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MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA ÀS FINANÇAS AULA 4 Prof. Ernani João Silva 2 CONVERSA INICIAL Olá! Seja bem-vindo à nossa quarta aula sobre modelagem matemática aplicada a finanças. Hoje vamos iniciar nossos estudos sobre os movimentos do fluxo de caixa que ocorrem no intervalo entre os momentos VP e VF. E, nesta aula, em específico, vamos trabalhar com as séries uniformes puras e suas derivações em sistema de amortização. Sendo assim, teremos cinco temas de estudo neste encontro: 1. Séries uniformes: postecipada, antecipada e diferida; 2. Identificação da taxa de juro em fluxo de caixa uniforme; 3. Sistema de preço constante: SPC; 4. Sistema de amortização constante: SAC; 5. Outros sistemas de amortização: misto, americano e alemão. Com esses cinco temas, nosso objetivo é trazer-lhe uma melhor compreensão sobre o que é uma análise sobre séries uniformes de pagamentos e amortizações. E, sendo assim, vamos trabalhar. CONTEXTUALIZANDO Até a aula 3 tratamos nossas análises do fluxo de caixa apenas com valores presentes (ou atuais) e valores futuros (ou nominais), porém, chegou a hora de iniciarmos nossos estudos sobre as operações existentes entre esses dois momentos extremos. Na aula de hoje, iremos estudar as operações de capitalização compostas de séries uniformes (as séries não uniformes iremos trabalhar na aula 5). E, para tanto, vamos usar novamente os conceitos vistos no diagrama do fluxo de caixa. Como estudamos anteriormente, as entradas de capital são lançadas na parte superior da linha do tempo (aquela linha que vai de zero a n), já as saídas na área abaixo, localizada abaixo da linha. Pois bem, entre os lançamentos VP (momento zero) e o VF (momento “n”), também podem ocorrer entradas e saídas de capital. Essas entradas/saídas, para poderem ser chamadas de uniforme, precisam ser iguais e consecutivas, isto é, sem lacunas entre elas. As entradas/saídas uniformes são representadas, geralmente, ou pela letra “U” devido à expressão “valor Uniforme” ou por “PMT” (do inglês, pagamento periódico), por ser esta a denotada presente na calculadora HP 12c. 3 Quanto à forma de classificação dos fluxos uniformes, temos que esse tipo de fluxo pode ser classificado de formas distintas conforme o momento de início do valor PMT: a. Fluxo antecipado: o PMT começa no momento zero ou, como alguns preferem, no início do momento 1 (uma diferença apenas semântica, pois na prática o início do momento 1 ocorre junto com o momento 0); b. Fluxo postecipado: o PMT começa 1 período após o momento zero ou, como alguns preferem, no fim do período 1 (novamente é a mesma coisa, já que o fim do momento 1 é exatamente 1 período em relação ao momento zero); c. Fluxo diferido: trata-se de variação do postecipado, onde o PMT começa alguns períodos após o momento zero. Por exemplo, em pagamento com 3 meses de carência, o PMT começa no momento 4; sendo assim, o momento 3 (o terceiro mês) vira o novo momento zero nos cálculos. Ficou confuso? Fique tranquilo, você vai entender tudo durante esta aula. Por fim, além dessas três formas puras de fluxo uniforme, precisamos citar que também sugiram ramificações práticas desses conceitos. Estamos falando dos sistemas de amortização de débitos, em que temos: I. SPC: Sistema de Preço Constante; II. SAC: Sistema de amortização Constante; III. Sistema de amortização misto (a média entre “SPC e SAC”), IV. Sistemas de amortização alemão (antecipação de juros) e V. Sistemas de amortização americano (pagamento apenas do juro em PMT). A partir dessa ideia geral dos assuntos, vamos estudá-los! TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA: POSTECIPADO, ANTECIPADO, DIFERIDO Neste tópico, vamos estudar os três tipos básicos de séries uniformes: postecipado, antecipado e diferido, e também seus fatores de cálculos. Dessa forma, iremos desvendar a lógica de cada uma dessas ramificações e como elas devem ser usadas nas atividades da prática comercial. 4 1.1 Fluxo de caixa Série Uniforme: Postecipado Fluxo de caixa postecipado é aquele que a série uniforme “PMT” começa um período pós VP (ou, como alguns preferem dizer, no fim do período zero). Sua fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e consecutivos na linha do tempo é definida como sendo: Fórmula 1 – Valores iguais ou consecutivos na linha do tempo PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 Onde: • PMT: Valor uniforme; • VP: Valor presente; • i: taxas de juro; • n: período. A partir da fórmula “base”, podemos deduzir três fórmulas igualmente importantes para a pauta do fluxo uniforme postecipado, as quais são: Fórmula 2 – Fórmulas a partir da fórmula base VP = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 (1+i) 𝑛𝑛 . i , permite encontrar o VP a partir do PMT VF = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 i , permite encontrar o VF a partir do PMT PMT = VF . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 , permite encontrar o PMT a partir do VF * Onde temos que, VF = Valor Futuro Agora que já temos as fórmulas, vamos fazer algumas exemplificações para que você tenha um melhor entendimento sobre o fluxo postecipado. 5 1.1.1 Exemplo 1 Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês em regime de juros compostos postecipados. Responda: Qual o valor de cada prestação? Solução Como temos PV e queremos PMT, a formula é: PMT= VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 PMT= 600. (1+2%) 4 . 2% (1+2%) 4 − 1 → 600. 1,08243 . 2 1,08243 − 1 → 600. 0,02165 0,08243 ∴ PMT = 600 . 0,2626238 = R$157,5743 (aqui está o valor uniforme) Representando esta transação em um diagrama, pela ótica do comportamento do caixa da empresa que cedeu o crédito, temos que: Figura 1 – Diagrama pela ótica do comportamento do caixa Ou seja, temos um VP de - R$ 600 (negativo porque saiu um bem nesse valor) e quatro PMT de + R$ 157,5743 (positivo porque o valor entrará quatro vezes no caixa). Vamos entender o que isso significa em cada etapa da diagramação. 6 Tabela 1 – Etapas da diagramação n Juros = J Saldo Inicial = SI Entrada = E ( PMT ) Saída = S Saldo Final = SF (2% . SF anterior) (J + SF anterior) (SI + E – S ) 0 R$ - R$ - R$ - -R$600,00 -R$ 600,00 1 -R$12,00 -R$ 612,00 R$157,5743 R$ - -R$ 454,43 2 -R$ 9,09 -R$ 463,51 R$157,5743 R$ - -R$ 305,94 3 -R$ 6,12 -R$ 312,06 R$157,5743 R$ - -R$ 154,48 4 -R$ 3,09 -R$ 157,57 R$157,5743 R$ - R$ - No quadro acima temos que os 2% da taxa de juros incide sobre o valor do saldo final do período anterior (ex.: “600 . 2%” = “12 de Juros no n=1”). Por isso, o saldo inicial de cada período é o valor do saldo anterior mais o juro do período (ex.: “$600 do SF do n=0” + “$12 de Juro” = “612 SI do n=1”). O saldo inicial do período sofre o impacto do resultado líquido das entradas e saídas que ocorrem naquele momento (ex.: “- $612 SI” “+ $157,5743 Entrada” “- $0 Saída” = “$ 454,43 SF no n=1”). Isso ocorre até que na última entrada tenhamos o saldo final de dívida zerado. Convenhamos, é bem simples! Como você já entendeu a lógica da fórmula, vamos ver como fica na HP12c: • F CLx (limpa a máquina); • F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); • Verificar se a Hp12c está na forma postecitapada: a. Se no visor não aparece Begin, então Hp está na forma postecipada; b. Se no visor aparece “Begin”, então a Hp está na forma antecipada e precisa ser alterada para forma postecipada (o “BEGIN” precisa sumir). Use o comando “g END” para apagar o “BEGIN”. • 4 n (lançamento dos meses que terão o valor uniforme); • 2 i (taxa de juro efetiva); • 600 CHS PV (CHS, para troca o sinal para negativo, pois saiu do caixa); • PMT= na tela aparece o valor futuro= 157,5743 (positivo, pois vai entrar). Agora, vamos ver uma questão sobre investimento usando fluxo postecipado. 7 1.1.2 Exemplo 2 Você vai fazer uma aplicação financeira com uma entrada de $ 500 e mais 4 pagamentos uniformes de R$ 200. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês com capitalização mensal por juros compostos, responda: Qual o valor da aplicação imediatamente após último depósito? Solução Como temos PMT e queremos FV, a formula é: VF = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 i VF = 200 . (1+2%) 4 − 1 2% ∴ VF = 200 . 1,084232 − 1 0,02 ∴ VF = 200 . 4,121608 → VF = R$ 824,32 Agora, vamos entender o que isso significa Tabela 2 – Resolução do exemplo 2 n Valor aplicado VF até o n=4 0 R$ 0,00 R$ 0,00 1 R$ 200,00 R$ 212,24 ← 200 . (1+2%) 4 – 1 (Rende 3 meses) 2 R$ 200,00 R$ 208,08 ← 200 . (1+2%) 4 – 2 (Rende 2 meses) 3 R$ 200,00 R$ 204,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 3 (Rende 1 meses) 4 R$ 200,00 R$ 200,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 4 (Rende 0 meses) Total VF: R$ 824,32 Como demonstra a tabela anterior, após a última aplicação dos R$ 200,00, temos R$ 824,32 de saldo, ou seja, de Valor Futuro (VF). Perceba que o último R$ 200 não rendeu nada, isso aconteceu porque, como ele foi aplicado no mês 4 (o último mês na análise), este valor teve zero meses de capitalização. Está duvidando do resultado? Então, vamos fazê-lo com a Hp12c1. • F CLx (limpa a máquina); • 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); • 2 i (taxa de juro); • 200 CHS PMT; 1 Já foi ensinado no EX.1 como ajusta as casas decimais e arruma a HP12c para postecipado, sendo assim, vamos pular essa parte no Ex.2 8 • FV = na tela aparece o valor futuro = R$ 824,32. Viu? O valor da fórmula e da Hp12c batem com o que foi apontado na tabela. A lógica para obter o VP ou VF a partir do PMT é a mesma, sendo assim, vamos estudar agora o fluxo antecipado. 1.2 Fluxo de caixa Série Uniforme: Antecipado Fluxo antecipado é aquele que uma série uniforme (PMT) começa no período que antecipa o primeiro pagamento para coincidir com a data do VP (alguns preferem dizer que o PMT começa no início do período 1). Dessa forma, temos que sua fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e consecutivos na linha do tempo é definida como sendo: Fórmula 3 – Fórmula base para estabelecer os valores que serão iguais e consecutivos na linha do tempo PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛−𝟏𝟏 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 Ou seja, é a mesma fórmula do postecipado com a adição do “-1” no “n” do numerador. E a partir dessa fórmula base, podemos deduzir três fórmulas igualmente importantes para a pauta do fluxo uniforme antecipado: Fórmula 4 – Três fórmulas igualmente importantes para a pauta do fluxo uniforme antecipado VP = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 (1+i) 𝑛𝑛−𝟏𝟏 . i , permite encontrar o VP a partir do PMT VF = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 i . (𝟏𝟏 + 𝐢𝐢) , permite encontrar o VF a partir do PMT PMT = VF (𝟏𝟏+𝐢𝐢) . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 , permite encontrar o PMT a partir do VF Vamos fazer duas exemplificações para que você tenha um melhor entendimento sobre como funciona o fluxo de caixa uniforme antecipado. 9 1.2.1 Exemplo 1 Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, na condição antecipada, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês. Sendo assim, responda: Qual o valor de cada prestação? Solução Como temos PV e queremos PMT, a formula é: PMT= VP . (1+i) 𝑛𝑛−1 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 PMT= 600. (1+2%) 4−1 . 2% (1+2%) 4 − 1 ∴ PMT = R$154,4846 (valor uniforme) Podemos representar esta transação comercial na seguinte forma: Figura 2 – Transação comercial Agora, olhe com atenção: o primeiro pagamento ocorre no momento zero (= início do momento 1), sendo assim, em verdade, o que temos aqui é uma operação que tem uma entrada e mais 3 parcelas; onde a entrada e cada parcela são iguais em valor. Ou seja, sempre que o valor da entrada for igual ao valor de cada prestação, em uma condição consecutiva de pagamentos, o que temos nesses casos é um fluxo de caixa do tipo antecipado. Vamos estudar melhor o que ocorre em fluxo de caixa antecipado na condição de pagamento, analisando nosso problema em uma tabela: 10 Tabela 3 – Fluxo de caixa antecipado n Juros Saldo Inicial Entrada Saída Saldo Final (2% . SF anterior) (J + SF anterior) (SI + E – S ) 0 R$ - R$ - R$ 154,4846 R$ 600,00 -R$ 445,52 1 -R$ 8,91 -R$ 454,43 R$ 154,4846 R$ - -R$ 299,94 2 -R$ 6,00 -R$ 305,94 R$ 154,4846 R$ - -R$ 151,46 3 -R$ 3,03 -R$ 154,48 R$ 154,4846 R$ - R$ 0,00 4 - - - - - Onde: • SF = Saldo Final; • J = Juros; • SI= Saldo inicial; • E = Entrada; • S = Saída. No momento zero, R$ 600 é o valor que a empresa precisaria receber do cliente no ato da venda, porém, como a 1º PMT também ocorre nesse momento, o 1º PMT funciona como valor de entrada; assim, ele diminui o saldo devedor já no início da operação (ex: 600 - 154,4846= “$445,5154 SF no n=0”). Por consequência, o valor do juro no sistema antecipado é menor, em comparação ao valor que seria cobrado no postecipado (ex.: no postecipado seria “$12 de juro n=0”, aqui é → 445,5154 . 2% = “$8,91 de juro no n=1”). E, partir daí, a lógica do cálculo é a mesma que no fluxo postecipado, a única coisa que muda é que no fim do quarto período (isto é, 30 dias após o último pagamento) a operação já está finalizada. O motivo? Você encerou o débito no início do quarto período, o qual ocorre junto com o fim do terceiro período. Veja como fica na HP12c: • F CLx (limpa a máquina); • F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); • Verificar se a Hp12c está na forma antecipada: a. Se no visor aparece Begin, então Hp está na forma antecipada; b. Se no visor “não” aparece “Begin”, então a Hp está na forma postecipada e precisa ser alterada para forma antecipada (o “BEGIN” precisa aparecer). Use o comando “ g BEGIN ” para ativar o BEGIN. • 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); 11 • 2 i (taxa de juro); • 600 CHS PV; • PMT = na tela aparece o valor futuro = 154,4846. Agora, vamos fazer um exemplo considerando um processo de investimento. 1.2.2 Exemplo 2 Você vai fazer uma aplicação financeira com 4 pagamentos uniformes de R$ 200. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês com capitalização mensal por juros compostos, responda: Qual o valor da aplicação após um período do último depósito? Solução Aqui, vamos fazer um pouco diferente, vamos vou começar com a tabela: Tabela 3 – Solução do exemplo 2 n Valor aplicado VF até o n=4 0 R$ 0,00 R$ 0,00 1 R$ 200,00 R$ 212,24 ← 200 . (1+2%) 4 – 1 (Rende 3 meses) 2 R$ 200,00 R$ 208,08 ← 200 . (1+2%) 4 – 2 (Rende 2 meses) 3 R$ 200,00 R$ 204,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 3 (Rende 1 meses) 4 R$ 200,00 R$ 200,00 ← 200 . (1+2%) 4 – 4 (Rende 0 meses) Total VF até n=4: R$ 824,32 ← Saldo até o último depósito Total VF em n=5: R$ 840,81 ← FV = 824,32 . (1+2%) 1período Como demonstra a tabela anterior, após a última aplicação dos R$ 200, temos R$ 824,32 de saldo e, após um período do último depósito, temos R$ 840,81, pois os R$ 824,32 renderam mais um mês. Agora, olhe o que acontece quando usamos a fórmula do fluxo antecipado nesse problema. Fórmula 5 – Fórmula do fluxo antecipado VF = PMT . (1+i) 𝑛𝑛 − 1 i . (𝟏𝟏 + 𝐢𝐢) VF = 200 . (1+2%) 4 − 1 2% . (1 + 2%) 12 VF = 200 . 1,084232 − 1 0,02 . 1,02 VF = 200 . 4,121608 . 1,02 VF = 824,3216 . 1,02 VF = 840,81Ou seja, o valor da fórmula fica igual ao da tabela. O motivo? Simples, como a teoria entende que, na fórmula antecipada, o valor do PMT ocorre no início do período, então a última entrada no fluxo de caixa tem todo o último período para ser capitalizada, bem como o saldo formado até aquele momento. Ou seja, em uma aplicação a fórmula do fluxo antecipado, equivale à fórmula do postecipado com mais um período de aplicação após o último depósito, devido à multiplicação final por (1+i). Vamos refazer a questão com a Hp 12c, tendo o Begin na tela2. • F CLx (limpa a máquina); • 4 n (lançamento dos meses com valores uniformes); • 2 i (taxa de juro); • 200 CHS PMT; • FV = na tela aparece o valor futuro = R$ 840,81. Bem tranquilo, não acha? E como a lógica para obter o VP ou VF a partir do PMT é a mesma, vamos agora estudar o fluxo diferido. 1.3 Fluxo de caixa Série Uniforme: Diferido A palavra diferido significa adiado, assim, fluxo de caixa diferido é um fluxo de caixa postecipado, que tem seu início de PMT adiado em “m” períodos após a ocorrência do evento 0 (zero). Por exemplo, imagine que você, em dezembro/2107, comprou um celular em 4 pagamentos iguais, sem valor de entrada, em uma promoção que diz: “compre agora e só comece a pagar depois do carnaval (isto é, no mês seguinte ao mês do carnaval)”. Nesse cenário, as prestações somente serão adiadas (diferidas) até março/2018... Entendeu o que 2 Já foi ensinado no exemplo 1 como se ajustam as casas decimais e se arruma a HP12c para antecipado, sendo assim, vamos pular essa parte no exemplo 2. 13 é um fluxo diferido? Acredito que sim, então vamos ver quais são as duas fórmulas principais deste tipo de fluxo: Fórmula 6 – Fórmulas principais deste tipo de fluxo PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 ; VP = PMT. (1+i) 𝑛𝑛 − 1 (1+i) 𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i As fórmulas são bem simples, tratam-se de um fluxo postecipado com o acréscimo de “+m” no “n” que compõe a expressão multiplicada por “i”. Agora que temos as fórmulas, vamos fazer uma exemplificação para que você tenha um melhor entendimento sobre como funciona o fluxo diferido. 1.3.1 Exemplo 1 Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais iguais, com dois meses de prazo de carência para o início da cobrança. Sendo assim, responda: Qual o valor de cada prestação? Solução Como temos PV e queremos PMT, a formula é: PMT= VP . (1+i) 𝑛𝑛+𝑚𝑚 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 PMT= 600. (1+2%) 4+2 . 2% (1+2%) 4 − 1 ∴ PMT = R$163,94 (valor uniforme) Podemos representar esta transação comercial na seguinte forma: 14 Figura 3 – Transação comercial Ou seja, usar a fórmula do diferido equivale a transformar o VP de n=0 para um VF em n=m e depois aplicar este novo valor em uma fórmula de PMT postecipado; veja como fica: Parte 1: VP de n=0 para VF em n=2 VF = VP. (1+ i)n → VF = 600 . (1+ 2%) 2 → VF = 624,24 (esse é o VP do PMT) Parte 2: Usando o valor de VF de n=2 como VP para o cálculo do PMT PMT= VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 → PMT= 624,24 . (1+2%) 4 . 2% (1+2%) 4 − 1 → PMT =163,94 Como eu disse, o mesmo resultado! Ou seja, a fórmula do fluxo diferido é o resultado da incorporação de duas fórmulas. Dado esse fato, a Hp12c, sequer tem um comando especial para fazer esse cálculo. Sendo assim, para resolver o fluxo diferido na Hp12c, primeiro precisamos fazer “VP para VF carência” e depois lançar o VF carência como VP para obter PMT, como fizemos com as fórmulas acima. Vamos refazer o problema com a Hp 12c3. • F CLx (limpa a máquina); • 2 n (lançamento dos meses de carência, que é o valor “m” da fórmula); 3 Já foi ensinado no exemplo 1 como se ajustam as casas decimais e arrumam a HP12c para postecipado, sendo assim, vamos pular essa parte nesse exemplo. 15 • 2 i (taxa de juro efetiva de 2%); • 600 PV (aqui é bom não usar o CHS, pois o PV para o PMT é outro); • FV (na tela aparece o valor futuro pós carência = R$624,24); • CHS PV (agora vamos usar o CHS, pois o 624,24 é o PV para o PMT); • 0 FV (Fazemos isso para zerar o 624,24 no FV); • 4 n (lançamento dos meses do pagamento uniforme); • PMT (na tela aparece o valor = R$163,94). 1.4 Fluxo de caixa Série Uniforme: Fatores de cálculo Para encerrar este tópico, vamos aprofundar nossos conhecimentos sobre os fatores de cálculos. Já vimos o que são “fatores de cálculos” nos juros simples (aula 2) e nos juros compostos em VP e VF (aula 3), agora vamos vê- los nas séries uniformes. Nas séries uniformes os fatores continuam sendo elementos de multiplicação dos valores VP e VF, e, agora, também do PMT. E, dado esse fato, chegou a hora de apresentarmos quais são os nomes especiais que os fatores recebem, conforme o objetivo a que se prestam. Para tanto, vamos usar como exemplo as modelagens do fluxo uniforme postecipado, porém, quero que fique bem claro que a lógica que segue é a mesma para os cenários antecipados e diferidos: a. Fator de recuperação do capital: FRC = VP → PMT São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VP, ou seja: PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛−1 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 ∴ PMT = VP . FRC ( i , n ) Por exemplo: PMT= VP. (1+2%) 4 . 2% (1+2%) 4 − 1 ∴ PMT = VP . FRC ( 2% , 4 ) PMT= VP. 0,2626238 Importante Como os exemplos são de aplicações já conhecidas e trabalhadas nas laudas anteriores, nos próximos itens indicaremos apenas as fórmulas. 16 b. Fator de valor atual: FVA = PMT → VP São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VP, portanto: VP = PMT . (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 . 𝐢𝐢 ∴ VP = PMT . FVA ( i , n ) c. Fator de acumulação do capital: FAC = PMT → VF São os multiplicadores que transformam o valor PMT em VF, sendo assim: VF = PMT . (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 𝐢𝐢 ∴ VF = PMT . FAC ( i , n ) d. Fator de formação do capital: FFC = VF → PMT São os multiplicadores que transformam o valor VF em PMT, por exemplo: PMT = VF . 𝐢𝐢 (𝟏𝟏+𝐢𝐢) 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 ∴ PMT = VF . FFC ( i , n ) Bem, agora que sabemos o conteúdo base, temos condições de estudar as formas derivadas desses fluxos, isto é, os sistemas de amortização. Todavia, antes de fazê-lo, precisamos ver ainda mais um tópico para completar nosso conhecimento sobre o fluxo de caixa uniforme. Precisamos aprender como determinamos de forma prática a taxa de juro em séries uniformes. TEMA 2 – IDENTIFICAÇÃO DA TAXA DE JUROS EM FLUXOS UNIFORMES Quando trabalhamos com fluxo de caixa uniforme, em geral, acabamos tendo que trabalhar com a fórmula do fluxo postecipado PV para PMT: Fórmula 7 – Fórmula do fluxo postecipado PV para PMT PMT= VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 E quando isso acontece em um problema que exige que descubramos o valor da taxa “i”, a tarefa fica complicada. O motivo? Simples, não dá para solucionar esse problema isolando o “i”, pois ele aparece tanto no numerado quanto no denominador, de tal forma que nos impede de executar tal operação. Muitas vezes, a solução encontrada para este problema é o método de “tentativa e erro”. Todavia, existem alternativas que são mais eficientes por 17 gerarem valores bem próximos do verdadeiro resultado e de forma bem rápida. E, dentre estas, estudaremos duas delas: (i) Baily-Lenzi e (ii) Karpin. Veja, a seguir, como elas são aplicadas por meio de um exemplo. 2.1 Exemplo Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais de R$ 157,57 cada, obtidos por juros compostos postecipados. Informe qual foi a taxa de juro efetiva mensal dessa operação. SoluçãoPMT = PV . (1+i)n . i (1+i)n − 1 → 157,57 = 600 . (1+i) 4 . i (1+i)4 − 1 ∴ 157,57 600 = (1+i) 4 . i (1+i)4 − 1 ∴ PMT PV = 157,57 600 = 0,262624 1 ∴ 0,262624 = (1+i) 4 . i (1+i)4 − 1 Sendo assim, temos as seguintes informações sobre essa equação: Para cada um real (R$ 1) de PV, temos de PMT R$ 0,262624, considerando n=4. Dado esse fato, ou seja, dada a obtenção do fator de cálculo “FRC” para n=4, podemos utilizar métodos Baily-Lenzi e Karpin para a obtenção de “i”: 2.2 Resolução: Baily-Lenzi Este método usa duas fórmulas, ou seja, dois passos: Passo 1: achar o índice “h” h = ( n . PMT PV ) 2 𝑛𝑛+1. ── 1 Portanto: h = ( 4 . 0,262624 ) 2 4+1. ─ 1 → h = (1,050496 ) 2 5. ─ 1 → h = 0,0199 Passo 2: achar a taxa “i” usando o índice “h” i = h . 12−(n−1) . h 12−(n−1). h . 2 , 12 e 2 são números da fórmula 18 i = 0,0199 . 12−(4−1) . 0,0199 12−(4−1). 0,0199 . 2 → i = 0,0199 . 11,9403 11,8806 ∴ i = 0,0199 . 1,0052025 → i = 0,02 ∴ i= 2% (resposta) 2.3 Resolução: Karpin Este método usa duas fórmulas, ou seja, dois passos: Passo 1: achar o índice “a” a = n . PMT−PV PV a = 4 . 0,262624− 1 1 → a = 0,050549 1 → a = 0,050496 Passo 2: achar a taxa “i” usando o índice “a” i = 2 . a . ( 3 + a ) 2 . a . n + 3 . ( n + 1 ) i = 2 . 0,050496 .( 3 + 0,050496 ) 2 . 0,050496 . 4 + 3 . ( 4 + 1 ) → i = 0,100992 . 3,050496 0,100992 . 4 + 3 .5 i = 0,308079 15,40397 → i = 0,02 ∴ i= 2% (resposta) Importante Logicamente, também podemos resolver esse problema com a HP12c: • F CLx (limpa a máquina); • Verificar se a Hp12c está na forma postecitapada; • 4 n (lançamento dos meses com terão o valor uniforme); • 600 CHS PV; • 157,57 PMT; • i (na tela irá aparecer o valor 2 → 2%). Realmente é bem fácil descobrir o valor de “i” com a Hp12c, porém, nem sempre a teremos à disposição para fazer o cálculo, por isso a importância do aprendizado desses dois métodos vistos aqui! Dito isso, vamos para o Tema 3. 19 TEMA 3 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO POR PREÇO CONSTANTE: SPC Um sistema de amortização (ou série de pagamento) trata-se de um conjunto de expressões que nos permite analisar uma dívida com relação ao: a. Valor das prestações a serem pagas b. Valor dos juros presentes em cada prestação c. Valor amortizado em cada prestação paga d. Valor do saldo devedor após o pagamento de cada prestação Sendo assim, um sistema de amortização está regido por quatro fórmulas básicas: P t = J t + A t J t = S anterior . i A t = P t – J t S t = S anterior – A t Onde: • P t = Valor do pagamento (Preço=Parcela) no período de tempo t; • A t = Valor da Amortização da dívida no período de tempo t; • J t = Valor do Juro da dívida no período de tempo t; • S t = Saldo final da dívida no período de tempo t ; • S anterior = Saldo final da dívida no período anterior (isto é, t - 1) ; Como podemos ver nas quatro fórmulas anteriores, dentro do tempo t, temos três dados principais a considerar: P t ; A t ; J t . Acontece que, conforme o sistema financeiro que tivermos usando, um desses três dados será constante, isto é, uniforme (mesmo valor, presente de forma ininterrupta). Neste tópico, vamos abordar o Sistema de Preço constante – SPC, em que preço significa pagamento. O SPC também é conhecido pelas alcunhas: Sistema francês de pagamento ou Sistema Price (por ter sido apresentado por Richard Price, em um artigo no Século XVIII). Nomes à parte, o que nos interessa é que o SPC trata- se de um método no qual os pagamentos realizados são constantes, ou seja, 20 uniformes em seu valor. Sendo assim, o SPC nada mais é do que um fluxo de caixa uniforme. Importante Aqui, iremos trabalhar com o postecipado para exemplicar sua lógica. Portanto, toda a lógica que foi trabalhada lá no Tópico 1 é válida aqui. E, por isso, vamos partir logo para as fórmulas que são específicas sobre este sistema: Fórmula 8 – Fórmulas específicas P = PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 , acha o preço (prestações=PMT) a partir de VP. J t = PMT . (1+i) 𝑛𝑛+1−𝑡𝑡 − 1 (1+i) 𝑛𝑛+1−𝑡𝑡 , acha o valor do juro na prestação “ t ”. A t = (PMT ─ i . PV) ( 1 + i ) t - 1 , acha o valor amortizado na prestação “ t ”. S t = PMT . (1+i) 𝑛𝑛−𝑡𝑡 − 1 (1+i) 𝑛𝑛−𝑡𝑡 . i , achar o saldo final após a prestação “ t ”. Vamos demonstrar essas quatro fórmulas em um exemplo. 3.1 Exemplo 1 Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais segundo o sistema Price, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês. Sendo assim, responda: a. Qual o valor de cada prestação? b. Qual o valor do juro presente na prestação no terceiro mês? c. Qual o valor amortizado de dívida na prestação no terceiro mês? d. Qual o valor do saldo da dívida após o pagamento da terceira prestação? Solução a. Parcela 21 PMT= 600. (1+2%) 4 . 2% (1+2%) 4 − 1 → 600. 1,08243 . 2 1,08243 − 1 → 600. 0,02165 0,08243 ∴ PMT= 600. 0,2626238 ≅ R$157,57 (valor uniforme = preço constante) b. Juro presente na prestação em t = 3 J 3 = 157,57 . (1+2%) 4+1−3 − 1 (1+2%) 4+1−3 ≅ R$ 6,12 (juros na 3º prestação) c. Amortizado presente na prestação em t = 3 A 3 = (157,57 - 2% . 600) . ( 1 + 2% ) 3 - 1 A 3 = 145,5743 . 1,04040 ≅ R$ 151,46 (amortização na 3º prestação) d. Saldo devedor após pagamento da prestação em t = 3 S 3 = 157,57 . (1+2%) 4−3 − 1 (1+2%) 4−3 . 2% ≅ R$ 154,48 (saldo final após 3º prest.) Vamos entender! Quando for pagar a 3º prestação no valor de R$ 157,57, será descontado o juro de R$ 6,12 (referente ao custo do saldo anterior da dívida), o que sobra da prestação (R$157,57 – R$6,12 = R$151,46) vai amortizar o saldo da dívida (R$ 305,94 de S anterior – 151,46 de A t = R$154,48 de SF na dívida). Veja essa lógica nas etapas presentes no quadro abaixo: Quadro 2 – Etapas da solução t P t J t A t S t Pagamento Juros Amortização Saldo final ( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 0 - - - - 600,00 1 R$ 157,57 12,00 145,57 - 454,43 2 R$ 157,57 9,09 148,49 - 305,94 3 R$ 157,57 6,12 151,46 - 154,48 4 R$ 157,57 3,09 154,48 0,00 22 “Resumindo a ópera”, temos que o uso dessas quatro fórmulas substitui a necessidade de montar uma tabela completa sobre a operação para descobrirmos o que ocorre em determinado momento “t” da operação. Ah! Também podemos obter a soma do “J” e do “A” no SPC na Hp12c: • F CLx (limpa a máquina); • 600 PV (positivo porque entrou no caixa, lá quadro é negativo, pois dívida); • 157,57 CHS PMT (negativo, pois sai no caixa quando pagamos); • 2 i (taxa de juro efetiva); • 3 n (pois queremos analisar o t=3); • F Amort (aparece na tela o total pago de juros até t=3: R$ 27,21); • X >< y (aparece o total amortizado até t=3: R$445,50); • RCL PV (aparece na tela, o Saldo final após t=3 : R$154,5 ou 154,48). Importante Antes de repetir com outro valor de t=n, lance novamente o PV original. Como você pôde ver no “SPC” o valor de cada prestação é obtido por meio da modelagem do fluxo uniforme, e deste valor se obtêm as variáveis juros, valor de amortização e saldo devedor. TEMA 4 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE: SAC O Sistema de Amortização Constante – SAC – é um sistema no qual o que é constante no processo de pagamento da dívida é o valor da Amortização. Sendo assim, o que primeiro devemos estabelecer é este valor uniforme e, partir dele, o saldo final da dívida em cada período. A partir do saldo final do período, devemos calcular o juro do período e, assim, definir o valor da prestação (=amortização + juro). Vamos entender esse processo com um exemplo: 4.1Exemplo 1 Uma loja vendeu a prazo um bem cujo preço à vista é de R$ 600. A operação foi integralmente parcelada em quatro prestações mensais segundo o sistema de amortização constante – SAC, mediante o uso de uma taxa de juro de 2% ao mês. Com esses dados observe o quadro dessa operação: 23 Solução Quadro 3 – Solução t (4º) P t (3º) J t (1º) A (2º) S t Pagamento Juros Amortização Saldo final ( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 0 - - - - 600,00 1 162,00 12,00 $ 150,00 - 450,00 2 159,00 9,00 $ 150,00 - 300,00 3 156,00 6,00 $ 150,00 - 150,00 4 153,00 3,00 $ 150,00 0,00 Vamos agora entender todo esse processo por meio de uma modelagem e, para tanto, vamos usar as quatro fórmulas que seguem: A = S0 n J t = A . i . ( n + 1 – t ) P t = A . [ 1 + i . (n + 1 – t) ] S t = A . ( n – t ) Onde: • A = Amortização constante; • S0 = Saldo inicial em n=0; • n = Tempo total do débito • t = Período específico dentro do tempo do débito. Agora que já conhecemos as fórmulas, vamos exemplificar o uso da modelagem para SAC. Sendo assim, utilizando o enunciado do exemplo anterior responda: a. Qual o valor de cada prestação? b. Qual o valor do juro presente na prestação no terceiro mês? c. Qual o valor amortizado de divida na prestação no terceiro mês? d. Qual o valor do saldo da dívida após o pagamento da terceira prestação? Solução 24 a. Parcela em t=3: Primeiro, precisamos calcular a amortização uniforme: A = 600 4 = R$ 150,00 (este valor será usado no item a, b , c) Agora, vamos calcular a parcela no momento em t=3 P 3 = 150 . [ 1 + 2% . (4 + 1 – 3) ] ∴ P 3 = 150 . [ 1 + 2% . 2 ] ∴ P 3 = 150 . 1,04 = R$ 156,00 (Parcela no momento t=3) b. Juro presente na prestação em t = 3 J 3 = 150 . 2% . ( 4 + 1 – 3 ) J 3 = 150 . 2% . 2 J 3 = 150 . 0,04 = R$ 6,00 (juro presente na prestação em t=3) c. Amortizado presente na prestação em t = 3 A = 600 4 = R$ 150,00 (amortização em t=3 é igual para qualquer t) d. Saldo devedor após pagamento da prestação em t = 3 S 3 = 150 . ( 4 – 3 ) = 150 . 1 = 150 (saldo final após 3º prest.) Como você pode ver, cada um desses resultados é idêntico aos calculados no quadro visto no início do tema. Ou seja, como ocorreu no Price, o uso da modelagem no SAC nos permite obter facilmente o valor de A, P, J e SF em qualquer momento t de um endividamento sem a necessidade de construir uma tabela para tanto. Convenhamos, é bem mais fácil usar a modelagem! 25 TEMA 5 – OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO O Sistema De Amortização Por Preço Constante – Price – e por Amortização Constante – SAC – são, no Brasil, os mais utilizados. Todavia, existem outras possibilidades para o processo de quitação de uma dívida. Dentre estes, podemos citar como exemplos: Sistema Misto (média entre SPC e SAC), Sistema Americano (juros constantes) e o Sistema Alemão (antecipação dos juros). 5.1 Sistema de Amortização Misto O Sistema de Amortização Misto – SAM – apresenta em cada período “t” do endividamento os valores de prestação, juros, amortização e saldo como sendo o valor da média simples destes, respectivamente, aos valores SPC e SAC. Ou seja, apresenta como fórmula as seguintes expressões: Fórmula 9 – Sistema de Amortização Misto P t = (P t do SPC + P t do SAC ) / 2 J t = (J t do SPC + J t do SAC ) / 2 A t = (A t do SPC + A t do SAC ) / 2 S t = (S t do SPC + S t do SAC ) / 2 Vamos testar essas fórmulas com os dados vistos nos temas 3 e 4, para t=3: P 3 = (157,57 do SPC + 156 do SAC ) / 2 = R$ 156,79 J 3 = ( 6,12 do SPC + 6 do SAC ) / 2 = R$ 6,06 A 3 = (151,46 do SPC + 150 do SAC ) / 2 = R$ 150,73 S 3 = (154,48 do SPC + 150 do SAC ) / 2 = R$ 152,24 Comprovando no quadro: 26 Quadro 4 – Sistema de Armotização Misto t P t J t A t S t Pagamento Juros Amortização Saldo final ( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 0 R$ - R$ - R$ - -R$ 600,00 1 R$ 159,79 R$ 12,00 R$ 147,79 -R$ 452,22 2 R$ 158,29 R$ 9,05 R$ 149,25 -R$ 302,97 3 R$ 156,79 R$ 6,06 R$ 150,73 -R$ 152,24 4 R$ 155,29 R$ 3,05 R$ 152,24 R$ - 5.2 Sistema de Amortização Americano Neste sistema, as prestações de cada período, para “t” valor definido como sendo 0 < t < “n-1”, é igual ao valor juro do período, já para t=n (última prestação) o valor pago é definido como “juro + Principal”. Ou seja, após o endividamento no “t=0”, todos os pagamentos antes do t final serão apenas de juros (nada de amortização), já o último será de juros mais a quitação integral dívida assumida. Portanto, sua modelagem fica: Para t → 0 < t < (n-1) P t = J t J t = i . S0 A t = zero S t = S0 Para t → t = n P n = J t + S0 J n = i . S0 A n = S0 S n = 0 (zero) Veja esse exemplo: 27 Quadro 5 – Exemplo de Sistema de Amortização Misto t P t J t A t S t Pagamento Juros Amortização Saldo final ( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 0 R$ - R$ - R$ - -R$ 600,00 1 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 2 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 3 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 4 R$ 612,00 R$ 12,00 R$ 600,00 R$ - Como podemos ver, entre t = 1 e t = 3, para todas as linhas temos que P= 12, J=12, A=0 e S=600; já para t= 4 temos P= 612 (12+600), J= 12, A= 600, S= 0. Sendo esse o comportamento que sempre iremos observar se optarmos no uso da modelagem do Sistema Americano, ou seja, a taxa de juro será constante e as prestações serão este valor mantendo sempre o saldo devedor igual. 5.3 Sistema de Amortização Alemão O sistema alemão é muito parecido com o sistema francês (Price), o que muda é a forma de abordar os juros em cada período t. No SPC, os juros são incorporados em condição postecipada, já no sistema alemão os juros são tratados de forma antecipada. Ou seja, neste sistema temos no t=0 o pagamento do juro do S0 (saldo inicial da dívida), já nas demais linhas os preços serão constantes até t=n. Vejamos as fórmulas: P0 = Jo = S0 . i , para t = 0 P = 𝑃𝑃 0 1 −(1−i)𝑛𝑛 , para t > 0 A t = P . ( 1 – i) 𝑛𝑛−1 ( 1 – i) 𝑡𝑡−1 J t = P - A t S t = J t / i Vamos testar essas fórmulas com os dados do problema sobre sistemas de pagamento visto desde o Tema 3, considerando t=3: 28 P0 = J0 = S0 . i → P0 = 600 . 2% = $ 12 (Pagamento t=0) P = P0 . 𝑖𝑖 1 −(1−i)𝑛𝑛 → P = 12 1 −(1−2%)4 = $154,58 (prestação constante) A t = P . ( 1 – i) 𝑛𝑛−1 ( 1 – i) 𝑡𝑡−1 → A 3 = 154,58 . ( 1 – 2%) 4−1 ( 1 – 2%) 3−1 = $151,48 (amort. em t=3) J t = P - A t → J 3 = 154,58 - 151,48 = R$ 3,09 (juros em t=3) S t = J t / i → S 3 = 3,09 / 2% = R$ 154,58 (saldo final em t=3) Vamos comprovar os dados obtidos na modelagem com o quadro abaixo: Quadro 6 – Dados obtidos na modelagem t P t J t A t S t Pagamento Juros Amortização Saldo final ( 2%.SFanterior ) ( P t ─ J t ) ( SI + E - S ) 0 R$ 12,00 R$ 12,00 R$ - -R$ 600,00 1 R$ 154,58 R$ 9,09 R$ 145,49 -R$ 454,51 2 R$ 154,58 R$ 6,12 R$ 148,45 -R$ 306,06 3 R$ 154,58 R$ 3,09 R$ 151,48 -R$ 154,58 4 R$ 154,58 R$ 0,00 R$ 154,58 R$ - Viu? Tudo bateu. E com essa demonstração no uso do sistema alemão encerramos este tópico e, também, a aula de hoje. Espero que tenha gostado do conteúdo. Abraços! TROCANDO IDEIAS Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários conceitos sobre o processo de capitalização composta, dentre outras, as aplicações do fluxo de caixa uniforme. Agora, entreno Fórum da disciplina e, usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares sobre: Qual o tipo fluxo de caixa que está presente nas propagandas de produtos que 29 apresentam promoções do tipo “uma entrada + 10 vezes”, em que o valor da entrada e as prestações são iguais? NA PRÁTICA a. Leitura do caso O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que precisa pagar em 6 prestações mensais iguais. Sabendo que a taxa de juro é de 3% ao mês e que a dívida foi calculada por juros compostos mensais, série uniforme postecipada, responda: qual o valor de cada prestação? b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o problema Para resolver esse problema, precisamos aplicar a fórmula vista no Tema 1. c. Apresentação da solução do problema PMT = VP . (1+i) 𝑛𝑛 . i (1+i) 𝑛𝑛 − 1 → PMT = 2,5 mil . (1+3%) 𝑛𝑛 . 3% (1+3%) 𝑛𝑛 − 1 ∴ PMT = 2,5 mil . (1+3%) 𝑛𝑛 . 3% (1+3%) 𝑛𝑛 − 1 = 0,46149 = R$ 461,49 FINALIZANDO Nesta aula estudamos os juros compostos em fluxo de caixa uniforme. Vimos as diferenças e semelhanças entre os sistemas postecipado, antecipado e diferido. Também praticamos formas de obtenção da taxa de juro de um sistema uniforme postecipado por meio dos artefados Karpin e Baily-Lenzi. E, por fim, estudamos os sistemas de amortização: SPC, SAC, SAM, sistema alemão e sistema americano. Tudo isso foi estudado utilizando exemplos numéricos nos quais os cenários foram mantidos didaticamente semelhantes para facilitar a sua aprendizagem sobre as diferenças e similaridades de cada conteúdo. 30 REFERÊNCIAS ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. Curitiba: InterSaberes, 2013. CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2010. RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. Curitiba: Ibpex, 2011. Conversa inicial Contextualizando Trocando ideias Na prática FINALIZANDO REFERÊNCIAS
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