teoria_das_estruturas__parte_1

Prévia do material em texto

Teoria das 
Estruturas 
 
 
Parte 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponte Estaiada Octávio Frias de Oliveira – São Paulo - SP 
 
 
Esforços internos: 
- Vigas 
- Vigas Gerber 
- Pórticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
- Tipos de apoios 
 
a) Apoio do primeiro gênero ou Charriot: impede o deslocamento em apenas uma 
direção. Este apoio apresenta as seguintes representações gráficas. 
 
 y 
 x ou 
 
 
 deslocamento X: livre deslocamento X: fixo 
 deslocamento Y: fixo deslocamento Y: livre 
 rotação: livre rotação: livre 
Este apoio não impede as rotações. 
 
b) Apoio do segundo gênero ou rótula: impede o deslocamento em duas direções. 
Este apoio apresenta as seguintes representações gráficas. 
 
 y 
 x ou 
 
 
 deslocamento X: fixo deslocamento X: fixo 
 deslocamento Y: fixo deslocamento Y: fixo 
 rotação: livre 
Este apoio não impede as rotações. 
 
c) Apoio do terceiro gênero ou Engaste: impede o deslocamento em duas direções e 
as rotações. Este apoio apresenta as seguintes representações gráficas. 
 
 y 
 x 
 
 
 deslocamento X: fixo deslocamento X: fixo 
 deslocamento Y: fixo deslocamento Y: fixo 
 rotação em torno X e de Y: fixo 
 
- Estaticidade de uma estrutura 
a) Estrutura Isostática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é igual ao número de 
equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja estável = 
estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: ΣFx =0; ΣFy =0; ΣM =0 
Ex.1: HA A B Ex.2: HA A B 
 
 MA 
 
 VA VB VA 
N. R. A. = 3 = N. E. E. N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 ESTRUTURA ISOSTÁTICA ESTRUTURA ISOSTÁTICA 
R1 
R2 
R1 R1 
R2 
R1 
R1 
R3 
R1 
R2 
R3 
R1 
R2 
 
 
 
3 
 
b) Estrutura Hipostática: quando o número de apoios da estrutura não é suficiente 
para garantir que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de 
equilíbrio são: ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣM = 0 
 
Ex.1: A B Ex.2: A B C 
 
 
 
 VA VB VA VB VC 
N. R. A. = 2 < N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca; A estrutura desloca; 
 ESTRUTURA HIPOSTÁTICA ESTRUTURA HPOSTÁTICA 
 
 
Ex.3: A B C D Ex.4: HA A B HB 
 
 
 
 VA VB VC VD VA 
N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca; A estrutura desloca; 
 ESTRUTURA HIPOSTÁTICA ESTRUTURA HIPOSTÁTICA 
 
 
c) Estrutura Hiperestática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é maior que o 
número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja 
estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: 
ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣM = 0 
 
Ex.1:HA A B Ex.2: A B C 
 
 MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 5 > N. E. E. =3 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 ESTRUTURA HIPERESTÁTICA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
 
Ex.3:HA A B Ex.4: A B C 
 HA 
 MA HB MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 ESTRUTURA HIPERESTÁTICA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
 
 
 
 
 
 
4 
 
- Tipos de esforços simples: 
 
a) Esforço Normal (N): 
N (+) quando traciona a seção da estrutura;N (-) quando comprime a seção da estrutura; 
 N (-) N (+) 
 
 S N (+) N (-) 
 Seção S 
 
 
b) Esforço Cortante (Q): 
Q (+) quando corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido horário; 
Q (-) corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido anti-horário; 
 
 
 S Q (+) Q (-) 
 Seção S 
 
 
c) Momento Fletor (M): 
Para momento fletor não se utiliza uma convenção de sinais (positivo ou negativo), 
mas indica o seu módulo (valor absoluto) e as fibras da estrutura que estão 
tracionadas: 
 tracionando fibra inferior (t. f. i.); 
 tracionando fibra superior (t. f. s.); 
 
Esta convenção facilita a confecção das peças (vigas, pilares, lajes, etc.) de concreto 
armado, pois o concreto não resiste bem aos esforços de tração. Assim ao indicar o 
valor do momento e as fibras das peças que estão sobre tração informa-se 
automaticamente o local onde deve ser posicionada a armadura (barras de aço). 
 
 
Ex: Momento tracionando fibras inferiores 
 
 
 
 
 
 
 Momento tracionando fibras inferiores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
armadura 
 armadura 
 
 
 
5 
 
- Vigas simples Isostáticas: 
As vigas simples isostáticas são classificadas em três tipos básicos: vigas biapoiadas, 
vigas biapoiadas com balanço e vigas engastadas e livres. 
 
Vigas biapoiadas 
 
 
 
 
Vigas biapoiadas com balanço 
 
 
 
 
Vigas engastadas e livres 
 
 
 
 
- Análise de Vigas Isostáticas: 
 
Esta análise tem o objetivo de determinar as reações de apoio e os diagramas de 
esforços solicitantes: Diagrama de esforço Normal (DN); Diagrama de esforço Cortante 
(DQ); Diagrama de Momento fletor (DM); 
Para realizar esta análise deve-se utilizar o seguinte procedimento: 
 
I - Identificar as seções que devem ser consideradas na análise: 
 
. seções sobre os apoios: a, b 
. seções sob cargas concentradas: c, d 
. seções sob cargas momento: e 
. seções no inicio e final de cargas distribuídas: f, g 
. seções sobre as extremidades das vigas: h, i 
 
Na maioria dos casos as seções que devem ser consideradas se sobrepõem. 
 
 
 
 
 
 
II - Identificar e calcular as reações de apoio: 
. apoio a: reação vertical (Va) 
. apoio b: reação vertical (Vb) 
 reação horizontal (Hb) 
 
 
 
 
 
Vb 
P1 
g a c b d f h i e 
P1 P2 
q M
b a d e c 
P3 q 
M
P2 
a b c d f g h i e 
P1 P2 q M
Va 
Hb 
 
 
 
6 
 
As reações de apoio são determinadas por das equações de equilíbrio: 
ΣFx = 0; ΣFy = 0; 
ΣM = 0 esta equação estabelece que o somatório do momento em qualquer seção 
da estrutura (ex: viga, pilar) é sempre igual a zero. 
 
Esta equação é utilizada em relação a uma das seções sobre apoio, o que possibilita 
obter as reações de apoio com maior facilidade. 
 
Outro ponto relevante que deve ser esclarecido é a diferença entre o valor do momento 
e o somatório do momento em uma determinada seção S de uma estrutura. 
ΣMS = 0 SEMPRE SERÁ ZERO. 
MS = PODE SER ZERO OU NÃO. 
 
O momento fletor nas extremidades das estruturas é nulo (zero) exceto nos casos em 
que estas estejam submetidas a cargas momentos, conforme os exemplos 
apresentados a seguir. 
 
O SENTIDO DO GIRO DA SETA DO MOMENTO INDICA O LADO TRACIONADO: 
 Tracionando as fibras inferiores t. f. i. 
 Tracionando as fibras superiores t. f. s. 
EX1: 
Mc = 0; Mb = 4 t.m (t. f. i.); 
 
 
 OU 
 
 
 
 OU 
 
 
 
EX2: 
Mc = 1 t.m (t.f.i.); Mc = 5 t.m (t.f.s.); 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 
III – Determinar o valor dos esforços solicitantes em cada seção considerada na 
análise. 
 A determinação dos esforços solicitantes em cada seção considerada na análise 
permitirá a construção dos diagramadas de esforços solicitantes (DN; DQ; DM). 
c 
M= 4 t.m 
b a c 
b a c 
M= 4 t.m 
b a c 
M= 4 t.m 
M= 5 t.m 
M= 5 t.m 
M= 5 t.m 
b a 
b a c 
b a c 
M= 1 t.m 
M= 1 t.m 
M= 1 t.m 
 
 
 
7 
 
Exemplo1: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga isostática apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Para casos, como este acima, o diagrama de momento fletor em cada trecho da 
viga sob a carga distribuída uniforme será necessário construir a parábola de 20 grau. 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 + Hd = 0 
 
 + Σ Fy = 0 Vb + Vd = R1 + R2 + 2 - 8 - 4 Vb + Vd = 2,5 t 
 
Σ Md = 0 + -12 - Vb . 5,0 - 8 . 5,0 + R1 . 3,75 + 2 . 2,5 + R2 . 1,25 - 9 = 0 
 5,0 Vb = -34,125 t Vb = -6,825 t Vb = 6,83 t 
***ponto crucial dos erros: 
 corrigir Σ Fy: 
- Vb + Vd = 2,5 t 
-6,83 + Vd = 2,5 t Vd = 9,33 t 
 
Considerações para determinar os esforços em cada seção: 
 a análise pode ser feita da esquerda para direita 
 ou a análise pode ser feita da direita para esquerda 
 
cada seção será analisada: imediatamente antes (décimosde milímetro à esquerda) 
 e 
 imediatamente após (décimos de milímetro à direita) 
Exemplo seção c: 
 
ce: Análise da esquerda para a direita Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 
 Análise da direita para a esquerda Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 
 
cd: Análise da esquerda para a direita Ncd = x2 ; Qcd = y2 ; Mcd = w2 
 Análise da direita para a esquerda Ncd = x2 ; Qcd = y2 ; Mcd = w2 
 
O valor do esforço em cada seção deve ser o mesmo independente do lado 
escolhido para fazer a análise. Se o valor for diferente existe um erro na análise. 
 2 t 
 2,5 m 2,5 m 2,0 m 
 q1 = 1 t/m 
 2 t 
 2,5 m 2,5 m 2,0 m 
 R1 = 2,5 t R2 = 10 t 
a b c d 
Vd 
Hd 
Vb 
 1,25 m 1,25 m 1,0 m 
 12 t.m 
 9 t.m 
 9 t.m 12 t.m 
c ce cd 
 q2 = 4 t/m 
 4 t 
 8 t 
 4 t 
 8 t 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - calcular o esforço normal: não existe neste caso 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = 0 t / Qbe = 0 t / Qbd = 8 - Vb = 1,17 t 
Qce = 1,17 - R1 = 1,17 - 2,5 = - 1,33 t / Qcd = - 1,33 - 2,0 = - 3,33 t / 
Qde = - 3,33 - 10 = - 13,33 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = 12 t.m (t. f. i.)/ Mbe = Mbd = 12 t.m (t. f. i.) 
Análise p/direita 
Mce = Mcd = (Vd . 2,5 + 4 .2,5) (t. f. i.) - (R2. 1,25 + 9) (t. f. s.) = 
 = 33,325 (t. f. i.) - 21,5 (t. f. s.) = 11,825 t.m (t. f. i.) 
Mde = 9 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 t 
 2,5 m 2,5 m 2,0 m 
 8 t 
 R1 = 2,5 t R2 = 10 t 
a b c d 
Hd Vb=6,83 t 
 1,25 m 1,25 m 1,0 m 
 12 t.m 
 9 t.m 
Vd= 9,33 t 
 4 t 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
OBS1: Dedução da equação do momento de uma carga distribuída uniforme sobre 
uma viga isostática (M = qL2/ 8): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
O cortante é nulo no meio do vão. Seção com cortante nulo o momento fletor é 
máximo. O valor do momento no meio do vão (Ms) é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ms = Va . L/2 - { R. [(L/2) /2 ] } = q.L/2 . L/2 - q.L/2 . L/4 
 
Ms = q.L2/4 - q.L2/8 = ( 2q.L2 - q.L2)/ 8 
 
Ms = q.L2/8 
 
 
 
 
a b 
 q 
 L 
Va Vb 
Ha 
a b 
 L 
Va = q.L/2 Vb = q.L/2 
Ha = 0 
R = q.L 
a b 
 qL/2 
 qL/2 
L/2 
a b 
 L/2 
Va = q.L/2 Vb = q.L/2 
Ha = 0 
R = q.L/2 
s 
s 
 
 
 
11 
 
OBS2: No trecho sob carga distribuída uniforme, o diagrama de momento fletor é 
parabólico (parábola do 20 grau). Neste trecho do diagrama é utilizado um processo 
gráfico para sua construção, o qual é descrito a seguir. 
PASSO1 PASSO2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO3 PASSO4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d b 
 8,0 t.m 
 20,3 t.m 
l/2 
d b 
 8,0 t.m 
 20,3 t.m 
l 
(q. l2)/8 
Liga-se o ponto G aos 
momentos das extremidades 
G 
Marca-se o ponto médio de 
cada trecho JJ 
 
A parábola tangencia estes 
pontos 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Liga-se os momentos das 
extremidades por uma linha 
auxiliar 
linha auxiliar
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Traça-se uma linha 
vertical no meio do 
trecho, a partir do 
encontro com a linha 
auxiliar marca-se duas 
2 vezes o valor (q. l2 )/8 
( q.l2)/8 
l/2 
d b 
8,0 t.m 
20,3 t.m 
l 
(q. l2)/8 
l/2 
l 
Divide cada trecho G1 e G2 
em 4 partes iguais 
G1 
G G 
Liga-se os pontos: 1,3 2,2 3,1 
G2 
l/2 
l 
(q. l2)/8 
d b 
 8,0 t.m 
 20,3 t.m JJ 
JJ 
JJ 
Obs: a parábola sempre tangencia o 
ponto abaixo da linha auxiliar 1 vez 
o valor (q. l2)/ 8 
G 
 
 
 
12 
 
Exemplo2: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga isostática apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4 . cos 600 = 2,0 t 
 F1y = 4 . sen 600 = 3,46 t 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 4 + Ha - F1x + 1 = 0 Ha = -3,0 t Ha = 3,0 t 
 O sinal - de indica que Ha é para esquerda. 
 + Σ Fy = 0 Va + Vb + R1 - 1 - F1y - 1 - R2 = 0 Va + Vb = 1,46 t 
 
Σ Ma = 0 + Vb . 8,5 + 8 - R2 . 6,25 - 1. 4,0 - F1y . 4,0 + 15 + R1 .1,5 = 0 
 
 Vb = 3,89 t Va = -2,43 t Va = 2,43 t 
 
Considerações para determinar os esforços em cada seção: 
 a análise pode ser feita da esquerda para direita 
 ou a análise pode ser feita da direita para esquerda 
 
cada seção será analisada: imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) 
 e 
 imediatamente após (décimos de milímetro à direita) 
Exemplo seção c: 
 
ce: Análise da esquerda para a direita Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 
 Análise da direita para a esquerda Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 
 
cd: Análise da esquerda para a direita Ncd = x2 ; Qcd = y2 ; Mcd = w2 
 Análise da direita para a esquerda Ncd = x2 ; Qcd = y2 ; Mcd = w2 
 
O valor do esforço em cada seção deve ser o mesmo independente do lado 
escolhido para fazer a análise. Se o valor for diferente existe um erro na análise. 
 
c1,5 m 
 600 
 8 t.m 
 4 t 1 t 
 q2= 2 t/m 
 15 t.m 
 4 t 
 1 t 
 4,5 m 1,0 m 3,0 m 
 600 
 8 t.m 
 4 t 1 t 
 R2 = q2 . 4,5 = 9,0 t 
 15 t.m 
 4 t 
 1 t 
 4,5 m 1,0 m 3,0 m 
a 
Va Vb 
Ha 
d b 
 2,25 m 
 600 
 4 t 
 F1Y 
 F1X 
c ce cd 
 q1=4 t/m 
 R1 = q1 . 3 = 12 t 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ha = 3,0 t Vb = 3,89 t Va = 2,43 t 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Análise pela/esquerda 
Nad = - 4 + Ha = -1,0 t / Nce = -1,0 t / Ncd = -1,0 t / Nde = -1,0 t 
Ndd = -1,0 + F1x = 1,0 t / Nbe = 1,0 t 
 
Verificação: p/direita Este passo foi realizado para demonstrar que o valor do 
esforço é o mesmo independente do sentido de análise utilizado. 
 
Nbe = 1,0 t / Ndd = 1,0 t / Nde = 1,0 - F1x = -1,0 t / Ncd = -1,0 t 
Nce = -1,0 / Nad = -1,0 t 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = -Va = - 2,43 t / Qce = -2,43 + R1= 9,57 t / Qcd = 9,57 t / Qde = 9,57 t / 
Qdd = 9,57 - F1Y - 1,0 = 5,11 t / Qbe = 4,95 - R2 = - 3,89 t 
 
Verificação: p/direita 
Qbe = -Vb = - 3,89 t / Qdd = - 3,89 + R2 = 5,11 t/ Qde = 5,11 + 1,0 + F1Y = 9,57 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = 0 / Mce = Va . 3,0 (t. f. s.) - R1 .1,5 (t. f. i.) = - 10,71 t.m (t. f. i.) 10,71 t.m (t. f. i) 
Mcd = 10,71 (t. f. i.) - 15 (t. f. s.) = - 4,29 t.m (t. f. s.) 4,29 t.m (t. f. s.) 
Mde = Mdd = Va . 4,0 + 15 (t. f. s) - R1 .2,5 (t. f. i.) = 
 = 9,72 + 15 ( t. f. s.) - 30,0 (t. f. i.) = - 5,28 t.m (t. f. i) 5,28 t.m (t. f. i) 
Mbe = Va . 8,5 + 15 + F1y . 4,5 + 1,0. 4 ,5 + R2 . 2,25 (t. f. s.) - R1 .7,0 (t. f. i.) = 
 = 20,655 + 15 + 15,57 +4,5 + 20,25 (t. f. s.) – 90 (t. f. i.) = -8,025 t.m (t. f. i) 
 Mbe ≅ 8,0 t.m (t. f. i) 
Na prática o Mbe é feito automaticamente pela direita mais rápido e fácil 
Mbe = 8,0 t.m (t. f. i.) 
 
Verificação: p/direita 
Mde = Mde = Vb. 4,5 + 8,0 (t. f. i.) - R2 . 2,25 (t. f. s.) = 
 17,51 + 8,0 (t. f. i) - 20,25 (t. f. s.) = 5,26 t.m (t. f. i.) 
 
OBS: Análise pela direita Mde = Mde = 5,26 t.m (t. f. i.) 
 Análise pela esquerda Mde = Mde = 5,28 t.m (t. f. i.) 
 DIFERENÇA INSIGNIFICANTE DEVIDO AOS ARREDONDAMENTOS; 
 
 F1Y = 3,46 t 
 F1X = 2,0 t 
c 
 1,5 m 
 8 t.m 
 1 t 
 R2 = q2 . 4,5 = 9,0 t 
 15 t.m 
 4 t 
 1 t 
 4,5 m 1,0 m 3,0 m 
a 
Va Vb 
Ha 
d b 
 2,25 m 
 R1 = q1 . 3 = 12 t 
Momento não tem sinal 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1 Lista de exercícios: Determine os diagramas dos esforços solicitantes (DN; DQ; DM) 
das vigas apresentadas a seguir: 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 t 
 3 t 5 t 
 8 t.m 
 4 t 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 600 4 t 
 q = 3 t/m 
 3 t 
 1,5 m 1,5 m 4,0 m 
 q = 3 t/m 
 3 t.m 
 1 t 
 3,0 m 1,5 m 2,0 m 
 3 t 
 q = 2 t/m 
 3 t.m 
 2 t.m 
 q = 4 t/m 
 5 t 
 3,5 t 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 
 
 
16 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 t.m 
 q = 4 t/m 450 
 4 2 t 
 2,5 t 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 3 t 5 t 
 8 t.m 
 4 t 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 q = 2 t/m 
 5 t.m 3 t.m 
 4 t 
 q = 3 t/m 
 3 t 
 1,5 m 1,5 m 4,0 m 
 3 t.m 6 t.m 4 t.m 
 5 t 
 q = 3 t/m 
 3 t.m 
 1 t 
 3,0 m 1,5 m 2,0 m 
 3 t 
 
 
 
17 
 
Exemplo3: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga isostática apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 3 . cos 450 = 2,12 t F2x = 2 . cos 600 = 1,0 t 
 F1y = 3 . sen 450 = 2,12 t F2y = 2 . sen 600 = 1,73 t 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 - 2 + Ha + F1x + F2x = 0 Ha = -1,12 t Ha = 1,12 t 
 O sinal - de indica que Ha é para esquerda. 
 
 + Σ Fy = 0 Va = F1y + F2y + R Va = 12,85 t 
 
Σ Ma = 0 + Ma + 17 - F1y . 1,0 - F2y . 2,0 - R . 3,5 = 0 Ma = 20,08 t.m 
 
Ha = 1,12 t Va = 12,85 t Ma = 20,08 t.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 600 
 2 t 
 q = 3 t/m 450 
 3 t 
 17 t.m 2 t 
 3,0 m 1,0 m 1,0 m 
 600 
 2 t 
 R = 3. 3 = 9 t 450 
 3 t 
 17 t.m 2 t 
 3,0 m 1,0 m 1,0 m 
a b c d 
Va 
Ha 
Ma 
 1,5 m 
 450 
 3 t F1Y 
 F1X 
 600 
 2 t F2Y 
 F2X 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ha = 1,12 t Va = 12,85 t Ma = 20,08 t.m 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Análise p/esquerda 
Nad = Ha = 1,12 t / Nbe = 1,12 t / Nbd = 1,12 - F1x = -1,0 t / Nce = -1,0 t 
Ncd = -1,0 - F2x = -2,0 t / Nde = -2,0 t 
 
Verificação: p/direita 
Nde = - 2,0 t / Ncd = - 2,0 t / Nce = - 2,0 + F2x = - 1,0 t / Nbd = - 1,0 t 
Nbe = - 1,0 + F1x = 1,12 t / Nad = 1,12 t 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = +Va = 12,85 t / Qbe = 12,85 t / Qbd = 12,85 - F1Y = 12,85 - 2,12 = 10,73 t 
Qce = 10,73 t / Qcd = 10,73 - F2Y =9,0 t / Qde = 9 - R = 0 
 
Verificação: p/direita 
Qde = 0 / Qcd = 9 t / Qce = 9 F2Y = 19,73 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = Ma (t. f. s.) = 20,08 t. m (t. f. s.) / Mbe = 20,08 (t. f. s.) - Va . 1,0 (t. f. i.) 
 Mbe = 7,23 t.m (t. f. s.) 
Mbd = 7,23 (t. f. s.) + 17 (t. f. s.) = 24,23 t.m (t. f. s.) 
Mce = Mcd = 20,08 (t. f. s.) - Va . 2,0 (t. f. i.) + F1y . 1,0 (t. f. s.) + 17(t. f. s.) 
Mce = Mcd = 13,5 t.m (t. f. s.) 
Mde = 20,08 (t. f. s.) - Va . 5,0 (t. f. i.) + F1y . 4,0 (t. f. s.) + 17(t. f. s.) + F2y . 3,0 (t. f. s.) + 
 R . 1,5 (t. f. s.) 
Mde = 0 
 
Verificação: p/direita 
Mde = 0 / Mce = Mcd = R. 1,5 (t. f. s.) = 13,5 t.m (t. f. s.) 
Mbd = R. 2,5 (t. f. s.) + F2y . 1,0 (t. f. s.) = 24,23 t.m (t. f. s.) 
Mbe = R. 2,5 (t. f. s.) + F2y . 1,0 (t. f. s.) - 17 (t. f. i.) = 7,23 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 2,12 t 
 R = 3. 3 = 9 t 17 t.m 
 2 t 
 3,0 m 1,0 m 1,0 m 
a b c d 
Va 
Ha 
Ma 
 1,5 m 
 F1Y = 2,12 t F2Y = 1,73 t 
 F2X = 1,0 t 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
20 
 
2 Lista de exercícios: Determine os diagramas dos esforços solicitantes (DN; DQ; DM) 
das vigas apresentadas a seguir: 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 3,5 t.m 
 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
 450 
 6 t 
 q = 2 t/m 
 1 t 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 q = 1 t/m 
 2 t.m 
 4 t 
 4,0 m 2,0 m 
 q = 3 t/m 45
0 
 4 2 t 
 3,0 m 2,0 m 
 3 t 
 600 
 3 t 
 600 
 4 t 
 q = 2 t/m q = 4 t/m 
 2 t.m 
 q = 4 t/m 
 4 t.m 6 t.m 
 q = 3 t/m 
 4 t 
 5 t.m 
 5 t 
 q = 2 t/m 
 1 t 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 q = 4 t/m 
 4 t.m 
 
 
 
21 
 
- Viga Gerber: 
A viga Gerber é composta por uma associação de vigas simples. Esta associação 
(união, ligação) é obtida por meio de rótulas. As rótulas utilizadas para ligar as vigas 
simples podem ser classificadas da seguinte forma: 
Tipo 1: permite deslocamento horizontal e rotação. Este tipo de rótula apresenta a 
seguinte representação gráfica. 
 
 Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio 
 interno de 1 gênero; 
 
 = 
 
 
Tipo 2: permite apenas rotação. Este tipo de rótula apresenta a seguinte representação 
gráfica. 
 
 Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio 
 interno de 2 gênero; 
 
 = 
 
 
 A seguir são apresentados alguns casos práticos que ilustram os diferentes 
Tipos de rótulas; 
 
Rótula Tipo1: permite deslocamento horizontal e rotação 
Este tipo de rótula é muito comum em vigas compostas de concreto armado e de aço. 
Estas vigas são apoias uma sobre as outras e utilizam como elementos de ligação: 
Caso 1-- roletes de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio bom Apoio ruim: danificado 
 
Representação esquemática do apoio instalado na cabeceira da ponte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Caso 2 -- Aparelhos de rolamento, de escorregamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 -- Aparelho de apoio do tipo escorregamento (almofadas de material resiliente – 
almofadas de NEOPRENE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sanduíche:placa de aço + placa de Neoprene 
 Neoprene: borracha sintética (polímero) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelo em Neoprene 
 Modelo da Empresa Sneha Bearings: 
 
 
 
24 
 
Rótula Tipo2: permite apenas rotação 
Este tipo de rótula além de ser utilizada em vigas compostas de concreto armado é 
utilizada para unir vigas de aço. Estas vigas são conectadas por meio de pinos: 
 
Caso 1 -- Aparelhos de rolamento (aço), em vigas de concreto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
-- Aparelhos de rolamento (aço) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelos em aço 
 
 
 Modelos da Empresa Sneha Bearings: 
 
 
 
 
 
25 
 
Caso 2 – Pinos utilizados para conectar vigas de aço:CORTE: AB 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
 
 
 
26 
 
 
Um exemplo muito comum de viga Gerber são as pontes e viadutos de concreto 
armado. A seguir é apresentada uma ponte esquematizada, que é um exemplo típico 
de viga Gerber. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir é apresentada a representação gráfica do exemplo de viga Gerber ilustrada 
acima. Esta representação será utilizada ao longo da apostila. 
 
 
 
 
 
 
Os pontos c, d transmitem apenas forças, porém não são capazes de transmitir 
momento algum, ou seja, não impedem a rotação da estrutura nestes pontos. 
 
Os pontos c, d são denominados por rótulas, ou seja, conexão capaz de transmitir 
apenas forças. Esta conexão é representada conforme ilustrado na figura acima 
 
Obs1: 
O momento à direita e à esquerda da rótula é nulo, exceto nos casos com carga 
momento aplicado à direita ou à esquerda da rótula, conforme apresentado a 
seguir. 
 
 
 
 Mse = M1 Mse = 0 Mse = M3 
 Msd = 0 Msd = M2 Msd = M3 
 
 
Para resolver uma viga Gerber e necessário fazer sua decomposição, ou seja, dividi-la 
em vigas simples. Porém, ao fazer esta divisão podem ser encontradas vigas simples 
isostáticas bem como vigas simples hiperestáticas, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
c d 
a b c d e f 
a b e f 
s s s 
M1 M2 M3 M3 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 Viga hiperestática 
 N.R.A.= 4 
 N.E.E.= 3 
 
 Viga isostática Viga isostática 
 N.R.A.= 3 N.R.A.= 3 
 N.E.E.= 3 N.E.E.= 3 
 
 
 
 
 
 
Por enquanto serão calculados apenas os casos em que as Vigas Gerber podem ser 
divididas em várias VIGAS SIMPLES ISOSTÁTICAS. 
 
 
 
PROCEDIMENTO PARA RESOLVER UMA VIGA GERBER: 
 
- Realizar sua decomposição, ou seja, dividir a viga Geber em várias: 
 Vigas simples isostáticas com no máximo três reações de apoio. 
 
 
 A seguir são apresentadas algumas dicas para facilitar a decomposição. 
 
 
Dica 1: o trecho entre duas rótulas consecutivas fica sempre apoiado sobre os trechos 
vizinhos. As rótulas são consideradas como apoios destes trechos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrete: = 
 = 
Lembrete: = 
 = 
 
 
 
28 
 
Dica 2: a viga Gerber sempre será um associação dos seguintes casos de vigas 
simples isostáticas (três reações de apoio no MÁXIMO) . Porém, nem sempre uma viga 
Gerber é composta por todos os casos apresentados a seguir. 
 
Viga biapoiada simples 
 
 
 
Viga biapoiada com balanço simples 
 
 
 
Viga engastada e livre 
 
 
Dica 3: durante o processo de decomposição deve-se verificar se a estrutura é estável. 
A seguir são apresentados alguns exemplos de estruturas que não são estáveis, ou 
seja, estruturas instáveis = ESTRUTURA HIPOSTÁTICA. 
EX1: 
 
 
 
 Estrutura instável a estrutura pode mover-se na horizontal. 
EX2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estrutura instável trecho funciona como uma gangorra (balanço). 
EX3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estrutura instável trecho funciona como uma gangorra (balanço). 
Estrutura instável = ESTRUTURA HIPOSTÁTICA 
 
Conforme a dica 1 o trecho entre duas rótulas fica sempre apoiado sobre os trechos 
vizinhos. Porém, o trecho à direita não é instável. Neste caso o trecho funciona como 
uma gangorra (balanço). 
 
 
 
29 
 
Exemplos: Realizar a decomposição das vigas Gerber, indicar a ordem de resolução e 
verificar a estabilidade da estrutura (Estrutura estável ou instável); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
3 Lista de exercícios: Realizar a decomposição das vigas Gerber, indicar a ordem de 
resolução e verificar a estabilidade da estrutura (Estrutura estável ou instável); 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
l) 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 
 
 
 
p)33 
 
 
 
q) 
 
 
 
 
 
 
r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo4: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga Gerber apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
1 - Decompor a viga Gerber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4,0 . cos 450 = 2,83 t 
 F1y = 4,0 . sen 450 = 2,83 t 
 
 
2 - calcular as reações de apoio: 
Viga 1: 
 + Σ Fx = 0 He + F1x - 1 = 0 He = -1,83 t He = 1,83 t 
 
 + Σ Fy = 0 Vd + Ve = F1y Vd + Ve = 2,83 t 
 
Σ Md = 0 + Ve . 3,0 - 4,0 = 0 Ve = 1,33 t ; Vd = 1,50 t 
 
Viga 2: 
 + Σ Fx = 0 Hb= 0 
 
 + Σ Fy = 0 Vb + Vc = R2 + Vd’ Vb + Vc = 13,5 t 
 
Σ Mb = 0 + Vc . 4,0 - 3,0 - R2 . 2,0 - Vd’ . 5,5 = 0 Vc = 8,81 t ; Vb = 4,69 t ; 
 
Viga 3: 
 + Σ Fx = 0 Ha = 0 
 
 + Σ Fy = 0 Va = R1 + Vb’ = 0 Va = 7,69 t 
 
Σ Ma = 0 + - Vb’ . 3,0 + 3.0 - R1 . 1,5 - Ma = 0 Ma = - 15,57 t.m 
 Ma = 15,57 t.m 
d F1X 
 450 
Vb’ R1= 3 t 
 1,5 m 
 4 t.m 
Vd’ 
 3 t.m 
 1,5 m 4,0 m 3 m 
 q1 = 1 t/m 
 3 t.m 
 q2 = 3 t/m 
 3,0 m 
 1 t 
 450 
 4,0 t 
 3 m 
b a 
e d 
 1,5 m 
 2 m 
 3,0 m 
 4,0 m 
Vb Vc 
He R2 = 12 t 
Ve Vd 
Va 
Ha 
 1 
 3 
 2 
 4 t.m 
 4,0 t 
 F1Y Ma 
 3 t.m 
 1 t 
 450 
 4,0 t 
Hb 
Hb’ 
 
 
 
35 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ma = 15,57 t.m; Va = 7,69 t; Ha = 0; Vb = 4,69 t; Vc = 8,81 t; Hc = 0 ; 
Vd = 1,50 t; Ve = 1,33 t; He = 1,83 t 
 
 
3 - calcular o esforço normal: 
Análise p/esquerda 
Nad = 0 t / Nbe = 0 t / Nbd = 0 / Nce = 0 t/ Ncd = 0 t / Nde = 0 t / Ndd = - F1x = - 2,83 t 
Nee = -2,83 t 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Nee = -1,0 - He = - 2,83 t 
 
 
4 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = 7,69 t / Qbe = Va = 7,69 t - R1 = 4,69 t / Qbd = Vb = 4,69 t / Qce = 4,69 - R2 = - 7,31 t 
Qcd = - 7,31 + Vc = 1,50 t / Qde = Vd’ = 1,50 t / Qdd = Vd - F1y = + 1,50 - 2,83 = -1,33 t / 
Qde = - 1,33 t 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Qbe = Vb’ = 4,69 t / Qde = Qcd = Vd’ = 1,50 t 
 
 
5 - calcular o momento fletor: 
Pelo lado mais fácil 
Mad = 15,57 t.m (t. f. s.) / Mbe = Mbd = 3 t.m (t. f. i.) 
Mce = Mcd = Vd’ . 1,5 (t. f. s.) = 2,25 t.m (t. f. s.) / Mde = Mdd = 0 (t. f. s.) 
Mee = 4 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
 
 
 F1X = 2,83 t 
Vb’ R1= 3 t 
 1,5 m 
Vd’ 
 3 t.m 
 3 m 
b a 
e d 
 1,5 m 
 2 m 
 3,0 m 
 4,0 m 
Vb Vc 
He R2 = 12 t 
Ve Vd 
Va 
Ha 
 1 
 3 
 4 t.m 
 F1Y = 2,83 t 
Ma 
 3 t.m 
 1 t 
Hb 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
37 
 
Exemplo5: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga Gerber apresentada a seguir. 
 
 
 
a) 
 
 
 
Resolução: 
1 - Decompor a viga Gerber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1x = 3 . cos 300 = 2,60 t F2x = 2 . cos 600 = 1,0 t 
 F1y = 3 . sen 300 = 1,50 t F2y = 2 . sen 600 = 1,73 t 
 
2 - calcular as reações de apoio: 
Viga 1: 
 + Σ Fx = 0 Ha= 0 
 
 + Σ Fy = 0 Va + Vb = 4 t 
 
Σ Ma = 0 + Vb . 3,0 + 5,0 - 4,0 . 3,0 = 0 Vb = 2,33 t ; Va = 1,67 t 
 
Viga 2: 
 + Σ Fx = 0 F1x + F2x + Hd = 0 Hd = - F1x - F2x Hd = - 2,6 - 1,0 Hd = - 2,6 
 Hd = 2,6 t 
 
 + Σ Fy = 0 Vc + Vd = Vb’ + F1y + R1 + F2y = 0 Vc + Vd = 16,06 t 
 
Σ Md = 0 + - 5,0 + Vb’. 4,5 + F1y . 3,5 - Vc . 3,5 + R1 .1,75 - 3,0 = 0 3,5. Vc = 26,11 
 
 Vc = 7,46 t Vd = 8,60 t 
Viga 3: 
 + Σ Fx = 0 Hd’ + He = 0 He = - 3,60 t He = 3,60 t 
 
 + Σ Fy = 0 - Vd’ + Ve = 0 Ve = 8,60 t 
 
Σ Me = 0 + Vd’ . 2,5 + 3,0 - Me = 0 Me = 24,5 t.m 
b 
 1 m 
 3 t.m 
b 
 300 
 1 m 
 300 
 4 t 3 t 60
0 
 2 t 
 5 t.m 3 t.m 
 q1 = 3 t/m 
 3,5 m 3,0 m 2,5 m 
 4 t 
 5 t.m 
 3,0 m 
Va Vb 
 1 
 3 t 600 2 t 
 5 t.m 
 2 
a 
Ha 
c d 
Vc Vd 
 3,5 m 
 2,5 m 
 3 t.m 
d e 
Ve 
He 
Me 
Vb’ 
Vd’ 
 3 
Hd’ 
 300 
 3 t F1Y 
 F1X 
 600 
 2 t 
 F2Y 
 F2X 
 1,75 m 
 R1 = 10,5 t 
c d 
Hd 
 
 
 
38 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Va = 1,67 t; Vb = 2,33 t; Vc = 7,46 t; Vd = 8,60 t; Hd = 3,60 t 
He = 3,60 t; Ve = 8,60 t; Me = 24,50 t.m 
 
 
 
3 - calcular o esforço normal: 
Análise p/esquerda 
Nad = 0 / Nbe = Nbd = 0 / Nce = 0 / Ncd = - F1x = - 2,60 t / Nde = - 2,60 t / 
 Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = + F1x - Hd = +1,0 - 3,60 
 Nde = -2,60 t 
Ndd = - Hd’ = - 3,60 t / Nee = - 3,60 t 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Nee = - He = - 3,60 t 
 
 
4 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = Va = 1,67 t / Qbe = 1,67 t / Qbd = - Vb’ = - 2,33 t / Qce = - 2,33 t 
Qcd = - 2,33 - F1y + Vc = 3,63 t / Qde = 3,63 - R1 = - 6,87 t / Qdd = Vd’ = - 8,60 t 
Qee = - 8,60 t 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Qde = - Vd + F2Y = - 6,87 t / Qee = - Ve = - 8,60 t 
 
 
5 - calcular o momento fletor: 
Pelo lado mais fácil 
Mad = 0/ Mbe = Mbd = 5,0 t.m (t. f. i.) 
Mce = Mcd = Vb’ . 1,0 (t. f. s.) - 5,0 (t. f. i.) = - 2,67 t.m (t. f. i.) como mencionado o 
momento não tem sinal, mas a fibra tracionada, então: Mce = Mcd = 2,67 t.m (t. f. i.) 
Mde = Mdd = 3,0 t.m (t. f. s.) / Mee = Me =24,50 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 t.m 
 1 m 
 3 t.m 
b 
 4 t 
 3,0 m 
Va Vb 
 1 
 5 t.m 
 2 
a b 
Ha 
c d 
Vc Vd 
 3,5 m 
 2,5 m 
 3 t.m 
d e 
Ve 
He 
Me 
Vb’ 
Vd’ 
 3 
Hd’ 
 F1Y=1,50 t 
 1,75 m 
 R1 = 10,5 t 
 F1x=2,60 t 
 F2Y=1,73 t 
 F2x=1,0 t 
Hd 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
40 
 
4 Lista de exercícios: Determine os diagramas de esforços solicitantes das vigas 
Gerber a seguir. 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 5 t 3 t q = 2 t/m q = 2 t/m 
 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 
 3 t 
 q = 2 t/m 
 4,0 m 3,0 m 2,0 m 3,0 m 
 q = 3 t/m 
 4 t.m 
 5 t 
 7 t.m 
3,5 t 
 4 t.m 
 1,5 m 4,0 m 3 m 
 q2 = 4 t/m 
 2 t.m 
 q1 = 2 t/m 
 3,0 m 
 450 
 q = 3 t/m 
 5 t 2 t 3 t q = 2 t/m q = 2 t/m 
 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 2,0 m 2,0 m 
 q = 3 t/m 
 3 t 
 2 t.m 
 q = 4 t/m 
 5 t 
 3,5 t 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m 
 q = 2 t/m 
 450 
 
 
 
41 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3,0 m 
 3 t 
 3 t 
 q = 4 t/m 
 2,0 m 1,5 m 3,0 m 1 m 1 m 4,0 m 1,5 m 
 q = 2 t/m 60
0 
 6 t.m 
2 t 450 
 4 t 
 4t 
 3,0 m 3,0 m 1,5 m 
 q = 3 t/m 
 7 t.m 
 3 t 
 6 t.m 
 1,5 m 
 450 
 4 t 
 q = 3 t/m 
 3 t 
 1,5 m 1,5 m 4,0 m 
 3 t.m 6 t.m 4 t.m 8 t.m 
 5,5 m 
 q = 2 t/m 
 4,0 m 
 
 
 
42 
 
Exemplo 6: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes 
para a viga Gerber apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
1 - Decompor a viga Gerber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1x = 3 . cos 300 = 2,60 t F2x = 6 . cos 450 = 4,24 t 
 F1y = 3 . sen 300 = 1,50 t F2y = 6 . sen 450 = 4,24 t 
 
2 - calcular as reações de apoio: 
Viga 1: Para a viga 1 ser estável 
 + Σ Fx = 0 F1X - F2X = -1,64 t (-) para a esquerda surge na extremidade 
 esquerda uma força 
 Fc = 1,64 t para direita 
 + Σ Fy = 0 Vc + Vd = F1Y + R3 + F2Y Vc+ Vd = 12,74 
 
Σ Mc = 0 + Vd . 3,5 + 8,0 - F2Y . 3,5 - R3 . 1,75 = 0 Vd = 5,45 t ; Vc = 7,29 t 
 
Viga 2a: 
 + Σ Fx = 0 Ha + F1x - F2x = 0 Ha + 2,60 - 4,24 = 0 Ha = 1,64 t 
 
 + Σ Fy = 0 Va + Vb = 4,0 + R1 + R2 + Vc’ Va + Vb = 23,29 t 
 
Σ Ma = 0 + -Vc’. 4,0 - R2 . 3,5 + 5,0 + Vb . 3,0 - R1 .1,5 = 0 3,0. Vb = 48,16 
 Vb = 16,05 t ; Va = 7,24 t 
Viga 2b: 
 + Σ Fx = 0 He = 0 
 
 + Σ Fy = 0 - Vd’ + Ve = 0 Ve = 5,45 t 
 
Σ Me = 0 + Vd’ . 2,5 - 8,0 - Me = 0 Me = 5,625 t.m 
d 6 t 
 F2X 
 3 t 
 F1X 
 F2Y 
d 
b 
 8 t.m 
 1 m 
 300 4 t 
 3 t 
 450 
 6 t 
 5 t.m 8 t.m 
 q2 = 2 t/m 
 3,5 m 3,0 m 2,5 m 
 5 t.m 
 3,0 m 
Va Vb 
2a 
 4 t 
 1 
a 
Ha 
c d 
Vc Vd 
 3,5 m 
 2,5 m 
 8 t.m e 
Ve 
He 
Me 
Vc’ Vd’ 
2b 
Fc’
 300 
 F1Y 450 
 1,75 m 
 R3 = 7,0 t 
c 
 q1 = 3 t/m 
 450 
 6 t 
 300 
 3 t 
 1,0 m 
c 
 R1 = 9,0 t 
 R2 = 3,0 t 
Fc 
 
 
 
43 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ha = 1,64 t; Va = 7,24 t; Vb = 16,05 t; 
Vc = 7,29 t; Vd = 5,45 t; 
He = 0 t; Ve = 5,45 t; Me = 5,625 t.m 
 
 
3 - calcular o esforço normal: 
Análise p/esquerda 
Nad = -1,64 t / Nbe = Nbd = -1,64 t / Nce = -1,64 t / Ncd = - F1x - Fc = -2,60 - 1,64 = - 4,24 t 
Nde = - 4,24 t 
Ndd = 0 / Nee = 0 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = - F2x = - 4,24 t 
 
4 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Qad = Va - 4 = 3,24 t / Qbe = 3,24 - R1 = -5,76 t / Qbd = -5,76 + Vb = 10,29 t / Qce = 7,29 t 
Qcd = - F1y + Vc = 5,79 t / Qde = 5,794 - R1 = - 1,21 t / Qdd = Vd’ = - 5,45 t 
Qee = - 5,45 t 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Qde = - Vd + F2Y = - 1,21 t / Qee = - Ve = - 5,45 t 
 
 
5 - calcular o momento fletor: 
Pelo lado mais fácil 
Mad = 0/ Mbe = Va . 3,0 (t. f. i.) - 4 . 3,0 (t. f. s.) - R1 . 1,5(t. f. s.) = - 3,78 t.m (t. f. s.) 
 Mbe = 3,78 t.m (t. f. s.) 
Mbd = 3,78 (t. f. s) + 5,0 t.m (t. f. s.) = 8,78 t.m (t. f. s.) 
Mce = Mcd = 0 / Mde = 8,0 t.m (t. f. i.) 
Mdd = 8,0 t.m (t. f. i.) / Mee = 5,625 t.m (t. f. s.) 
 
Obs: análise p/direita: por exemplo: 
Mbe = Vc’ . 1 (t. f. s.) + R2 . 0,5 (t. f. s.) - 5,0 (t. f. i) = 3,79 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
 
 
Fc= 1,64 t 
 F1x = 2,60 t 
d
b 
 8 t.m 
 5 t.m 
 3,0 m 
Va Vb 
2a 
 4 t 
 1 
a 
Ha 
c d 
Vc Vd 
 3,5 m 
 2,5 m 
 8 t.m e 
Ve 
He 
Me 
Vc’ Vd’ 
2b 
Fc’
 1,75 m 
 R3 = 7,0 t 
 1,0 m 
c 
 R1 = 9,0 t 
 R2 = 3,0 t 
 F1Y = 1,50 t F2Y = 4,24 t 
 F2x = 4,24 t 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
455 Lista de exercícios: Determine os diagramas de esforços solicitantes das vigas 
Gerber a seguir. 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 3,0 m 3,0 m 3,0 m 1,5 m 1,5 m 
 4 t 6 t q = 3 t/m 
 q = 2 t/m 
 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 4,0 m 
 3 t 3 t 
 q = 3 t/m 
 2,5 m 4,0 m 1 m 4,0 m 1,5 m 
 q = 2 t/m 60
0 
 5 t.m 
6 t 
 450 
 4t 
 q = 2 t/m 
 7 t.m 
 3 t 
 8 t.m 
 3 t 
 q = 2 t/m 
 4,0 m 3,0 m 2,0 m 3,0 m 
 q = 3 t/m 
 2 t.m 
 5 t 
 4 t.m 
 450 
 5 t 
 600 
 3 t.m 300 
 3 t 
 450 
 5 t 
 1 m 
 5 t.m 
 300 
 6 t 
 q = 1 t/m 
 2 t 3 t q = 2 t/m 
 q = 1 t/m 
 q = 3 t/m 
 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 4,0 m 
 3 t 
 600 
 2 t.m 300 
 4 t 
 2,5 m 1 m 
 450 
 3 t 
 3,0 m 
 q2 = 2 t/m 
 4 t.m 
 q1= 3 t/m 
 3,5 m 
 600 3 t 
 300 
 6 t 
 4,5 t 
 450 
 4,5 t 
 
 
 
46 
 
- Viga Inclinada: 
A viga Inclinada está presente em muitas estruturas usuais, entre estas, estão as 
escadas, as rampas, lajes inclinadas, entre outras. 
 
 
 
 
 
 
 
Escada Rampa 
 
Os casos possíveis de viga Inclinada são os mesmos das vigas horizontais simples, ou 
seja, viga biapoiada, viga biapoiada com balanço e viga engastada e livre 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento para determinar as reações de apoio, os esforços solicitantes 
(esforço Normal, esforço Cortante e Momento Fletor) é o mesmo das vigas horizontais. 
Vale lembrar que os diagramas dos esforços solicitantes 
são construídos marcando-se o valor do esforço em cada seção de 
forma perpendicular ao eixo viga. Assim, os diagramas dos esforços 
solicitantes para as vigas inclinadas assumem o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
 
Para determinar o valor do esforço Normal e do esforço cortante para uma dada 
seção s qualquer de uma viga inclinada utiliza-se o seguinte procedimento: 
 
Esforço Normal na seção s: ΣF . cos αi 
Σ (componentes normais das forças) 
NS = F1 . cos α1 + F2 . cos α2 + .... + Fn . cos αn 
 
 
 
 
Esforço Cortante na seção s: ΣF . sen αi 
Σ (componentes perpendiculares das forças) 
QS = F1 . sen α1 + F2 . sen α2 + .... + Fn . sen αn 
 
 
 
 
αn 
α2 
α 
α 
 b 
a 
 b 
a 
 b 
a 
 c 
α α 
α PARA CADA SEÇÃO DA VIGA OS 
ESFORÇOS SÃO MARCADOS DE 
FORMA PERPENDICULAR AO EIXO DA 
VIGA 
α1 
F1 
F2 
Fn 
S 
 
 
 
47 
 
Exemplo7: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga inclinada apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 Ha + 4 = 0 Ha = - 4,0 t Ha = 4,0 t 
 O sinal - de indica que Ha é para esquerda. 
 
 + Σ Fy = 0 Va + Vb= R Va + Vb = 8,0 t 
 
Σ Ma = 0 + - 3,0 - 4,0 . 4,5 + Vb .4,0 - R . 2,0 = 0 4,0 . Vb = 37 
 
Vb = 9,25 t ; Va = -1,25 t Va = 1,25 t 
 sinal - de indica que Va é para baixo. 
 
 
 
 
α1 
 4 t 3 t.m q = 2 t/m 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
 4 t 
 3 t.m 
 R = 2 . 4 = 8 t 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
a 
b 
c 
α = tan-1 (3/4) 
α = 36,870 
α1 = 900 - 36,870 = 53,130 2,0 m α1 
α 
α 
 Va 
 Ha 
 Vb 
α1 
α 
 Va 
 Ha 
 
 
 
48 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ha = 4,0 t ; Vb = 9,25 t ; Va = 1,25 t 
 
2 - calcular o esforço normal: ΣF . cos αi 
Análise p/esquerda 
Nad = Ha . cos α + Va . cos α1 = 3,20 + 0,75 = 3,95 t 
Nbe = 3,95 + R . cos α1 = 3,95 + 4,80 = 8,75 t 
Nbd = 8,75 - Vb . cos α1 = 8,75 - 5,55 = 3,20 t / Nce = 3,20 t 
 
Verificação: p/direita 
Nce = 4,0 . cos α = 3,20 t 
 
3 - calcular o esforço cortante: ΣF . sen αi 
Análise p/esquerda 
Qad = Ha . sen α - Va . sen α1 = 2,40 - 1,0 = 1,40 t 
Qbe = 1,40 - R . sen α1 = 1,40 - 6,40 = - 5,0 t 
Qbd = - 5,0 + Vb . sen α1 = - 5,0 + 7,40 = 2,40 t / Qce = 2,40 t 
 
Verificação: p/direita 
Qce = 4,0 . sen α = 2,40 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = 0 
Mbe = Mbd = (Va . 4,0 + R . 2,0) t. f. s. - (Ha . 3,0) t. f. i. = 21 - 12 = 9,0 t.m (t. f. s.) 
Mce = 3,0 t.m (t. f. s.) 
 
Verificação: p/direita 
Mbe = Mbd = (3,0 + 4,0 . 1,5) t. f. s. = 6+3 = 9,0 t.m (t. f. s.) 
 
 
 
 
α1 
 4 t 3 t.m 
 R = 2 . 4 = 8 t 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
a 
b 
c 
α = tan-1 (3/4) 
α = 36,870 
α1 = 900 - 36,870 = 53,130 2,0 m α1 
α1 
α 
 Va 
 Ha 
 Vb 
α1 
α 
α 
 Ha 
α1 
 Va 
b 
a 
 Vb 
α1 
α1 
 R = 8 t 
α c 
 4 t 
 
 
 
49 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Exemplo8: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga inclinada apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 Ha + 4,5 - 2,0 = 0 Ha = - 2,5 t Ha = 2,5 tO sinal - de indica que Ha é para esquerda. 
 
+ Σ Fy = 0 Va = 3,0 t 
 
ΣMa = 0 + - 3,0 . 5,0 + 2,0 . 2,5 - R . 1,75 + 6,0 - Ma = 0 
 
Ma = - 11,875 t.m Ma = 11,875 t 
 sinal - de indica que Ma é no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
α 
α 
c 
 Ha α 
 2 t 
α1 
 6 t.m 
 q = 3 t/m 
2,0 m 3,0 m 
α 
1,0 m 
1,5 m 
a 
R = 3 . 1,5 = 4,5 t 
α = tan-1 (2,5/5,0) 
α = 26,570 
α1 = 900 - 26,570 = 63,430 
α 
 Va 
α1 
 3 t 
 2 t 
 6 t.m 
2,0 m 3,0 m 
1,0 m 
1,5 m 
 3 t 
0,75 m 
 Ma 
b 
 Ha 
 
 
 
51 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ha = 2,5 t ; Va = 3,0 t ; Ma = 11,875 t 
 
2 - calcular o esforço normal: ΣF . cos αi 
Análise p/esquerda 
Nad = Ha . cos α - Va . cos α1 = 2,24 - 1,34 = 0,90 t 
Nbe = Nbd = 0,90 t 
Nce = 0,90 - R . cos α = 0,90 - 4,025 = - 3,13 t 
 
Verificação: p/direita 
Nce = - 2,0 . cos α - 3,0 . cos α1 = - 1,79 - 1,34 = - 3,13 t 
 
3 - calcular o esforço cortante: ΣF . sen αi 
Análise p/esquerda 
Qad = Ha . sen α + Va . sen α1 = 1,12 + 2,68 = 3,80 t 
Qbe = Qbd = 3,80 t 
Qce = 3,80 - R . sen α = 3,80 - 2,013 = 1,79 t 
 
Verificação: p/direita 
Qce = 3,0 . sen α1 - 2,0 . sen α = 2,68 - 0,89 = 1,79 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = 11,875 t.m (t. f. s.) 
Mbe = (11,875) t. f. s - (Ha . 1,0 + Va . 2,0) t. f. i. = 3,375 t.m (t. f. s.) 
Mbd = (3,375) t. f. s + (6) t. f. s = 9,375 t.m (t. f. s.) 
Mce = 0 
 
Verificação: p/direita 
Mbd = (3,0 . 3,0 + R . 0,75) t. f. s. - (2,0 . 1,5) t. f. i. = 12,375 - 3,0 = 9,375 t.m (t. f. s.) 
Mbe = (9,375) t. f. s. - (6,0) t. f. i = 3,375 t.m (t. f. s.) 
 
 
α 
α 
c 
 Ha 
α 
α1 
a 
R = 3 . 1,5 = 4,5 t 
α = tan-1 (2,5/5,0) 
α = 26,570 
α1 = 900 - 26,570 = 63,430 
α 
 Va 
α1 
 2 t 
 6 t.m 
2,0 m 3,0 m 
1,0 m 
1,5 m 
 3 t 
0,75 m 
 Ma 
b 
a 
α1 
α 
 Ha 
 Va 
α 
b 2 t 
α1 
 3 t 
α 
R = 4,5 t 
 
 
 
52 
 
 
 
 
53 
 
Exemplo9: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
a viga inclinada apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 + Σ Fx = 0 Ha - R. cos α1 + 3 + 4 . cos α = 0 
 Ha = 15 . cos α1 - 3 - 4 . cos α Ha = 2,8 t 
 
 + Σ Fy = 0 Va + Vb + R . sen α1 + 4 . sen α = 0 Va + Vb = - 14,40 t 
 
Σ Ma = 0 + - 3,0 - 3,0 . 3,0 + Vb . 4,0 + R . 2,5 = 0 4,0 . Vb = - 25,5 
 
Vb = -6,375 t Vb = 6,38 t 
 
***ponto crucial dos erros: 
 corrigir Σ Fy: 
Va - Vb = - 14,40 t 
Va = -8,02 t Va = 8,02 t 
 
 
α1 
α 
 4 t 
 3 t.m q = 3 t/m 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
 3 t 
 4 t 
 3 t.m 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
 3 t 
a 
b 
c 
 Va 
 Ha 
 Vb 
α = tan-1 (4,5/6) 
α = 36,870 
α1 = 900 - 36,870 = 53,130 
 R = 3 . 5 = 15 t 
α1 
α 
α 
α 
α 
α1 
 5 
 4 
 3 
- A carga de 4,0 t não entre no somatório de 
momentos, visto que a força não possui braço 
de alavanca em relação ao ponto a; 
a 
 4 t 
Não existe braço de a 
Alavanca em relação ao 
ponto a; 
 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ha = 2,8 t ; Va = 8,02 t ; Vb = 6,38 t 
 
2 - calcular o esforço normal: ΣF . cos αi 
Análise p/esquerda 
Nad = - Ha . cos α + Va . cos α1 = -2,24 + 4,81 = 2,57 t 
Nbe = 2,57 t 
Nbd = 2,57 - 3. cos α + Vb . cos α1 = 3,998 = 4,0 t 
Nce = 4,0 t 
 
Verificação: p/direita 
Nce = 4,0 t // Nbd = 4,0 t 
 
3 - calcular o esforço cortante: ΣF . sen αi 
Análise p/esquerda 
Qad = - Ha . sen α - Va . sen α1 = -1,68 - 6,42 = - 8,10 t 
Qbe = -8,10 + R = 6,90 t 
Qbd = 6,90 - 3,0. sen α - Vb . sen α1 = 0 t 
Qce = 0 t 
Verificação: p/direita 
Qce = 0 t // Qbd = 0 t 
 
4 - calcular o momento fletor: 
Análise p/esquerda 
Mad = 0 
Mbe = Mbd = (Va . 4,0 + Ha . 3,0) t. f. s. - (R . 2,5) t. f. i. = 
Mbe = Mbd = 40,48 (t. f. s.) - 37,5 (t. f. i) = 2,98 t.m (t. f. s.) 
Mce = 3,0 t.m (t. f. s.) 
 
Verificação: 
 pela esquerda: Mbe = Mbd = 2,98 t.m (t. f. s.) 
 pela direita: Mbe = Mbd = 3,0 t.m (t. f. s.) 
 Pequena diferença devido aos arredondamentos; 
α1 
α 
 4 t 
 3 t.m 
4,0 m 2,0 m 
α 
3,0 m 
1,5 m 
 3 t 
a 
b 
c 
 Va 
 Ha 
 Vb 
α = tan-1 (4,5/6) 
α = 36,870 
α1 = 900 - 36,870 = 53,130 
 R = 3 . 5 = 15 t 
α1 
α 
α 
α 
α 
α1 
 5 
 4 
 3 
- R = 15 t é perpendicular a viga, 
não é capaz de gerar esforço normal 
na viga 
- 4 t é paralela a viga, não é capaz 
de gerar esforço cortante na viga 
 
 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
6 Lista de exercícios: Determine os diagramas dos esforços solicitantes (DN; DQ; DM) 
das vigas inclinadas apresentadas a seguir: 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 1,0 m 
 3,5 t.m 
 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
 3 t 
 100 
 4 t 
 q = 2 t/m q = 4 t/m 
 2 t.m 
 q = 3 t/m 
 2 t 
 3,0 m 2,0 m 
 4 t 
 5 t.m 
 250 
 6 t 
 q = 2 t/m 
 1 t 
 3,0 m 3,0 m 
 q = 4 t/m 
 4 t.m 
 2,0 m 
 200