Cone e Tronco de Cone Reto

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Cone e Tronco de Cone Reto
Definição de Cone
Considerando um plano contendo uma região circular R e um ponto P não pertencente ao plano. A reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de R ao ponto VP é um sólido chamado cone circular.
Definição de Cone
Eixo de um Cone
O eixo do cone é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. Caso:
O eixo seja perpendicular à base, o cone denomina-se cone reto.
O eixo seja oblíquo à base, o cone é chamado cone oblíquo.
Eixo de um Cone
Altura e Geratriz de um Cone
A altura de um cone é o segmento de reta perpendicular traçado do vértice ao plano da base, em especial, em um cone reto, a medida do eixo coincide com a da altura h. No cone reto, cada segmento que liga o vértice a um ponto da circunferência da base é chamado geratriz do cone.
Altura e Geratriz de um Cone
Cone de Revolução
Um cone reto pode ser obtido girando-se um triângulo retângulo em torno de uma reta que contém um dos catetos. Assim, o cone reto é considerado um sólido ou corpo de revolução sendo denominado como cone de revolução
Cone de Revolução
Secções do Cone
Secção Transversal: intersecção do cone com um plano paralelo à sua base.
Secções de um Cone
Secção Meridiana: intersecção do cone com um plano que contém o seu eixo.
Cone Equilátero
Em particular, se a secção meridiana for um triângulo equilátero, diremos que o cone é equilátero. Nesse caso, g = 2r e h = r√3.
Superfície do Cone
Área da Superfície de Cone Reto
Área da Superfície de Cone Reto
A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (setor circular) mais a superfície da base (círculo). 
At = Al + Ab
At = Asetor + Acírculo
Área Lateral
A área de um setor circular é proporcional à área do círculo correspondente, de forma que:
No caso do cone, temos l = 2πr e R = g. Logo:
Área da Base e Área Total
A área da base é a área do círculo de raio r: 
Ab = πr²
Logo, a área total do cone reto é:
At = πrg + πr² → At = πr(g + r)
Resumo das Áreas
Resumindo, para um cone reto de geratriz g e raio da base r, temos:
Al = πrg 
Ab = πr² 
At = πr(g + r)
Volume do Cone
Considere um cone de altura H e base, de área A, contida em um plano horizontal que, também contêm a base, de área A, de uma pirâmide de altura H. Se um plano horizontal com distância h dos vértices secciona os dois sólidos, determinando regiões planas de áreas A1 e A2.
Volume do Cone
Volume do Cone
Pelo princípio de Cavalieri, podemos afirmar que o cone e a pirâmide iniciais têm o mesmo volume. Como já sabemos o volume da pirâmide, o volume do cone é o mesmo.
Tronco de Cone Reto
Considere um cone circular reto de vértice V e altura h e um plano paralelo a base que secciona o cone obtendo-se dois sólidos: um cone de vértice V e altura d e um tronco do cone inicial.
Tronco de Cone Reto
Elementos do Tronco de Cone Reto
Duas bases: a base maior (base do cone inicial) e a base menor (secção determinada pelo plano);
Altura (h1): é a distância entre as bases (h1 = h – d);
Geratriz (g1): medida é obtida pela diferença das medidas das geratrizes dos dois cones (g1 = g – g2 ).
Elementos do Tronco de Cone Reto
Volume do Tronco de Cone Reto
Volume do Tronco de Cone Reto
Volume do Tronco de Cone Reto
Ao calcular h em função de h1, substituindo na fórmula anterior e simplificando, temos:
Assim como no caso do tronco de pirâmide, você poderá escolher entre calcular o volume do tronco do cone pela fórmula ou subtrair os volumes dos cones semelhantes (original e menor).
EXERCÍCIOS:
Cone e Tronco de Cone Reto
Exercício
Um cone possui altura de 8 cm e diâmetro da base de 12 cm. Calcule o comprimento de sua geratriz.
Resolução
Como o diâmetro da base mede 12 cm, temos que o raio da base mede 6 cm. Temos, então, um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a geratriz g:
g² = 8² + 6²
g² = 64 + 36
g = 10 cm
Exercício
Um cone reto tem 10 cm de altura e raio da base igual a 4 cm, considerando π = 3,14. Calcule:
Medida da sua geratriz;
Área lateral;
Área total;
Resolução
Geratriz
g² = 10² + 4² ⇒ g = √116 ⇒ g = 10,8 cm
Área Lateral
Al = πrg = 3,14 . 10,8 . 4 ⇒ Al = 135,6 cm²
Área Total
Ab = πr² = 3,14 · 4² ⇒ Ab = 50,24 cm²
At = Al + Ab = 135,6 + 50,24 ⇒ At = 185,84 cm²
Exercício
Um cone reto tem 15π cm² de área lateral e 24π cm² de área total. Calcule o volume desse cone.
Resolução
Sendo Aø a área lateral e At a área total, temos:
Al = πrg ⇒ πrg = 15π ⇒ rg = 15 ⇒ g = 15/r (I)
At = πr(g + r) ⇒ πr(g + r) = 24π (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
πr( 15/r + r ) = 24π ⇒ 15π + πr² = 24π ⇒ 
πr² = 9π ⇒ r² = 9 ⇒ r = 3 cm
Resolução
Se r = 3 cm, então g = 15 /r = 5 cm; daí:
g² = h² + r² ⇒ 5² = h² + 3² ⇒ h² = 25 – 9 = 16 ⇒ h = 4 cm
Cálculo do volume do cone:
V = π.r².h /3 = π . 3² . 4/3 ⇒ V = 12π cm³
Exercício
Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Qual é o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? (Use p = 3,14)
Resolução
V = h . π. (R² +Rr + r²)/3
V = 30 . π . (40² + 40 · 20 + 20²)/3 
V = 10π . (2800)
V = 28000π
V = 87920 cm³
V = 87920 ml
V = 87,92 l