Valores e Vectores P [FT1] Res

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Valores e Vectores Próprios (Ficha de Trabalho ) 
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1 
 
EP3.1 Considere a matriz 
2 0 0
5 3 0
0 0 2
A
 
 
 
 
  
 
a) Justifique que o polinómio característico de A é      32 2 . 
b) Determine os valores próprios e os vectores próprios de A. 
c) Mostre que A é semelhante à matriz diagonal 
 











200
030
002
D 
 
e indique uma matriz invertível P , tal que DAPP 1 . 
 
 
 
(a) O polinómio característico da matriz A é dado por 
   



 32
200
035
002
2
3IA 
(Observe-se que se trata do determinante de uma matriz triangular inferior, pelo que este é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal). 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Os valores próprios da matriz A são os zeros do polinómio característico de A. Como 
    320320 23  IA , 
resulta que 2 e –3 são os valores próprios da matriz A. 
 
 
2  Tem-se que: 
 
1
3 2
3
0
2 0
0
v
A I v
v
   
   
 
   
      
3
1
2 1 2
3
2
0 0 0 0
5 5 0 0
0 0 0 0
A I
v
v v v
v

     
     
    
     
          
. 
A forma geral dos valores próprios, associados a este valor próprio é: 
       1 2 3 1 1 3 1 3, , , , 1,1,0 ,0,1v v v v v v v v   
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2 
Podemos escolher dois vectores na forma:    1,1,0 , 0,0,1 
 
 
3   
 
1
3 2
3
0
3 0
0
v
A I v
v
   
   
 
   
      
3
1
1
2
3
3
3
5 0 0 0
0
5 0 0 0
0
0 0 5 0
A I
v
v
v
v
v

     
     
                   
 . 
 
A forma geral dos valores próprios, associados a este valor próprio é: 
   2 20, ,0 0,1,0v v 
Podemos escolher o vector:  0,1,0 
 
c) Nestas condições, a matriz 
 









100
011
001
P , 
cujas primeira e terceira colunas são os vectores associados ao 2  , que aparece 
nessas colunas da matriz D, e cuja segunda coluna é o vector associado ao 3   . 
 
DAPP 









200
030
002
1
. Donde a matriz A é semelhante à matriz D. 
 
 
TAA4.1 Considere a transformação linear 2 2: ,T IR IR IR   , cuja representação 
matricial em relação à base canónica (de 2IR ) é: 









54
10 2
A 
a) Determine  para que T seja injectiva 
b) Determine )Im( 1T 
c) Determine a matriz B2, que representa 2T relativamente à base     0,1,1,1  de 
2 . 
d) Calcule os valores, vectores e espaços próprios de A0 
e) Determine as matrizes B0 e P tal que: PAPB 0
1
0
 
f) Comente a afirmação: 
“O determinante de uma matriz pode ser calculado pelo produto dos valores próprios”. 
Aplique à matriz em estudo. 
 
a) T é injectiva sse    0TN , o que equivale à única solução do sistema 
(homogéneo) 0xA ser a solução nula, i.e., 0x . 
 
Para este caso 
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3 
 



























054
01
0
0
54
10
21
2
2
2
1
2
xx
x
x
x 
 
 














 
.,45
1
0
0
________
010
121
2
2
2
realqqéxxxx
xx
1

 
Por isso para que o espaço nulo seja o vector nulo apenas é necessário que 1 . 
 
b) A imagem ou contradomínio de T1 são os vectores 
2
a
b
 
 
 
 para os quais o sistema 







b
a
xA1 é possível. O sistema é possível (indeterminado) desde que 0a . 
Pelo que     1,0)Im( 1T eixo dos yy´s. 
c) 
























21
2
2
1
22
54
3
54
30
)(
xx
x
x
x
xAxT 
pelo que na base canónica temos: 
       4,00,1;1,31,1 22  TT 
e na base pedida temos: 
      












4
1
1
3
0,11,11,3
2
1
1
21
21




 
      












4
4
4
0
0,11,14,0
2
1
1
21
21




 
Pelo que a matriz pedida tem por colunas as componentes, pela mesma ordem da base, 
dos vectores da nova base: 







44
41
2A 
d)   410450
54
10
0det 20 


 


IA 
 
   4,1"" 0 Adeprópriosvalores 
 
Vectores próprios e Espaços Próprios. 
11         1 2 1 1
2
0 1 1 0
1,1 1 1,1
4 5 1 0
x
x x v E L
x
     
          
     
 
(espaço próprio associado ao valor próprio, 11  ). 
 
42         1 2 1 2
2
0 4 1 0
4 1,4 4 1,4
4 5 4 0
x
x x v E L
x
     
          
     
 
(espaço próprio associado ao valor próprio, 42  ). 
 
e) 



















 
3131
3134
;
41
11
;
40
01
1
0 PPB 
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4 
 
f) No caso particular de matrizes semelhantes: APPB 10
 , em que B é diagonal, cujos 
elementos são os valores próprios. Assim: 
 
   APPB 1detdet  
     PAP det.det.det 1 (    PeP detdet 1 são “inversos aritméticos”) 
 Adet 
21. c.q.d. 
A afirmação é verdadeira. Verifiquemos para o caso da matriz 
0A : 
Por um lado: 441. 21  
Por outro lado 4)4()1(
54
10
det 0 

A verifica! 
 
Observação: 2ª Resolução de i.: Depois de conhecida a noção de característica e 
determinante de uma matriz: 
“T é injectiva se a característica de A for máxima, i.e., se 0det A .” 
Neste exercício a característica de A é 2 desde que: 
  10140
54
10
0det 2
2



 

A 
 
 
TAA4.2 Seja  nA M IR , tal que AA 
2 . Justifique que se  é valor próprio de A, então 
 0,1 . 
 
Admita-se que  é valor próprio da matriz A. Então, existe um vector não nulo 
 1, ,
n
nx x IR , tal que XAX  , onde 
1
1n
n
x
X M
x

 
 
 
 
  
. Tendo em conta que por 
hipótese AA 2 , resulta que 
XAX  
   XAAXA  
 AXXA 2 
 XAX  
XX 2  . 
Ora, 
  000  XXXX  222 , 
Com 1
0
0
nM 
 
 
 
 
  
0 . Como, por hipótese, 0X , então 
  0100102   . Logo  0,1 
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