AULA REMOTA 05 - JUROS COMPOSTOS (1)

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AULA REMOTA 02: 
JUROS COMPOSTOS
Professor: Lúcio Costa
Cálculo de Potências com a 
Calculadora HP 12 C e Científica.
Exemplo: 
(1,03)11= 1,3842
HP 12 C → 1,03 ENTER 11 YX 
CIENTÍFICA → 1,03 ^ 11 ═
Cálculo de Raízes com a Calculadora 
HP 12 C e Científica.
Exemplo: 

9 1,37 = 1,0356
HP 12 C → 1,37 ENTER 9 1/X YX 
CIENTÍFICA → 9 SHIFT ^ 1,37 ═
Cálculo de Logaritmos com a 
Calculadora HP 12 C e Científica.
Exemplo: 
log1,08 2,15 = 9,9462
HP 12 C → 2,15 G %T ENTER 1,08 G %T ÷
CIENTÍFICA → log 2,15 ÷ log 1,08 ═
Juros Compostos
Fórmulas:
J = C . [ (1 + i)n – 1] 
M = C + J 
M = C .(1+ i )n ou C =
𝑀
1+𝑖 𝑛
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
JUROS SIMPLES
C = 1000 , i = 10% a.m. ; n=3 meses
1º mês → Juros = 100; Montante = 1100.
2º mês → Juros = 100; Montante = 1200.
3º mês → Juros = 100; Montante = 1300
Juros = 300 → 30% do Capital!
i= 10% a.m. → i = 30% a.t.
JUROS COMPOSTOS
C = 1000 , i = 10% a.m. ; n=3 meses
1º mês → Juros = 100; Montante = 1100.
2º mês → Juros = 110; Montante = 1210.
3º mês → Juros = 121; Montante = 1331
Juros = 331 → 33,1% do Capital! 
i= 10% a.m. → i = 33,1% a.t.
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
C= 10.000,00 ; i=10% a.a. ; n=20 anos
Taxa Nominal X Taxa Efetiva
 Taxa Nominal: Taxa que segue as mesmas regras de transformação que a 
taxa de juros em juros simples (Taxa proporcional, Taxa linear)
 Taxa Efetiva: Apura o percentual levando em consideração o critério de 
juros sobre juros que é utilizado em juros compostos, sua transformação é 
realizada através de fórmulas (Taxa Exponencial, Taxa Geométrica, Taxa 
Equivalente);
 Contratos de empréstimos devem conter as duas taxas, a nominal e a 
efetiva. Exemplo:
 Taxa Nominal = 48 % a.a. com capitalização mensal.
 Taxa Efetiva = 60,1% a.a. 
Taxa nominal 
Taxa Nominal: a regra é igual aquela que é aplicada a juros simples.
Maior ( × )
i = 7 % a.t × 4  i = 28 % a.a
Menor ( ÷ )
i = 48% a.a ÷ 6  i = 8 % a.b
Taxa Efetiva
Taxa Efetiva 
Maior (potência) 
 i = (1 + i )
n
 – 1 , onde 𝑛 =
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
 
 
Menor (raíz) 
 i = 1 + 𝑖
𝑛
 – 1 , onde 𝑛 =
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
 
Taxa Efetiva
Taxa Efetiva: a regra leva em consideração a aplicação de juros sobre juros.
Maior  𝑖 = 1 + 𝑖 𝑛 − 1
i = 7 % a.t  i = ? a.a
n=4
𝑖 = 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 = 1 + 0,07 4 − 1
𝑖 = 1,07 4 − 1
𝑖 = 1,3108 − 1
𝑖 = 0,3108 . 100 
𝑖 = 31,08% 𝑎. 𝑎.
Menor  𝑖 =
𝑛
1 + 𝑖 − 1
i = 48% a.a  i = ? a.b
n= 6
𝑖 =
𝑛
1 + 𝑖 − 1
𝑖 = 6 1 + 0,48 − 1
𝑖 = 6 1,48 − 1
𝑖 = 1,0675 − 1
𝑖 = 0,0675 .100 
𝑖 = 6,75 % 𝑎. 𝑏.
6. Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes 
taxas:
a) 2,9% para 26 dias;
i = 2,9% para 26 dias  i = ? a.m. ( mês é maior do que 26 dias)
𝑛 =
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
 𝑛 =
30
26
 𝑛 = 1,1538
𝑖 = 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 = 1 + 0,029 1,1538 − 1
𝑖 = 1,029 1,1538 − 1
𝑖 = 1,0335 − 1
𝑖 = 0,0335 .100 
𝑖 = 3,35 % 𝑎.𝑚
6. Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes 
taxas:
b) 3,55% para 34 dias.
i = 3,55% para 34 dias  i = ? a.m. (mês é menor do que 34 dias)
𝑛 =
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
 𝑛 =
34
30
 𝑛 = 1,1333
𝑖 =
𝑛
1 + 𝑖 − 1
𝑖 =
1,1333
1 + 0,0355 − 1
𝑖 =
1,1333
1,0355 − 1 1,1333 SHIFT ^ 1,0355 = 1,0313
𝑖 = 1,0313 − 1
𝑖 = 0,0313 .100 
𝑖 = 3, 13% 𝑎.𝑚
Taxa Nominal X Taxa Efetiva
 Taxa Nominal: Taxa que segue as mesmas regras de transformação que a 
taxa de juros em juros simples (Taxa proporcional, Taxa linear)
 Taxa Efetiva: Apura o percentual levando em consideração o critério de 
juros sobre juros que é utilizado em juros compostos, sua transformação é 
realizada através de fórmulas (Taxa Exponencial, Taxa Geométrica, Taxa 
Equivalente);
 Contratos de empréstimos devem conter as duas taxas, a nominal e a 
efetiva. Exemplo:
 Taxa Nominal = 48 % a.a. com capitalização mensal.
 Taxa Efetiva = 60,1% a.a. 
Taxa Nominal de 48% a.a com Capitalização mensal  Taxa Efetiva?
i= 48% a.a ÷12  i = 4% a.m Taxa Nominal ( 1º Passo – Ida)
i= 4% a.m  i= ? a.a Taxa Efetiva (2º Passo – Volta)
𝑖 = 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 = 1 + 0,04 12 − 1
𝑖 = 1,04 12 − 1
𝑖 = 1,6010 − 1
𝑖 = 0,6010 . 100
𝑖 = 60,1% 𝑎. 𝑎
TAXA NOMINAL = 48% a.a
TAXA EFETIVA = 60,1% a.a
TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA
Juros Compostos
Fórmulas:
J = C . [ (1 + i)n – 1] 
M = C + J 
M = C .(1+ i )n
ou 
C =
𝑀
1+𝑖 𝑛
Regras:
 Sempre usar tempos iguais.
 A taxa sempre em valor unitário.
Cálculos:
 Deixar 4 casas decimais em 
qualquer cálculos, mas se for o 
resultado final o padrão é deixar 
somente 2 casas decimais.
Juros Compostos
Fórmulas:
J = C . [ (1 + i)n – 1] 
M = C + J 
M = C .(1+ i )n
ou 
C =
𝑀
1+𝑖 𝑛
C = Capital, Valor Atual, Valor Presente, 
Aplicação, Empréstimo, Depósito, 
Principal.
J = Juros, Rendimentos.
M = Montante, Valor Futuro, Valor Nominal.
i= Taxa de Juros, Rentabilidade, Custo 
Efetivo.
n= Prazo, tempo, período.
Transformação de Prazo
Maior : ÷
n= 48 meses ÷ 12→ n = 4 anos.
Menor : ×
n= 5 anos × 12→ n = 60 meses.
10. Determinar o montante de uma aplicação de $ 
22.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas:
c) i = 12% a.t.; n = 1 ano e meio
Dados:
M =?
C = 22000
i = 12%a.t.
n = 18 meses ÷3 = 6 trimestres
𝑀 = 𝐶. 1 + 𝑖 𝑛
𝑀 = 22000. 1 + 0,12 6
𝑀 = 22000. 1,12 6
𝑀 = 22000.1,9738
𝑀 = $ 43.424,10
12. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma 
pessoa necessitar de $ 58.000,00 daqui a 3 anos, quanto 
deverá aplicar neste título?
Dados:
C =?
M = 58000
i = 6%a.t.
n = 3 anos ×4 = 12 trimestres
C =
𝑀
1 + 𝑖 𝑛
C =
58000
1 + 0,06 12
C = $ 28.824,22
Calculadora Científica
1,06 ^ 12 =
58000 ÷ ANS = 
HP 12C
1,06 ENTER 12 𝑦𝑥
58000 𝑥 ≷ 𝑦 ÷
Sobre como fazer o cálculo diretamente:
C =
58000
1 + 0,06 12
C =
58000
1,06 12
C =
58000
2,0122
C = 28.824,22
Cálculo:
1,06 12=2,0122
58000
2,0122
= 28.824,2231
Radiciação na resolução de equações
O problema é encontrar o valor de x na 
equação:
𝑥7= 5,6519
Aplicamos de ambos os lados da equação uma 
raiz com o mesmo índice da potência;
7
𝑥7 =
7
5,6519
𝑥 = 1,2807
22. Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz 
com que um capital triplique de valor após três anos e 
meio.
Dados:
i = ?
C = 100
M = 300
n = 3,5 anos ×12= 42 meses
𝑀 = 𝐶. 1 + 𝑖 𝑛
300 = 100. 1 + 𝑖 42
300
100
= 1 + 𝑖 42
3 = 1 + 𝑖 42
42
3 =
42
1 + 𝑖 42
1,0265 = 1 + 𝑖
1,0265 − 1 = 𝑖
0,0265 = 𝑖 × 100
2,65% 𝑎.𝑚.= 𝑖
Logaritmos na resolução de equações
O problema é encontrar o valor de x na equação:
1,8𝑥= 2,35
Aplicamos de ambos os lados da equações o log;
𝑙𝑜𝑔 1,8 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 2,35
Devido a propriedade de log da potência o expoente 
da potência o expoente, nesse caso, o x passa para 
frente do log multiplicando
𝑥. 𝑙𝑜𝑔 1,8 = 𝑙𝑜𝑔 2,35
𝑥 =
𝑙𝑜𝑔 2,35
𝑙𝑜𝑔(1,8)
= 1,4536
Logaritmos na resolução de equações
𝑥 =
𝑙𝑜𝑔 2,35
𝑙𝑜𝑔(1,8)
= 1,4536
HP 12 C:
2,35 g %T ENTER 1,8 g %T ÷
Científica:
log 2,35 ÷ log 1,8 =
20. Uma empresa tem observado um crescimento exponencial 
médio de 10% ao ano na demanda física de seus produtos. 
Mantida esta tendência ao longo do tempo, determine em 
quantos anos dobrará a demanda.
Dados:
n = ?
C = 100
M = 200
i = 10 % a.a
𝑀 = 𝐶. 1 + 𝑖 𝑛
200 = 100. 1 + 0,10 𝑥
200
100
= 1,10 𝑥
2 = 1,1 𝑥
𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔 1,1 𝑥
𝑙𝑜𝑔2 = 𝑥. 𝑙𝑜𝑔(1,1)
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔(1,1)
= 𝑥
7,27 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 𝑥
Taxa Nominal de 48% a.a com Capitalização mensal  Taxa Efetiva?
i= 48% a.a ÷12  i = 4% a.m Taxa Nominal ( 1º Passo – Ida)
i= 4% a.m  i= ? a.a Taxa Efetiva (2º Passo – Volta)
𝑖 = 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 = 1 + 0,04 12 − 1
𝑖 = 1,04 12 − 1
𝑖 = 1,6010 − 1
𝑖 = 0,6010 . 100
𝑖 = 60,1% 𝑎. 𝑎
TAXA NOMINAL = 48% a.a
TAXA EFETIVA = 60,1% a.a
TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA