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Cálculo 2 - Turma E - 2015/1
Prof. Dr. Edgard Almeida Pimentel
Lista - Parte 3
21 de Junho de 2015
Questão 1: Derivada direcional
Seja f : R2 → R uma função, (x0, y0) ∈ R2 um ponto fixado, (A,B) um vetor qualquer, fixo, de R2 e (a, b) o seu versor
correspondente.
i. Qual a diferença fundamental entre (A,B) e (a, b)? Explique como obter o segundo dado o primeiro.
ii. Defina a derivada direcional de f no ponto (x0, y0), na direção do versor (a, b).
Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + y2 no ponto (x0, y0) na direção do versor (a, b), usando a definição do
item ii.
Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1) na direção do seu gradiente, usando a definição do
item ii.
Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1) na direção do vetor (17, 13) e do seu gradiente;
compare ambas.
Prove que:
1. a derivada direcional de uma função f : R2 → R no ponto (x0, y0) na direção do versor (a, b) é dada por
∇f(x0, y0) · (a, b);
2. A derivada direcional de f no ponto (x0, y0) na direção do seu gradiente é maior do que em qualquer outra
direção. Interprete este fato.
Questão 2: Máximos e mı́nimos
Seja f : R2 → R uma função.
i. Enuncie uma condição necessária para que o ponto (x0, y0) ∈ R2, arbitrário, seja um ponto extremal de f .
Esta condição é suficiente? Dê um exemplo que ilustre sua afirmação. Discuta a diferença entre uma condição
suficiente e uma condição necessária para que um fato seja verificado.
ii. Prove que, se um ponto (x0, y0) é um ponto extremal de f , então
∇f(x0, y0) = 0.
iii. O critério discutido anteriormente (item ii.) é conhecido como critério do gradiente. Aplique-o às segunites
funções e decida o que ocorre no ponto (0, 0):
1
1.
f(x, y) = x2 + y2;
2.
f(x, y) = −x2 − y2;
3.
f(x, y) = x2 − y2;
Decida se o critério do gradiente é suficiente para estudar os pontos extremais de uma dada função.
iv. Enuncie o critério da Hessiana, definindo todos os objetos envolvidos. Aplique-o às funções dos itens
iii.1, iii.2 e iii.3. Caso alguma destas funções apresente um ponto de sela em (0, 0), esboce o seu gráfico
em alguma vizinhança deste ponto.
Questão 3: Multiplicadores de Lagrange
Sejam f, g : R2 → R funções.
i. Considere o problema de maximizar (ou minimizar) f satisfazendo-se a restrição g(x, y) = c, onde c ∈ R é
uma constante fixa, mas arbitrária. Enuncie uma condição necessária para que um ponto (x0, y0) ∈ R2 seja um
ponto extremal de f satisfazendo g(x0, y0) = c.
ii. Prove o fato enunciado no item anterior.
iii. Resolva:
1.
max
x,y
x2 + y2
xy = 1;
2.
max
x1,x2,...,xn
x1 + x2 + ... + xn
x21 + x
2
2 + ... + x
2
n = 1;
3.
max
x,y
e−x,y
x2 + 4y2 = 1;
iii. Considere o plano determinado por 4x− 3y + 8z = 5 e o cone z2 = x2 + y2. Resolva:
max
x,y,z
4x− 3y + 8z − 5
z2 = x2 + y2
Questão 4: Teorema do Valor Médio
Enuncie e demonstre o Teorema do Valor Médio. Use o Teorema do Valor Médio para provar que uma função que
possui gradiente limitado é Lipschitz, i.e., para todo par de pontos (x1, y1) e (x2, y2), existe uma constante real K > 0
tal que
|f(x1, y1)− f(x2, y2)| ≤ K |(x1, y1)− (x2, y2)| .
2
Questão 5: Fórmula de Taylor
1. Encontre os polinômios de Taylor de grau 1 e de grau 2 da função
f(x, y) = ln(sin(x2) + cos(y2)).
2. Calcule os polinômios de Taylor, de grau 1 e de grau 2, das funções:
f1(x, y) = cos(x + y),
f2(x, y) = sin(x + y),
and
f3(x, y) = e
(x+y)
3. Compare os polinômios de Taylor de f1, f2 e f3.
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