lista 3 - Inversão de Matrizes e Sistemas Lineares

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Lista de exercícios de álgebra linear
Aplicações de inversão de matrizes
01. Criptologia é a técnica de codi�cação e decodi�cação de mensagens. Um código simples é
construído pela associação de um número a cada letra do alfabeto. Por exemplo
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
X Y Z
l l l
24 25 26
Usando o esquema de substituição simples a palavra "CASA"seria enviada como "03 01 19 01".
Um código deste tipo pode facilmente ser quebrado sem muita di�culdade. Para tornar o código
mais difícil de decifrar podemos usar uma matriz para multiplicar as matrizes colunas 2× 1 cujas
entradas são os pares de números tomados da sequência do código obtido por sustituição simples
e assim obter um novo código. Assim, usando a matriz A[
5 3
2 1
]
o código referente a palavra acima seria[
5 3
2 1
] [
03
01
]
=
[
18
07
]
[
5 3
2 1
] [
19
01
]
=
[
98
39
]
ou seja, "18 07 98 39". Para decodi�car essa mensagem basta multipicar a inversa de A pelas
matrizes colunas 2× 1 formadas tomando em sequência os pares de números nesse código.
a)Usando a matriz acima codi�que a palavra "UNIFOR".
b)Usando a inversa da matriz acima decodi�que o código "45 17 117 45 62 21"
02. Uma barra elástica horizontal é sustentada em cada uma de suas extremidades e sofre a ação
das forças f1, f2 e f3, sofrendo de�exões y1, y2 e y3, nos pontos 1,2 e 3, respectivamente, como
mostrado na �gura abaixo.
Usando a lei de Hooke da física, pode-se mostrar que y1y2
y3
 = D
 f1f2
f3

onde D é uma matriz 3× 3 chamada matriz de �exibilidade. Sua inversa D−1 é chamada matriz
de rigidez.
a)Admita que a matriz de �exibilidade para uma determinada barra seja
D =
 0, 011 0, 003 0, 0010, 003 0, 009 0, 003
0, 001 0, 003 0, 011
 = 1
1000
 11 3 13 9 3
1 3 11

com a �exibilidade medida em polegada por libra. Encontre a matriz de rigidez D−1.(Sugestão:
Use a propriedade (kA)−1 = 1
k
A−1, onde k 6= 0.)
b)Suponha que ao serem aplicadas forças f1 no ponto 1, f2 no ponto 2 e f3 no ponto 3, tenhamos
as de�exões y1 = 0, 62 pol, y2 = 0, 66 pol e y3 = 0, 52 pol, respectivamente. Use a matriz de
rigidez do item anterior para encontrar as forças f1, f2 e f3 em libra.
Forma escada de uma matriz e sistemas de equações lineares
03. Encontre a forma escada reduzida por linhas das matrizes abaixo.
a)
 1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3
 b)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
 c)
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

04. Calcule o posto e a nulidade das matrizes do exercício anterior.
05. Dado o sistema

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
escreva a matriz ampliada, associada ao sistema
e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.
06. Determine k para que o sistema admita solução.
−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x − y = k
07. Encontre todas as soluções do sistema
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
08. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
Resolva os sistemas seguintes usando escalonamento(método de Gauss). Calcule também o posto
da matriz ampliada, o posto da matriz dos coe�cientes e, se o sistema for possível, o grau de
liberdade.
09. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1 10.

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
11.

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
12.

x + y + z + w = 0
x + y + z − w = 4
x + y − z + w = −4
x − y + z + w = 2
13.

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
14.

3x + 2y − 4z = 1
x − y + z = 3
x − y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1
15. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos
independentes, bi, são todos nulos.
a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha solução distinta da solução trivial(x = y = z = 0)
16. Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:

x − 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
17. Veri�que se a regra de Cramer pode ser aplicada a cada um dos sistemas abaixos. Quando
for possível, aplique a regra de Cramer para solucionar o sitema.
a)

4x + 5y = 2
11x + y + 2z = 3
x + 5y + 2z = 1
b)

3x − y + z = 4
−x + 7y − 2z = 1
2x + 6y − z = 5
c)

−x − 4y + 2z + w = −32
2x − y + 7z + 9w = 14
−x + y + 3z + w = 11
x − 2y + z − 4w = −4
18. Use o escalonamento para resolver os seguintes sistemas:
a)

x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0
b)

x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x − 7y + 4z = 10
Aplicação da teoria de resolução de sistemas de equações lineares
Um Sistema de Posicionamento Global (GPS) é um sistema de navegação global por satélite,
que permite ao usuário determinar sua posição em coordenadas tridimensionais. Esse sistema
foi desenvolvido por militares como um utilitário para localização, e o sistema GPS operado pelo
Departamento de Defesa dos EUA tornou-se operacional em 1995. O GPS se baseia no cálculo das
distâncias entre o receptor e a posição de três ou mais satelites(quatro ou mais se a altura também
é desejada) e então é feito alguns cálculos matemáticos. Para um GPS "real", precisamos pensar
em três dimensões. Neste contexto, cada satélite é representado por uma esfera, e precisamos
de quatro esferas de modo que a localização do receptor possa ser determinada pelo cálculo da
interseção entre as esferas; isto é, um único ponto de interseção das esferas. Para nossa discussão,
pensaremos em duas dimensões e consideraremos três satélites, cada um deles representado por
um círculo, para os quais as coordenadas do centro são conhecidas. Assumiremos que nosso GPS
possa determinar a distância entre sua localização e a posição do satélite; dessa maneira, o raio
de cada círculo também é conhecido.
Então, algebricamente, temos as equações de três círculos como mostrado abaixo, onde o cículo j
tem centro em (aj, bj) e raio rj para j = 1, 2, 3.
(x− a1)2 + (y − b1)2 = r21
(x− a2)2 + (y − b2)2 = r22
(x− a3)2 + (y − b3)2 = r23
Pela construção, a localização do receptor GPS está sobre cada círculo; assim garantimos que há
um ponto (x, y) que satisfaz cada equação acima. É este ponto que fornece as coordenadas no
receptor GPS. Expandindo as expressões acima e usando um pouco de álgebra obtemos o sistema
abaixo
−2(a1 − a2)x − 2(b1 − b2)y = (r21 − r22) + (a22 − a21) + (b22 − b21)
−2(a3 − a2)x − 2(b3 − b2)y = (r23 − r22) + (a22 − a23) + (b22 − b23)
E esse sistema linear pode ser representado por[
2(a1 − a2) 2(b1 − b2)
2(a3 − a2) 2(b3 − b2)
] [
x
y
]
=
[
(r22 − r21) + (a21 − a22) + (b21 − b22)
(r22 − r23) + (a23 − a22) + (b23 − b22)
]
Usando essa última forma de representar o sistema linear, resolva os problemas 1 e 2 abaixo:
19. Determine a localização no plano (x, y) de um receptor GPS, usando as coordenadas dos
centros e raios para os três círculos dados na tabela a seguir
a)
b)
Círculo Centro Raio
1 (-15,20) 25
2 (5,-12) 13
3 (9,40) 41
Círculo Centro Raio
1 (-10,13) 25
2 (10,-19) 13
3 (14,33) 41
20. A localização no GPS em um sistema bidimensional é (-4,3). Os dados usados nos cálculos
sãofornecidos na tabela abaixo, exceto pelo raio do primeiro círculo. Determine o valor do raio
que está faltando.
Círculo Centro Raio
1 (-16,38) ?
2 (7,-57) 61
3 (32,80) 85
21. A ferrugem é formada quando ocorre uma reação química entre o ferro e o oxigênio. O
composto que é formado é uma camada �na marrom avermelhada que cobre o objeto de ferro.
a ferrugem é óxido de ferro cuja fórmula química é Fe2O3. Portanto, a equação química para a
ferrugem é
Fe+O2 → Fe2O3.
Balanceie esta equação.
22. O etano é um gás semelhante ao metano que queima com o oxigênio, formando o gás dióxido
de carbono e vapor. O vapor se condensa e forma gotas de água. A equação química para esta
reação é
C2H6 +O2 → CO2 + H2O.
Balanceie esta equação.
23. Óxido de alumínio e carbono reagem para criar alumínio puro e dióxido de carbono:Al2O3 + C→ Al+ CO2
Balanceie esta equação.
24. O calcário, CaCO3, neutraliza o ácido hidrônio, H3O, na chuva ácida através da equação
química não balanceada a seguir
H3O + CaCO3 → H2O + Ca+ CO2
Balanceie esta equação.
25. A �gura abaixo mostra um pequeno trecho de uma malha viária com vias de mão única e o
tráfego �ui no sentido indicado. As taxas de �uxo são medidas como sendo a média da quantidade
de veículos por hora.
a) Monte um sistema de equações lineares cuja solução fornece as taxas de �uxo desconhecidas.
b) Solucione o sistema para encontrar as taxas de �uxo desconhecidas.
c) Foi detectado um problema na rede de esgoto no trecho entre os pontos A e B. É possível
fechar esse trecho para efetuar o reparo e manter o tráfego �uindo nas outras vias? Explique.
26. A �gura abaixo mostra as taxas conhecidas do �uxo de hidrocarbonetos entrando e saíndo
de redes de tubulaçoes em uma re�naria de petroleo.
a) Monte um sistema de equações lineares cuja solução fornece as taxas de �uxo desconhecidas.
b) Solucione o sistema para encontrar as taxas de �uxo desconhecidas.
c) Encontre as taxas de �uxo e as direções de �uxo se x4 = 50 e x6 = 0.
27. A �gura dada mostra uma rede viária de duas ruas de mão única com �uxos de tráfego
nos sentidos indicados. Ass taxas de �uxo ao longo das ruas são medidas pelo número médio de
veículos por hora.
a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de �uxo desconhecidos.
b) Resolva o sistema para as taxas de �uxo desconhecidas.
c) Se o �uxo ao longo da rua de A para B precisar ser reduzido em virtude de uma obra, qual
será o �uxo mínimo necessário para manter o tráfego �uindo em todas as ruas?
28. A �gura abaixo mostra o tráfego médio de veículos na rotatória da Av. Aguanambi no horário
das 15:00 às 16:00 hs, com o trafégo �uindo no sentido indicado.
Figura 1: Mapa extraído do Maplink com adaptações
a) Monte um sistema de equações lineares cuja solução fornece as taxas de �uxo desconhecidas.
b) Solucione o sistema para encontrar as taxas de �uxo desconhecidas.
c) Existe algum trecho no qual o trânsito possa ser interrompido sem atrapalhar a �uidez do
tráfego? Explique.
Em um circuito com corrente contínua contendo resistências e fontes de força eletromotiva(EMF),
tais como baterias, um ponto no qual três ou mais condutores são ligados é chamado de nó
ou ponto de rami�cação do circuito e um caminho de condução fechado é chamado de "loop".
Qualquer parte do circuito entre dois nós é chamado ramo do circuito. O circuito abaixo
é um típico exemplo de circuito que contém quatro nós, sete loops e seis ramos.
Lei de Ohm: a lei de Ohm diz que para uma corrente de I amperes, a queda de tensão(em volts)
através de uma resistência de R ohms é dada por V = RI.
bf Leis de Kirchho�:
i)(lei dos nós) A soma algébrica das correntes que entram em um nó de um circuito é igual a soma
das correntes que saem deste nó.
ii)(lei das malhas) Em qualquer loop a soma algébrica das tenções aplicadas ao circuito é igual a
soma algébrica das quedas de tenções nesse loop.
As leis de Kirchho� podem ser aplicadas sem o conhecimento prévio das direções verdadeiras das
correntes e EMF's. Você pode associar arbitrariamente direções. Se valores negativos aparecerem
na solução �nal, então o sentido correto é o oposto daquele assumido.
Aplicando a lei dos nós ao circuito acima obtemos:
Nó 1: I1 − I2 − I5 = 0
Nó 2: −I1 − I3 + I4 = 0
Nó 3: I3 + I5 + I6 = 0
Nó 4: I2 − I4 − I6 = 0
Para aplicar a lei das malhas precisamos escolher alguma direção(horária ou anti-horária) como
sendo a direção positiva, e todas as EMFs e correntes naquela direção são consideradas positi-
vas e aquelas na direção contrária são consideradas negativas.Além disso, se a direção indicada
da corrente for do lado positivo da bateria ( )(segmento maior) para o lado negativo(segmento
menor), então a voltagem será positiva; caso contrário, a voltagem será negativa. Por exemplo,
se considerarmos como direção positiva em cada caso a do sentido horário, então aplicando a lei
das malhas aos três loops indicados por A, B e C, no circuito acima temos
Loop A: I1R1 − I3R3 + I5R5 = E1 − E3
Loop B: I2R2 − I5R5 + I6R6 = E2
Loop C: I3R3 + I4R4 − I6R6 = E3 + E4
29. Suponha que no circuito mostrado acima tenhamos Ri = i ohms e Ei = i volts. Determine
as seis correntes indicadas.
30. Encontre as correntes desconhecidas em cada um dos circuitos abaixo.
a)
b)
c)
31. Determine o valor das correntes indicadas no circuito abaixo.
32. Determine as EMFs no seguinte circuito.
33. Considere o circuito mostrado abaixo.
a) Quantos nós o circuito contém?
b) Quantos ramos o circuito contém?
c) Determine o número total de loops.
d) Determine o valor da corrente I indicada se R1 = R2 = R3 = R4 = 1 ohm, R5 = R6 = 5 ohms,
e E = 5 volts.
Resposta dos probelmas da lista 2
01.
a)
Usando identi�cação direta o código referente a "UNIFOR"é "21 14 09 06 15 18". Aplicando
agora a matriz A temos:[
5 3
2 1
] [
21
14
]
=
[
147
56
]
[
5 3
2 1
] [
09
06
]
=
[
63
24
]
[
5 3
2 1
] [
15
18
]
=
[
129
48
]
Assim a palavra �UNIFOR"seria codi�cada como: "147 56 63 24 129 48".
b)
A matriz inversa de A é:[
−1 3
2 −5
]
Multiplicando essa matriz pelas matrizes colunas 2× 1 formadas a partir do código dado temos:[
−1 3
2 −5
] [
45
17
]
=
[
06
05
]
[
−1 3
2 −5
] [
117
45
]
=
[
18
09
]
[
−1 3
2 −5
] [
62
21
]
=
[
01
19
]
Portanto, a decodi�cação do código acima é "FÉRIAS".
02.
a)
A matriz de rigidez é
D−1 = 1000
 110 − 130 0− 1
30
2
15
− 1
30
0 − 1
30
1
10
 =
 100 −1003 0−100
3
400
3
−100
3
0 −100
3
100

b) f1f2
f3
 = D−1
 y1y2
y3
 =
 4050
30

Logo f1 = 40 lb, f2 = 50 lb e f3 = 30 lb.
03.
a)
 1 0 0 2270 1 0 −11
7
0 0 1 −17
7

b)

1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0

c)
 1 0 −72 520 1 3 −2
0 0 0 0

04.
a)Posto=3 e a nulidade é 1
b)Posto=2 e a nulidade é 1
c)Posto=2 e a nulidade é 2
05.
x = 7
16
, y = − 1
16
, z = 17
8
.
06.
k = −6
07.
x1 = 1− 3x2 − x5
x3 = 2 + x5
x4 = 3 + 2x5
08.
Pela de�nição de redução à forma escada de uma matriz a quantidade de pivôs é sempre menor
ou igual a quantidade de colunas de uma matriz, pois cada coluna pode conter no máximo um
pivô. Daí, a nulidade, que é a diferença entre o posto e o número de colunas, é sempre maior ou
igual a zero.
09.x1 = 1− 2x2 + x3 − 3x4, Pa = Pc = 1 e grau de liberdade igual a 3.
10.x = 17
3
− 7
3
z, y = −5
3
+ 4
3
z, Pa = Pc = 2 e grau de liberdade igual a 1.
11.Pa = 3 e Pc = 2. Sistema impossível.
12.Pa = Pc = 4, sistem possível, grau de liberdade zero. x = 1,y = −1,z = 2 e w = −2.
13.Pa = Pc = 3, sistema possível, grau de liberdade zero. x = y = z = 0
14.Pa = 4 e Pc = 3, sistema impossível.
15.(primeira 17)
a)xi = 0 b)k = 2
16.
x = 36
23
,y = − 3
23
, z = −19
23
17.
a)x = 3
11
, y = 2
11
, z = − 1
11
b)Não é possível aplicar Cramer.
c)x = 5,y = 8,z = 3,w = −1.
18.
a)x = 1, y = 2 e z = 3
b)x = 3, y = 1, z = 2
19.
a)x = 0 e y = 0 b)x = 5 e y = −7.
20.
Raio=37.
21.
4Fe+ 3O2 → 2Fe2O3
22.
2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O.
23.
2Al2O3 + 3C→ 4Al+ 3CO2.
24.
2H3O+ CaCO3 → 3H2O+ Ca+ CO2
25.
a)
x1 + x3 = 800
x1 − x2 + x4 = 200
x2 − x5 = 500
x5 − x7 = −50
−x4 − x6 + x7 = −600
x3 + x6 = 750
b)
x1 = 50 + x6
x2 = 450 + x7
x3 = 750 − x6
x4 = 600 − x6 + x7
x5 = x7 − 50
x6 e x7 são livres.
c)
Não, pois o �uxo mínimo nesse trecho é de 50 veículos por hora.
26.
a)
x1 + x3 = 200
−x1 + x2 = 25
x2 + x4 − x6 = 175
−x3 + x4 + x5 = 150
x5 + x6 = 200
b)
x1 = 150 − x4 + x6
x2 = 175 − x4 + x6
x3 = 50 + x4 − x6
x5 = 200 − x6
x4 e x6 são livres.
c)
x1 = 100, x2 = 125, x3 = 100, x5 = 200.
As direções são as mesmas.
27.
a)
x1 − x8 = 2500
x1 − x2 = 1100
−x2 + x3 = 815
x3 − x4 = 780
−x4 + x5 = 350
x5 − x6 = 1845
−x6 + x7 = 910
x7 − x8 = 850
b)
x1 = 2500 + x8
x2 = 1400 + x8
x3 = 2215 + x8
x4 = 1435 + x8
x5 = 1785 + x8
x6 = −60 + x8
x7 = 850 + x8
c)
Sim, o trecho x6, desde que o tráfego no trecho x8 seja de 60 veículos nesse horário.
29.I1 = 383/575; I2 = 533/575; I3 = 261/575; I4 = 644/575; I5 = −150/575 e I6 = −111/57530.
a)
I1 =
13
5
A; I2 = −25A; I3 =
11
5
A
b)
I1 = −2511A;I2 = −
19
11
A;I3 = 611A
c)
I1 = I4 = I5 = I6 =
1
2
A; I2 = I3 = 0A.
31.I1 = 179/211; I2 = 452/211 e I3 = 36/211.
32.E1 = 18 e E2 = 10.
33.
a)4 ; b)6; c)7 loops; d)I = 5/6.