AV01 - Calculo Diferencial e Integral III

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O rotacional de uma função vetorial é um campo vetorial e calcula como os vetores de um 
campo vetorial se aproximam (afastam) de um vetor normal. Com relação ao rotacional, 
podemos afirmar que o rotacional da função vetorial 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
 
O teorema de Gauss muitas vezes é chamado de Teorema da divergência, pois transforma uma 
integral de superfície de um campo vetorial em uma integral tripla do divergente desse campo 
vetorial, ou seja, o Teorema de Gauss relaciona duas integrais: 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
 
Uma partícula percorre um caminho retangular definido pelos pontos x = 0, x = 2, y = 1 e y = 2 
sobre o plano z = x + y com orientação anti-horária. Utilize o Teorema de Stokes para calcular o 
trabalho realizado pelo campo vetorial 
 
- 4. 
0. 
- 8. 
8. 
 
Um sistema de coordenadas esféricas relaciona um ponto do espaço com dois ângulos e uma 
distância, esse sistema de coordenadas é muito utilizado para calcular integrais triplas na qual 
a região é uma esfera ou parte de uma. Utilizando a mudança de variável esférica, podemos 
afirmar que a integral 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
 
Para modelar matematicamente situações físicas, utilizamos o conceito de funções. Sabendo 
as propriedades da função, conseguimos encontrar respostas para o problema modelado. No 
entanto, para encontrar as respostas, é importante conhecer os vários tipos de funções e as 
suas propriedades. Com relação aos tipos de funções, podemos classificá-las dependendo do 
seu conjunto domínio e do seu conjunto imagem. Com relação às funções e seu domínio e 
imagem, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Função vetorial de uma variável. 
II- Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais. 
III- Função escalar ou função real de n variáveis. 
IV- Função real de uma variável. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
II - IV - I - III. 
III - II - IV - I. 
II - III - IV - I. 
III - II - I - IV. 
 
O comprimento do arco da curva 
 
Somente a opção I é correta. 
Somente a opção II é correta. 
Somente a opção III é correta. 
Somente a opção IV é correta. 
 
Se uma partícula percorre um caminho, podemos utilizar a integral de linha para determinar o 
trabalho realizado pelo campo de forças nessa partícula. Se a partícula percorre no sentido 
anti-horário uma vez o círculo: 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
 
O Teorema de Green é um dos principais teoremas envolvendo integrais de linha. O Teorema de 
Green transforma o cálculo de uma integral de linha em uma integral dupla que em geral são 
mais simples de serem calculadas. Sobre as hipóteses do Teorema de Green, assinale a 
alternativa INCORRETA: 
A fronteira da região considerada precisa ser orientada no sentido anti-horário. 
A região considerada precisa ser fechada e limitada no plano. 
A fronteira da região considerada precisa ser formada por curvas simples e fechadas. 
A região considerada não precisa ser fechada e limitada no espaço. 
 
Um sistema de coordenadas polares em matemática é um sistema em que cada ponto do 
plano cartesiano é associado a um ângulo e a uma distância. Utilizando a mudança de variável 
cartesiana para polar, calcule a integral dupla da função e, em seguida, assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
32 
128 
64 
16 
 
A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto, é necessário que 
calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais 
regras, podemos afirmar que a integral dupla da função 
 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
 
Usando o Teorema de Green, podemos determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F 
sobre uma partícula que se move ao longo do caminho específico. Se a partícula começa no 
ponto (2, 0) e percorre o círculo de raio igual a 2, então o trabalho realizado pelo campo de 
forças 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
 
A coordenada cilíndrica é muito utilizada para calcular integrais triplas. Esse sistema de 
coordenadas é baseado no sistema de coordenadas polares, pois caso fizéssemos uma 
projeção do ponto para o plano xy poderíamos utilizar o sistema de coordenadas polares. 
Calcule a integral tripla da função 
 
27 
12 
54 
81 
 
O teorema de Gauss muitas vezes é chamado de Teorema da divergência, pois transforma uma 
integral de superfície de um campo vetorial em uma integral tripla do divergente desse campo 
vetorial, ou seja, o Teorema de Gauss relaciona duas integrais: 
 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção II está correta. 
 
Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função vetorial. O método é o 
mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais, basta apenas analisar cada uma das 
componentes da função separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial 
 
Somente a opção III é correta. 
Somente a opção II é correta. 
Somente a opção IV é correta. 
Somente a opção I é correta. 
 
O Teorema de Stokes é muito similar ao Teorema de Green, a diferença entre eles é o campo de 
vetores que estamos trabalhando, no Teorema de Green temos um campo de vetores de duas 
variáveis, já no Teorema de Stokes temos um campo de vetores de três variáveis, lembre-se 
que o Teorema de Stokes é: 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
 
Se uma partícula percorre um caminho, podemos utilizar a integral de linha para determinar o 
trabalho realizado pelo campo de forças nessa partícula. Se a partícula começa no ponto (2,0), 
percorre o semicírculo superior: 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção I está correta. 
 
O divergente de uma função vetorial mede como é a dispersão do campo de vetores. No caso 
de um fluido, o divergente pode indicar onde teria um sumidouro ou uma fonte dependendo do 
sinal já que o divergente de uma função vetorial é um escalar. Com relação ao divergente, 
podemos afirmar que o divergente da função vetorial 
 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
 
São três os principais Teoremas que relacionam as integrais de linha com integrais duplas, 
triplas ou integrais de superfícies. Esses três teoremas recebem o nome de grandes 
matemáticos que iniciaram o estudo. Sobre esses teoremas e suas respectivas igualdades, 
associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Teorema de Green. 
II- Teorema de Gauss. 
III- Teorema de Stokes. 
 
II - III - I. 
III - I - II. 
I - II - III. 
II - I - III. 
 
Utilizando as mesmas técnicas de integração simples podemos calcular integrais múltiplas de 
funções que dependam de múltiplas variáveis. Determine o valor da integral tripla a seguir, 
utilizando as técnicas de integrações conhecidas para integral simples: 
 
O valor da integral tripla é cos(3). 
O valor da integral tripla é 3. 
O valor da integral tripla é - 4. 
O valor da integral tripla é 4. 
 
Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através da região limitada pelos 
planos x = 1, x = 3, y = - 1, y = 1, z = 0 e z = 1 do campovetorial a 
 
6. 
24. 
12. 
0.