Mat. Financeira - Univeritas

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FUNDAÇÃO OSWALDO ARANHA
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA
PROGRAMAS DE ESPECIALIZAÇÃO
PÓS-GRADUAÇÃO EM GESTÃO FINANCEIRA, CONTROLADORIA, AUDITORIA E TRIBUTOS
	
MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A FINANÇAS
Prof. Hermenegildo de Souza Neto
hsouzaneto@hotmail.com
Julho/2018
Índice
1 -INTRODUÇÃO	3
1.1 – O Excel	3
1.2 A Calculadora HP12C.	3
1.3 Principais Operações do Excel	4
1.4 Operações com HP12C	5
1.5 Raiz Quadrada	5
1.6 Raiz Enésima	5
1.7 Potenciação	5
1.8 Porcentagem	5
1.9 Variação Percentual	6
1.10 Operações com datas.	6
1.11 Algumas Funções Estatísticas	7
2. JUROS SIMPLES	8
2.1 Principais Nomenclaturas	8
2.2 Adaptação a outras nomenclaturas:	8
2.3 Fórmulas Básicas	8
2.4 Representação gráfica	9
2.5 Juros Simples na HP12C	9
2.6 Juros Simples no Excel:	9
3. Juros Compostos	10
3.1 Formulário:	10
3.2 Calculando o Valor Presente:	11
3.3 Calculando a Taxa:	11
3.4 Calculando o Período	12
4. Conversão de Taxas de Juros:	13
4.1 Juros Simples:	13
4.2 Juros Compostos:	13
5. Capitalização	14
6. Descontos	14
6.1 Descontos Simples	15
6.2 Descontos Compostos	15
7. Séries Uniformes de Pagamentos	17
7.1 Anuidades Postecipadas	17
7.2. Anuidades Antecipadas	18
7.3. Séries Diferidas	19
8. Séries Variáveis	20
9. Introdução à amortização	21
10. Indicadores de Viabilidade	24
10.1 Payback (PB)	24
10.2 Payback Descontado (PBD)	25
10.3 Valor Presente Líquido (VPL)	26
10.4 Taxa Interna de Retorno (TIR)	27
BIBLIOGRAFIA	28
 
1 -INTRODUÇÃO 
Neste capítulo inicial faremos uma breve abordagem das características e operações do Excel e da calculadora HP12C.
1.1 – O Excel
O MSExcel é um Software composto de planilhas visando, principalmente, à execução de cálculos. Cada planilha é dividida em linhas (de 1 a 1.048.576) e colunas de (A a XFD). A junção de uma linha com uma coluna é chamada de célula, assim, a célula A10 é representativa da Coluna A com a Linha 10. 
As fórmulas são digitadas na Barra de Fórmulas. Quando a planilha estiver apontada para a célula B5, por exemplo, o posicionamento aparecerá na Caixa de Nome e o seu conteúdo na Barra de Fórmulas, sendo o resultado mostrado na própria célula.
Caixa de Nome
Coluna B
Linha 5
Célula B5
Barra de Fórmulas
Figura 1.
1.2 A Calculadora HP12C.
Ligando e desligando a Calculadora:
Indicação de bateria fraca: *
Importante: remover as baterias somente com a calculadora desligada. Realizando a operação com a calculadora ligada, pode haver perda de memória inutilizando a calculadora.
Cada tecla pode efetuar duas ou três funções simultâneas, dependendo da cor da função. Exemplo: A tecla n:
Para acionar esta Função, pressione a tecla f e depois N
Para acionar esta Função, pressione a tecla g e depois N
Separadores de dígito: a HP trabalha com o padrão americano. 
Exemplo: Mil Dólares = USD 1,000.00.
Alterando o padrão : Desligue a calculadora. Mantenha pressionado e ligue novamente. Resultado: Mil Dólares = USD 1.000,00..
Números Negativos: Para fazer uma operação com números negativos, digite o número e depois a tecla (CHS = CHange Sign = Trocar Sinal).
Números grandes: Precisamos fazer um cálculo com o PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro. Supomos que seja de um trilhão, quatrocentos e noventa e cinco bilhões e quinhentos e cinqüenta milhões, assim representados: R$1.495.455.000.000,00, ou 1495455000000. O visor só comporta 10 dígitos e temos treze. Se deslocarmos a casa decimal 12 vezes, teremos: 1,495455 x 1012. Para o exponencial utilizamos a tecla 
Assim, faremos: 1,495455 12
Tecla CLEAR (Limpar): 
 
Limpa o visor
Limpa os registradores estatísticos
Limpa a memória de programação
Limpa a memória financeira
Limpa os registradores
Casas decimais: pressione e quantidade de casas que deseja. 
1.3 Principais Operações do Excel
Excel:
	Operador
	Operação
	Exemplo
	Fórmula
	+
	Adição
	Para somar os dois valores digitados nas células A1 e A2 de uma planilha
	= A1 + A2
	-
	Subtração
	Para subtrair da célula A2 um valor digitado em A3
	= A2 – A3
	*
	Multiplicação
	Para multiplicar os valores das células D4 e D6 
	= D4 * D6
	/
	Divisão
	Para dividir o valor da célula A2 pelo valor de A3
	= A2 / A3
	^
	Potenciação
	Para elevar o valor da célula A2 ao expoente da célula A3
	= A2 ^ A3
Operação entre Planilhas
Somar o valor de A1, na Plan1 com A2 na Plan2: =Plan1!A1+Plan2!A2
Operação entre Arquivos
Buscar os dados da Célula B16, na Planilha Maio do Arquivo ENEM2004:
=[arquivo.XLS]Maio!B16
1.4 Operações com HP12C
As operações são feitas da seguinte forma:
Exemplo 1: 52 x 5 = 260
1. Introduza o primeiro número (52)
2. Pressione (resultado: 52,00)ENTER
3. Introduza o segundo número (5)
4. Pressione o operador ( X )
5. Resultado: 260,00
Exemplo 2: (52 x 5) + (30 x 3) = 350
1. Introduza o primeiro número da primeira operação (52)
2. Pressione (resultado: 52,00)ENTER
3. Introduza o segundo número da primeira operação (5)
4. Pressione o operador ( X ) 
5. Introduza o primeiro número da segunda operação (30)
6. Pressione (resultado: 30,00)ENTER
7. Introduza o segundo número da segunda operação (3)
8. Pressione o operador ( X )
9. Pressione o operador ( + ) 
1.5 Raiz Quadrada
Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 25, deseja-se em A2 = = Raiz(A1)
HP12C: 25
ENTER
g
 √
1.6 Raiz Enésima
Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 25, deseja-se em A2 = 
= (A1)^(1/3), lembrando que 
HP12C: y x
1 / x
27
ENTER
3
1.7 Potenciação
Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 7, deseja-se em A2 = 73 = (A1)^(3) 
HP12C:y x
7
ENTER
3
1.8 Porcentagem
A ENEM S/A teve uma Receita Bruta de R$5.000,00, com Impostos sobre vendas de 20% e Gastos de R$1.800,00:
Excel:
Alíquota
Fórmula
Resultado
É importante notarmos que qualquer alteração na alíquota basta alterar D4 e a planilha é recalculada.
HP12C: Cálculo da Alíquota:%
5000
ENTER
20
Cálculo da Receita Líquida:-
20
%
5000
ENTER
1.9 Variação PercentualFórmula
O lucro da Empresa em 2003 foi de R$1.800,00. Assim, a variação percentual:
HP12C: ∆%
2200
1800
ENTER
1.10 Operações com datas.
Nas operações financeiras, normalmente deseja-se saber a variação entre uma data e outra, ou seja, quantos dias há entre as duas datas. Deseja-se saber quantos dias existem entre um empréstimo efetuado em 22/02/2004, pago em 28/10/2004.
HP12C
 1. Habilitar a função D.MY: (aparece D.MY no visor).g
4
 2. Lançar a Data digitando Dia Vírgula Mês e Ano
 3. Para desabilitar a função D.MY: g
5
 4. Assim, para a Data digita-se Mês Vírgula Dia e Ano
HP12C: g
∆DYS
28,102004
ENTER
22,022004
Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 22/02/2004 e A2 =28/10/2004, o resultado em A3 será = A2-A1, ou 249. 
O Excel conta também os dias úteis, da seguinte forma:
Habilite as ferramentas de análise em: FERRAMENTAS / SUPLEMENTOS / FERRAMENTAS DE ANÁLISE.
Sintaxe:DIATRABALHOTOTAL(data_inicial;data_final;feriados)
O(s) feriado(s) deve(m) estar em uma célula ou faixa de células.
Exemplo: um município com dois feriados em Junho de 2004:
Outro exemplo é uma aplicação vencível em 60 dias úteis, contratada 01/09/2004:
A1 = 01/09/2004 A2 = 60 A3 = 07/09/2004 (1º Feriado) 
A4 = 12/12/2004 (2º Feriado) A5 = 02/11/2004 (3º Feriado) 
A6 = DIATRABALHO(A1;A2;A3:A5) (formatar para data).
1.11 Algumas Funções Estatísticas
HP12C:
Somatório e Produtório:
Primeiramente, deve-se limpar a memória de soma da calculadora com: 
 ou f
SST
∑
f
A cada dado, ou par de dados lançados, a HP12C acumula-os da seguinte forma:
R1	 n 	 Número de dados lançados (também aparece no Display).
R2 	 ∑x 	 Somatório dos valores de x.
R3 	 ∑x2 	 Quadrado da Soma dos valores de x.
R4 	 ∑y 	 Somatório dos valores de y.
R5 	 ∑y2 	 Quadrado da Soma valores de y.
R6 	 ∑xy 	 Somatório do produto de xy.
Lembrando que: cada registrador equivale a uma operaçãoSTO / RCL. Exemplo:
25 STO 3 Valor 25 armazenado no Registrador 3 (STORAGE).
RCL 3 Traz de volta o valor do registrador 3 (RECALL).
Exemplo 3: Em uma conta corrente ocorreram os seguintes eventos:f
∑+
15,23
∑
Saldo Inicial: R$15,23	∑+
1000
Depósito de R$1.000,00∑+
589
Depósito de R$589,00879,52
Cheque compensado de R$879,52∑+
CHS
Pagamento de Tarifa de R$12,00800
∑+
CHS
12
Retirada de R$ 800,00CHS
∑+
Saldo: -R$87,292
RCL
Exemplo 4: Uma carteira de ações de R$5.000,00 obteve os seguintes retornos:
	Empresa
	Valor
	Taxa
	A
	 R$ 500,00 
	5%
	B
	 R$ 800,00 
	7%
	C
	 R$ 1.500,00 
	-6%
	D
	 R$ 1.300,00 
	-4%
	E
	 R$ 900,00 
	10%
	Total
	 R$ 5.000,00 
	
∑
f
∑+
0,05
ENTER
500
0,07
∑+
800
ENTER
∑+
1500
ENTER
CHS
0,06
∑+
1300
ENTER
CHS
0,04
ENTER
0,1
∑+
900
Resultados do Portfólio:
Retorno Médio : = 0,024 = 2,4%g
0
Investimento Médio : = R$1.000,00x y
g
0
Desvio Padrão dos Retornos (Risco) = 7,02% s
g
Retorno do Investimento (Produtório): = R$ 29,00RCL
6
No Excel: 
=DESVPAD(D2:D6)
=MÉDIA(D2:D6)
=MÉDIA(B2:B6)
=SOMA(D2:D6)
=B2*C2
=SOMA(B2:B6)
Exercício de fixação (resolver no Excel e na HP12C):
1) Calcule o retorno médio e o risco de um investimento que apresentou o seguinte perfil:
	Ano
	Cambial
	Mercado acionário
	1999
	4%
	20%
	2000
	-5%
	-15%
	2001
	8%
	16%
	2002
	3%
	5%
	2003
	10%
	30%
Compare os Retornos com os respectivos Riscos
2. JUROS SIMPLES
O Juro Simples se caracteriza pela retirada dos Juros (pago ou recebido), sendo a base do entendimento da Matemática Financeira, uma vez que as outras fórmulas derivam do Juro Simples.
2.1 Principais Nomenclaturas
P = Principal ou Valor Presente (valor atual ou original da operação).
j = Juro (valor pago ou recebido).
n = Período da operação.
i = Taxa da operação expressa em porcentagem, podendo ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.) ou a qualquer outro período.
S = Montante (resultado da Operação).
2.2 Adaptação a outras nomenclaturas:
P = C = Vp = Pv
S = M = Vf = Fv
2.3 Fórmulas Básicas
		
Substituindo-se na segunda a primeira, tem-se:
Exemplo 5: Um investimento de R$4.000,00 foi feito por um ano a uma taxa simples de 2%a.m.
 e , ou:
2.4 Representação gráfica
$4.000,00 + $80,00
11 x $80,00
-$4.000,00
2.5 Juros Simples na HP12C
A HP12C calcula Juros Simples com ano comercial (360 dias) ou normal (365 dias). Mas, em qualquer situação, é importante obedecer às seguintes regras:
Observações:
a) a taxa deve estar ao ano;
b) o período deve estar em dias.
Exemplo 6: Um investidor aplica R$1.000,00 por 2 meses a uma taxa simples de 16%a.m.
n
60
i
16
CHS
PV
1000
f
Resultado dos Juros para ano comercial: int
Montante a resgatar para ano comercial:+
f
int
Montante a resgatar com base 365 dias:
x y
R
+
int
f
1000
CHS
PV
Observação: Quando se digita, troca-se o sinal para obedecer ao fluxo de caixa de investimento, pois, na visão do investidor, primeiro o dinheiro sai do bolso (negativo). 
2.6 Juros Simples no Excel:
Exercícios de Juros Simples
1) Qual o juro aplicado a um investimento de $5.600,00 a uma taxa de 4,8%a.m. durante um ano?
2) Qual o montante a resgatar na questão anterior?
3) Qual o período que $25.000 deve ficar aplicado para se transformar em $30.000 a uma taxa de 83%a.a.? (resposta em dias).
4) Qual a taxa necessária para transformar $40.000 em $50.000 durante 5 meses?
5) Qual o montante de uma aplicação de R$1.300 por 75 dias a uma taxa de 11%a.a.?
3. Juros Compostos
Denomina-se composição de juros a reaplicação da parcela de juros.
Exemplo 6: Uma aplicação de R$1.000,00 a juros compostos a uma taxa de 10%a.m., durante 3 meses.
1º Mês:				2º Mês:				3ºMês
R$1.210
R$121
R$1.210
R$1.100
R$110
R$1.100
R$1.000
R$100
R$1.000
Resultado:
R$1.331
R$1.000
3.1 Formulário:
Como a composição do Juro se dá pelo reinvestimento, temos pela fórmula de Juros Simples, para n = 1
Para n=2 (lembrar que o Principal no 2º mês é o montante do 1º mês):
Para n=3 (lembrar que o Principal no 3º mês é o montante do 2º mês):
Desta forma, no enésimo mês:
, que é a fórmula geral dos Juros Compostos.
Resolvendo o Exemplo 6, tem-se:
No Excel:
Sintaxe: VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo)
Taxa: é a taxa de juros por período.
nper: é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade.
pgto: é o pagamento feito a cada período; não pode mudar durante a vigência da anuidade. Geralmente, pgto contém o capital e os juros e nenhuma outra tarifa ou taxas. Se pgto for omitido, você deverá incluir o argumento vp, assim, para o cálculo de juros compostos, sem pagamentos intermediários.
vp: é o valor presente ou a soma total correspondente ao valor presente de uma série de pagamentos futuros.
tipo: o número 0 ou 1 indica as datas de vencimento dos pagamentos, podendo ser início do período (0), ou final do período (1). Só é relevante para cálculo de séries de pagamento.
Na HP12C:
1000
CHS
3
n
10
i
FV
PV
3.2 Calculando o Valor Presente:
Exemplo 7: Quanto deve ser aplicado hoje, para obter R$5.000,00 em 2 anos a uma taxa de 0,65%a.m.
Observar que n = 24, para igualar o período da Taxa ao próprio Período.
Cálculo do Valor Presente no Excel:
Sintaxe: VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo)
Observar que nper é multiplicado por 12 para igualar à taxa.
Cálculo do Valor Presente na HP12C:
i
n
0,65
FV
5000
CHS
PV
24
3.3 Calculando a Taxa:
Lembramos que :
Exemplo 8:Um empréstimo de R$5.600,00 foi pago 6 meses depois com R$8.000,00.
Cálculo do Valor Presente no Excel:
Sintaxe: TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa)
A TAXA é calculada por iteração e pode ter zero ou mais soluções. Se os resultados sucessivos de TAXA não convergirem para 0,0000001 depois de 20 iterações, TAXA retornará o valor de erro #NÚM!.
No Excel a Estimativa é utilizada para acelerar o cálculo, uma vez que o cálculo é feito por tentativas sucessivas.
Na HP12C:
6
i
FV
CHS
8000
PV
5600
n
Pode ser resolvido também de forma científica (para outras calculadoras):
6
÷
5600
8000
Enter
1
yx
1/x
x
100
-
3.4 Calculando o Período
Lembrando que:
Exemplo 9: Deseja-se obter R$10.000,00 ao final de uma aplicação de R$9.000,00, a uma taxa de 2%a.a. Qual o período de aplicação?
O cálculo com Log Natural também leva ao mesmo resultado:
Se repetirmos o cálculo, com qualquer Base, iguais na divisão, positiva e maior que 1 (um), o resultado continuará sendo o mesmo.
Cálculo do Período no Excel:
Sintaxe: NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo)
Lembrando que se arredondarmos para 5 meses, não alcançaremos R$10.000,00 e sim R$9.936,72, por isso a HP12C mostrará o resultado com 6. Para efeito de cálculos, teríamos na verdade 5 meses e 10 dias.
Na HP12C:
FV
9000
i
10000
PV
CHS
2
n
Pode ser resolvido também de forma científica (para outras calculadoras):
Ln
g
÷
9000
10000
Enter
÷
0,02
Enter
1
Ln
g
÷
Exercícios de juros compostos:
1 – DETERMINE O MONTANTE DE UMA APLICAÇÃO DE R$ 3.500,00 A UMA TAXA DE 2% a .m. POR UM PERÍODO DE 2 ANOS.
2 - DETERMINE O VALOR QUE DEVE SER APLICADO HOJE, PARA OBTER R$ 5.000,00, DAQUI A 5 MESES A UMA TAXA DE 0,5% a .d. 
3 – DETERMINE QUANTO UMA PESSOA IRÁ PAGAR TOMANDO UM EMPRÉSTIMO HOJE PARA PAGAR DAQUI A 90 DIAS A UMA TAXA DE 12% a . m.. obs: O EMPRÉSTIMO FOI DE R$ 3.000,00.
4 – DETERMINE QUANTO TEMPO UM INVESTIMENTO DE R$ 5.000,00 SE TRANSFORMA EM R$ 6.655,00 A UMA TAXA DE 10% a . m.
5 – DETERMINE O PERÍODO NECESSÁRIO PARA QUE R$ 14.000,00 SE TRANSFORME EM R$ 17.484,08 A UMA TAXA DE 2,5% a . m.
6 – DETERMINE O TEMPO NECESSÁRIO PARA TRIPLICAR UM CAPITAL A UMA TAXA DE 12% a . m.
4. Conversão de Taxas de Juros:
4.1 Juros Simples:
A conversão de Juros Simples é linear, assim, pode ser resolvida, entre outras maneiras por regra de três, da seguinte forma:
Exemplo 11: Sendo uma taxa de 36%a.a., determine a taxa equivalente a:
a) 3 meses: 		36% 12 meses
			 x3 meses 12x = 36%. 3 x =9% a.t.
b) 1 dia: 		36% 360 dias
			 x 1 dia 360x = 36% x =0,1% a.d.
c) 257 dias: x = 0,1%a.d. .257 = 25,7%a.257d.
4.2 Juros Compostos:
A conversão de Juros Compostos é exponencial, assim, obedecendo à seguinte regra, por exemplo:
De modo geral, teremos a conversão menor elevada a quantidade de períodos da conversão maior. Resolvendo o Exemplo 11 para juros compostos: sendo uma taxa de 36%a.a., determine a taxa equivalente a:
a) 3 meses: 		
b) 1 dia: 		
c) 257 dias: 
Resolução da Conversão Composta na HP12C:
Sendo: 36%a.a. = 24,55% a.257d.
Enter
1
÷
100
Enter
36
÷
100
-
1
yx
÷
360
257
Enter
Resolução no Excel:
5. Capitalização
O processo de capitalização consiste em, a partir de uma determinada taxa, capitalizar os períodos de rendimento. Um exemplo típico de taxa capitalizada é a poupança com aniversário.
Por exemplo: uma poupança com aniversários todo dia 10, se receber um depósito no dia 15 de junho, este depósito só contará a partir de 10 de julho, com o rendimento sobre o mesmo sendo creditado dia 10 de agosto. Da mesma forma, se um resgate for efetuado no dia 1/set, o rendimento entre 10/ago e a data do resgate será perdido, conforme o fluxo abaixo:
Juros não
computados.
Resgate: 1/set
10/ago
10/set
10/jul
10/jun
Juros Creditados
Depósito 15/jun
Cômputo do depósito para efeito de juros
Exemplo 12: Um investimento de R$5.000,00 foi contratado por dois anos a uma taxa de 24%a.a. com capitalização mensal. Qual o valor de resgate?
1º passo: Trazer a taxa para o período de capitalização, utilizando Juros Simples.
2º passo: Levar a taxa para o período capitalizado, utilizando Juros Compostos.
3º passo: Aplicar a taxa ao valor capitalizado:
6. Descontos
Descontos são operações financeiras de antecipação de pagamento, onde o valor nominal sofre uma redução do seu pagamento. A categoria descontos dividi-se em:
		Racional
Simples
		Comercial
		Racional
Composto
		Comercial
Os Descontos Comerciais são conhecidos como por fora, ao passo que os Descontos Racionais são conhecidos como por dentro.
6.1 Descontos Simples
6.1.1 Desconto Racional Simples: consiste em calcular o Valor do Título através da fórmula padrão de Juros Simples:
, onde: V = Valor atual do título e N = Valor Nominal (ou de face) do título.
Exemplo 13: Deseja-se descontar um título no valor de face de R$1.300,00, vencível em 10/12/2004, em 15/08/2004. A taxa praticada é de 16%a.a. 
Taxa ao dia: 
Cálculo do n: = 117 dias∆DYS
10,122004
ENTER
15,082004
g
 
Assim, o valor do Desconto será:
D = V – N = R$1.300,00 – R$1.235,74 = R$64,25
6.1.2 Desconto Comercial Simples
É o desconto bancário simples, onde a taxa linear de desconto é chamada de d.
Assim, conforme o exemplo anterior, o desconto comercial simples será:
 D = V – N = R$1.300,00 – R$1.232,40 = R$67,60
6.1.3 Formulário do Desconto Simples
Racional		Comercial
6.2 Descontos Compostos
Caracterizam-se por utilizar a base de Juros Compostos no seu cálculo.
6.2.1. Desconto Racional Composto
Exemplo 14: Uma empresa possui um Título que o seu valor de face é R$4.500,00, vencível em 75 dias. Ela consegue descontá-lo a uma taxa de 8%a.m. O valor recebido será:
Desta forma, o desconto será de:
D = V – N = R$4.500,00 – R$3.712,39 = R$787,61
6.2.2 Desconto Comercial Composto
É o mais utilizado por obter um desconto maior, sendo assim representado:
Utilizando o Exemplo 14, teremos:
Desta forma, o desconto será de:
D = V – N = R$4.500,00 – R$3.545,29 = R$954,71
6.2.3. Formulário do Desconto Composto
	Racional				Comercial
1) 
Determine a taxa equivalente em juros simples a 15%a.a. para:
a) 2 meses
b) 75 dias
c) 2 trimestres
d) 17 meses
2) Determine a taxa equivalente em juros compostos a 16,25%a.a. para:
a) 2 meses
b) 75 dias
c) 2 trimestres
d) 17 meses
3) Uma aplicação de $3.000,00 foi feita por 20 meses a uma taxa de 24%a.a. Determine o valor do resgate, sendo a capitalização:
a) Mensal
b) Diária
c) Semestral
4) Um título de $5.000 para vencimento daqui a 3 meses foi oferecido pagando $4.500,00 pelo mesmo, a juros compostos simples racional. Determine a taxa praticada.
5) Um título de $8.000,00 para vencimento a 300 dias foi descontado com uma taxa de desconto comercial simples de 0,003% a.d. Pergunta-se:
Qual o valor do desconto? ___________________________
Qual o valor pago? _________________________________
Qual a taxa efetiva praticada? ________________________
6) Determine a taxa de um desconto racional composto de um título de $6.000,00 que teve um desconto de $300,00 por 3 meses.
7. Séries Uniformes de Pagamentos
As séries uniformes são caracterizadas por pagamentos regulares, a uma mesma taxa de juros durante todo o período.
Exemplo 15: Um equipamento de R$1.500,00 é vendido em três prestações mensais e fixas, a uma taxa de 2,5%a.m. Deseja-se saber o valor das prestações.
7.1 Anuidades Postecipadas
A anuidade é o fator que compõe o pagamento, sendo assim representada:3
2,5%
a
n
i%
a
 
Onde, no exemplo 15, seria:
7.1.1 Cálculo da Anuidade Postecipada:
 (
n
i%
a
)
Substituindo:
Utilizando a HP12C
PMT
3
N
i
2,5
PV
1500
Cálculo da Anuidade no Excel:
Sintaxe: PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo)
O Tipo = 0 significa postecipada.
Quando utilizamos o VF significa que restou algum resíduo.
7.1.2 Cálculo de uma Anuidade Postecipada a Valor presente
Exemplo 16: Em um programa de televisão intitulado Sua Resposta vale um Milhão, um participante ganhou o prêmio máximo, porém, na hora de receber soube que receberia 25 parcelas de R$40.000,00. Considerando a taxa de juros 1% a.m., o valor correto do prêmio seria:
Utilizando a HP12C
PV
25
N
i
1
PMT
40000
7.1.3 Cálculo do período de uma Anuidade Postecipada.
Utilizando o exemplo 16:
7.1.4. Cálculo da Taxa de uma anuidade Postecipada.
Não se pode obter uma fórmula para a determinação precisa da taxa de juros de uma série uniforme. Ela só é obtida a partir da tentativa e erro, com o cálculo de uma taxa estimada:
Recalculando o PMT para 1,02%, obtemos: R$878.752,46, portanto acima do pretendido. Nos passos seguintes ajustaríamos i, a partir de ie, para chegarmos a um valor mais próximo.
7.2. Anuidades Antecipadas
A anuidade Antecipada se caracteriza pelo fato da primeira prestação ser efetuada no ato da contratação. 
Utilizando ainda o exemplo 16, em uma série antecipada o pagamento seria do tipo: 1 parcela no ato mais 24 mensais.
7.2.1 Cálculo da Anuidade Antecipada:
7.2.2 Cálculo de uma Anuidade Antecipada a Valor presente
7.2.3 Cálculo do período de uma Anuidade Antecipada.
7.2.4 Cálculo da Taxa de uma Anuidade Antecipada.
Este método também fornece um valor aproximado de i
7.3. Séries Diferidas
Este tipo de série tem uma seqüência de capitais de valores nominalmente iguais e uniformes, com exceção do primeiro período, chamado de carência.
Utilizando ainda o Exemplo 16, podemos supor que se o prêmio de UM MILHÃO fosse pago em 25 parcelas de R$40.000 com a primeira daqui a três meses:
8. Séries Variáveis
As séries variáveis são caracterizadas por pagamentos irregulares, na qual cada parcela deve ser calculada individualmente, sendo o seu valor presente a soma das séries.
Exemplo 17: Um investimento pagou parcelas mensais de R$4.500, R$5.000 e R$5.500. Qual o valor presente deste investimento, considerando que nestes meses o IGPM foi de: 1,31%(Mai/2004)?
Resolvendo, temos:
Este seria o valor na contratação, ou seja, FEV/2004
Utilizando a HP12C:
∑+
÷
1,0131
Enter
4500
∑+
÷
yx
2
Enter
Enter
5000
1,0131
Enter
3
∑+
1,0131
Enter
5500
÷
yx
2
RCL
1) Uma pessoa deposita $2.450,00 todo fim de mês em um fundo de investimento que paga juros nominais de 120%a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante de aplicação no fim do 16º mês. R.: $88.076,84
2) Uma compra no valor de $16.000,00 será paga por meio de uma entradade 20% e um determinado número de prestações mensais de $4.038,02, sendo a primeira, um mês depois da compra. A juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. R.: 4 prestações.
3) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10%a.m., qual deveria ser o seu valor de venda a vista? R.: $2.091,80.
4) Calcular o valor de uma aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim de 16 meses um montante de $2.300.000, considerando um rendimento efetivo de 6%a.m. R.: 89.589,93
5) Um bem de $350, pode ser pago por meio de uma entrada e mais quatro prestações bimentrais de $100. A juros de efetivos de 5%a.m., calcular o valor da entrada. R.: $34,72
6) Considerando uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária a ser feita hoje que permita sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. R.: 36.598,62
7) Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000,00 em 12 prestações mensais de $7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo financiamento. R.: 15%
8) A juros efetivos de 8%a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300 pagando prestações mensais de $278,98? R.: 14 meses.
9) Determinar a taxa de juros efetiva mensal efetiva cobrada por um empréstimo de $132.000, que será reembolsado por meio de 13 parcelas mensais de $15.793,71. R.: 7%
Introdução à amortização
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
Os principais sistemas de amortização são:
1. Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final.
2. Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados.
3. Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período.
4. Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5. Sistema Price ou Francês (PRICE): os pagamentos (prestações) são iguais.
6. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
7. Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:
	Sistema de Amortização
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	 
	 
	 
	300.000,00
	1
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	5
	 
	 
	 
	0
	Totais
	 
	300.000,00
	 
	 
Sistema de Pagamento Único
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
	Sistema de Pagamento Único
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	 
	312.000,00
	2
	12.480,00
	 
	 
	324.480,00
	3
	12.979,20
	 
	 
	337.459,20
	4
	13.498,37
	 
	 
	350.957,57
	5
	14.038,30
	300.000,00
	364.995,87
	0
	Totais
	64.995,87
	300.000,00
	364.995,87
	 
Sistema de Pagamentos Variáveis
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito.
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:
· No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
· No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
· No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
· No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
· No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros
	Sistema de Pagamentos Variáveis
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	30.000,00
	42.000,00
	270.000,00
	2
	10.800,00
	45.000,00
	55.800,00
	225.000,00
	3
	9.000,00
	60.000,00
	69.000,00
	165.000,00
	4
	6.600,00
	75.000,00
	81.600,00
	90.000,00
	5
	3.600,00
	90.000,00
	93.600,00
	0
	Totais
	42.000,00
	300.000,00
	342.000,00
	 
Sistema Americano
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.
	Sistema Americano
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	2
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	3
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	4
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	5
	12.000,00
	300.000,00
	312.000,00
	0
	Totais
	60.000,00
	300.000,00
	360.000,00
	 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	N
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	60.000,00
	72.000,00
	240.000,00
	2
	9.600,00
	60.000,00
	69.600,00
	180.000,00
	3
	7.200,00
	60.000,00
	67.200,00
	120.000,00
	4
	4.800,00
	60.000,00
	64.800,00
	60.000,00
	5
	2.400,00
	60.000,00
	62.400,00
	0
	Totais
	36.000,00
	300.000,00
	336.000,00
	 
Sistema Price (Sistema Francês)
Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.
	Sistema Price (ou Sistema Francês)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	55.388,13
	67.388,13
	244.611,87
	2
	9.784,47
	57.603,66
	67.388,13
	187.008,21
	3
	7.480,32
	59.907,81
	67.388,13
	127.100,40
	4
	5.084,01
	62.304,12
	67.388,13
	64.796,28
	5
	2.591,85
	64.796,28
	67.388,13
	0
	Totais
	36.940,65
	300.000,00
	336.940,65
	 
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.
Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2
	n
	PSAC
	PPrice
	PSAM
	1
	72.000,00
	67.388,13
	69.694,06
	2
	69.600,00
	67.388,13
	68.494,07
	3
	67.200,00
	67.388,13
	67.294,07
	4
	64.800,00
	67.388,13
	66.094,07
	5
	62.400,00
	67.388,13
	64.894,07
	Sistema de Amortização Misto (SAM)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	57.694,06
	69.694,06
	242.305,94
	2
	9.692,24
	58.801,83
	68.494,07
	183.504,11
	3
	7.340,16
	59.953,91
	67.294,07
	123.550,20
	4
	4.942,01
	61.152,06
	66.094,17
	62.398,14
	5
	2.495,93
	62.398,14
	64.894,07
	0
	Totais
	36.470,34
	300.000,00
	336.470,94
	 
10. Indicadores de Viabilidade
	São critérios para se decidir se um projeto de investimento deverá ser aceiro ou não. Os métodos mais tradicionais e utilizados para avaliação de um projeto de investimento são:
1.	Payback
2.	Payback descontado
3.	Valor Presente Líquido
4.	Taxa Interna de Retorno
5.	Taxa Interna de Retorno Modificada
6.	Custo Anual Equivalente
10.1 Payback (PB)
É um método de avaliação simples é muito utilizado em meados do século passado quando não existiam recursos computacionais para estimar outros indicadores. O payback mede o tempo necessário para recuperar o investimento realizado.
Exemplo: Os donosde uma lanchonete estimam que o negócio produza anualmente R$ 75 mil de caixa. A lanchonete foi posta a venda por R$ 150 mil, logo o prazo para recuperar o valor investido será de dois anos.
Critério para o Payback
· Se o payback do investimento é menor do que o payback estabelecido pela empresa, deve aceitar o projeto.
· Se o payback do investimento é igual do que o payback estabelecido pela empresa, então é indiferente aceitar ou não.
· Se o payback do investimento é maior do que o payback estabelecido pela empresa, deve rejeitar o projeto.
Exemplo : O uso de garrafas de plástico descartáveis de dois litros para refrigerante está crescendo e a empresa fabricante necessita aumentar sua capacidade de produção dessas garrafas de plástico descartáveis para poder acompanhar a tendência de mercado. De acordo com um estudo inicial, para aumentar a capacidade de produção será necessário um investimento inicial no valor de R$ 2,5 milhões, para compra, e instalação de novos equipamentos e a realização de modificações nas instalações existentes. O fluxo de caixa anual foi estimado em R$ 850 mil durante os cinco anos de duração do projeto. Realize uma avaliação do projeto, considerando que o critério da empresa é aceitar investimentos que tenham prazo de recuperação do valor total investido menor do que três anos.
	Ano
	Fluxo de Caixa (R$)
	Fluxo de Caixa Acumulado (R$)
	0
	-2.500.000
	-2.500.000
	1
	850.000
	-1.650.000 (-2.500.000 + 850.000)
	2
	850.000
	-800.000 (-1.650.000 + 850.000)
	3
	850.000
	50.000 (-800.000 + 850.000)
	4
	850.000
	900.000 (50.000 + 850.000)
	5
	850.000
	1.750.000 (900.000 + 850.000)
Olhando o fluxo acumulado, notamos que este passa de negativo para positivo entre o segundo (R$ -800.000) e o terceiro ano (R$ 50.000). Portanto, recuperamos o investimento nesse intervalo. Para determinar o valor exato do payback basta aplicar a seguinte fórmula:
Onde:
Ano+ = ano em que o Fluxo de Caixa Acumulado fica positivo
FCA+ = Fluxo de Caixa Acumulado do ano em que fica positivo
FCA- = Fluxo de Caixa Acumulado do ano em que fica negativo anterior ao positivo
	No exemplo temos que:
	Resumindo, o investimento será recuperado em 2,94 anos, logo a empresa deverá aceitar este investimento, pois é menor do que o valor estabelecido (de três anos) pela direção da empresa.
10.2 Payback Descontado (PBD)
	Esse indicador utiliza o mesmo conceito do payback, mas introduz a idéia de valor do dinheiro no tempo.
Exemplo: Levando-se em conta o fluxo de caixa a seguir, aplique o payback descontado sabendo-se que o custo de capital da empresa é igual a 14% a.a.
	Ano
	Fluxo de Caixa (R$ mil)
	Valor Presente
	Fluxo de Caixa Acumulado (R$ mil)
	0
	-500
	-500
	-500
	1
	250
	
	-280,70 (-500 + 219,30)
	2
	250
	
	-88,33 (-280,70 + 192,37)
	3
	250
	
	80,41 (-88,33 + 168,74)
	4
	250
	
	228,43 (80,41 + 148,02)
A empresa só aceita projetos que recuperem o investimento em menos do que dois anos. Pelo payback teríamos que aceitar o projeto uma vez que o indicador é de dois anos. Já pelo payback descontado (2,52 anos) é maior do que o payback aceito pela empresa e, portanto, devemos rejeitar o projeto.
10.3 Valor Presente Líquido (VPL)
Esse método consiste em trazer cada valor do fluxo de caixa no futuro para a data atual, utilizando uma determinada taxa de desconto (na prática o custo de capital).
Fórmula
Onde:
FCI = fluxo de caixa do investimento na data zero
FC1 = fluxo de caixa na data 1
FC2 = fluxo de caixa na data 2
FC3 = fluxo de caixa na data 3
FCt = fluxo de caixa na data t
i = taxa de juros (no caso de análise de projetos o custo de capital)
Critério para o VPL
	Se o valor presente líquido é maior do que zero, o projeto deve ser aceito.
	Se o valor presente líquido é igual a zero, é indiferente aceitar ou não.
	Se o valor presente líquido é menor do que zero, o projeto não deve ser aceito.
Exemplo: A empresa do ramo de biscoitos está interessada em investir R$ 250 mil em um projeto para criar um novo produto: biscoito com frutas. A expectativa de geração de caixa é descrita na tabela abaixo. Considerando que o custo de capital da empresa é igual a 15% ao ano, verifique se esse projeto deve ser aceito aplicando o método do valor presente líquido.
	Ano
	Fluxo de Caixa (R$ mil)
	1
	100
	2
	100
	3
	100
	4
	100
	5
	100
	O valor presente líquido desse fluxo de caixa é igual a:
ou
Na HP:			250000	CHS 		g		CF0
				100000	g	FCj
				5g		Nj
				15		i
				f		NPV
Como o valor presente líquido é positivo, o investimento deverá ser aceito. Isso significa que o projeto consegue pagar o custo do capital e deixa um retorno extra para a empresa indicando que ele sairá do negócio mais “rico” do que entrou, pois suas expectativas de retorno serão superadas.
Relação entre VPL e o custo do capital
	Usando o exemplo anterior, notamos que quando elevamos o custo de capital, o valor do VPL cai. Além disso, se a taxa de desconto for muito alta o VPL pode ser negativo, o que inviabiliza o investimento no projeto.
	Custo de Capital
	VPL (R$ mil)
	0%
	250,0
	5%
	182,9
	10%
	129,1
	15%
	85,2
	20%
	49,1
	25%
	18,9
	30%
	- 6,4
	35%
	- 28,0
	40%
	- 46,5
	45%
	- 62,4
	50%
	- 76,3
	55%
	- 88,5
	60%
	- 99,2
10.4 Taxa Interna de Retorno (TIR)
A TIR é a taxa de juros que iguala o VPL a zero. Matematicamente é representado pela seguinte fórmula:
Onde:
FCI = fluxo de caixa do investimento na data zero
FCt = fluxo de caixa na data t
TIR = Taxa Interna de Retorno
Exemplo: O lançamento de um sabonete líquido deverá ter sucesso, pois irá atender ‘a expectativa do de novidades do mercado de cosméticos. Os estudos de mercado, de produção e de engenharia permitiram definir o fluxo de caixa do projeto representado pelo gráfico abaixo, onde os valores referem-se a milhares de R$. Estime a taxa interna de retorno para o projeto.
Na HP:			
Critério para a taxa interna de retorno
	Se a taxa interna de retorno for maior do que o custo do capital, o projeto deve ser aceito
	Se a taxa interna de retorno for igual ao custo do capital, é indiferente aceitar ou não
	Se a taxa interna de retorno for menor do que o custo do capital, o projeto deve ser rejeitado
Tomando o exemplo anterior, se o custo do capital da empresa é igual a 10%, a empresa deve aceitar ou não o projeto?
BIBLIOGRAFIA
BELLIO, Antonio Carlos. DTCOM: Matemática Financeira com Excel. MatFin Cursos e Treinamentos Empresariais: Curitiba, 2002.
HEWLETT PACKARD, HP12C: Manual do Usuário. 2000.
LAPPONI, Juan Carlos. Modelagem Financeira com Excel. Campus: Rio de Janeiro. 2004.
NETO, Assaf. Matemática Financeira e suas aplicações. Atlas: Rio de Janeiro. 2010.
PUCCINI, Abelardo Lima. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada – Campos: Rio de Janeiro. 9ª Ed. 2011
SAMANEZ, Carlos Patrício. Gestão Investimentos e Geração de Valor. Prentice Hall: São Paulo. 2006.
Matemática Financeira – Prof. Souza Neto
Exercício de Amortização
Nome: _____________________________ Nome: _____________________________
Nome: _____________________________ Nome: _____________________________
Nome: _____________________________
Determine os valores a serem pagos por cada sistema de um financiamento hipotético de R$20.000,00 que será pago ao final de 4 meses à taxa mensal de 2%a.m.
	Sistema de Pagamento Único
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
	Sistema de Pagamentos Variáveis
1ª Parcela: 10%; 2ª Parcela: 20%; 3ª Parcela: 30%; 4ª Parcela: 40%;
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
	Sistema Americano:
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	TotaisSistema Price ou Francês (PRICE)
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
	Sistema de Amortização Misto (SAM)
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
	Sistema de Amortização Alemão
	n 
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento 
	Saldo devedor
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	Totais
	
	
	
	
Análise de Viabilidade em Investimentos
Lista de Exercícios III – Análise de Investimentos 
	
1ª Questão:
A Companhia Riograndense desenvolve softwares. O valor que a empresa tem de investir para lançar o novo produto está estimado em R$ 1.000.000,00. Considerando que o produto se tornará obsoleto após 5 anos, a empresa espera obter a seguinte economia de recursos:
R$ 842.000,00 ao final do primeiro ano;
R$ 810.000,00 ao final do segundo;
R$ 666.000,00 ao final do terceiro;
R$ 522.000,00 ao final do quarto;
R$ 438.000,00 ao final do quinto ano.
Este último valor inclui uma eventual receita a ser obtida com a revenda de equipamentos usados na fabricação do produto. Ademais, o custo de capital estimado para o projeto é de 10%. A Companhia Riograndense deve lançar o novo produto?
VPL ____________________ TIR______________________
2ª Questão: Considere ainda, na questão 1, que a empresa amortizará o valor investido e que a média de impostos é de 40%.
VPL ____________________ TIR______________________
3ª Questão:
8. Séries Variáveis
As séries variáveis são caracterizadas por pagamentos irregulares, na qual cada parcela deve ser calculada individualmente, sendo o seu valor presente a soma das séries.
Exemplo 17: Um investimento pagou parcelas mensais de R$4.500, R$5.000 e R$5.500. Qual o valor presente deste investimento, considerando que nestes meses o IGPM foi de: 1,31%(Mai/2004)?
Resolvendo, temos:
Este seria o valor na contratação, ou seja, FEV/2004
Utilizando a HP12C:
∑+
÷
1,0131
Enter
4500
∑+
÷
yx
2
Enter
Enter
5000
1,0131
Enter
3
∑+
1,0131
Enter
5500
÷
yx
2
RCL
10) Uma pessoa deposita $2.450,00 todo fim de mês em um fundo de investimento que paga juros nominais de 120%a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante de aplicação no fim do 16º mês. R.: $88.076,84
11) Uma compra no valor de $16.000,00 será paga por meio de uma entrada de 20% e um determinado número de prestações mensais de $4.038,02, sendo a primeira, um mês depois da compra. A juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. R.: 4 prestações.
12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10%a.m., qual deveria ser o seu valor de venda a vista? R.: $2.091,80.
13) Calcular o valor de uma aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim de 16 meses um montante de $2.300.000, considerando um rendimento efetivo de 6%a.m. R.: 89.589,93
14) Um bem de $350, pode ser pago por meio de uma entrada e mais quatro prestações bimentrais de $100. A juros de efetivos de 5%a.m., calcular o valor da entrada. R.: $34,72
15) Considerando uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária a ser feita hoje que permita sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. R.: 36.598,62
16) Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000,00 em 12 prestações mensais de $7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo financiamento. R.: 15%
17) A juros efetivos de 8%a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300 pagando prestações mensais de $278,98? R.: 14 meses.
18) Determinar a taxa de juros efetiva mensal efetiva cobrada por um empréstimo de $132.000, que será reembolsado por meio de 13 parcelas mensais de $15.793,71. R.: 7%
Introdução à amortização
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
Os principais sistemas de amortização são:
8. Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final.
9. Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados.
10. Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período.
11. Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização da dívida é constante e igual em cada período.
12. Sistema Price ou Francês (PRICE): os pagamentos (prestações) são iguais.
13. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
14. Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:
	Sistema de Amortização
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	 
	 
	 
	300.000,00
	1
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	5
	 
	 
	 
	0
	Totais
	 
	300.000,00
	 
	 
Sistema de Pagamento Único
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
	Sistema de Pagamento Único
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	 
	312.000,00
	2
	12.480,00
	 
	 
	324.480,00
	3
	12.979,20
	 
	 
	337.459,20
	4
	13.498,37
	 
	 
	350.957,57
	5
	14.038,30
	300.000,00
	364.995,87
	0
	Totais
	64.995,87
	300.000,00
	364.995,87
	 
Sistema de Pagamentos Variáveis
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito.
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:
· No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
· No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
· No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
· No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
· No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros
	Sistema de Pagamentos Variáveis
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	30.000,00
	42.000,00
	270.000,00
	2
	10.800,00
	45.000,00
	55.800,00
	225.000,00
	3
	9.000,00
	60.000,00
	69.000,00
	165.000,00
	4
	6.600,00
	75.000,00
	81.600,00
	90.000,00
	5
	3.600,00
	90.000,00
	93.600,00
	0
	Totais
	42.000,00
	300.000,00
	342.000,00
	 
Sistema Americano
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.
	Sistema Americano
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	2
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	3
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	4
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	5
	12.000,00
	300.000,00
	312.000,00
	0
	Totais
	60.000,00
	300.000,00
	360.000,00
	 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiroda Habitação
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	N
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	60.000,00
	72.000,00
	240.000,00
	2
	9.600,00
	60.000,00
	69.600,00
	180.000,00
	3
	7.200,00
	60.000,00
	67.200,00
	120.000,00
	4
	4.800,00
	60.000,00
	64.800,00
	60.000,00
	5
	2.400,00
	60.000,00
	62.400,00
	0
	Totais
	36.000,00
	300.000,00
	336.000,00
	 
Sistema Price (Sistema Francês)
Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.
	Sistema Price (ou Sistema Francês)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	55.388,13
	67.388,13
	244.611,87
	2
	9.784,47
	57.603,66
	67.388,13
	187.008,21
	3
	7.480,32
	59.907,81
	67.388,13
	127.100,40
	4
	5.084,01
	62.304,12
	67.388,13
	64.796,28
	5
	2.591,85
	64.796,28
	67.388,13
	0
	Totais
	36.940,65
	300.000,00
	336.940,65
	 
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.
Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2
	n
	PSAC
	PPrice
	PSAM
	1
	72.000,00
	67.388,13
	69.694,06
	2
	69.600,00
	67.388,13
	68.494,07
	3
	67.200,00
	67.388,13
	67.294,07
	4
	64.800,00
	67.388,13
	66.094,07
	5
	62.400,00
	67.388,13
	64.894,07
	Sistema de Amortização Misto (SAM)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	57.694,06
	69.694,06
	242.305,94
	2
	9.692,24
	58.801,83
	68.494,07
	183.504,11
	3
	7.340,16
	59.953,91
	67.294,07
	123.550,20
	4
	4.942,01
	61.152,06
	66.094,17
	62.398,14
	5
	2.495,93
	62.398,14
	64.894,07
	0
	Totais
	36.470,34
	300.000,00
	336.470,94
	 
10. Indicadores de Viabilidade
	São critérios para se decidir se um projeto de investimento deverá ser aceiro ou não. Os métodos mais tradicionais e utilizados para avaliação de um projeto de investimento são:
1.	Payback
2.	Payback descontado
3.	Valor Presente Líquido
4.	Taxa Interna de Retorno
5.	Taxa Interna de Retorno Modificada
6.	Custo Anual Equivalente
10.1 Payback (PB)
É um método de avaliação simples é muito utilizado em meados do século passado quando não existiam recursos computacionais para estimar outros indicadores. O payback mede o tempo necessário para recuperar o investimento realizado.
Exemplo: Os donos de uma lanchonete estimam que o negócio produza anualmente R$ 75 mil de caixa. A lanchonete foi posta a venda por R$ 150 mil, logo o prazo para recuperar o valor investido será de dois anos.
Critério para o Payback
· Se o payback do investimento é menor do que o payback estabelecido pela empresa, deve aceitar o projeto.
· Se o payback do investimento é igual do que o payback estabelecido pela empresa, então é indiferente aceitar ou não.
Se o payback do investimento é maior do que o payback estabelecido pela emp
0	0.05	0.1	0.15000000000000002	0.2	0.25	0.3	0.35	0.39999999999999997	0.44999999999999996	0.49999999999999994	0.54999999999999993	0.6	250	182.94766706308189	129.07867694084473	85.215509801140229	49.061213991769534	18.927999999999997	-6.4430247809681873	-28.003857715434378	-46.483608020467614	-62.447269531316834	-76.337448559670776	-88.504397144015854	-99.2279052734375	Custo de Capital
VPL (R$ mil)
(
)
74
,
235
.
1
$
R
052
,
1
1300
%
4
0
,
0
.
117
1
1300
V
=
=
+
=
(
)
dn
1
N
V
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
40
,
232
.
1
$
R
948
,
0
.
1300
052
,
0
1
1300
4
000
,
0
.
117
1
1300
dn
1
N
V
=
=
-
=
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
n
.
i
1
n
.
i
.
N
D
r
n
.
d
.
N
D
c
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
n
.
i
1
N
V
r
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
n
.
V
D
d
r
r
r
(
)
n
.
d
1
N
V
C
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
n
.
d
1
d
d
c
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
n
f
)
i
1
(
N
V
(
)
39
,
712
.
3
$
R
2122
,
1
4500
08
,
1
4500
)
08
,
0
1
(
4500
V
5
,
2
5
,
2
f
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
C
i
1
2
N
1
i
1
N
N
V
+
-
=
-
+
-
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