2013-2-AP1-AII-Gabarito

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Álgebra II
AP1 - Gabarito
Questão 1: (3,0 pontos) Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou
falsa, justificando:
(a) (1,0 ponto) O conjunto dos números ı́mpares é um subanel do anel dos inteiros
(b) (1,0 ponto) O conjunto B =
{
0, 2, 4
}
é um subanel do anel Z6.
(c) (1,0 ponto) O anel comutativo A = (Z,⊕,�), munido das seguintes operações:
x⊕ y = x + y + 1 e x� y = x + y + xy,
possui unidade.
Solução:
(a) Falso
O conjunto dos números ı́mpares não é fechado para a subtração. Por exemplo, 5−3 = 2.
(b) Verdadeiro
• B é fechado para a subtração:
0− 0 = 0, 0− 2 = 4 e 0− 4 = 2
2− 0 = 2, 2− 2 = 0 e 2− 4 = 4
4− 0 = 4, 4− 2 = 2 e 4− 4 = 0
• B é fechado para o produto:
· 0 2 4
0 0 0 0
2 0 4 2
4 0 2 4
1
Conclusão: B é um subanel de Z6.
(c) Verdadeiro
Sabendo que o anel A é comutativo, é suficiente mostrar que existe um elemento 1A que
satisfaz
x� 1A = x, ∀x ∈ Z.
Para isso, seja x um inteiro qualquer. Então
x� 1A = x ⇐⇒ x + 1A + x · 1A = x ⇐⇒ 1A · (x + 1) = 0.
Como x é qualquer, então x + 1 não é necessariamente igual a 0 e, portanto, 1A = 0 é a
unidade do anel A.
Questão 2: (3,0 pontos) Considere o anel de polinômios R [x] e seja ϕ : R [x]→ R definida
por
ϕ (a0 + a1x + ... + anx
n) = a0.
(a) (1,5 ponto) Mostre que ϕ é um homomorfismo de aneis e determine o seu núcleo
N(ϕ).
(b) (1,5 ponto) Mostre que N(ϕ) é um ideal de R [x].
Solução:
(a) Inicialmente, considere
p(x) = a0 + a1x + ... + anx
n e q(x) = b0 + b1x + ... + bnx
n
polinômios quaisquer em R [x].
observação: Aqui estamos escrevendo ambos os polinômios até o fator n, mas admiti-
mos a possibilidade de qualquer coeficiente ser nulo (ou seja, os polinômios não possuem,
necessariamente, o mesmo grau)
Precisamos provar que
ϕ(p(x) + q(x)) = ϕ(p(x)) + ϕ(q(x))
e
ϕ(p(x) · q(x)) = ϕ(p(x)) · ϕ(q(x))
De fato,
2
• ϕ(p(x) + q(x)) = ϕ (a0 + b0 + (a1 + b1)x + ... + (an + bn)xn) = a0 + b0 =
ϕ(p(x)) + ϕ(q(x))
• ϕ(p(x) · q(x)) = ϕ (a0 · b0 + (a0 · b1 + a1 · b0)x + ... + (an · bn)x2n) =
a0 · b0 = ϕ(p(x)) · ϕ(q(x))
Conclusão: ϕ é um homomorfismo de anéis.
Além disso, temos que
• p(x) ∈ N(ϕ)⇐⇒ ϕ(p(x)) = 0⇐⇒ a0 = 0
Conclusão: N(ϕ) = {p(x) = a0 + a1x + ... + anxn ∈ R [x] ; a0 = 0}.
(b) Vamos mostrar que N(ϕ) é um ideal de R [x]. De fato,
• Se p(x), q(x) ∈ N(ϕ), então seus termos constantes são nulos, isto é,
p(x) = a1x + ... + anx
n e q(x) = b1x + ... + bnx
n
e, portanto,
p(x) + q(x) = (a1 + b1)x + ... + (an + bn)x
n ∈ N(ϕ).
• Se p(x) ∈ N(ϕ), então seu termo constante é nulo, isto é,
p(x) = a1x + ... + anx
n.
Dessa forma, qualquer que seja q(x) = b0 + b1x + ... + bnx
n ∈ R [x], tem-se
q(x) · p(x) = (a1 · b0)x + ... + (an · bn)x2n ∈ N(ϕ).
Conclusão: N(ϕ) é um ideal de R [x].
Questão 3: (2,0 pontos) Seja p um polinômio em R[x] tal que o resto de sua divisão por
x2 − 1 é igual a x + 1.
(a) (1,0 ponto) Determine p(1) e p(−1).
(b) (1,0 ponto) Mostre que p é diviśıvel por x + 1.
3
Solução:
(a) Pelo Algoritmo da Divisão, existe q ∈ R[x] tal que
p (x) =
(
x2 − 1
)
· q (x) + x + 1, para todo x ∈ R.
Em particular, temos
p(1) =
(
12 − 1
)
· q(1) + 1 + 1 = 2
e
p(−1) =
(
(−1)2 − 1
)
· q(−1) + 1− 1 = 0.
(b) Novamente pelo Algoritmo da Divisão, existem g ∈ R[x] e r ∈ R tais que
p (x) = g(x) · (x + 1) + r.
Dessa forma, segue do item anterior que
0 = p (−1) = g (−1) · (−1 + 1) + r = r
e, portanto, p é diviśıvel por x + 1.
Questão 4: (2,0 pontos) Utilize o Algoritmo da Divisão de Polinônimos para efetuar a
divisão de f(x) = 2x4 − x3 − 6x + 1 por g(x) = x2 − x + 2.
Solução:
2x4 −x3 −6x +1 x2 − x + 2
−2x4 +2x3 −4x2 2x2 + x− 3
+x3 −4x2 −6x +1
−x3 +x2 −2x
−3x2 −8x +1
+3x2 −3x +6
−11x +7
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