Volume de Prismas

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Volume de Prismas
Cubo Unitário
Vamos estabelecer como unidade de volume um cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento. Ele será chamado de cubo unitário.
Qualquer cubo cuja aresta meça 1 terá, por definição, volume igual a 1 unidade cúbica de comprimento.
Cubo Unitário
Volume do Paralelepípedo Retângulo
O bloco retangular é um poliedro formado por 6 faces retangulares que fica determinado por três medidas: comprimento (a), largura (b) e altura (c). Indicaremos o volume desse bloco retangular por V(a, b, c) e do cubo unitário por V(1, 1, 1) = 1.
Volume do Paralelepípedo Retângulo
Volume do Paralelepípedo Retângulo
O volume do bloco retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, ou seja, se mantivermos constantes duas das dimensões e multiplicarmos a terceira dimensão por um número natural qualquer, o volume também será multiplicado pelo mesmo número natural. 
V(a, b, 3c) = V(a, 3b, c) = V(3a, b, c) = 3V(a, b, c)
Volume do Paralelepípedo Retângulo
É possível provar que esse fato, constatado com um número natural, vale para qualquer número real positivo. Ou seja, mantidas constantes duas dimensões do bloco retangular, seu volume é proporcional à terceira dimensão. Assim, temos:
V(a, b, c) = a . V(1, b, c) = ab . V(1, 1, c) = abc . V(1, 1, 1) = abc . 1 = abc
V(a, b, c) = abc
Volume do Paralelepípedo Retângulo
Como a . b indica a área da base e c indica a altura, é possível também indicar o volume do paralelepípedo retângulo assim:
V = Ab . h
Assim pode-se dizer que volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base pela altura.
Volume do Cubo
Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo com todas as arestas de medidas iguais, seu volume é dado por:
 
 V = a ⋅ a ⋅ a → V = a³
Volume em Litros
A unidade de medida de volume mais comum em nosso cotidiano é o litro. Geralmente, utilizamos o litro para medir o volume de líquidos, porém ele pode ser utilizado para medir qualquer volume. Um litro é definido como o volume de um cubo de 1 decímetro de aresta (10 centímetros), portanto, 1dm³.
Volume em Litros
Transformações de Unidades Volumétricas
1 ℓ = 1 dm3³
1 000 ℓ = 1 m³
1 mℓ = 1 cm³
Princípio de Cavalieri
“Se considerarmos dois prismas quaisquer que possuem a mesma altura e seccionarmos estes prismas em uma altura qualquer, caso as secções possuírem sempre a mesma área, concluímos que o volume destes primas são iguais”
Princípio de Cavalieri
Volume do Prisma
Para calcular o volume de um prisma qualquer, aplicamos o princípio de Cavalieri.
Inicialmente, em um prisma qualquer com a base contida num plano e um plano paralelo à ele, a secção determinada, no plano paralelo, no prisma será sempre congruente à base, por isso essa secção e a base terão sempre áreas iguais.
Volume do Prisma
Volume do Prisma
Volume do Prisma
Vamos considerar um prisma pentagonal, cuja área da base é Ab e a altura é h, e também um paralelepípedo retângulo, cuja área da base é Ab e a altura é h. O plano que contém as bases é horizontal. Qualquer plano horizontal que secciona os dois sólidos determina, no prisma pentagonal, uma secção cuja área é igual a Ab, e no paralelepípedo retângulo determina uma secção cuja área é igual a Ab. 
Volume do Prisma
Como a área para qualquer plano horizontal, temos que as áreas das secções são iguais, pelo princípio de Cavalieri, concluímos que:
V do prisma pentagonal = V paralelepípedo retângulo
Volume do prisma pentagonal = área da base · altura
V = Ab . h
Exercícios: Volume de Prismas
Exercício
Na construção de uma caixa cúbica foram gastos 0,96 m² de material, assim, qual é o volume desta caixa?
Resolução
Neste caso, temos que a área total do cubo é:
0,96 m² = 96 dm² = 9 600 cm²
Sabendo que At = 6a², temos:
9 600 = 6a² ⇒ a² = 1 600 ⇒ a = 40 cm
Resolução
Como V = a³, temos:
V = 40³
V = 64000 cm³
Exercício
Qual o volume do prisma a seguir?
Resolução
A base desse prisma é um triângulo do qual são conhecidos os três lados, assim, utiliza-se a fórmula de Heron:
Ab = √30 . 5 . 10 . 15 → Ab = √22500 → Ab = 150 cm²
Como a altura do prisma é de 12 cm, temos que o volume será:
V = Ab . h = 150 . 12 = 1800 cm³
Exercício
Ao aumentar em 1 cm a aresta de um cubo, aumentou-se a área lateral em 164 cm², qual é o volume do cubo original? Para facilitar os cálculos, considere a aresta do cubo original como a e a aresta do novo cubo, a+1.
Resolução
Pelos dados do problema, temos:
4(a + 1)² = 4a² + 164 
4a² + 8a + 4 = 4a² + 164 
8a = 160 
a = 20 cm
Resolução
Portanto, a aresta do cubo original é a = 20 cm, assim o volume é:
V = a³ 
V = 20³ 
V = 8000 cm³
Exercício
Qual é o volume da porca de parafuso a seguir?
Resolução
Resolução