conjunto dos complexos imaginários puros I = {bi; b ∈ R}, com soma e produto de
números complexos.
(d) o conjunto A = {3a+ b
√
3; a, b ∈ Z, a é múltiplo de 3}
11. Seja m um número natural, m > 1, que não é o quadrado de outro natural.
(a) Mostre que o conjunto Z[
√
m] = {a+ b√m; a, b ∈ Z} é um subanel de R. Conclua dáı que
Z[
√
m] é um anel comutativo (com unidade) e, mais ainda, que é um domı́nio de integridade.
(b) Uma pequena variação do anterior: considere Q[
√
2] = {a + b
√
2; a, b,∈ Q}. Mostre que
este conjunto é um anel (novamente, para fazer isso basta mostrar que é subanel de R . . .).
Esse anel é um corpo?
(c) Verifique que o conjunto A = {a + b 3
√
2; a, b ∈ Z} não é subanel de R. Como você pode
consertar este exemplo e obter um subanel de R, “bem pequeno”, que contém A?