Lista de Exercícios 06 - subespaços vetoriais-convertido

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios 
1 – Prove que o conjunto S = {(x, y, z)  V / x + 3y = 0, z – 5y = 0} é subespaço vetorial de V =IR3 em relação 
às operações de adição e multiplicação de escalar por vetor do espaço vetorial V, definidas na forma usual. 
 
2 – Mostre que o conjunto M não é subespaço vetorial do conjunto V em relação às operações de adição e 
multiplicação de escalar por vetor do espaço vetorial V, definidas na forma usual, nos seguintes casos abaixo: 
a) M = {(x, y)  V / x – y2 = 0}, V =IR2. 
b) M = {(x, y)  V / x = 0, y < 0}, V =IR2. 
c) M = {(x, y, z) V/ z – 2x = 1, y = 0}; V = IR3. 
d) M = {(x, y, z) V/ x = y, z  IR}; V = IR3. 
 
3 – Assinale qual dos subconjuntos S abaixo representa um subespaço vetorial do conjunto V. 
a) S = {(x, y, z)  IR3/ 2x + z = 1, y = 0}; V = IR3. 
b) S = {(x, y)  IR2/ y = 4x2 }; V = IR2. 
c) S = {(x, y)  IR2/ x = |y| }; V = IR2. 
d) S = {(x, y)  IR2/ 5x – y =0}; V = IR2. 
e) S = {(x, y, z)  IR3/ zy = 0 ; x = z }; V = IR3. 
 
RESOLUÇÃO 
QUESTÃO 1 
I – O vetor nulo pertence a S. Ou, algebricamente, (0, 0, 0)  S. 
II – u + v  S. 
Sendo u + 3y = 0, temos que u = – 3y. Sendo z – 5y = 0, temos que z = 5y. 
Seja u = (–3y1, y1, 5y1) e v = (–3y2, y2, 5y2), temos: 
u + v = (–3(y1 + y2), (y1 + y2), 5(y1 + y2)) 
III – t . u  S. 
Seja t  IR e u =(–3y1, y1, 5y1) , temos: 
t. u = (–3ty1, ty1, 5ty1) 
 
 
 
QUESTÃO 2 
2a) O conjunto M não é subespaço vetorial do conjunto V = IR2, pois temos: x = y2. 
Temos o seguinte contra exemplo: 
Sendo u = (4, 2) e v =(9, 3), o vetor u + v = (13, 5) não pertence ao conjunto M. 
2b) O conjunto M não é subespaço vetorial do conjunto V = IR2, pois temos: o seguinte contra exemplo: 
Sendo u = (0, –2) e t = –1 o vetor t . u = (0, 2) não pertence ao conjunto M. 
2c) O conjunto M não é subespaço vetorial do conjunto V = IR3, pois: z = 2x + 1, para x = 0 , temos z = 1 e 
y = 0. Logo o vetor nulo não pertence ao conjunto M. 
2d) O conjunto M não é subespaço vetorial do conjunto V = IR3, pois z pode ser qualquer número real. Sendo 
z = 1, temos que o vetor nulo não pertence ao conjunto M. 
 
QUESTÃO 3 
3a) O conjunto S não é subespaço vetorial do conjunto V = IR3, pois o vetor nulo (0,0,0) não pertence ao 
conjunto S. 
3b) O conjunto S não é subespaço vetorial do conjunto V = IR2, pois para, por exemplo, 
u = (2, 16) e v =(3, 36), o vetor u + v = (5, 52) não pertence ao conjunto S. 
3c) O conjunto S não é subespaço vetorial do conjunto V = IR2, pois para, por exemplo, 
u = (2, –2) e t = –1, o vetor t. u = (–2, 2) não pertence ao conjunto S. 
3d) O conjunto S não é subespaço vetorial do conjunto V = IR2 
Sendo 5x – y = 0 , temos que y = 5x 
I – Verifica-se que o vetor nulo pertence ao conjunto S. 
II – Verifica-se que se u = (x1, 5x1) e v = (x2, 5x2) 
u + v = (x1 + x2, 5(x1 + x2)) pertence ao conjunto S. 
III – Verifica-se que se u =(x1, 5x1) e sendo t um número real. 
t. u = (tx1, 5tx1) pertence ao conjunto S. 
3e) O conjunto S não é subespaço vetorial do conjunto V = IR3, pois para, por exemplo, 
u = (0, 1, 0) e v = (1, 0, 1), o vetor u + v = (1, 1, 1) não pertence ao conjunto S.