RACIOCÍNIO LÓGICO - CAPÍTULO 1

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO LÓGICO
Alessandro Ferreira Alves 
1 Operações numéricas e operações algébricas
Você já parou para pensar como o seu dia a dia está ligado, direta ou indireta-
mente, a números, suas operações e propriedades algébricas? Por exemplo, quantas 
vezes você foi passear com o seu cachorro essa semana ou quantos irmãos você tem? 
Note que estas questões envolvem quantidades numéricas e suas representações. 
Apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo tem sido 
uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática e, consequente-
mente, da Lógica. 
Eles também contribuirão para uma sua sólida formação na sua área de atuação, 
podendo ser aplicados em diversas situações cotidianas. E para isso, vamos iniciar nos-
sos estudos a partir da classificação dos números.
1.1 Classificação dos números
Antes de descrevermos os conjuntos numéricos, poderíamos indagar: em que 
momento da história do homem surgiu o conceito de número? Talvez tenha surgi-
do com o próprio ser humano ou até mesmo antes da humanidade. Segundo Dante 
(2002), Charles Darwin, em The descent of man (1871), notou que alguns animais pos-
suem capacidade de memorização e imaginação, bem como de distinção de números, 
tamanhos, ordens e formas. É claro que o conceito de número evoluiu e podemos pen-
sar que irá muito além do que conhecemos nos dias atuais. 
A partir da segunda metade do século XX, a Matemática passou a substituir cál-
culos por ideias, com o intuito de formalização ou rigor matemático – logo, a noção de 
conjunto coincide com a ideia de coleção. Sendo assim, chamamos de conjuntos numéricos 
os agrupamentos de números que apresentam certas características comuns entre si. 
Para a organização do estudo dos números, vamos classificá-los da seguinte forma:
• ℕ: conjunto dos números naturais; 
• ℤ: conjunto dos números inteiros;
• ℚ: conjunto dos números racionais;
• �: conjunto dos números irracionais;
• �: conjunto dos números reais.
Mas antes de partirmos para o estudo dos números e de todo o universo ao redor 
deles, vejamos mais algumas informações de cunho histórico.
Raciocínio Lógico 12
1.1.1 Notas históricas
Se você tivesse uma cachorra com quatro filhotes e tirasse um deles, é muito pro-
vável que ela conseguisse notar que a família está incompleta. Sendo assim, poderíamos 
indagar: como a cachorra aprendeu a contar? Obviamente, cachorros não sabem contar. 
Porém, eles e outros animais notam a diferença entre quantidades menores, assim como 
nós. Se por ventura a sua cachorra tivesse muito mais filhotes e você tirasse um, é quase 
certo que ela não iria notar que a ninhada está incompleta. 
Um dos problemas clássicos dos povos remotos era não saber quando havia di-
minuição no rebanho com a perda de alguma ovelha ou o aumento de acordo com o 
nascimento de novas ovelhas. Então, como o pastor poderia realizar um controle da 
quantidade? De acordo com Paiva (2002), acredita-se que ele conseguia resolver esse 
problema através da separação de uma pedrinha para cada animal que passava por 
uma trilha. Se restavam pedrinhas, isso indicava a perda de alguma ovelha; se falta-
vam, então o rebanho havia aumentado. Esse método é conhecido na literatura como 
correspondência um a um.
Vejamos agora os dois primeiros conjuntos relacionados à contagem e inserção 
dos valores negativos: os naturais e os inteiros.
1.1.2 Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros
Atualmente, o sistema universalmente aceito é o decimal e o registro é o indo-ará-
bico. Sendo assim, trabalhamos com os números 0, 1, 2, 3, 4 e assim sucessivamente. 
Tais números são denominados números naturais. Dois números naturais vizinhos são 
chamados de consecutivos - logo, 1 e 2 são consecutivos. 
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de contar objetos. É por isso que eles 
também são chamados números de contagem.
Note que, dados dois números consecutivos, podemos caracterizar uma relação 
de ordem entre eles. Por exemplo, dados 1, 2 e 3, observe que 1 é menor que 2, que, 
por sua vez, é menor do que 3. Podemos denotar esse fato por 1 < 2 < 3. 
Desta forma, falamos que o sucessor de 1 é o 2, o sucessor de 2 é o 3 e assim por 
diante. Já o antecessor de 3 é o 2, enquanto que o antecessor de 2 é o 1. Podemos de-
notar o conjunto dos números naturais por ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
A partir do momento em que os números naturais nascem da nossa necessida-
de de contar objetos, vemos que, ao operarmos com eles, surge a necessidade de 
Raciocínio Lógico 13
criarmos quantidades negativas. É sabido que a subtração (2 – 3) não pode ser feita no 
âmbito do conjunto dos números naturais. No entanto, temos situações práticas em 
que precisamos descrever um resultado para ela. Vejamos uma situação bem simples.
Em uma noite fria de inverno no mês de maio de 2014, a temperatura em 
Campinas era de 5 graus centígrados e em Florianópolis era de apenas 2 graus centí-
grados. Se fizesse ainda mais frio durante a madrugada e a temperatura caísse mais 3 
graus, a quantos graus chegariam as duas cidades? 
Como em Campinas a temperatura era 
de 5 graus, baixando 3, graus ela chegaria a 
(5 – 3) graus, isto é, a 2 graus. Já em 
Florianópolis, a temperatura era de 2 graus 
e, diminuindo 3 graus, ela chegaria a (2 – 3) 
graus. Ou seja, como 2 é menor do que 3, pre-
cisaríamos de um número negativo. 
Em linhas gerais, quantidades “a mais que 
zero”, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc., são cha-
madas de números positivos, enquanto que as 
quantidades “a menos de zero”, como – 1, – 2, 
– 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8, etc., são chamadas de números negativos. O número zero ocupa 
uma posição especial, sendo que não é considerado positivo ou negativo.
Eixo real
0 1 2 3 4 5 6 7 8– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1
Neste sentido, surgem então os números inteiros, que são todos os números natu-
rais, como 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., e os números – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, etc., que representam 
quantidades inteiras a menos que zero. O conjunto formado por todos os números in-
teiros pode ser denotado por ℤ e pode ser demonstrado como ℤ = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 
2, 3, ...}. É importante ficar claro que todo número natural é um número inteiro.
Os números naturais trabalham diretamente com a contagem e os inteiros levam 
em consideração os números negativos. Agora, vamos trabalhar com os números envol-
vendo quantidades não inteiras, cuja representação decimal é finita ou infinita periódica 
ou, ainda, infinita não periódica.
 ©
 F
ab
ri
CO
©
 S
W
D
D
 //
 S
hu
tt
er
st
oc
k.
 (A
da
pt
ad
o)
.
Raciocínio Lógico 14
1.1.3 Conjunto dos Números Racionais e Conjunto dos Números 
Irracionais
Chamamos de número racional aquele que pode ser escrito na forma pq , onde p e 
q são números inteiros, com q ≠ 0. Ou seja, o conjunto dos números racionais pode ser 
denotado por:
ℚ = {x|x = p
q
 ; p,q ∈ ℤ, q ≠ 0}.
É evidente que, nessa definição, encontram-se todos os números naturais, inteiros e 
também as dízimas periódicas. Por dízimas periódicas entendemos os números racionais, 
cuja representação decimal é infinita e periódica, sendo descritos a partir da divisão entre 
dois números inteiros, sendo que a fração que os caracteriza é a fração geratriz. Vejamos 
alguns exemplos de números racionais:
– 3, 2, 0,4333333.....; 1
4
 = 0,25; 1
3
 = 0,3333333...; 0,714444444...
Sendo assim, vejamos alguns problemas associados aos números racionais e suas 
representações.
Problema 1: Qual é a fração geratriz do racional 0,44444...? 
Solução: Vamos chamar o número racional em questão de x. Ou seja, 
x = 0,4444... Então, 10x = 4,444... , por conta do período se iniciar uma casa após a ví-
gula. Sendo assim, a partir da subtração 10x – x, vem que:
10x – x = 4,444... – 0,444...
Ou seja:
9x = 4 e, portanto, a fração geratriz é dada por x = 4
9
Problema 2: Quais são alguns exemplos de números racionais compreendidos en-
tre os números π e π + 0,01? 
O número π é um número irracional que equivale à razãoentre o perímetro da circunferência e 
o seu diâmetro. Numericamente, é igual a 3,14159265358979323…
Raciocínio Lógico 15
Solução: Neste caso, precisamos lembrar que π é aproximadamente igual a 
3,1416. Logo, segue que π + 0,01 é aproximadamente igual a 3,1416 + 0,01 = 3,1516. 
Desta forma, podemos perceber que 3,142, 3,143 ou 3,15 são exemplos de números ra-
cionais compreendidos entre π e π + 0,01. 
Problema 3: Qual é a fração geratriz do racional 2,7051515151...? 
Solução: Vamos chamar o número racional em questão de x. Ou seja, x = 
2,7051515151... Então, 100x = 270,5151..., por conta do aparecimento do período (51). 
Sendo assim, calculando 100x – x vem que:
100x – x = 270,5151... – 2,7051515151...
Ou seja:
99x = 267,81
Então:
x = 267,81
99
E, se multiplicarmos o numerador e denominador por 100 para deixarmos o nú-
mero inteiro, vemos que x = 26781
9900
.
Nesses exemplos, trabalhamos basicamente apenas com as dízimas ditas periódi-
cas. Entretanto, é importante ressaltar ainda que, entre os números decimais, existem 
as dízimas não periódicas, que são números com representação decimal infinita e não 
periódica. Tais números são conhecidos como irracionais e o conjunto formado por eles 
é comumente denotado por �. 
Observemos que, se n é um número natural não quadrado perfeito, então √n é 
um número irracional, já que essa raiz quadrada é não inteira, sendo então uma dízima 
infinita não periódica. Ressaltamos que um número natural n é dito um quadrado per-
feito se ele pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Desta forma, 
25 é um quadrado perfeito, pois 25 = 5².
São exemplos de números irracionais:
√2; √3; √5; π = 3,14...; e = 2,71... (Constante de Euler)
Raciocínio Lógico 16
Como vimos, os racionais estão associados às dízimas periódicas. Já os irracionais, 
à representação decimal infinita e não periódica. Agora, vamos introduzir o conjunto 
dos números reais, que engloba todos os conjuntos descritos anteriormente.
1.1.4 Conjunto dos Números Reais
Um número real é todo e qualquer número racional ou irracional. Desta forma, o 
conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais juntamente com 
todos os números irracionais. Denotamos o conjunto dos números reais por . Note 
que todos os tipos de números discutidos até o presente momento se caracterizam 
como reais. Assim, temos a representação dos conjuntos numéricos a seguir:
Representação dos conjuntos numéricos
N Z Q R
Fonte: PAIVA, 2001, p. 19.
Além disso, podemos realizar uma associação de cada número real com um pon-
to de uma reta orientada, sendo esta chamada de reta ou eixo real, conforme mostrada 
anteriormente.
Vimos que os números estão diretamente relacionados aos processos de conta-
gem. Neste sentido, as operações envolvendo os números surgem frequentemente no 
nosso cotidiano e serão o nosso objeto de estudo no próximo tópico. 
1.2 Operações numéricas
As operações envolvendo os números são conhecidas como operações numéricas, 
podendo ser mais simples ou um pouco mais complexas, no sentido de cálculos e pro-
priedades envolvidos. Neste sentido, apresentaremos as principais operações numéricas 
e as propriedades associadas a elas, desde a adição até a radiciação.
1.2.1 Adição e Subtração
Denominamos operação de adição o procedimento que nos permite somar dois nú-
meros reais a e b, obtendo um número denominado soma a + b. Os números a e b são 
 ©
 F
ab
ri
CO
Raciocínio Lógico 17
chamados de parcelas. Salienta-se ainda que definimos a soma de dois números reais 
dizendo qual é o seu sinal e qual é o seu valor absoluto. Além disso, para somarmos três 
ou mais números reais, nós somamos os dois primeiros e, em seguida, somamos o re-
sultado ao número seguinte. 
As propriedades da operação de adição envolvendo números reais são apresenta-
das a seguir:
• Comutativa ou Troca: A ordem das parcelas não altera a soma. 
Exemplificando, temos que:
(– 7) + (10) = 3
(10) + (– 7) = 3



 ⇒ (– 7) + (10) = (10) + (– 7)
Em geral, dados os reais a e b, temos que: a + b = b + a.
• Associativa: Na soma de três parcelas, podemos associar as duas primeiras ou 
as duas últimas. Exemplificando, temos que:
[(– 8) + (– 4) + (6) ] = (– 12) + (6) = – 6
 (– 8) + [ (– 4) + (6) ] = (– 8) + (2) = – 6
[ (– 8) + (– 4) ] + (6) = (– 8) + [(– 4) + (6)] = – 6
Em geral, dados os reais a, b e c, escrevemos: 
(a + b) + c = a + (b + c).
• Elemento Neutro: O número zero é dito elemento neutro na adição de reais, já 
que para qualquer número real a, temos que: 
a + 0 = a 
e 
0 + a = a
• Oposto: Todo número real a possui um oposto (também chamado de simétrico 
ou inverso aditivo), que denotamos por (– a). A soma de um número real a com 
o seu oposto é zero. Ou seja, podemos escrever que:
a + (– a) = (– a) + a = 0.
Denominamos operação de subtração o procedimento que nos permite, a partir 
de dois números reais a e b, obtermos um número denominado diferença a – b.
Raciocínio Lógico 18
A subtração liga as ideias de retirar, completar e comparar.
Com relação à subtração envolvendo números reais, devemos lembrar que a dife-
rença entre dois números, dados em certa ordem, é o número que, somado ao segundo, 
dá como resultado o primeiro. Por exemplo, 10 – 3 = 7, pois 7 + 3 = 10. De outra forma, a 
expressão (10 – 3) pode ser encarada neste momento como uma soma entre os números 
10 e – 3. Escrevemos 10 – 3 = 10 + (– 3) = 7, conforme nos mostra a figura a seguir:
10 – 3 = 10 + (– 3) = 7
Sendo assim, vejamos alguns problemas envolvendo adição e subtração.
Problema 4: De acordo com a numeração dos nossos anos, o ano zero é a marca 
do nascimento de Jesus Cristo. Quantos anos se passaram desde o ano 500 a.C. até o 
ano da chegada dos portugueses ao território brasileiro?
Solução: Aqui, devemos realizar uma soma envolvendo as parcelas 500 e 1500. 
Ou seja, o número de anos é igual a 500 + 1500 = 2000 anos, sendo que a primeira par-
cela denota o número de anos desde 500 a.C. até o ano 0 e a segunda a quantidade de 
anos entre o ano 0 e o ano de 1.500 d.C.
Problema 5: Quantas unidades diminuímos ao passar de – 2 para – 8?
Solução: Neste caso, devemos observar que iremos passar pela sequência de nú-
meros negativos – 3, – 4, – 5, – 6, – 7 e – 8. Ou seja, diminuímos 6 unidades. 
Problema 6: Qual seria o resultado da expressão numérica – 4 + 15 – 14 – 8?
Solução: Para caracterizarmos uma adição envolvendo essas quatro parcelas, 
procedemos como segue:
–4 + 15 – 14 – 8 = 11 – 14 – 8 = – 3 – 8 = – 11
Geralmente, temos que a diferença entre dois números reais é igual à soma do pri-
meiro com o oposto do segundo, ou seja, na subtração entre os termos a e b, temos que 
diferença entre os 
números 10 e 3

soma do número 10 
com o oposto de 3

11

–3

Raciocínio Lógico 19
a – b = a + (– b). Salientamos que as propriedades da adição são válidas para a subtra-
ção, pois ela nada mais é do que uma adição. Vejamos o que são multiplicação e divisão.
1.2.2 Multiplicação e Divisão
Chamamos de operação de multiplicação o procedimento que nos permite, a partir 
de dois números reais a e b, obter um número denominado produto a × b (ou a · b). Os 
números a e b são chamados de fatores. Ao determinarmos o produto de dois números 
reais, podemos notar que:
• Se os fatores têm sinais iguais (ambos positivos ou negativos), então multiplica-
mos os módulos e damos ao resultado o sinal positivo. Desta forma, (+ 1) · (+ 1) 
= + 1, pois (+) vezes (+) dá (+). Além disso, (– 1) · (– 1) = + 1, pois (–) vezes (–) dá 
(+). A figura a seguir nos mostra outras situações:
 + vezes + dá +
(+ 5) · (+ 7) = + 35 porque e
 5 · 7 = 35
 – vezes – dá +
(– 9) · (– 3) = + 27 porque e
 9 · 3 = 27
• Se os fatores têm sinais contrários (um positivo e outro negativo), então mul-
tiplicamos os módulos e damos ao resultado o sinal negativo. Sendo assim, 
(+ 1) · (– 1) = – 1, pois (+) vezes(–) dá (–), ou ainda, (+ 2) · ( – 3) = – 6, pois (–) 
vezes (+) resulta (–).
Cabe ressaltar ainda que, para multiplicarmos três ou mais números reais, nós mul-
tiplicamos os dois primeiros. Em seguida, multiplicamos o resultado ao número seguinte 
e assim por diante. A descrição dos sinais (que pode ser chamada de regra dos sinais) dos 
possíveis resultados envolvendo a multiplicação é apresentada na figura a seguir:
SINAIS DA MULTIPLICAÇÃO
1.° Fator 2.° Fator Produto
+ + +
– – +
+ – – 
– + –
Raciocínio Lógico 20
As propriedades da operação de multiplicação envolvendo números reais são 
apresentadas a seguir:
• Comutativa ou Troca: A ordem dos fatores não altera o produto. 
Exemplificando, temos que:
(2) · (– 4) = – 8
(– 4) · (2) = – 8



 ⇒ (2) · (– 4) = (– 4) · (2)
Em geral, dados os reais a e b, temos que: a · b = b · a.
• Associativa: Na multiplicação de três fatores, podemos associar os dois pri-
meiros ou os dois últimos. Exemplificando, temos que:
[(– 2) · (– 4) · (3)] = (8) · (3) = 24
 (– 2) · [(– 4) · (3)] = (– 2) · (– 12) = 24
[(– 2) · (– 4)] · (3) = (– 2) · [(– 4)] · (3)
Em geral, dados os reais a, b e c, escrevemos: (a · b) · c = a · (b · c).
• Elemento neutro: O número 1 é dito elemento neutro na multiplicação de 
reais, já que, para qualquer número real a, temos que a · (1) = (1) · a = a. Sendo 
assim:
(5) · (1) = 5; (– 4) · (1) = – 4; (1) · ( – 11) = – 11
• Distributiva da Multiplicação: Considerando os reais a, b e c, temos que: 
a · (b + c) = a · b + a · c e a · (b – c) = a · b – a · c
Com a utilização da distributiva, pode-se escrever 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 e 
3 · (4 – 2) = 3 · 4 – 3 · 2 = 12 – 6 = 6.
Relacionada a situações do tipo partir, repartir, fracionar e fragmentar é que temos 
a divisão. Denominamos operação de divisão o procedimento que nos permite, a par-
tir de dois números reais a e b, com b ≠ 0, obter um número denominado divisão a ÷ b. 
Graficamente, podemos representar como segue.
a b
r q
Raciocínio Lógico 21
Onde:
a: dividendo; b: divisor; q: quociente; e r: resto.
Onde escrevemos:
a = b · q + r, b ≠ 0 e 0 ≤ r < b
Observe que o divisor deve ser sempre diferente de zero e que o resto sempre é 
menor do que o divisor, já que é o que sobra na divisão. Toda vez que o resto for igual a 
zero (r = 0), dizemos que a divisão é exata. Exemplificando, a divisão de 128 por 40 re-
sulta em quociente 3 e resto 8. Sendo assim, é uma divisão não exata.
128 40
8 3
Vejamos alguns problemas ilustrativos envolvendo operações já estudadas.
Problema 7: Qual é o valor da expressão 12 + 4 · (– 5) + (– 3) · (– 2)?
Solução: Nos cálculos de expressões, devemos efetuar primeiro as multiplicações 
e divisões na ordem que aparecem e, depois, as adições e subtrações. Para a nossa ex-
pressão, escrevemos:
12 + 4 · (– 5) + (– 3) · (– 2)
12 + (– 20) + (6)
12 – 20 + 6
 – 8 + 6 = – 2
Problema 8: Qual é o valor do produto (+ 3) · (– 1) · (– 4) · (+ 2) · (– 10)?
Solução: Neste caso, o produto será calculado a partir dos passos a seguir:
(+ 3) · (– 1) · (– 4) · (+ 2) · (– 10)
(– 3) · (– 8) · (– 10)
(+ 24) · (– 10) = – 240
4 · (– 5)

(– 3) · (– 2)

(+ 3) · (– 1)

(– 4) · (+ 2)

(– 3) · (– 8)

Raciocínio Lógico 22
Problema 9: Quando multiplicamos vários números negativos, qual sinal tem o 
produto?
Solução: O sinal do produto ser positivo ou ser negativo vai depender exclusiva-
mente do número de fatores que temos. Sendo assim, temos que, para um número par 
de fatores, o produto será positivo, enquanto que para uma quantidade ímpar de fato-
res, o produto será negativo. Observe os exemplos:
Número par de fatores: (– 2) · (– 3) · (– 1) · (– 2) = (6) · (2) = 12
Número ímpar de fatores: (– 2) · (– 3) · (– 1) · (– 2) · (– 3) = (6) · (2) · (– 3) = – 36
Problema 10: Qual é o valor da expressão – 2 + 3 · 5 – 12 ÷ 6?
Solução: Primeiramente, observe temos uma multiplicação a ser feita, que é (3 · 5). 
Em seguida, temos uma divisão (12 ÷ 6). Por fim, desenvolvermos soma e subtração. Ou 
seja, escrevemos:
– 2 + (3 · 5) – (12 ÷ 6)
– 2 + (15) – (2)
(13) – 2 = 11
Problema 11: Qual é o resultado da expressão 6 ÷ (– 3) + 2 · (– 1) – 20 ÷ (– 4)?
Solução: Similarmente ao raciocínio do problema anterior, inicialmente realiza-
mos a divisão (6 ÷ (– 3)), o produto (2 · (– 1)) e a divisão (20 ÷ (– 4)), para gerarmos 
soma e subtração. Ou seja, temos que:
[6 ÷ (– 3)] + [2 · (– 1)] – [20 ÷ (– 4)]
(– 2) + (– 2) – (– 5)
 – 4 + 5 = 1
(– 2) · (– 3)

(– 1) · (– 2)

(– 2) · (– 3)

(– 1) · (– 2)

(3) · (5)

(12) ÷ (6)

(– 2) + (15)

(6) ÷ (– 3)

(2) · (– 1)

(20) ÷ (– 4)

Raciocínio Lógico 23
A seguir, vamos discutir potenciação e radiciação, que surgem diretamente de 
multiplicação e divisão. 
1.2.3 Potenciação
Com certeza, você já se deparou com situações que envolvam a operação de poten-
ciação no trato com números muito grandes ou muito pequenos. Biólogos, engenheiros, 
economistas e vários outros profissionais se utilizam de números cuja representação deci-
mal é estranha ou complexa. Desta forma, citamos:
• Um prêmio de loteria pagou aproximadamente R$ 240 milhões, ou seja, 
R$ 240.000.000, que é uma grande quantia em dinheiro.
• Físicos dizem que existem 27 quintilhões de moléculas em 1 cm³ de ar atmosfé-
rico, ou seja, 27.000.000.000.000.000.000 de moléculas. 
Neste sentido, segundo Alves (2009), dado um número real a e um número intei-
ro n, n > 1, podemos chamar de potência enésima de a o produto de n fatores iguais a 
a, que denotamos por an. Assim, escrevemos que an = a · a · a · ... · a. O número a é cha-
mado de base e o n de expoente.
Exemplificando, temos que:
• 2³ = 2 · 2 · 2 = 8
• (– 2)³ = (– 2) · (– 2) · (– 2) = – 8
• 4² + (– 3)² = 4 · 4 + (– 3) · (– 3) = 16 + 9 = 25
Por outro lado, temos a potência 22 = 4. Observe que, ao diminuirmos de uma uni-
dade do expoente, o valor da potência fica dividido por dois, que é o valor da base. 
Vejamos:
2¹ = 2; 20 = 1; 2–1 = 1
2
; 2–2 = 1
4
E assim por diante. Tais resultados sugerem as definições a seguir:
a¹ = a, a0 = 1 
e 
a–n = 1
an
 = 



1
a



n
, a ≠ 0.
n fatores
Raciocínio Lógico 24
Neste sentido, temos que:
• 4¹ = 4 e (– 4)¹ = – 4 
• 20 = 1 e 60 = 1
• 3–2 = 1
32
 = 1
9
 e 3–3 = 1
33
 = 1
27
Para termos maior rapidez nos cálculos envolvendo as potências, podemos utili-
zar as chamadas propriedades das potências. Desta maneira, para qualquer a e b que 
sejam números reais, m e n números inteiros, são válidas as propriedades a seguir:
• P1) am · an = am+n. Logo, por exemplo, temos que:
24 · 22 = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 24 + 2
• P2) a
m
an
 = am–n, a ≠ 0. Assim, por exemplo, temos que:
24
22
 = 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2
 = 2 · 2 = 24 – 2
• P3) (am)n = am·n. Desta forma, por exemplo: 
(24)2 = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 24 · 2.
• P4) 



a
b



m
 = a
m
bm
, b ≠ 0. Logo, por exemplo: 



2
3



2
 = 2
3
 · 2
3
 = 2 · 2
3 · 3
 = 2
2
32
.
• P5) (a·b)m = am · bm. Sendo assim, por exemplo: 
(2 · 3)² = (2 · 3) · (2 · 3) = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².
Desta forma, o valor da expressão (5
3 · 57)2
518
 pode ser obtido como segue: 
(53 · 57)2
518
 = (5
10)2
518
 = 5
20
518
 = 52.
(53 · 57)2
518
 = (5
3+7)2
518
 = (5
10)2
518
 = 5
10 · 510
518
 = 5
10+10
518
 = 5
20
518
 = 520 · 5–18 = 520 –18 = 52.
(4+2) fatores

(4 – 2) fatores

(4 · 2) fatores

P1
}
P3
}
P2
}
Raciocínio Lógico 25
Além disso, como vimos qualquer número diferente de zero elevado a zero é igual 
a 1. Em particular, escrevemos 30 = 1, pois: 
30 = 31–1 = 31 · 3–1 = 31 · 1
31
 = 3 · 1
3
 = 1
Outro ponto importante relacionado à potenciação é a notação científica. De acordo 
com Alves (2009), todo número positivo pode ser escrito em notação científica, ou seja, 
na forma c × 10m, onde 1 ≤ c < 10 e m é um inteiro. Salienta-se que essa notação auxilia 
quandotemos números muito grandes ou muito pequenos e utilizamos potências de 10. 
Assim, citamos também em notação científica 237.500.000 = 2,375 × 108; 
0,000000349 = 3,49 × 10 –7; 23 = 2,3 × 10¹.
No dia 22 de março de cada ano, comemora-se o dia internacional da água. Sabe-se 
que 18 gramas de água contém 6,02 × 1023 moléculas. Logo, qual o número de molécu-
las existentes em 360 gramas de água? Observe que 360 gramas = 20 × 18 gramas e 18 
gramas de água contém 6,02 × 1023 moléculas. Portanto, 360 gramas = 20 × 6,02 · 1023 = 
1,204 × 1025 moléculas.
Agora, será de nosso interesse trabalhar com operações envolvendo radicais. 
1.2.4 Radiciação
A radiciação trabalha com operações relacionadas a radicais. Para fazer uma in-
trodução dela, vamos considerar um problema envolvendo um quadrado com 5 cm² de 
área. Logo, indagamos: qual a medida do lado deste quadrado?
x
x
xx
Segundo Alves (2009), para resolvermos esse problema, suponhamos que a me-
dida do lado do quadrado seja x (x > 0), conforme mostrado na figura. A área deste 
quadrado é dada por x · x = x², então escrevemos que x² = 5. Nessas condições, o pro-
blema será resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne 
verdadeira a sentença x² = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será 
indicado por √5, que deve ser lido “raiz quadrada de cinco”. Assim, x = √5 e, portanto, o 
lado do quadrado mede √5 cm. 
 ©
 F
ab
ri
CO
2 2
2
Raciocínio Lógico 26
Vamos generalizar esse raciocínio? Para isso, suponhamos a sentença xn = a, onde 
n é um número natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo que satisfaz a igualdade 
será indicado por √a e deve ser lido como “raiz enésima de a”. Adotaremos a seguinte 
nomenclatura para a nova simbologia apresentada:
 √a é o radical; n é o índice do radical; e a é o radicando.
É interessante comentarmos que, por conta da raiz quadrada de um número não 
negativo a, isto é, √a, ser utilizada frequentemente, é comum denotarmos simples-
mente por √a , omitindo-se por conveniência o índice 2. Generalizando, definimos de 
modo formal a raiz enésima como segue. 
Sendo a ≥ 0 e n um natural maior do que zero, temos:
√a = b ⇔ bn= a e b ≥ 0
Onde b é um número real chamado de raiz enésima de a. A partir da definição ante-
rior, podemos escrever que √9 = 3, pois 3² = 9 e 3 ≥ 0; √64 = 4. Além disso, 4³ = 64 e 4 ≥ 0.
Similarmente à potenciação, temos as propriedades operatórias dos radicais, 
conforme descrevemos a seguir.
• √a · √b = √a · b. Logo, por exemplo, temos que: 
 √2 · √5 = √2 · 5 = √10
• √a
√b
n
n
 = a
b
 = , b ≠ 0. Assim, por exemplo, temos que: 
√8
√4
5
5
 = 8
4
 = √2 
• √amp = √am. Desta forma, por exemplo: 
√59 = √59+9 = √5
• (√a)m = √am. Logo, por exemplo: 
(√2)12 = √212 = √212+3 = 24
• √a = √a. Sendo assim, por exemplo: 
 √2 = √2 = √2
n
n
2
n
3
n n n
3 3 3 3
n
5
5
n·p n
27 27÷9 3
n n
3 3 3÷3
P3
n m n·m
43 3·4 12
Raciocínio Lógico 27
Observemos que existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x² = 25, 
que são 5 e – 5. Neste momento, a partir da caracterização das definições sobre as opera-
ções numéricas e propriedades, vamos conhecer as principais operações algébricas. 
1.3 Operações algébricas
Para estabelecermos conceitos, definições e resultados, de acordo com Alves 
(2009), usamos sequências de caracteres que podem ser letras, algarismos, sinais de 
operações, parênteses, colchetes ou chaves, dispostos em uma determinada ordem. 
Sequências desse tipo, em que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são di-
tas expressões algébricas ou literais. A letra caracteriza a variável das expressões, pois 
pode assumir qualquer valor numérico. Sendo assim, são exemplos de expressões al-
gébricas: 2x – 3; x² + 2x – 1; e 3x³ + 4x² + 3x – 2.
Associados às expressões algébricas, temos os produtos notáveis e as técnicas de 
fatoração, o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), que 
serão nossos objetos de estudo neste instante.
1.3.1 Produtos Notáveis
Em várias situações que envolvam cálculos numéricos e algébricos, alguns produ-
tos podem ser bastante úteis. Eles são conhecidos como produtos notáveis. A seguir, 
listamos alguns produtos notáveis que utilizamos comumente em cálculos diversos, de 
acordo em Alves (2009):
1. Produto de Uma Soma ou Diferença: 
(u + v) (u – v) = u2 – v2
Desta maneira, por exemplo, escrevemos: 9 – 4 = 32 – 22 = (3 + 2) · (3 – 2) = 5 · 1 = 5.
2. Quadrado de Uma Soma de Dois Termos: 
(u + v)2 = u2 + 2 · u · v + v2 
Desta forma, por exemplo, temos que: (2 + 3)2 = 22 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25 = 52.
3. Quadrado de Uma Diferença de Dois Termos:
(u – v)2 = u2 – 2 ⋅ u ⋅ v + v2 
Desta forma, por exemplo, segue que: (4 – 2)2 = 42 – 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 22 = 16 – 16 + 4 = 4 = 22.
Raciocínio Lógico 28
4. Cubo de Uma Soma de Dois Termos: 
(u + v)3 = u3 + 3 ⋅ u2 ⋅ v + 3 ⋅ u ⋅ v2 + v3 
Desta forma, por exemplo, podemos escrever: (2 + 3)3 = 23 + 3 ⋅ 22 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 ⋅ 32 + 33 = 
8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 53.
5. Cubo de Uma Diferença de Dois Termos: 
(u – v)3 = u3 – 3 ⋅ u2 ⋅ v + 3 ⋅ u ⋅ v2 – v3 
Logo, por exemplo, vem que: (2 – 1)3 = 23 – 3 ⋅ 22 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 12 – 13 = 8 – 12 + 6 – 1 = 1.
Os produtos notáveis são ferramentas que nos propiciam trabalhar com a fatora-
ção de expressões, no sentido de simplificação de cálculos.
1.3.2 Fatoração
De acordo com Alves (2009), o uso de expressões algébricas traz várias conve-
niências, entre elas a precisão e a concisão de linguagem. Por exemplo, note que para 
escrevermos o dobro de um número, podemos usar (2 ⋅ x). Similarmente, para o qua-
drado da soma de dois números, podemos optar por (a + b)2 e assim por diante.
Em uma expressão algébrica, quando cada letra for substituída por um número e 
as eventuais operações puderem ser feitas, obteremos um resultado chamado de valor 
numérico da expressão algébrica. Sendo assim, temos que o valor numérico de (a² – b² + 
a · b) para a = 1 e b = 2 é obtido se substituirmos a por 1 e b por 2. Isso significa que:
(a² – b² + a · b)
1² – 2² + (1 · 2) 
1 – 4 + 2 = – 1
Fatorar significa decompor ou simplificar. Nesse sentido, aparecem algumas iden-
tidades que podem ser vistas em expressões que propiciam a fatoração. São elas:
• O fator comum: Pela propriedade distributiva, temos que:
a · (b ± c) = a · b ± a · c
Note que, no membro da esquerda da igualdade anterior, há uma soma (adição 
ou subtração) de produto e que, nele, a é um fator comum. Desta maneira, temos que 
a fatoração da expressão algébrica 8x² – 4x é dada por: 
Raciocínio Lógico 29
8x² – 4x 
(4x) · (2x) – (4x) · 1
4x · (2x – 1)
• Diferença de dois quadrados: Como vimos, trata-se de um dos produtos no-
táveis. Ou seja, temos que a² – b² = (a + b) · (a – b). Sendo assim, a fatoração da 
expressão algébrica x² – 25 é dada por: 
x² – 25 = x² – 5² = (x + 5) · (x – 5)
• Trinômio Quadrado Perfeito: Como vimos, trata-se também de um caso dos 
produtos notáveis. Ou seja, (a + b)² = a² + 2 · a · b + b² e (a – b)² = a² – 2 · a · b + b². 
Desta forma, o desenvolvimento da expressão 



x –
 
1
x



2
 é dado por:



x – 1
x



2
 = x² – (2) · (x) · 



1
x



 + 



1
x



2
 = x² – 2 + 



1
x2



.
• Soma e Diferença de Cubos: Neste caso, escrevermos que a³ + b³ = (a + b) ⋅ 
(a² – a ⋅ b + b²) e (a³ – b³) = (a – b) ⋅ (a² + a ⋅ b + b²).
Problema 12: Vamos fatorar a expressão algébrica x³ + 3x² + 3x + 1? 
Solução: Neste caso, temos que a expressão dada pode ser visualizada como segue:
x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3x² · (1) + 3x · (1²) + 1³ 
De outra forma, observemos a partir da expressão característica do cubo envol-
vendo a soma de dois termos que a expressão do problema resulta em (x + 1)³. Ou seja:
x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3x² · (1) + 3x · (1²) + 1³ = (x + 1)³
Fatorar significa simplificar de alguma forma as expressões envolvidas em cálcu-
los algébricos. A partir desta ideia, introduziremos os conceitos de MDC e MMC, que 
estãointimamente ligados aos divisores e múltiplos de números.
Raciocínio Lógico 30
1.3.3 MDC e MMC
Para ilustrarmos a aplicabilidade desses dois conceitos, vejamos dois problemas 
envolvendo cada um deles.
Problema 13: Suponhamos que Alessandro é um pequeno produtor do sul de 
Minas Gerais, região que se destaca pela produção de café. Ele possui um terreno com 
dimensões de 36 m de comprimento e 21 m de largura. Alessandro deseja cercá-lo com 
pés de cafés plantados a iguais distâncias um do outro, e quer manter a maior distância 
possível em metros entre eles. Assim, qual será a distância entre os pés de café e quan-
tos pés Alessandro deverá plantar? 
Solução: Observe que, para solucionar esse problema, Alessandro necessita veri-
ficar qual é o maior número que divide em partes iguais as dimensões 36 e 21. 
Utilizando os princípios básicos da divisão, podemos verificar que, dentre os divi-
sores de 36, temos {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, enquanto que o conjunto dos divisores 
de 21 é {1, 3, 7, 21}. 
É interessante notarmos que o maior número que divide tanto 36 e 21, simulta-
neamente, é o 3. Este é o chamado máximo divisor comum (MDC) entre 21 e 36. Logo, 
Alessandro deve plantar os pés de café a cada 3 m um do outro. 
Se quisermos ainda saber quantos pés de café serão necessários, basta que fa-
çamos a divisão de 36 por 3 e 21 por 3 e teremos 12 pés em um lado e 7 pés em outro. 
Como o terreno é retangular e, portanto, tem dois lados maiores e dois lados menores, 
serão necessários 38 pés de cafés = (12 + 12 + 7 + 7).
Sendo assim, falamos que o MDC entre 36 e 21 é 3 e escrevemos que MDC 
(36, 21) = 3. Em geral, falamos que o máximo divisor comum entre dois ou mais núme-
ros é o maior elemento comum aos conjuntos de divisores dos números envolvidos.
Dois números são ditos primos entre si quando o MDC entre eles for igual a 1. Logo, 2 e 3 são 
primos entre si.
Problema 14: Agora, consideremos que uma pequena empresa do interior pau-
lista produz cordões para fechamento de invólucros ou embalagens nos comprimentos 
de 35 cm, 50 cm e 70 cm. No início do ciclo produtivo dos cordões, são fabricados ro-
los inteiros de cordões de diversas colorações e, para não gerar prejuízo, a companhia 
deve produzir tais rolos em um comprimento de forma possam ser cortados de modo 
integral em pedaços de tamanho pré-definidos. 
Raciocínio Lógico 31
Além disso, como procedimento da empresa, cada rolo deve ser cortado em pe-
daços da mesma medida. Note que, para não ocorrer desperdícios no ciclo produtivo, 
cada rolo fabricado deve ter tamanho como múltiplo dos comprimentos 35, 50 e 70 cm, 
ou seja, deve ser um número que possa ser dividido por 35, 50 e 70. Sendo assim, como 
a companhia poderia trabalhar de forma a não gerar desperdício nos rolos fabricados, 
produzindo rolos de menor comprimento, a fim de atender as suas especificidades? 
Solução: Para tal abordagem, deve ser levado em consideração o menor múltiplo 
comum entre os valores 35, 50 e 70. Neste caso, o que deve ser feito é a verificação do 
conjunto dos múltiplos dos comprimentos 35, 50 e 70 cm, como segue:
Múltiplos de 35: {0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, ...}
Múltiplos de 50: {0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, ...}
Múltiplos de 70: {0, 70, 140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, ...}
Por inspeção, podemos averiguar que o menor número que é múltiplo simulta-
neamente de 35, 50 e 70 é 350. Portanto, 350 cm ou 3,50 m é o menor comprimento 
que o rolo deve ter para que não gere prejuízo.
Assim, dizemos que o número 350 é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos nú-
meros 35, 50 e 70, de onde podemos concluir que o mínimo múltiplo comum de dois 
ou mais números é o menor número não nulo que é divisível por todos os números 
considerados.
Com relação à determinação do MMC entre dois ou mais números, podemos utili-
zar decomposição simultânea. Neste processo, efetuamos a decomposição simultânea 
de todos os números, conforme nos mostra a figura a seguir, em que calculamos o MMC 
(15, 24, 60):
15, 24, 60 2
→
15 = 3 × 5 
24 = 2 × 3 × 4 = 2 × 2 × 2 × 3 
60 = 2 × 3 × 10 = 2 × 2 × 3 × 5
15, 12, 30 2
15, 6, 15 2
15, 3, 15 3
5, 1, 5 5
1, 1, 1
Desta forma, o produto dos fatores do lado direito da barra vertical que obtemos 
na decomposição é exatamente o MMC entre os números dados. Portanto, temos que 
MMC (15, 24, 60) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.
A partir do momento em que descrevemos as principais operações algébricas, 
suas propriedades e conceitos relacionados, será de nosso interesse a resolução de 
equações e inequações de primeiro e segundo graus.
Raciocínio Lógico 32
1.4 Equações e inequações
As equações e inequações aparecem constantemente em operações e problemas 
do nosso cotidiano, em problemas de raciocínio lógico e em relação entre grandezas. 
De acordo com Alves (2009), uma equação é uma igualdade envolvendo expres-
sões, enquanto uma inequação seria uma desigualdade envolvendo expressões. Cabe 
ressaltar ainda que ambas são classificadas em primeiro e segundo graus, conforme 
descreveremos a seguir. Sendo assim, citamos:
• Equação do 1.° grau: 3x + 2 = 5; inequação do 1.° grau: x + 7 < 3
• Equação do 2.° grau: x² – 3x + 1 = 0; inequação do 2.° grau: x² + 1 > 0
1.4.1 Equações do 1.º Grau
Vejamos três situações-problema, a fim de introduzirmos a aplicabilidade da 
equação do primeiro grau.
Problema 15: Uma empresa na área alimentícia fabrica um produto cuja venda 
gera R$ 2,50 de lucro por produto. Quantos produtos ela deverá vender para ter um lu-
cro de R$ 6.250,00? 
Solução: Neste caso, denotando o número de produtos por x, podemos escrever que:
2,5 · x = 6250
x = 6250
2,5
(note que o valor 2,5 passa como o denominador por conta da divisão, que é a 
operação inversa da multiplicação)
Portanto: 
x = 2500 
Observe que, para resolver a equação, é preciso transferir para o outro lado o va-
lor 2,5. Como ele está multiplicando à esquerda da igualdade, ele deve passar para 
o outro lado na operação inversa, ou seja, dividindo. Logo, a empresa deverá vender 
2.500 unidades deste produto.
Problema 16: Para comprar um DVD que custa R$ 66,00, Cauã precisa do dobro 
da quantia que possui mais R$ 18,00. Qual a quantia que Cauã possui?
Raciocínio Lógico 33
Solução: Neste caso, chamando a quantia de dinheiro de Cauã por x, temos que:
2 · x + 18 = 66 
2x = 66 – 18 
2x = 48 
x = 48
2 
= 24
Como na situação anterior, precisamos transferir um termo para o outro lado da 
igualdade. Nesse caso, é o termo 18 que está sendo somado à incógnita. Portanto, 
para passar ao outro lado, ele deverá fazer a operação inversa, ou seja, como está so-
mando, deverá passar com o sinal da operação contrária (– 18). Então, Cauã possui 
exatamente a quantia de R$ 24,00.
Problema 17: O quádruplo do número de residências da minha rua é igual à meta-
de do número de casas da minha rua e mais 17. Qual o número de casas da minha rua?
Solução: Neste caso, chamando o número de casas da minha rua por x, vemos que:
4x = x
2
 + 17
2 · 4x = 2 · x
2
 + 2 · 17
8x = x + 34
8x – x = 34
7x = 34
x = 34
7
 (∉ ℕ) 
Portanto, o problema não possui solução, já que o número de casas é um número 
natural. Observe que, para “eliminar” a divisão na segunda linha da equação, todos os 
termos foram multiplicados por 2, que representa o inverso multiplicativo do número 
½ que aparece como coeficiente da variável x no segundo membro. 
Como podemos perceber a partir desses exemplos, de acordo com Paiva (2002) uma 
equação do 1.° grau é uma expressão que pode sempre ser escrita na forma a · x + b, onde 
a e b são números reais, com a ≠ 0 e x a variável (ou incógnita) da equação. Além disso, 
Raciocínio Lógico 34
resolver uma equação do 1.º grau significa encontrar o valor de x que, quando substituí-
do na equação, a deixa com uma identidade (uma verdade). Esse número x é dito raiz ou o 
zero. Logo, o conjunto solução S tem como único elemento esta raiz.
A partir da equação do 1.ºgrau, que é um modelo matemático aplicado comu-
mente no nosso cotidiano, vamos generalizar um pouco mais, com a introdução das 
equações do 2.º grau. 
1.4.2 Equações do 2.º Grau
Imagine que você está sentado em um ônibus a caminho do cinema, jogando uma 
caneta para cima e a pegando de volta. Para você, a caneta só vai para cima e para baixo.
Mas um indivíduo do lado de fora, a caneta faz um movimento 
de parábola, com concavidade para baixo, que é uma represen-
tação associada às equações do 2.º grau. 
A equação do 2.º grau também aparece em problemas 
de lançamento oblíquo e movimento uniformemente variado 
na Engenharia, bem como no estudo do processo de fotos-
síntese das plantas em Biologia. 
Vejamos um problema específico envolvendo a resolução de uma equação do 2.º 
grau.
Problema 18: Leandro acaba de comprar uma casa e deseja construir uma piscina 
retangular que ocupe uma área de 98m² do terreno, cujo comprimento é igual ao do-
bro da largura. Quais as dimensões dessa piscina, ignorando a sua profundidade?
Solução: Para a resolução dessa situação, definimos como incógnita x a dimensão 
do lado menor da piscina de Leandro, ou seja, a sua largura. Logo, seu comprimento 
será 2x. Assim, sua área será x · 2x = 2x². 
O valor de x é obtido a partir do fato de que a área deve ser igual a 98m². Logo, 
escrevemos que 2 · x² = 98 ou 2x² − 98 = 0, que é uma equação do 2.° grau. Assim, po-
demos dizer que:
2x2 = 98
x2 = 98
2
x2 = 49
x = √49
©
 M
at
tz
90
 //
 S
hu
tt
er
st
oc
k
Raciocínio Lógico 35
Portanto, x = ± 7 e, por conveniência, x = 7, pois a largura não pode ser de valor 
negativo. 
Desta maneira, conclui-se que a piscina de Leandro deve ter as dimensões iguais 
a 7 m de largura (x) e 14 m de comprimento (2x).
Segundo Dante (2002), as raízes da equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0, 
em que a ≠ 0, podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara, onde x = – b ± √∆
2a
 , 
com ∆ = b² – 4ac. O símbolo ∆ é chamado de discriminante da equação. Além disso, nas 
equações quadráticas os números a, b e c são os coeficientes.
Desta forma, exemplificando, quais seriam as raízes da equação quadrática 
x2 + 3x + 2 = 0? Aqui, temos que a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma, 
∆ = b2 – 4 · a · c
∆ = 32 – 4 · (1) · (2)
∆ = 9 – 8 
∆ = 1
Logo, as raízes são: 
x = 
– b ± √∆
2 · a
 
x = – 3 ± √1
 2 · (1)
x = – 3 ± 1
2
x’ = – 3 + 1
2
 = – 2
2
 = – 1
x’’ = – 3 – 1
2
 = – 4
2
 = – 2
Vimos que uma equação é a igualdade de duas expressões. Na sequência, vamos 
ver as inequações. 
1.4.3 Inequações do 1.º Grau
Inequações são sinônimos de desigualdade, sendo utilizadas, por exemplo, para 
a descrição da igualdade de valores em situações particulares, como na caracterização 
do ponto equilíbrio, quando se deseja que as vendas sejam maiores do que os gastos. 
Elas envolvem diretamente expressões matemáticas. Vejamos um exemplo prático.
Problema 19: No Brasil, as empresas de táxi definem um valor pré-fixado (ban-
deirada) e outro que depende da distância percorrida (quilômetro andado). Suponha 
Raciocínio Lógico 36
que a bandeirada custe R$ 3,50 e cada quilômetro percorrido custe R$ 0,90. Se você 
tivesse entre R$ 20,00 e R$ 30,00, qual a distância poderia percorrer em uma corrida 
com essas condições? 
Solução: Vamos chamar de x a distância feita pelo táxi em quilômetros. Se você 
paga R$ 3,50 para entrar no carro e mais R$ 0,90 por quilômetro percorrido, o custo da 
corrida pode ser associado à equação 3,50 + 0,9 ⋅ x. Observe que, como temos um limi-
te mínimo e máximo estabelecido, de acordo com a quantia que você possui no bolso, 
temos as desigualdades:
3,50 + 0,9 ⋅ x ≥ 20
e
 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30
Ou seja, 20 ≤ 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30.
Para resolvermos essa inequação do 1.° grau, procedemos como segue:
20 ≤ 3,50 + 0,9 ⋅ x ≤ 30.
20 − 3,50 ≤ 0,9 · x + 3,50 − 3,50 ≤ 30 − 3,50
16,50 ≤ 0,9 ⋅ x ≤ 26,50 
Observe que, para resolver a inequação, precisamos deduzir o valor de 3,50 em 
cada uma das partes da inequação, para reduzirmos um termo. O mesmo deverá ser fei-
to em relação ao termo 0,9, só que nesse caso, a operação inversa é a divisão. Então:
16,50
0,90
 ≤ 0,9 ⋅ x
0,90
 ≤ 26,50
0,90
16,50
0,90
 ≤ x ≤ 26,50
0,90
ou 
18,4 ≤ x ≤ 29,45
Portanto, com essa quantia no bolso e com a corrida de táxi com essas particula-
ridades, você poderia percorrer uma distância que vai de 18,4 a 29,45 km.
De acordo com Alves (2009), diferentemente do que ocorre com as equações, 
quando buscamos equacionar uma inequação, não estamos buscando um valor que a 
Raciocínio Lógico 37
satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo. Por isso, tal conjunto de valores é 
chamado conjunto solução. Então, temos que:
• A caracterização do conjunto solução da inequação 3x + 6 > 0 passa pelo isolamen-
to de x, de forma similar ao que fizemos com as equações do 1.º grau. Para tal:
3x + 6 > 0 
3x > – 6
x > –6
3
x > – 2
Isso nos diz que, se tomarmos qualquer valor x real maior que – 2 e substituirmos o 
x, encontraremos um resultado maior que 0. O conjunto solução aqui é S = {x ∈ � x > – 2}.
• Note que, toda vez que o coeficiente de x for negativo, devemos multiplicar a 
inequação por (– 1), invertendo o sinal de desigualdade. Por exemplo, se tiver-
mos, – 2x < – 8, então (– 1) · (– 2x) > (– 1) · (– 8). Ou seja, 2x > 8. Então, x > 4 e o 
conjunto solução é dado por S = {x ∈ � / x > 4}.
Vamos entender agora o contexto das inequações, mas considerando as inequa-
ções do 2.° grau. 
1.4.4 Inequações do 2.º Grau
Ao resolvermos inequações do 2.° grau, estamos também buscando um conjunto 
de soluções que satisfaça à inequação proposta. Sendo assim, uma inequação do se-
gundo grau será uma desigualdade do tipo:
a · x² + bx + c > 0; a · x² + bx + c ≥ 0; a · x² + bx + c < 0; a · x² + bx + c ≤ 0
A resolução de uma inequação do 2.° grau pode ser resumida nos seguintes 
passos:
1. Igualamos a inequação a zero, transformando-a em uma equação.
2. Calculamos o discriminante da equação (delta).
3. No caso de delta maior ou igual a zero, calcular as raízes x’ e x’’. 
Raciocínio Lógico 38
4. Fazer a análise de sinais, analogamente aos exemplos a seguir.
Vejamos alguns casos que podemos ter na resolução de inequações do 2.º grau.
Delta > 0 e a > 0: Se tivermos x² – 3x + 2 > 0, fazemos como se x² – 3x + 2 = 0. 
Então, 
∆ = (– 3)² – 4 · (1) · (2) 
∆ = 9 – 8 
∆ = 1
Suas raízes são:
x = – b ± √∆
2 · a
 = –(– 3) ± √1
2 · (1)
 
x = 3 ± 1
2
x’ = 1 e x’’ = 2
Observe que, se pegarmos um valor entre as raízes (1 ≤ x ≤ 2), por exemplo, 
x = 3
2
, temos que: 
x² – 3x + 2 



3
2



2
 – 3 · 



3
2



 + 2
9
4
 – 9
2
 + 2 
9 – 18
4
 + 2 
–9 + 8
4
 = –1
4
(sinal contrário de a)
Enquanto que para qualquer valor menor do que 1 ou maior do que 2 das raízes 
x’ = 2 e x’’ = 1, o resultado será positivo (mesmo sinal de a). Portanto, o conjunto solu-
ção da inequação é S = {x ∈ � / x < 1 ou x > 2}. 
Generalizando, note que entre as raízes o sinal é contrário de a (ca), o que signifi-
ca que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará um resultado negativo, enquanto que à e 
Raciocínio Lógico 39
esquerda e à direita das raízes x’ e x’’, o resultado será o mesmo sinal de a (ma), por-
tanto, positivo. Temos a seguinte representação:
x’ x’’
ma
+
ca
–
ma
+
Delta = 0: Se tivermos x² – 2x + 1 > 0, tomamos x² – 2x + 1 = 0, então:
∆ = (– 2)² – 4 · (1) · (1) 
∆ = 4 – 4 
∆ = 0
Suas raízes são: 
x = –(– 2) ± √0
2 · (1)
x = 2
2
x’ = x’’ = 1
Logo, seu conjunto solução é S = {x ∈ � / x < 1}. Salientamos que, como as duas 
raízes são iguais, não existe o intervalo entre as raízes, fazendo com que o sinal seja 
sempre o mesmo de a. Isto fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da de-
sigualdade for igual ao sinal de a. Em geral, temos conforme representação a seguir:
x’ = x’’
ma ca
Delta < 0: Se tivermos x² + 1 > 0, fazemos x² + 1 = 0, onde:
∆ = (0)² – 4 · (1) · (1) 
∆ = – 4 
∆ < 0
 ©
 F
ab
ri
CO
 ©
 F
ab
ri
CO
.
Raciocínio Lógico40
Ou seja, não temos raízes reais. Logo, isso fará com que a inequação só tenha so-
lução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a. Para o nosso exemplo, S = {�}.
Pode-se observar então que a evolução do conceito de número e dos conjuntos 
numéricos acompanhou a necessidade da resolução de problemas diversos do nos-
so cotidiano. Por isso, a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e 
compreender o mundo através dos números, de operações, das equações e inequações 
é de grande valia em várias áreas do conhecimento. 
Além disso, como vimos no capítulo, a noção de número foi criada para contar e 
mensurar. Já as equações e inequações servem para a modelagem de situações-pro-
blema. Por fim, as desigualdades foram introduzidas para a comparação de grandezas 
e quantidades.