CÁLCULO III-EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS pdf

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UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 1 
 
ENGENHARIAS 
 
CÁLCULO III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paulo Roberto Rocha Aguiar 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 2 
SUMÁRIO 
Introdução ...................................................................................................................................... 3 
Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem ........................................................................ 8 
Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem ............................................................................. 13 
 
REFERÊNCIAS 
1. TENENBAUM, M. & POLLARD, H. (1985). "Ordinary Differencitial Equations". Dover 
Publications, Inc., New York. 
2. LUENBERGER, D. G. (1979). "Introduction to Dynamic Systems - Theory, Models and 
Applications". John Wiley & Sons. 
3. BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. (1998). "Equações Diferenciais Elementares e Problemas de 
Valores de Contorno". LTC. 
Este material é um resumo das notas de aula. Portanto, é fundamental a leitura do livro indicado como 
base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados. A leitura de qualquer outra referência indicada 
também auxilia na consolidação dos conhecimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 3 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
EQUAÇOES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS: 
 
1- INTRODUÇÃO: 
 
1.1- EQUAÇÃO DIFERENCIAL: 
 
- Em termos gerais, é uma equação que contém uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. 
- Exemplo: Segunda Lei de Newton 
 
 
 
 
 (1) 
 
 Para determinar o movimento da partícula sob a ação da força F deve-se obter a função u que 
obedeça à equação (1). 
 
 
1.2- EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): 
 
- A função desconhecida na equação diferencial só depende de uma variável independente. 
- Na equação diferencial as derivadas são ordinárias. 
 
 (2) 
 
 
 (3) 
 
 
1.3- EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): 
 
- A função desconhecida na equação diferencial depende de várias variáveis independentes. 
- Na equação diferencial as derivadas são parciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 4 
1.4- ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: 
 
- É a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. 
- Exemplos: 
 => Equação (2): EDO de 2
a
 ordem 
 => Equação (3): EDO de 1
a
 ordem 
 => Equação (4): EDP de 2
a
 ordem 
 
- De forma geral, a equação (5) é uma EDO de ordem n. 
 
F [t, u(t), u’(t), ..., u
(n)
(t)] = 0 (5) 
 
- A equação (5) é uma relação entre a variável independente t e os valores da função u e os de suas n 
primeiras derivadas u’, u’’ ..., u
(n)
. 
- Dessa forma, escreveremos a equação (5) da forma: 
 
F [t, y, y’, ..., y
(n)
] = 0 (6) 
- Exemplo: 
 
y’’’ + 4e
2t
 y’’ + y y’ = 5t
3
 (7) 
 
 => A equação (7) é uma equação diferencial de 3
a
 ordem em y = u(t). 
 
Observações: 
 
a) As letras y e t podem ser alteradas. 
b) Formas de representar a segunda derivada de uma função y em relação a x: 
 
 
 
 
 
c) Normalmente, quando a variável independente é o tempo t escrevemos, por exemplo, a primeira e a 
segunda derivadas de uma função y como: 
 
 
 
 
 
 
 
d) Será admitido que é sempre possível resolver uma dada EDO na derivada de maior ordem e ter: 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 5 
 
y
(n)
 = f (t, y, y’, y’’, ..., y
(n-1)
) (8) 
 
 
1.5- SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: 
 
- Uma solução da equação (8), no intervalo a < t < b, é uma função ϕ tal que ϕ’, ϕ’’, ..., ϕ
 (n)
 existem e 
satisfazem a 
 
ϕ
 (n)
(t) = f [t, ϕ (t), ϕ’(t), ..., ϕ
 (n-1)
(t)] (9) 
 
para todo t em a < t < b. 
 
 
Observações: 
 
a) Se nada for dito, admite-se que a função f da equação (8) é uma função real, e o interesse estará na 
obtenção das soluções reais y = ϕ (t). 
 
b) Exemplo: 
 
 
 
 
 
 => Esta equação tem a seguinte solução: 
 
R(t) = ϕ(t) = c e
-kt
, 
 
 => Onde c é uma constante arbitrária. 
 => Verificando: 
 
 
 
 
 
c) Exemplo: 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 6 
 => Esta equação tem a seguintes soluções: 
 
ϕ1(t) = y1(t) = cos t e ϕ2(t) = y2(t) = sen t 
 
 => Verificando ϕ1(t) = y1(t) = cos t: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Verificando y2(t) = sen t: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Exemplo: 
 
 
 
 => Esta equação tem a seguinte solução: 
 
ϕ(t) = t
2
 ln t 
 
 => Verificando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Esta equação também tem a seguinte solução: 
 
ϕ(t) = t
2
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 7 
d) Nem toda equação diferencial tem solução. Contudo, se um problema real de física estiver expresso por 
uma equação diferencial, esta equação tem que ter solução. Se não tiver solução, ocorreu algum erro na 
formulação do problema. 
 
 
1.6- EQUAÇÕES LINEARES E EQUAÇÕES NÃO LINEARES: 
 
- A equação diferencial ordinária 
 
F [t, y, y’, ..., y
(n)
] = 0 
 
é linear se F for uma função linear das variáveis y, y’, ..., y
(n)
. 
- A EDO linear de ordem n é dada por: 
 
 
 
 (10) 
 
Observação: 
 
a) Definição semelhante aplica-se às equações diferenciais parciais. 
 
b) O pêndulo é um exemplo de um problema físico com EDO não-linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 (11) 
 
 => Considerando pequenos deslocamento angulares (θ pequeno) sen θ ≈ θ, então: 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
 => O processo de aproximar uma equação não linear por uma linear é chamado de linearização. 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 8 
1.7- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a ordem da equação diferencial e informar se é linear ou não linear: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verificar se a função, ou funções dadas, são solução da equação diferencial: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
2- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM: 
 
2.1- DEFININDO: 
 
- Dada uma equação diferencial de primeira ordem: 
 
 
 
 (13) 
 
onde f é uma função conhecida de duas variáveis. 
- Se f depende linearmente da variável dependente t, então (13) pode ser escrita da forma: 
 
 
 
 (14) 
 
 => É chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
- Se p(t) e g(t) forem funções
constantes, com p(t) = - p e g(t) = g, a equação (14) é uma equação 
diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes e pode ser reescrita da forma: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 9 
 
 
 (15) 
 
 
2.2- SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM COM 
COEFICIENTES CONSTANTES: 
 
- Se p ≠ 0 e se y ≠ - g / p, reescrevemos (15) da forma: 
 
 
 
 (16) 
 
 => A solução de (16) é dada por: 
 
 (17) 
 
 => Ou numa forma melhor: 
 
 
 
 
 
 
 => Com C = ± e
K
, obtemos a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem com 
 coeficientes constantes: 
 
 
 
 
 (18) 
 
- Exemplo: Para a EDO abaixo, determinar as soluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Com p(t) = - 1/2 = cte e g(t) = 3/2 = cte 
 
 => As soluções ficam: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Exemplo: Para a mesma EDO do exemplo anterior, a solução que passa pelo ponto (0,2) é dada por: 
 
 
 
- Observação: 
 
 => Multiplicando ambos os lados da equação (18) por e
-pt
: 
 
 
 
 
 
 
(19) 
 => Derivando os dois lados da equação (19) em relação a t: 
 
 
 
(20) 
 => Notar que o lado esquerdo da equação (19) é a derivada de ye
-pt
: 
 
 
 
(21) 
 => Se integrarmos os dois lados da equação (21), logo, voltamos a obter a equação (18). 
 
 
2.3- SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM: 
 
 => Multiplicar a equação (14) por uma função ρ(t), a ser determinada: (no caso da observação 
 anterior, ρ(t) = e
-pt
) 
 
 (22) 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 11 
 => Como na observação anterior, o lado esquerdo da equação (22) deve ser a derivada de alguma 
 função. 
 => Parece que essa função é um produto. 
 => Assumindo que esse produto seja ρ(t)y', o termo do lado esquerdo da equação (22) deve ser ρ'(t)y. 
 => Assim, ρ(t) deve satisfazer à: ρ'(t) = p(t) ρ(t) 
 => Assumindo que ρ(t) é positiva e reescrevendo ρ'(t) = p(t) ρ(t) da forma: 
 
 
 
 
 
(23) 
 
 
 
(24) 
 
 => Integrando ambos os lados de (24): 
 
 
(25) 
 
 => Ao escolher K = 0, obtém-se a função ρ(t) mais simples possível, onde é positiva para todos os t, 
 conforme assumido: 
 
 (26) 
 
 => Assim, obtemos a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem: 
 
 
 
 
 (27) 
 
 
- Observação: 
 
 => A determinação da constante C é dada para algum ponto particular (to,yo), onde passa a solução 
 desejada. 
 => Essa condição se escreve da forma: 
 
y(to) = yo (28) 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 12 
 => Essa condição é denominada condição inicial. 
 => Uma equação diferencial da forma da equação (14) e uma condição inicial com a da equação (28) 
 constituem um problema de valor inicial. 
 
 
- Exemplo: Determinar a solução do problema de valor inicial abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Com p(t) = - 1/2 e g(t) = e
-t
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Multiplicando a equação diferencial por este ρ(t), tem-se: 
 
 
 
 
 
 => O lado esquerdo é a derivada de e
-t/2
y: 
 
 
 
 
 
 => Integrando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Da condição inicial: (Em t = 0, y = -1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 13 
2.4- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral para cada equação diferencial dada: 
 
a) 
b) 
 
 
 
2) Determinar a solução do problema de valor inicial dado: 
 
 
 
 
 
 
- Observação: 
 
 => No caso de equações diferenciais não lineares, não há uma fórmula geral para a solução. 
 
 
3- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM: 
 
3.1- EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES: 
 
- Uma equação diferencial ordinária tem de segunda ordem tem a forma abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 (29) 
 
onde f é uma função conhecida de três variáveis. 
- A equação (29) é linear quando f é linear em y e suas derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 (30) 
 
 => g, p e q são funções da variável independente t. 
 
 (31) 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 14 
- Observação: 
 
 => Em alguma casos encontra-se a equação (31) na forma: 
 
 (32) 
 
 => Obtém-se (30) de (31) facilmente dividindo (31) por P(t). 
 
- Observação: 
 
 => Se a equação (29) não tem a forma (31) ou (32) é dita não linear. 
 
 
- Um problema de valor inicial é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (33) 
 
 => yo e y'o são conhecidos no instante inicial. 
 
- Observação: 
 
 => Na mecânica, há muitas aplicações onde há equações diferenciais lineares de segunda ordem, 
como um corpo ligado a uma mola e um amortecedor: 
 
 
 (34) 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 15 
- Observação: 
 
 => Quando g(t) em (31) ou G(t) em (32) são nulos para todo t tem-se uma equação diferencial de 
 segunda ordem homogênea. 
 => Quando g(t) em (31) ou G(t) em (32) não são nulos para todo t tem-se uma equação diferencial 
 de segunda ordem não homogênea. 
 => O termo g(t) ou G(t) é denominado termo não homogêneo. 
 
- Tratando da equação homogênea: 
 
 (35) 
 
- Observação: 
 => Uma vez resolvida a equação homogênea, é sempre possível resolver a equação correspondente, 
não homogênea (32), ou pelo menos exprimir a solução em termos de uma integral. 
- Tratando de uma Equação Homogênea com Coeficientes Constantes: 
 
 (36) 
 
 => Onde a, b e c são constantes (reais). 
 => As soluções podem ser do tipo y = e
rt
, onde r é um parâmetro a ser determinado. 
 => y' = re
rt
 e y'' = r
2
e
rt
 
 => (ar
2
 + br + c)e
rt
 = 0 
 => e
rt
 ≠ 0 
 
 (37) 
 
 => É a equação característica da equação (36). 
 => Ou seja, se r for raiz de (37), então e
rt
 é solução de (36). 
 
- Observação: 
 => A equação (37) é quadrática, então suas raízes podem ser: 
 reais e diferentes; ou 
 complexas conjugadas; ou 
 reais e iguais. 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 16 
3.1.1- CASO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA (37) COM RAÍZES REAIS E DIFERENTES: 
 
- Se o discriminante b
2
 - 4ac for positivo, então as raízes são reais e diferentes. 
- Sejam essas raízes dadas por (r1 ≠ r2). 
 
 => 
 
 são duas soluções de (36). 
 => A combinação linear das soluções da uma equação diferencial também são solução da equação 
diferencial, logo, a solução pode ser dada por: 
 
 
 
 (38) 
 
- Para a obtenção de uma solução que satisfaça às condições iniciais:
y(to) = yo e y'(to) = y'o 
 
 
 
 
 
 
 
 (39) 
 
 => Assim, as equações (38) e (39) foram a solução para o problema de valor inicial para (36) com 
as condições iniciais y(to) = yo e y'(to) = y'o . 
 
- Exemplo: Determinar a solução do problema de valor inicial abaixo: 
 
 
 
 
 
=> Admitindo que y = e
rt
 obtemos a equação característica: 
 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -2 e r2 = -3. 
 => A solução geral fica: 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 => c1 = 9 e c2 = -7 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 17 
 => A solução fica: 
 
 
 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
 
 => A solução aumenta no início (pois a derivada é positiva), chega a um máximo e depois decresce 
 a zero para grandes valores de t (os dois termos possuem exponenciais negativas). 
 => Para obter o máximo, deve-se derivar a solução e igualar o resultado a zero: 
 
 
 => tMÁX = ln(7/6) ≈ 0,15415 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.1.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 18 
3.1.2- CASO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA (37) COM RAÍZES COMPLEXAS 
CONJUGADAS: 
 
- Se o discriminante b
2
 - 4ac for negativo, então as raízes são complexas conjugadas. 
- Sejam essas raízes dadas por: 
 
 (40) 
 
 => Onde λ e μ são reais. 
 => Expressões correspondentes para y: 
 
 
 
 (41) 
 
 => Sabendo que: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 (42) 
 
 (43) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (44) 
 
 => c1 e c2 são constantes arbitrárias. 
 => A solução geral de (44) pode ser obtida com facilidade conhecendo-se λ e μ . 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 19 
- Exemplo: Determinar a solução geral de: 
 
 
 
 => Equação característica: 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 => Então e 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
- Observação: 
 
 => : a solução y(t) não cresce e nem decresce exponencialmente com o tempo, apenas fica 
 oscilando permanentemente (oscilação não amortecida). 
 => O gráfico abaixo apresenta uma curva típica: 
 
 
- Exemplo: Determinar a solução geral de: 
 
 
 
 => Equação característica: 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 20 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Então 
 
 
 e 
 
 
 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Observação: 
 
 => : a solução y(t) é oscilante, mas decresce exponencialmente com o tempo (oscilação 
 amortecida). 
 => O gráfico abaixo apresenta uma curva típica: 
 
 
 
- Exemplo: Determinar a solução do problema de valor inicial abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 => Equação característica: 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 21 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 
 
 
 
 => Então 
 
 
 e 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Observação: 
 
 => : a solução y(t) é oscilante, mas cresce exponencialmente com o tempo. 
 => O gráfico abaixo apresenta uma curva típica: 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 22 
3.1.2.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
3.1.3- CASO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA (37) COM RAÍZES REPETIDAS: 
 
- Se o discriminante b
2
 - 4ac for nulo, então as raízes são iguais. 
- Assim, as raízes são dadas por: 
 
 
 
 
 (45) 
 
- Dessa forma, as raízes levam à mesma solução: 
 
 
 (46) 
 
- Para determinar uma outra solução, admite-se que y = v(t) y1(t) à uma solução: 
 
 => Obtendo a primeira e a segunda derivadas de y e substituindo em (36), obtém-se v(t). 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 23 
- Assim y é dada por: 
 
 
 
 (47) 
 
 
- Exemplo: Resolver a equação: 
 
 
 
 
 => Equação característica: 
 
 
 
 => Equação: 
 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 
 
 => O gráfico abaixo apresenta uma curva típica: 
 
 
 
 
3.1.3.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 24 
a) 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DAS SOLUÇÕES GERAIS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS 
LINEARES DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
 
 
Sejam r1 e r2 as raízes do polinômio característico: 
 
 
 
Se r1 e r2 forem reais e desiguais: 
 
 
 
 
 
Se r1 e r2 forem complexos conjugados, do tipo : 
 
 
 
 
 
Se r1 = r2: 
 
 
 
 
 
 
 
3.2- EQUAÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES: 
 
3.2.1- MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS: 
 
- Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma abaixo: 
 
 (48) 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 25 
Etapas para determinação da solução geral da equação (48): 
1. Encontrar a solução geral da equação homogênea correspondente. 
2. Certificar se a função f(t) pertence à classe das seguintes funções: 
a. Exponenciais: Aebt 
b. Senos: Asen(bt) 
c. Cossenos: Acos(bt) 
d. Polinômios: Atn + Btn-1 + ... 
e. Somas ou produtos dessas funções 
Obs.: Se não for uma dessas, este método não pode ser utilizado. 
3. Se f(t) = f1(t) + f2(t) + ... + fn(t) (uma soma de n termos), então deve-se formular n subproblemas, 
cada um com apenas um termo da soma f1(t), f2(t), ..., fn(t). Para o i-ésimo problema, tem-se:
4. No i-ésimo subproblema, admitir uma solução particular Xi(t) constituída pelas funções apropriadas 
(exponencial, seno, coseno, polinomial, ou combinação destas). Se houver duplicação da hipótese 
Xi(t) com as soluções da equação homogênea (obtida na etapa 1), multiplicar Xi(t) por t ou, se for 
necessário, por t
2
 de forma a remover a duplicação. 
5. Obter a solução particular Xi(t) para cada subproblema. Assim, a soma X1(t) + ... + Xn(t) é a solução 
particular da equação não homogênea completa (48). 
6. Formar a soma da solução geral da equação homogênea (da etapa 1) com a solução particular da 
equação não homogênea (da etapa 5). O resultado final é a solução geral da equação não 
homogênea. 
7. Utilizar as condições iniciais para determinar os valores das constantes arbitrárias que restarem na 
solução geral. 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
 => Devemos procurar por uma solução X tal que X''(t) - 3X'(t) - 4X(t) seja igual a 3e
2t
. 
 => Admitindo X(t) = Ae
2t
, onde A é um coeficiente a ser determinado. 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t): 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 26 
X'(t) = 2Ae
2t
 X''(t) = 4Ae
2t 
 
 => Levando X(t) e suas derivadas à equação diferencial dada, obtemos: 
 
(4A - 6A - 4A)e
2t
 = 3e
2t 
 
 => Assim, A = -1/2, logo: 
 
 
 
 
 
 
 => Observação: Antes de ter utilizado a solução particular, deveria ter sido calculada a solução 
 homogênea da equação diferencial dada. 
 
 
 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
 => Admitindo X(t) = A sen t, onde A é um coeficiente a ser determinado. 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial: 
 
-5 A sen t - 3 A cos t = 2 sen t
 
 
 => Assim, A = -2/5 e A = 0, o que é uma contradição. Ou seja, a hipótese de solução dada é 
 inadequada. 
 => A presença do termo em cosseno na equação diferencial sugere a inclusão de um termo em 
 cosseno na função X(t). Assim: 
 
X(t) = A sen t + B cos t, com A e B a serem determinados.
 
 
 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial: 
 
(-A + 3B - 4A) sen t + (-B - 3A - 4B) cos t = 2 sen t
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 27 
 => Assim, A = -5/17 e B = 3/17, ficando a solução particular da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Observação: Antes de ter utilizado a solução particular, deveria ter sido calculada a solução 
 homogênea da equação diferencial dada. 
 
 
 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
 => Admitindo X(t) = A e
t
 cos 2t + B e
t
 sen 2t, com A e B a serem determinados. 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial, obtemos 
 A = 10/13 e B = 2/13 e ficando a solução particular da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Observação: Antes de ter utilizado a solução particular, deveria ter sido calculada a solução 
 homogênea da equação diferencial dada. 
 
 
 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
 => Separando em subproblemas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 28 
 
 
 
 => As soluções destes três subproblemas foram obtidas nos três exemplos anteriores. 
 => Assim, a solução particular fica da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
 => Determinando a solução da equação diferencial homogênea correspondente: 
 
 
 
 
 => Equação característica fica: 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 => Então e 
 
 => A solução da homogênea é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 => Como a solução da equação homogênea é do tipo de f(t) devemos multiplicar o conjunto 
 fundamental de soluções da equação homogênea por t e assumir que será a solução particular. 
 => Assim, admite-se que a solução particular fica da forma: 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 29 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial: 
 
-4A sen 2t + 4B cos 2t = 3 cos 2t
 
 
 => Assim, A = 0 e B = 3/4, ficando a solução particular da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.1.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral das equações diferenciais dadas: 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
3.2.2- MÉTODO DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: 
 
- A principal vantagem deste método é ser geral (os coeficientes não precisam ser constantes). 
- Não exige hipóteses detalhadas sobre a forma da solução particular de uma equação diferencial não 
homogênea linear de segunda ordem. 
- Contudo, este método pode exigir o cálculo de integrais que envolvem o termo não homogêneo da 
equação diferencial, o que pode gerar dificuldades. 
 
Determinação da solução geral pelo Método da Variação de Parâmetros: 
Seja uma equação diferencial não homogênea linear de segunda ordem: 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a equação diferencial não homogênea linear de segunda ordem se reduz a: 
 
 
 
(49) 
 
Seja a equação diferencial homogênea correspondente: 
 
 
 
(50) 
 
Se as funções p, q e g forem contínuas num intervalo aberto I e se as funções x1 e x2 forem soluções 
linearmente independentes da equação homogênea (50), então uma solução particular da equação (49) é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 (51) 
 
Onde W(x1 , x2)(t) é o Wronskiano de x1 e x2, determinado por: 
 
 
 
 
 (52) 
 
 
A solução geral de (49) é dada por: 
 (53) 
 
 
 
- Exemplo: Determinar uma solução particular da equação diferencial abaixo: 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 31 
 => Este problema não se enquadra nos tipos possíveis para resolver pelo dos coeficientes 
 indeterminados (g(t) = 3 csc t envolve um quociente e não uma soma ou um produto de sen t e cos t). 
 => Determinando a solução da equação diferencial homogênea equivalente: 
 
 
 
 
 => Equação característica fica: 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 => Então e 
 
 => A solução da homogênea é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 => Assim: 
 
 
 
 
 
 => O Wronskiano é dado por:
= 
 
 
 
 
 => Determinando a solução particular da equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Então, a solução particular da equação diferencial fica: 
 
 
 
 
 
 
 => A solução geral da equação diferencial fica: 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.2.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral das equações diferenciais dadas pelo método da variação de parâmetros: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 33 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS 
 
1.7- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a ordem da equação diferencial e informar se é linear ou não linear: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda ordem e linear. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda ordem e não linear. 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira ordem e linear. 
 
2) Verificar se a função, ou funções dadas, são solução da equação diferencial: 
 
a) 
 
 
 
Para y1: 
y1' = -3e
-3t
 y1'' = 9e
-3t
 
9e
-3t
 + 2(-3e
-3t
) - 3(e
-3t
) = 9e
-3t
 - 6e
-3t
 - 3e
-3t
 = 0 => y1
 
é solução da equação diferencial. 
 
Para y2: 
y2' = e
t
 y2'' = e
t
 
e
t
 + 2 (e
t
) - 3(e
t
) = e
t
 + 2e
t
 - 3e
t
 = 0 => y2
 
é solução da equação diferencial. 
 
b) 
 
y' = 3 + 2t 
t (3 + 2t) - (3t + t
2
) = 3t + 2t
2
 - 3t - t
2
 = t
2
 => y = 3t + t
2
 é solução da equação diferencial. 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 34 
2.4- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral para cada equação diferencial dada: 
 
a) 
 
Forma geral de EDO de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
p(t) = 1 e g(t) = te
-t
 + 1 
 
 
 
 
Multiplicando a EDO por ρ(t) de primeira ordem: 
 
 
 
 
 => O lado esquerdo é a derivada de e
t
y: 
 
 
 
 => Integrando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 35 
b) 
 
 
 
Forma geral de EDO de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
p(t) = 2t e g(t) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando a EDO por ρ(t) de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => O lado esquerdo é a derivada de 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 => Integrando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar a solução do problema de valor inicial dado: 
 
 
 
 
 
Forma geral de EDO de primeira ordem: 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 36 
p(t) = 2t e g(t) = 
 
 
 
 
 
Multiplicando a EDO por ρ(t) de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => O lado esquerdo é a derivada de 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Integrando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Da condição inicial: y(0) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.1.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
a) 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 37 
 => Admitindo que y = e
rt
 obtemos a equação característica: 
 
 
 
Calculando no Maple 
 
p:=r^2+r-2; 
 
factor(p); 
 
(r + 2) (r - 1) 
 
> solve(p=0); 
-2, 1 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -2 e r2 = 1. 
 => A solução geral fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 => c1 = 0 e c2 = 1 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 38 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
Traçando o Gráfico no Maple 
 
plot(exp(t),t=0..3); 
 
 
Traçando o Gráfico no Matlab 
 
t=0:0.1:3; % define pontos no eixo x 
y=exp(t); 
plot(t,y) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 => Admitindo que y = e
rt
 obtemos a equação característica: 
 
 
 
Calculando no Maple 
 
p:=r^2-5.*r+1.; 
 
 
> factor(p); 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 39 
 
(3*r-1)*(2*r-1) 
 
> solve(p=0); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = 1/3 e r2 = 1/2. 
 => A solução geral fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => c1 = 12 e c2 = -8 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 => O gráfico dessa solução fica: 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 40 
 
 
Traçando o Gráfico no Maple 
 
plot(12*exp(t/3)-8*exp(t/2),t=0..1); 
 
 
Traçando o Gráfico no Matlab 
 
t=0:0.1:1; % define pontos no eixo x 
y=12*exp(t/3)-8*exp(t/2); 
plot(t,y) 
 
 
 
3.1.2.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 => Equação característica: 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 41 
 => Então e 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 => c1 = 0 e c2 = 1/2 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 
 
 
 => : a solução y(t) não cresce e nem decresce exponencialmente com o tempo, apenas fica 
 oscilando permanentemente (oscilação não amortecida). 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
b) 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 42 
 => Equação característica: 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 => Então e 
 
 => A solução geral é dada por:
=> Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => c1 = 1 e c2 = 2
 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 
 
 => : a solução y(t) é oscilante, mas decresce exponencialmente com o tempo (oscilação 
 amortecida). 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 43 
 
 
c) 
 
 
 
 
 => Equação característica: 
 
 
 => Raízes da equação característica: 
 
 
 => Então e 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => c1 = 0 e c2 = 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 44 
 => A solução fica: 
 
 
 
 => : a solução y(t) é oscilante, mas cresce exponencialmente com o tempo. 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
 
 
 
 
3.1.3.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução dos problemas de valor inicial abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 => Equação característica: 
 
 
 => Equação: 
 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Utilizando as condições iniciais, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => c1 = -2/3 e c2 = 
 
 
 => A solução fica: 
 
 
 
 
 
 
 => O gráfico dessa solução fica: 
 
 
 
 
 
3.2.1.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral das equações diferenciais dadas: 
 
a) 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 46 
- Determinando a solução homogênea: xh 
 
 => Equação característica: 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -1 e r2 = 3. 
 => A solução geral fica: 
 
 
 
 
 
- Determinando a solução particular: X(t) 
 
 => Devemos procurar por uma solução X tal que X''(t) - 2X'(t) - 3X(t) seja igual a 3e
2t
. 
 => Admitindo X(t) = Ae
2t
, onde A é um coeficiente a ser determinado. 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t): 
 
X'(t) = 2Ae
2t
 X''(t) = 4Ae
2t 
 
 => Levando X(t) e suas derivadas à equação diferencial dada, obtemos: 
 
(4A - 4A - 3A)e
2t
 = 3e
2t 
 
 => Assim, A = -1, logo: 
 
 
 
- Solução geral: x = xh + X(t) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
- Determinando a solução homogênea: xh 
 
 => Equação característica: 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 47 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -1 + 2i e r2 = -1 - 2i. 
 => Então e 
 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
- Determinando a solução particular: X(t) 
 
 => Devemos procurar por uma solução X tal que X''(t) + 2X'(t) + 5X(t) seja igual a 3 sen 2t. 
 => Admitindo X(t) = A sen 2t, onde A é um coeficiente a ser determinado. 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial: 
 
-4 A sen 2t + 4 A cos 2t + 5 A sen 2t = 3 sen 2t
 
 
 => Assim, A = 3 e A = 0, o que é uma contradição. Ou seja, a hipótese de solução dada é 
 inadequada. 
 => A presença do termo em cosseno na equação diferencial sugere a inclusão de um termo em 
 cosseno na função X(t). Assim: 
 
X(t) = A sen 2t + B cos 2t, com A e B a serem determinados.
 
 
 => Calculando a primeira e segunda derivadas de X(t) e substituindo na equação diferencial: 
 
(A - 4 B) sen 2t + (4A +B) cos 2t = 3 sen 2t
 
 
 => Assim, A = 3/17 e B = -12/17, ficando a solução particular da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Solução geral: x = xh + X(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 48 
3.2.2.1- EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar a solução geral das equações diferenciais dadas pelo método da variação de parâmetros: 
 
a) 
 
 
 => Mesmo este problema se enquadrando nos tipos possíveis para resolver pelo dos coeficientes 
 indeterminado, vamos resolver pelo método da variação de parâmetros. 
 => Equação característica: 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -1 e r2 = 3. 
 => A solução geral fica: 
 
 
 
 
 
 => Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => O Wronskiano é dado por: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 => Determinando a solução particular da equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 49 
 => Então, a solução particular da equação diferencial fica: 
 
 
 
Calculando no Maple 
 
u:=(-3/4)*exp(-t)*int(exp(3*t),t)+(3/4)*exp(3*t)*int(exp(-t),t); 
 
 
> simplify(u); 
 
 
 
 => A solução geral da equação diferencial fica: 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 => Mesmo este problema se enquadrando nos tipos possíveis para resolver pelo dos coeficientes 
 indeterminado, vamos resolver pelo método da variação de parâmetros. 
 => Equação característica: 
 
 
 => Assim , os valores possíveis de r são r1 = -1 + 2i e r2 = -1 - 2i. 
 => Então e 
 => A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
 => Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
UCAM CÁLCULO III Equações Diferenciais Ordinárias 50 
 => O Wronskiano é dado por: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 => Determinando a solução particular da equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => Calculando no Maple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => A solução geral da equação diferencial fica: