estudos de taxa

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Matemática Financeira
Professora tutora Olivia Ortiz John
Estudo das taxas:
• Taxa proporcional e equivalente. 
• Taxa nominal e efetiva.
• Taxa aparente, real e inflacionária.
Taxas de juros proporcionais:
➢Duas ou mais taxas de juros são proporcionais quando o período que
elas estão associadas é diferente, mas como são aplicadas a um
mesmo capital produzem um mesmo montante.
➢Exclusivas para o regime de capitalização de juros simples.
Taxas de juros proporcionais e equivalente
Taxas de juros equivalente:
➢ São taxas que, mesmo estando associadas a períodos de tempos
diferentes, no regime de capitalização composta, quando aplicados
a um mesmo capital e um mesmo período irão produzir um
montante idêntico.
➢ São aplicadas apenas na capitalização de juros simples.
➢Para adequar taxa e período, basta fazer uma divisão ou multiplicação
da taxa dada para se ter a taxa requerida (regra de três simples).
Taxas de juros proporcionais 
Exemplo 1:
a) Uma taxa de 1,5 % ao mês é proporcional a quantos % ao trimestre, ao
semestre e ao ano?
Solução:
1,5% a.m. = 1,5% x 3 = 4,5% a.t.
1,5% a.m. = 1,5% x 6 = 9% a.s.
1,5% a.m. = 1,5% x 12 = 18% a.a.
Taxas de juros proporcionais 
Exemplo 1 b): Agora vamos calcular o montante de uma aplicação de R$ 100,00
por um período de 1 ano a uma taxa de 1,5 % ao mês, 4,5% ao trimestre, 9% ao
semestre e 18% ao ano supondo capitalização de juros simples.
Grandeza Valor Valor Valor Valor
Capital (PV) 100,00 100,00 100,00 100,00
Taxa (i) 1,5% a.m. 4,5% a.t. 9% a.s. 18% a.a.
Período (n) 12 meses 4 trimestres 2 semestres 1 ano
Montante (FV) 118,00 118,00 118,00 118,00
FV = PV.(1 + i.n) FV = PV.(1 + i.n) FV = PV.(1 + i.n) FV = PV.(1 + i.n)
FV = 100.(1 + 0,015.12)
FV = 100.(1,18)
FV = 118,00
FV = 100.(1 + 0,045.4)
FV = 100.(1,18)
FV = 118,00
FV = 100.(1 + 0,09.2)
FV = 100.(1,18)
FV = 118,00
FV = 100.(1 + 0,18.1)
FV = 100.(1,18)
FV = 118,00
Taxas de juros proporcionais 
Exemplo 2: Uma taxa de 24 % ao ano é proporcional a quantos % ao
bimestre, ao semestre e ao mês?
Solução:
1ano = 6 bimestres → 24% a.a. = 24% ÷ 6 = 4% a.b.
1ano = 2 semestres → 24% a.a. = 24% ÷ 2 = 12% a.s.
1ano = 12 meses → 24% a.a. = 24% ÷ 12 = 2% a.m.
Taxas de juros equivalente
➢ Aplicam-se para o regime de capitalização composta, nesse caso não
podemos utilizar regra de três para converter as taxas.
➢ Predomina a forma de capitalização: se a capitalização for ao mês, a
taxa deve estar ao mês; se a capitalização for ao ano, a taxa deve
estar em ao ano, e assim por diante.
ie = {[(i + 1)
quero/tenho] – 1} x 100
ie = taxa equivalente
i = taxa fornecida
Taxas de juros equivalente
Exemplo 3: Qual a taxa mensal equivalente a 15% a.a.?
Solução:
1º Passo: Identificar a unidade de tempo da taxa que se deseja transformar, bem 
como a unidade de tempo da taxa fornecida.
Quero → mês
Tenho → ano
2º Passo: Representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando o 
calendário comercial).
Quero → mês → 30
Tenho → ano → 360
Taxas de juros equivalente
Exemplo 3: Qual a taxa mensal equivalente a 15% a.a.?
ie = {[(i + 1)
quero/tenho] – 1} x 100
ie = {[(0,15 + 1)
30/360] – 1} x 100
ie = 1,17% a.m.
Solução:
3º Passo: Substituir na fórmula os dados
fornecidos para em seguida determinar o
valor com o auxílio da HP ou calculadora
científica.
Taxas de juros equivalente
Solução utilizando a HP-12C:
1°) Faz-se a comparação das taxas: que taxa eu tenho, que taxa eu quero.
( ia → im ) Tenho taxa ao ano (maior), quero a taxa ao mês (menor).
2°) Após definir qual taxa se tem e qual taxa equivalente se quer, põem-se em evidência os dados para resolução. 
Os dados necessários para resolução serão quatro:
PV = 100 → PV sempre será 100 de forma genérica, como sendo 100% de um capital qualquer.
n = quantas vezes o período menor cabe dentro do período maior.
Exemplos: 12 meses em 1 ano, 4 trimestres em 1 ano, 6 meses em 1 semestre, etc.
i = ____ Quando temos a taxa menor e queremos a taxa maior, tem-se a taxa (i) e calcula-se FV. 
FV = _____ Quando temos a taxa maior e queremos a taxa menor, tem-se FV e calcula-se a taxa (i). 
O FV no cálculo de taxas equivalentes é a soma de PV (100) + i (dada) (FV = PV + i). 
Taxas de juros equivalente
Exemplo 3: Qual a taxa mensal equivalente a 15% a.a.?
Solução utilizando a HP-12C:
Taxas de juros equivalente
Exemplo 4: A taxa efetiva de uma aplicação financeira é de 12% ao semestre.
Determine a taxa anual equivalentes a esta taxa.
Solução:
1º Passo: Identificar a unidade de tempo da taxa que se deseja transformar, bem 
como a unidade de tempo da taxa fornecida.
Quero → ano
Tenho → semestre
2º Passo: Representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando o 
calendário comercial).
Quero → ano → 360
Tenho → semestre → 180
Taxas de juros equivalente
Exemplo 4: A taxa efetiva de uma aplicação financeira é de 12% ao semestre.
Determine a taxa anual equivalentes a esta taxa.
Solução:
ie = {[(i + 1)
quero/tenho] – 1} x 100
ie = {[(0,12 + 1)
360/180] – 1} x 100
ie = 25,44% a.a.
3º Passo: Substituir na fórmula os dados
fornecidos para em seguida determinar o
valor com o auxílio da HP ou calculadora
científica.
Taxas de juros equivalente
Exemplo 4: A taxa efetiva de uma aplicação financeira é de 12% ao semestre.
Determine a taxa anual equivalentes a esta taxa.
Solução utilizando a HP-12C:
Taxa nominal e taxa efetiva
• O conceito de Taxa Nominal e Efetiva só faz sentido para o regime
de juros compostos.
• A Taxa Nominal é também chamada de Taxa de Mentirinha, pois ela
é expressa em porcentagem e associada a uma unidade de tempo
diferente da respectiva capitalização. É a normalmente utilizada nas
operações de mercado.
• Exemplo: Uma loja de departamentos afirma cobrar uma taxa de
juros de 30,0% ao ano, mas as prestações e a capitalização são
mensais, portanto a taxa apresentada é Nominal, pois é diferente da
capitalização utilizada.
Taxa nominal e taxa efetiva
• A taxa efetiva, como o próprio nome já diz, é aquela taxa
efetivamente aplicada na operação, então a taxa dada é igual a
forma de capitalização.
• É quando a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de
tempo da capitalização.
• Exemplo: Quando uma loja anuncia que está vendendo a prazo, com
uma taxa de juros de 6,5% a.m., com parcelas mensais e
capitalização mensal, esta é a taxa efetiva da operação.
Taxa nominal e taxa efetiva
• Como a taxa nominal não representa um ganho real, para realizar
cálculos, é necessário transformá-la em uma taxa efetiva.
• Para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva, basta fazer
uma divisão ou multiplicação da taxa dada (nominal) para a taxa de
capitalização (efetiva).
• Uma vez determinada a taxa efetiva no período de capitalização,
caso necessite determinar uma taxa efetiva em outra unidade de
tempo, basta utilizar o procedimento de taxa equivalente.
Taxa nominal e taxa efetiva
Exemplo 5: Uma pessoa lê um anúncio em uma loja informando que uma determinada operação
tem uma taxa de juros de 12,0% a.a., capitalizados mensalmente.
a) Que tipo de taxa é essa?
b) Qual a taxa efetiva mensal?
c) Qual a taxa efetiva anual?
Resposta:
a) Como a taxa dada está em anos e a capitalização é mensal, os 12,0% a.a. representam uma 
taxa nominal. 
b) Para saber a taxa efetiva mensal é preciso adequar a taxa nominal, como a taxa dada é
maior que a taxa requerida basta fazer uma divisão: A taxa dada pelo período da taxa pedida,
12,0% / 12 meses = 1,0% a.m. Assim, a taxa efetiva mensal é de 1,0%.
Taxa nominal e taxa efetiva
Exemplo 5: Uma pessoa lê um anúncio em uma loja informando que uma determinada operação
tem uma taxa de juros de 12,0% a.a., capitalizados mensalmente.
c) Qual a taxa efetiva anual?
Resposta:
c) Agora para saber a taxa efetiva anual precisamos fazer a equivalência das taxas efetivas, ou seja, 
qual a taxa anual que é equivalente a taxa mensal de 1,0%?
ie = {[(i + 1)
quero/tenho] – 1} x 100
ie = {[(0,01 + 1)
360/30] – 1} x 100
ie = 12,68% a.a.
Taxa nominal e taxaefetiva
Exemplo 5: Uma pessoa lê um anúncio em uma loja informando que uma determinada operação
tem uma taxa de juros de 12,0% a.a., capitalizados mensalmente.
a) Que tipo de taxa é essa?
b) Qual a taxa efetiva mensal?
c) Qual a taxa efetiva anual?
Assim, concluímos que esta operação financeira é formada por:
uma taxa nominal anual de 12,0% a.a. 
uma taxa efetiva mensal de 1,0% a.m. 
e esta última é equivalente à taxa anual de 12,68% a.a.
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA INFLACIONÁRIA
A taxa aparente (i): é aquela que parece, mas não é. Em uma operação financeira, podem
existir muitas variáveis, impostos e taxas envolvidas, tais como: IOF (Imposto sobre Operação
Financeira), TAC (Tarifa de abertura de cadastro), Tarifa de abertura de crédito, Tarifa de
Análise de Projetos e outras.
Ela pode ser classificada como:
Taxa de juros aparente nominal: quando além da inflação são adicionadas outras taxas ou
quando o período de capitalização é diferente da unidade de tempo da taxa.
Taxa de juros aparente efetiva: quando levamos em consideração apenas o acréscimo da
inflação à taxa.
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA INFLACIONÁRIA
A Taxa Real (R): é aquela que apresenta o custo ou ganho efetivo de qualquer
operação financeira.
Variáveis como a Inflação, IOF, TAC, dentre outras, podem alterar a Taxa Real, mas
para efeitos de estudo e fórmula levaremos em consideração para determinar a
Taxa Real, além da Taxa Aparente, apenas Inflação ocorrida no período.
A Taxa inflacionária ou inflação (I): pode ser considerada a taxa de depreciação
da moeda ou perda no poder de compra das pessoas e empresas.
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA INFLACIONÁRIA
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA INFLACIONÁRIA
Exemplo 6: Uma empresa concedeu um aumento salarial para seus funcionários de 9,5% no
ano de 2011. Sabe-se que a estimativa da inflação, para esse ano, foi de 6,4%. Qual foi a taxa
real de aumento salarial?
Solução:
Resposta: o real aumento salarial dos funcionários
dessa empresa foi de, aproximadamente, 2,91% a.a.
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA INFLACIONÁRIA
Exemplo 7: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de
0,8% a.m. e uma inflação de 20% no período?
Solução:
Resposta: A taxa aparente será de 20,96% a.m.