APOSTILA CALCULOS FINANCEIROS E ESTATISTICOS - JKO

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componente Curricular: Cálculos Financeiros e Estatísticos Módulo: 1º 
 
Nº 
 
Competências 
 
Nº 
 
Habilidades 
 
Nº 
 
Bases Tecnológicas 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
.Analisar dados relacionados à 
matemática financeira. 
 
.Identificar a relação entre as 
políticas financeiras e a execução 
financeira no processo. 
 
 
. Interpretar resultados estatísticos de 
acordo com cada método estudado. 
1.1 
 
 
 
1.2 
 
2.1 
 
 
 
 
2.2 
 
 
 
2.3 
 
 
3.1 
 
3.2 
 
3.3 
. Efetuar cálculos matemáticos de juros 
simples, juros composto, capital, valor 
presente, valor futuro, descontos, etc. 
 
. Utilizar resultados estatísticos. 
 
. Levantar informações quantitativas e 
financeiras sobre o desempenho do mercado, 
produtos, custos e demais dados; visando 
apoiar o processo de estudos mercadológicos e 
econômicos. 
 
.Organizar informações e comparar dados dos 
estudos com dados reais, preparando base 
para análise pelas funções especializadas da 
empresa. 
 
. Usar técnicas de manuseio de calculadora 
financeira. 
 
. Fazer cálculos e construir tabelas. 
 
. Elaborar gráficos. 
 
. Produzir relatórios sobre os resultados das 
pesquisas de desempenho do mercado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
8 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
Regra de três simples e composta 
 
 
. Fases do método estatístico: 
 coleta de dados; 
 apuração dos dados; 
 análise dos resultados. 
 
. População e amostragem 
 
. Dados absolutos e dados relativos. 
 
. Sistemas de crédito e cobrança: 
 juros simples; 
 juros compostos; 
 descontos comercial; 
 juros compostos; 
 empréstimos (sistemas de amortização); 
 montante, capital acumulado e valor futuro (F) 
 
. Matemática Financeira: amortização, depreciação, 
descontos, rendas e câmbio: 
 as porcentagens; 
 índices econômicos; 
 os coeficientes; 
 as taxas 
 
. Gráficos estatísticos: 
 curvas, barras e setores. 
 
. Medidas de posição: 
 média aritmética; 
 a moda; 
 a mediana; 
 desvio padrão 
 
. Estudo da Probabilidade: 
 Média Aritmética 
 
 
Cálculos Financeiros e Estatísticos 
Professor: João Alberto 
TÉCNICO EM LOGÍSTICA 
etec.logistica.tec@gmail.com 
2 
 
REGRAS DE SINAIS 
 
 
 
 
3 
 
 
REGRAS DE APROXIMAÇÃO - ABNT/NBR 5891/1977 (com código secundário 
ABNT/NB 87/1961) dispõe sobre as regras de arredondamento da numeração decimal. 
Primeiramente, escolhe-se a casa decimal em que se quer fazer a aproximação e depois segue-se as seguintes regras: 
Primeira regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo inferior a cinco : Basta apenas 
retirar os algarismos após o algarismo que queremos conservar. 
Exemplo: Como é o arredondamento para deixar o número 58,93497 com apenas duas casas depois da vírgula? 
 
Segunda regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo superior a cinco: Aumenta-se 
uma unidade a este último algarismo e retira-se os posteriores. 
Exemplo: Como deixar apenas duas casas depois da vírgula no número 93,58746? 
 
 
Terceira regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo igual a cinco , devemos seguir 
o seguinte procedimento: 
- (a) Se o algarismo a ser conservado for ímpar, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retira-se os 
posteriores. 
4 
 
Exemplo: Como deixar o número 667,4756 com duas casas após a vírgula? 
terceira regra A: último algarismo a ser conservado igual a cinco e ímpar. 
 
 
- (b) Se o algarismo a ser conservado for par e ao algarismo 5 subsequente seguir-se pelo menos um algarismo diferente 
de zero, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retira-se os posteriores. . 
Exemplo: Como deixar o número 667,4856 com duas casas depois da vírgula? 
 
 
-(c) Se o algarismo a ser conservado for par e ao algarismo 5 subsequente seguir-se somente algarismos zero, não haverá 
modificação, somente retira-se os algarismos posteriores. 
Exemplo: Como deixar o número 667,4850 com duas casas depois da vírgula? 
 
 
Cabe ressaltar finalmente, que não se deve fazer arredondamentos sucessivos (ex.: 27,2462 passa a 27,2 e não para 27,25 
e depois para 27,3). Caso se faça necessário um novo arredondamento é recomendado o retorno aos dados originais. 
 
 
 
5 
 
EXERCÍCIOS (resolva as equações e coloque o resultado utilizando regras de aproximação): 
1º deixar duas casas depois da virgula. 
123/0,33 = 
 
13* 0,025 = 
 
1235,85/ 1,34= 3,0950 = 
125/8 = 12,050² = 
 
 = 
 
 
 = = 1,35³ = 
 
 = 
13,0357³ = = ³ = ⁄ 
25678/ = = √ = 
 = 
 
 = 
 
 = = 
33/237 = 13/0,347 = 2345*0,055 = 123,097-102,06 = 
345,99+25,86 = 78,098-60,723 = 
 
 = ⁄ = 
 = 13/0,347* 
 
 = ⁄ = 
 = 
679* 
 
 = 33/ 
 
 = 1987*3% = 67,64/3% = 
 
FRAÇÕES = parte de um todo 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
A garçonete poderia ter dividido a pizza em 4 partes iguais. 
Cada menino comeria uma dessas partes. 
O resultado seria o mesmo! 
 
 
As frações 1 / 3, 2 / 6 e 4 / 12 são equivalentes? 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: 
 
2 / 8 e 1 / 4 são frações equivalentes. 
Frações equivalentes são frações que 
representam a mesma parte de um todo. 
 
6 
 
 
 
ADIÇÃO 
Você se lembra de como somar, subtrair, multiplicar ou dividir frações? 
Vamos primeiro relembrar a adição... 
 
Adição com denominadores iguais 
 
 
ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES 
 
MMC... 
Atenção! 
Nem sempre o MMC dos denominadores é igual ao produto entre eles ( 3*4 = 12) . Veja só... 
3/4 + 5/6 = ? 
O MMC de 4 e 6 é 12. Assim, nossa expressão é equivalente a... 
9/12 + 10/12 = 19/12 
 
7 
 
EXERCÍCIO = Calcular o MMC dos números: 
4, 8 , 9 , 24 = 
15, 3, 35, 21 = 
 
 
MAIS DE DUAS FRAÇÕES 
Se você tiver de somar ou subtrair mais de duas frações, não tem segredo... 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Vejamos agora como multiplicar frações... 
 
MAIS DE DUAS FRAÇÕES 
Se você tiver de multiplicar mais de duas frações, não tem segredo... 
 
 
DIVISÃO 
Das quatro operações, só falta vermos a divisão... 
Dividir frações é o mesmo que multiplicá-las por sua inversa. Dessa forma... 
Observe que multiplicamos 
numerador por numerador e 
denominador por denominador. 
Simplifique a fração 
Mesmo procedimento 
8 
 
 
 
FRAÇÕES PRÓPRIAS VERSUS FRAÇÕES IMPRÓPRIAS 
É de se esperar que uma fração possua sempre o numerador menor do que o 
denominador. 
Chamamos essas frações de frações próprias. 
 
Claro! Afinal, como é que vamos distribuir 9 pedaços de uma pizza que foi 
dividida em 8 pedaços apenas? 
Na prática, isso não é possível, a menos que tivéssemos outra pizza. 
Contudo, matematicamente, isso pode acontecer . uma fração pode possuir o 
numerador maior do que o denominador. 
Nesses casos, chamamos a fração de fração imprópria, justamente porque isso 
não é o normal. 
 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
Quando a fração for imprópria, podemos denotá-la da seguinte forma... 
 
Esses números são chamados de números mistos. 
 
 
9 
 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
CONCEITUAÇÃO 
Potenciação e radiciação são operações matemáticas. 
Com certeza, você as conhece, mas talvez não pelos nomes de batismo. 
 
 
RADICIAÇÃO 
Vamos à definição de radiciação... 
 
 
Potenciação acontece quando temos um número elevado a 
outro número natural, que chamamos de potência. 
Radiciação é uma generalização da potenciação... A potência 
pode ser um número racional. 
10 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
11 
 
 
 
3) Calcule 85 - (-5)2 + 31 + 40 + 2-1. 
Resposta = 32747,5. 
 
4) Calcule 432 e (43)2. 
Resposta = 4096. 
 
5) Quais os resultados de 713 : 711 e de 2-4 . 2
5? 
 Resposta = 49e 2 
 
6) Calcule . 
Vamos resolver este exercício de duas maneiras distintas. Na primeira vamos passar o expoente 8 para dentro 
do radical e na segunda vamos transformar o radical em uma potência com expoente fracionário. 
Passando o expoente 8 para dentro do radical temos: 
 
Agora vamos utilizar a propriedade da mudança de índice pela sua divisão e do expoente do radicando por 4: 
 
A raiz de índice 1 de um número é igual ao próprio número: 
 
 
 
 
Pela outra forma temos: 
 
Agora multiplicamos os expoentes e resolvemos a potência: 
 
Então: 
. 
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
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PORCENTAGEM 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, 
sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de 
falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a 
esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, 
e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
16 
 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
Exercícios de Porcentagem 
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 
 
 
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 
 
 
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores 
ensinam Matemática nessa escola? 
 
 
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se 
paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 
 
 
Calcule as porcentagens correspondentes: 
e) 2% de 700 laranjas 
f) 40% de 48 m 
g) 38% de 200 Kg 
h) 6% de 50 telhas 
i) 37,6% de 200 
j) 22,5% de 60 
 
EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR RESOLVIDOS ( TRABALHO) 
1) Quanto é 15% de 80? 
 
2) Quanto é 70% de 30? 
 
3) Quanto é 150% de 45? 
 
4) Quanto é 100% de 40? 
 
5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. 
 
6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. 
Quantas pessoas moram na ilha? 
 
7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? 
 
8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário? 
 
9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha? 
 
10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200km/h. A velocidade máxima do carro 
do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro? 
 
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17 
 
11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? 
 
12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com 
quantos por cento eu fiquei? 
 
13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor 
do desconto obtido? 
 
14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das 
garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? 
 
15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam? 
 
16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa 
eu vendi? 
 
17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu 
tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho 
mais ovos agora ou inicialmente? 
 
18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta 
mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? 
 
19) Quanto é 60% de 200% de 80%? 
 
20) Quanto é 45% de 90% de 180? 
 
21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar 
apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? 
 
22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população? 
 
23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em 
meu bolso? 
 
24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? 
 
25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o 
preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel? 
 
26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o 
preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto 
obtido?
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais 
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia 
produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
 
 Identificação do tipo de relação: 
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18 
 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando a tabela: 
 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo 
tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
19 
 
 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para 
percorrer este trajeto? 
 
2) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para 
enche-lo? 
 
3) Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão 
de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete? 
 
4) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por 
minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta 
mesma medicação? 
 
5) Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, 
quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? 
 
6) Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 1,80. Eu 
soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens eu 
poderei comprar com a mesma quantia que eu tenho? 
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20 
 
 Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m
3
 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m
3
? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente 
proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para 
baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional(não precisamos 
inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não 
precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual 
será o tempo necessário para completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as 
grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 
 
1. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 
 
21 
 
2. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos 
dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 
 
3. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 
16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 
4. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por 
dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 
5. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de 
tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 
 
EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR ( TRABALHO) 
 
1) Para esvaziar um compartimento com 700m
3
 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o 
compartimento tivesse 500m
3
 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para 
esvaziá-lo? 
 
2) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 
5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos? 
 
3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? 
 
4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m
3
 de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os 
mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana? 
 
5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 
trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas? 
 
6) À média de 90km/h faço um trajeto em três horas. Para que eu faça este percurso em apenas duas horas, 
qual deve ser a minha velocidade média? 
 
7) Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas em forma de cubo. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na 
base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Seu eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei 
precisar? 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
Introdução 
O mundo dos negócios, em qualquer que seja a área, de Recursos Humanos a Marketing, não 
pode mais embasar as tomadas de decisões e assumir risco simplesmente no feeling e no bom-senso 
dos executivos e gerentes organizacionais. A complexidade da sociedade e dos mercados apresentada 
atualmente exige que estes agentes se utilizem de recursos precisos e poderosos de forma a minimizar 
os potenciais riscos da atividade econômica. Neste contexto pode-se destacar a crescente utilização da 
informática, do método e dos recursos de estatística nas organizações que almejamdestacar-se como 
agentes econômicos de ponta. 
 
Definições 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, 
resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou 
desvio padrão. 
 
Enfim, quando se fala de estatística, fala-se de uma ciência presente em todos os eventos 
mensuráveis do cotidiano. Muitas vezes ela está tão presente nas atividades rotineiras que não se dá 
conta de que a mesma encontra-se ali. Por exemplo, em um jogo de futebol, tomando-se o goleiro e seu 
espaço vizinho, tem-se uma distribuição normal. Sim, afinal ao longo do jogo, os chutes a gol, tendem à 
área delimitada e defendida pelo goleiro. Ao final do jogo se houvesse uma quantificação dos chutes a 
gol, ter-se-ia a normalidade dos chutes (provavelmente entre 68% a 99% dos chutes para a linha de 
fundo concentrar-se-iam neste espaço). Este é apenas um dos inúmeros exemplos que fazem com a 
estatística seja mais familiar do que se imagina. 
 
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22 
 
Populaçao e amostra 
 Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente 
tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma 
pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande 
maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre 
outros motivos. 
 A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a 
inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de 
determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. 
 
 
 
 
 
COLETA DE DADOS 
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensuráveis do 
fenômeno coletivamente típico que se quer pesquisar, damos início à coleta dos dados 
numéricos necessários à sua descrição. 
A coleta dos dados poderá ser feita de diversas formas. A ideal é aquela que maximiza os 
recursos disponíveis, dados os objetivos e a precisão previamente estipulados. 
No seu planejamento, deve-se considerar o tipo de dado a ser coletado, o local onde este se 
manifestará, a frequência de sua ocorrência, e outras particularidades julgadas importantes. 
Quando os dados se referirem ou estiverem em poder de pessoas, sua coleta poderá ser 
realizada mediante respostas a questionários previamente elaborados. Esses questionários 
podem ser enviados aos entrevistados para devolução posterior ou podem ser aplicados pelos 
próprios pesquisadores ou por entrevistadores externos ou contratados, devidamente 
treinados. 
Os dados ou informações representativas dos fenômenos ou problema em estudo podem ser 
obtidos de duas formas: por via direta ou por via indireta. 
Por via direta - quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (p. ex.: 
nascimentos, casamentos, óbitos, matrículas de alunos etc.) ou, ainda, quando os dados sãocoletados pelo próprio pesquisador através de entrevistas ou questionários. 
 
A coleta direta de dados, com relação ao fator tempo, pode ser classificada em: 
 
23 
 
a) contínua, também denominada registro, é feita continuamente, tal como a de 
nascimentos, óbitos, etc.; 
 
b) periódica, quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos(de 10 em 10 
anos), os balanços de uma empresa comercial, etc.; 
 
c) ocasional, quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma 
emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam seres humanos 
 
Por via indireta - quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou conhecimento de 
outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa 
sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos via coleta direta. 
 
CRÍTICA DOS DADOS 
Os dados colhidos por qualquer via ou forma e não previamente organizados são chamados de dados 
brutos. Esses dados brutos, antes de serem submetidos ao processamento estatístico propriamente 
dito, devem ser "criticados", visando eliminar valores impróprios e erros grosseiros que possam 
interferir nos resultados finais do estudo. 
 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando se observa o material constituído 
pelos dados coletados. É o caso, por exemplo, da verificação de somas de valores anotados. 
 
APURAÇÃO OU PROCESSAMENTO DOS DADOS 
Uma vez assegurado que os dados brutos são consistentes, devemos submetê-los ao processamento 
adequado aos fins pretendidos. A apuração ou processamento dos dados pode ser manual ou 
eletrônica. Os processos e métodos estatísticos a que um conjunto de dados pode ser submetido serão 
nosso objeto de estudo nas seções seguintes. 
 
EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser 
apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo 
que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas. 
No caso particular da estatística descritiva, o objetivo do estudo se limita, na maioria dos casos, 
à simples apresentação dos dados, assim entendida a exposição organizada e resumida das 
informações coletadas através de tabelas ou quadros, bem como dos gráficos resultantes. 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) 
a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). 
Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Inferencial, que tem por base a 
indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.. 
 
Tabelas 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. 
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. 
No Brasil as regras para construção de tabelas e gráficos são regidas pelo IBGE. 
Uma tabela é constituída de título, cabeçalho, corpo, coluna indicadora e rodapé. 
No cabeçalho devemos ter as informações sobre o que está apresentado na tabela (o que, 
onde e quando...). No corpo da tabela temos as células, onde estarão os dados representativos 
do fenômeno estudado. No rodapé, recomendasse que se coloque a fonte das informações. 
Consta ainda da norma específica que as tabelas não sejam fechadas nas extremidades 
(esquerda e direita). 
 
24 
 
 
 
Séries estatísticas 
Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 
 Daí, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elementos 
ou fatores: o tempo, o espaço e a espécie. 
 Conforme varie um dos elementos, podemos classificá-las em histórica, geográfica e 
específica. 
 
Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas 
 
 
 
Séries específicas ou categóricas 
 
 
 
Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada 
 Muitas vezes temo necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de valores 
de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais séries. 
 Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma 
tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal (linha) e uma 
vertical (coluna). 
 Exemplo: 
 
Ligações telefônicas – por regiões –período 1991 a 1993 
25 
 
 
 
 A conjugação, no exemplo, foi série geográfica-série histórica, que dá origem à série 
geográfico-histórica ou geográfico-temporal. 
 Podem existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representação, séries 
compostas de três ou mais entradas. 
 
Distribuição de frequência 
 
 
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a 
contagem ou medida, são chamados dados absolutos. 
 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem 
entre dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre 
quantidades. 
 
 Traduzem-se os dados relativos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
As percentagens 
Consideremos a série abaixo, e calculemos as percentagens dos alunos de cada nível de ensino. 
 
Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo, como segue: 
 
Distribuição da amostra ou 
população por “classes ou 
intervalos – ESTARURAS”, e 
por “frequência – Nº DE 
ALUNOS” que aparecem 
por classes ou intervalos. 
Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da 
cidade A, 91 estão matriculados no Ensino Fundamental, 8, 
aproximadamente, no Ensino Médio, e 1 no Ensino Superior. O 
emprego da percentagem é de grande valia quando é nosso intuito 
destacar participação da parte no todo. 
26 
 
 
Os índices 
Índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclua a outra. 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes 
Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total (número de 
ocorrências e número de não-ocorrências). 
 
 
 
As taxas 
As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc...) para 
tornar o resultado mais inteligível. 
 
 
 
 
Exercícios: 
1)Complete a tabela abaixo na base 1 e na base 100. (Exemplo A= (175/1781)x1= 0,0981781) 
27 
 
 
 
2) O Estado A apresentou 733.986 matrículas na 1ªsérie, no início do ano de 2012, e 683.816 no fim do 
ano. O Estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matrículas. Qual estado que 
apresentou maior evasão escolar? 
 
3) Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos, sabendo queobtiveram 
aprovação de 36 alunos . 
 
 
 
 
 
TRABALHO – ENTREGAR PRÓXIMA AULA 
28 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
Representação gráfica de dados estatísticos 
 Os dados de uma pesquisa podem ser apresentados de várias maneiras. Os meios de comunicação utilizam, em 
geral, gráficos e tabelas para apresentar esses dados. Isso ocorre porque esses recursos possibilitam uma apresentação dos 
resultados de uma pesquisa. As tabelas, por exemplo, são utilizadas para organizar os dados e apresentá-los de maneira mais 
simples ao leitor. Já os gráficos permitem uma melhor visualização e também uma análise mais detalhada dos dados 
apresentados. 
Existem diversos tipos de gráficos, sendo que a escolha do mais apropriado para cada situação depende de vários 
fatores, como o objetivo da pesquisa ou até mesmo as particularidades das informações a serem apresentadas. Nestetópico, 
iremos estudar os gráficos de barras, setores, linhas, além dos pictogramas e do histograma. 
 
Gráfico de Barras 
O gráfico de barras (ou de colunas) é utilizado, em geral, para representar dados de uma tabela de freqüências 
associadas a uma variável qualitativa. Nesse tipo de gráfico, cada barra retangular representa a freqüência ou a freqüência 
relativa da respectiva opção da variável. 
Veja a seguir um exemplo de gráfico de barras: 
Desmatamento na Amazônia cresce 3,8% 
Em 28/11, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) informou que o desmatamento na região da 
Amazônia, medido entre agosto de 2007 e julho de 2008, foi de 11.968 km², de acordo com o resultado do 
Projeto de monitoramento na Amazônia Legal (Prodes). A taxa 2007-2008 é 3,8% maior que o desmatamento 
medido no período anterior. 
 
 
Gráfico de Linhas 
O gráfico de linhas (ou de segmentos) é utilizado, em geral, para representar a evolução dos valores de 
uma variável no decorrer do tempo. 
Veja alguns exemplos de gráficos de linhas a seguir: 
 
Evolução da população residente em Portugal 1861 - 2007 
 
 Disponível em: http://ticg39195.blogspot.com/2009_11_01_archive.html 
http://ticg39195.blogspot.com/2009_11_01_archive.html
http://3.bp.blogspot.com/-iNg8RMkiQUQ/TlkZByq9hRI/AAAAAAAAAbo/DAI7ioo3eCM/s1600/e1.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-qSxJQO2PMgs/TlkZJyJoE7I/AAAAAAAAAbs/n_JIybl3elY/s1600/e2.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-ko6qeLrJ9O4/TlkbYwaIOLI/AAAAAAAAAb0/caifoREexhw/s1600/e10.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-iNg8RMkiQUQ/TlkZByq9hRI/AAAAAAAAAbo/DAI7ioo3eCM/s1600/e1.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-qSxJQO2PMgs/TlkZJyJoE7I/AAAAAAAAAbs/n_JIybl3elY/s1600/e2.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-ko6qeLrJ9O4/TlkbYwaIOLI/AAAAAAAAAb0/caifoREexhw/s1600/e10.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-iNg8RMkiQUQ/TlkZByq9hRI/AAAAAAAAAbo/DAI7ioo3eCM/s1600/e1.jpg
http://1.bp.blogspot.com/-qSxJQO2PMgs/TlkZJyJoE7I/AAAAAAAAAbs/n_JIybl3elY/s1600/e2.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-ko6qeLrJ9O4/TlkbYwaIOLI/AAAAAAAAAb0/caifoREexhw/s1600/e10.jpg
29 
 
 
Gráfico de Setores 
O gráfico de setores, também conhecido como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para 
representar partes de um todo. 
Veja a seguir uma tabela e um gráfico de setores indicando os setores que produzem os gases que 
intensificam o efeito estufa. 
 
Intergovernmental Panel on Climate Change. Reports. Disponível em: http://www.ipcc.ch/ 
 
Histograma 
As frequências absolutas e as relativas de dados agrupados em intervalos de classes podem ser representadas por 
meio de um tipo de gráfico denominado histograma, o qual é composto de retângulos justapostos cujas bases 
são apoiadas em um eixo horizontal. 
Observe a seguinte situação: 
Em um concurso público realizado pela prefeitura de certo município, 200 candidatos foram submetidos 
a uma prova escrita. A distribuição de frequências segundo as notas obtidas pelos candidatos está representada 
na tabela. 
 
 Veja a seguir um histograma referente à frequência absoluta e outro referente à frequência relativa. 
http://www.ipcc.ch/
http://3.bp.blogspot.com/-EnVNMTTppBk/TlkcWgC2JMI/AAAAAAAAAb4/XCMKFjb5SN8/s1600/e11.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-cqvzwgusbJ8/TlkcqiwhMJI/AAAAAAAAAb8/5Tsvz7AZIP8/s1600/e3.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-9QVy-pqx9gs/Tlkcz2qz0JI/AAAAAAAAAcA/aQMCIZ5If9A/s1600/e4.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-2UjUhIRrc1s/TlkdG5R5c8I/AAAAAAAAAcE/epy7iTLtCS0/s1600/e5.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-EnVNMTTppBk/TlkcWgC2JMI/AAAAAAAAAb4/XCMKFjb5SN8/s1600/e11.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-cqvzwgusbJ8/TlkcqiwhMJI/AAAAAAAAAb8/5Tsvz7AZIP8/s1600/e3.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-9QVy-pqx9gs/Tlkcz2qz0JI/AAAAAAAAAcA/aQMCIZ5If9A/s1600/e4.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-2UjUhIRrc1s/TlkdG5R5c8I/AAAAAAAAAcE/epy7iTLtCS0/s1600/e5.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-EnVNMTTppBk/TlkcWgC2JMI/AAAAAAAAAb4/XCMKFjb5SN8/s1600/e11.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-cqvzwgusbJ8/TlkcqiwhMJI/AAAAAAAAAb8/5Tsvz7AZIP8/s1600/e3.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-9QVy-pqx9gs/Tlkcz2qz0JI/AAAAAAAAAcA/aQMCIZ5If9A/s1600/e4.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-2UjUhIRrc1s/TlkdG5R5c8I/AAAAAAAAAcE/epy7iTLtCS0/s1600/e5.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-EnVNMTTppBk/TlkcWgC2JMI/AAAAAAAAAb4/XCMKFjb5SN8/s1600/e11.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-cqvzwgusbJ8/TlkcqiwhMJI/AAAAAAAAAb8/5Tsvz7AZIP8/s1600/e3.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-9QVy-pqx9gs/Tlkcz2qz0JI/AAAAAAAAAcA/aQMCIZ5If9A/s1600/e4.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-2UjUhIRrc1s/TlkdG5R5c8I/AAAAAAAAAcE/epy7iTLtCS0/s1600/e5.jpg
30 
 
 
 
Pictograma 
A fim de tornar os gráficos mais atraentes, os meios de comunicação, como revistas, jornais, entre 
outros, costumam ilustrá-los com imagens relacionadas ao contexto do qual as informações fazem parte. Essa 
forma de representação é denominada pictograma ou gráfico pictórico. 
Nesse tipo de representação, assim como nos gráficos tradicionais, as dimensões das imagens devem ser 
proporcionais ao dados apresentados. 
Veja alguns exemplos de gráficos pictóricos: 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/-djGp4HNcpgE/Tlkg_odwvQI/AAAAAAAAAcg/-4wQyzsNCmc/s1600/e15.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-jkZXHMdv138/TlkhuawMhwI/AAAAAAAAAck/EelA30j5vRU/s1600/e16.jpg
http://4.bp.blogspot.com/--yWZO4zVsig/TlkfDSZaBhI/AAAAAAAAAcU/k4GivVMZE5U/s1600/e12.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-djGp4HNcpgE/Tlkg_odwvQI/AAAAAAAAAcg/-4wQyzsNCmc/s1600/e15.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-jkZXHMdv138/TlkhuawMhwI/AAAAAAAAAck/EelA30j5vRU/s1600/e16.jpg
http://4.bp.blogspot.com/--yWZO4zVsig/TlkfDSZaBhI/AAAAAAAAAcU/k4GivVMZE5U/s1600/e12.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-djGp4HNcpgE/Tlkg_odwvQI/AAAAAAAAAcg/-4wQyzsNCmc/s1600/e15.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-jkZXHMdv138/TlkhuawMhwI/AAAAAAAAAck/EelA30j5vRU/s1600/e16.jpg
http://4.bp.blogspot.com/--yWZO4zVsig/TlkfDSZaBhI/AAAAAAAAAcU/k4GivVMZE5U/s1600/e12.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-djGp4HNcpgE/Tlkg_odwvQI/AAAAAAAAAcg/-4wQyzsNCmc/s1600/e15.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-jkZXHMdv138/TlkhuawMhwI/AAAAAAAAAck/EelA30j5vRU/s1600/e16.jpg
http://4.bp.blogspot.com/--yWZO4zVsig/TlkfDSZaBhI/AAAAAAAAAcU/k4GivVMZE5U/s1600/e12.jpg
31 
 
CARTOGRAMA 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS 
O polígono de frequências é um gráfico em linha, sendo que as frequências absolutas são marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas a partir do ponto médio de cada classe, no caso de frequências 
simples e à partir do limite superior do intervalo de classe, no caso de frequências acumuladas crescentes. 
No caso do polígono de frequência simples, devemos considerar a existência de duas classes a mais; uma antes 
do primeiro intervalo e outra depois do último, de modo a obtermos uma linha fechada, caracterizando o 
polígono. 
 
Exemplo: 
 Se considerarmos o mesmo exemplo do histograma anterior, teremos os seguintes polígonos de frequência: 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
Neste caso será a média 
aritimética dos dois valores 
centrais , ou seja: 8 e 10 
Neste caso será a média aritimética dos dois valores centrais 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
53 
 
DESMITIFICANDO O CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
Para muitos o cálculo de probabilidades é a personificação do Bicho Papão. Esta página foi escrita justamente 
para mostrar que na verdade ele não passa de um lindo gatinho de olhos verdes. 
Na página sobre conceitos da probabilidade a definimos como sendo a razão do número de elementos de 
umevento para o número de elementos do espaço amostral. 
 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer 
No evento do lançamento de um dado, qual é a probabilidade de cair o número 5? 
Nós sabemosque um dado é um cubo que possui as suas faces numeradas de 1 a 6. Em termos de 
probabilidades o seu espaço amostral é: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
Como um dado possui seis faces distintas, possuindo apenas uma face igual a 5, a probabilidade de dar este 
valor é deuma em seis, que podemos representá-la assim: 
 
 
Note que não há segredo, como dito acima, a probabilidade de um evento ocorrer nada mais é que a razão do 
seu número de elementos para o número de elementos do espaço amostral. 
Obviamente esta é a situação mais simples, mas no fundo todas as situações irão se resumir a isto. Para que a 
explicação fique mais simples e também mais fácil o entendimento, vamos continuar trabalhando em cima de 
exemplos. 
 
Exemplos 
Um jovem casal pretende ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que tenham pelo menos uma menina? 
Quantas são as combinações possíveis, ou em outras palavras, qual é o número de elementos do espaço 
amostral? 
Para cada filho temos duas possibilidades, ou é masculino ou é feminino, então pelo princípio fundamental 
da contagem temos que 2 . 2 . 2 = 8, portanto há 8 agrupamentos possíveis. 
Dos 8 agrupamentos possíveis um deles é formado apenas por meninos, todos os outros 7 possuem ao menos 
uma menina, portanto a probabilidade de que o casal tenha pelo menos uma menina é a razão de 7 para 8: 
 
Se representarmos por M os filhos do sexo masculino e por F os filhos do sexo feminino, podemos representar 
assim o espaço amostral: 
S = { (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F), (M, F, M), (M, M, F), (M, M, M) } 
Confirmando o que foi dito acima, apenas o último elemento não possui meninas, então 7 dos 8 eventos 
possíveis satisfazem à condição do enunciado, confirmando também a probabilidade calculada acima. 
A probabilidade de que tenham pelo menos uma menina é 7/8. 
 
Qual é a probabilidade do jovem casal vir a ter tanto meninos quanto meninas? 
Analisando o espaço amostral deduzimos que o evento E = { (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F), (M, F, 
M), (M, M, F) } satisfaz as condições do enunciado, pois seus elementos possuem tanto meninos quanto 
meninas. Como este evento possui 6 elementos, que representamos por n(E) = 6, então a probabilidade será: 
 
A probabilidade de venham a ter tanto meninos quanto meninas é 3/4. 
 
Qual é a probabilidade de que venham a ter mais meninas que meninos? 
A partir do espaço amostral vemos que o evento E = { (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (M, F, F) } satisfaz a 
condição desejada. Visto que este evento possui 4 elementos, temos que a probabilidade será: 
 
Já que estamos levando em consideração apenas a existência de dois sexos, sem levarmos em conta fatores 
biológicos, por exemplo, este resultado já era de se esperar, pois obviamente a probabilidade de que venham a 
ter mais meninos que meninas deve ser a mesma, pois 1/2 + 
1/2 = 1. Este 1 representa o número de 
elementos do espaço amostral e como a soma deve ser igual a 1, obviamente as duas probabilidades iguais 
devem ser iguais a 1/2. 
Em outra página é explicado como solucionar problemas deste tipo através do termo geral do Binômio de 
Newton. 
A probabilidade de venham a ter mais meninas que meninos é 1/2. 
 
No lançamento de um dados qual é a probabilidade de obtermos um 3 ou um 5? 
No início deste tópico vimos que a probabilidade de ocorrer um 5 no lançamento de um dado é 1/6. Assim como 
acontece com o 5, também só há um 3 no dado, então a probabilidade de ocorrer um 3 também é 1/6. Como a 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeConceitos.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeDistribuicaoBinomial.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeDistribuicaoBinomial.aspx
54 
 
ocorrência de um 3 inibe a ocorrência de um 5 e vice-versa, pois em um único lançamento se acontecer um, 
não pode acontecer o outro, dizemos que eles são eventos mutuamente exclusivos. 
Quando utilizamos a conjunção "OU", neste exemplo desejamos obter 3 ou 5, estamos tratando da união de 
probabilidades. Quando, assim como neste exemplo, os eventos são mutuamente exclusivos, devemos somar 
as probabilidades individuais. Então temos que 1/6 + 
1/6 = 
1/3, que é a probabilidade procurada. 
Se os eventos não fossem mutuamente exclusivos, a soma ainda valeria, mas precisaríamos subtrair deste total 
a probabilidade da ocorrência dos elementos na intersecção destes eventos. Isto é estudado em maiores 
detalhes na página sobre união de dois eventos. 
A probabilidade de obtermos um 3 ou um 5 é 1/3. 
 
Em lançamentos sucessivos de um dado qual é a probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5? 
Repare que agora estamos utilizando a conjunção "E". Quando temos a ocorrência de vários eventos 
independentes e sucessivos, estamos tratando do produto de probabilidades. A probabilidade de que os eventos 
ocorram nesta ordem é obtida através do produto das probabilidades individuais. 
Neste exemplo temos que 1/6 . 
1/6 = 
1/36. 
A probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5 é 1/36. 
 
Pronto, agora você já tem uma melhor ideia de como são realizados os cálculos de probabilidades. Você viu que 
o assunto não é nenhum bicho papão, mas não se descuide com o lindo gatinho de olhos verdes, pois ele 
poderá surpreendê-lo. O cálculo de probabilidades necessita que o enunciado seja lido com bastante atenção, 
para que não tenhamos uma compreensão errônea do problema. 
Nas demais páginas sobre este tema você terá maiores detalhes sobre a matéria. 
 
 
PROBABILIDADE 
 
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de 
ocorrência de determinados fatos. 
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua 
utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, 
onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de 
um possível comprador. 
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a 
matéria. 
 
Experimento Aleatório 
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, 
pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa. 
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois 
aumentamos o número de possibilidades de resultado. 
A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem 
apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios. 
 
Espaço Amostral 
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com 
toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao 
conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de ocorrer neste experimento. 
Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. 
No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por: 
S = { cara, coroa } 
Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
Evento 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeUniaoDoisEventos.aspx
55 
 
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer 
subconjunto de um espaço amostral é um evento. 
Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir: 
A = { 2, 3, 5 } 
Note que ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do 
evento do lançamentode um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo. 
 
Classificação de Eventos 
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles: 
 
Evento Simples - Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento 
do espaço amostral. 
A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível 
por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5. 
 
Evento Certo - Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá 
um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente 
qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles. 
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço 
amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
Evento Impossível - No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade 
de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15? 
Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo 
por , ou ainda por A = {}. 
 
Evento União - Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de 
um dado, ímpar e menor ou igual a3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou 
igual a 3, então C = { 1, 3, 5 }representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos 
conjuntos A e B, ou seja, . 
Note que o evento C contém todos os elementos de A e B. 
 
Evento Intersecção - Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no 
lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4e B = { 4, 6 }, o evento de ocorrência da face superior, par 
e maior ou igual a 4, então C = { 4 } representa o evento de ocorrência da face superior par, que é a 
intersecção dos conjuntos A e B, ou seja, . 
Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B. 
 
Eventos Mutuamente exclusivos - Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de 
ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 }, o evento 
de ocorrência da face superior, um divisor de 5, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, 
pois , isto é, os eventos não possuem elementos em comum. 
 
Evento Complementar - Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face 
superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o 
evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par. 
http://www.matematicadidatica.com.br/CriteriosDeDivisibilidade.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Divisores.aspx
56 
 
Os elementos de A são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A, então temos 
queA = S - A e ainda que S = A + A. 
 
 
Probabilidade de Ocorrência de um Evento 
Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa 
são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro? 
Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto 
aprobabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3. 
 
 
Definição 
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço 
amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para 
onúmero de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que 
espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma 
possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos). 
Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de 
elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a: 
, sendo n(S)≠0. 
A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma 
hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá: 
0 ≤ P(E) ≤ 1 
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por 
números decimais, ou até mesmo por porcentagens. 
 
Exemplos 
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6? 
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por: 
E = { 1, 2, 3, 6 } 
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto: 
 
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem: 
 
A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%. 
 
Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa? 
Recorrendo ao princípio fundamental da contagem podemos calcular o número de elementos do espaço 
amostral deste exemplo: 
n(S) = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 
Agora precisamos saber o número de elementos do evento E, referente a quatro lançamentos de uma moeda, 
quando obtemos ao menos uma coroa. 
Lembra-se do evento complementar explicado acima? Sabendo quantos são os resultados que não 
apresentam nenhuma coroa, ele nos permite descobrir o número dos que possuem ao menos uma. 
E quantos são os eventos que não possuem nenhuma coroa? Apenas o evento E = { cara, cara, cara, cara }, 
ou seja, apenas 1. Como o número total de eventos é 16 e 1 deles não apresenta qualquer coroa, então os 
outros 15 apresentam ao menos uma. Então: 
 
Na forma de porcentagem temos: 
 
A probabilidade de obtermos ao menos uma coroa é 15/16, 0,9375 ou 93,75%. 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Divisores.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem.aspx
57 
 
EXERCÍCIOS 
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a 
probabilidade desta bola ser verde? 
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a 
probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. 
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos 
representar a resolução assim: 
 
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12 
 
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem 
com a mesma face para cima? 
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao 
lançarmos três moedas. 
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados 
distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. 
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face 
para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: 
 
 
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou 
ainda 25%. 
 
3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é 
de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual 
a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. 
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então 
a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a 
mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve serigual à 
probabilidade dela não engravidar no mês, logo: 
 
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. 
Então: 
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 
 
4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 
tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 
Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando 
de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma 
em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton: 
 
n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. 
k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. 
p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. 
q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. 
Substituindo tais valores na fórmula temos: 
 
O número binomial é assim resolvido: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeDistribuicaoBinomial.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
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58 
 
Então temos: 
 
Assim: 
 A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592. 
 
 
 
 EXERCÍCIOS - TRABALHO PARA A PRÓXIMA SEMANA 
 
5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única 
ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 
 6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 
pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas 
travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um 
pastel? 
 7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. 
Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de 
bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. 
Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua 
face? 
 
8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 
bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, 
azul, vermelha e branca? 
 9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o 
curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de 
inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 
 
10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a 
probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex5
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http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx
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Exercícios - Juros simples 
 
 
 
 
 
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O Método Hamburguês 
 
O Método Hamburguês introduz uma simplificação nos cálculos de juros simples, quando há 
diversos valores de principal, aplicados por diversos prazos, à uma mesma taxa de juros. 
Suponha que um aplicador tenha efetuado a movimentação mostrada no quadro a seguir, 
remunerada a juros simples de 12% ao ano. Considere o ano civil contendo 365 dias. 
 
 Datas Histórico D/C Saldo Dias Dias x saldo VP.i.n 
15/01/2002 Depósito 100.000 100.000 11 1.100.000 361,64 
26/01/2002 Saque (30.000) 70.000 18 1.260.000 414,25 
13/02/2002 Saque (15.000) 55.000 15 825.000 271,23 
28/02/2002 Depósito 40.000 95.000 5 475.000 156,16 
05/03/2002 Saque (95.000) - - 
 TOTAL 3.660.000 1.203,29 
 
Observe que a última coluna mostra o valor dos juros simples, para os períodos em que cada 
valor de principal permaneceu aplicado. O primeiro depósito de $100.000 permaneceu inalterado 
por 11 dias. Logo, produziu juros de $361,64. 
 
 
J = $ 361,54 
 
E assim, sucessivamente. Os juros totais entre 15/01/2002 e 05/03/2002, seriam de $1.203,29. 
Pelo método hamburguês basta multiplicar a soma do produto dos dias pelos saldos, pela taxa 
de juros diária de 0,0329% ao dia, obtendo-se o mesmo total: 
 
 
J = $ 3.660.000 . 0,000329 = 1.203,29 
 
 
No exemplo k = 4, sendo para t = 1: 
VP = $ 100.000 
n1 = 11 dias 
VP x n1 = $1.100.000 
Juros sobre o primeiro depósito 
J1 = $ 1.100.0000 x 0,000328767 = $ 361,64 
 
 
 
70 
 
 
 
3) Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. 
Determine: 
 
a) o valor do desconto simples comercial. 
b) o valor atual comercial do título. 
 
Temos: 
N = 10 000 
n = 25 
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 ao mês = 0,0005 ao dia 
 
a) d = N * i * n 
d = 10 000 * 0,0005 * 25 
d = 125 
Desconto comercial de R$ 125,00. 
 
b) A = 10 000 – 125 
A = 9875 
Valor atual, o desconto simples comercial será de R$ 9 875, 00. 
 
 
4) Um título no valor de R$ 4 800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4 476,00 e a taxa de 
desconto comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate. 
 
N = 4 800 
A = 4 476 
i = 32,4% a.a. = 32,4/100 = 0,324 a.a. = 0,324/12 = 0,027 a.m. 
 
A = N*(1 – i *n) 
4476 = 4800*(1 – 0,027 * n) 
4476/4800 = 1 – 0,027n 
0,9325 = 1 – 0,027n 
0,9325 – 1 = – 0,027n 
– 0,0675 = – 0,027n (multiplicar por –1) 
0,0675 = 0,027n 
0,0675/0,027 = n 
n = 2,5 
 
O tempo de resgate do título foi o correspondente a 2,5 meses ou 2 meses e 15 dias. 
FV = N PV = C = A 
71 
 
 
4) (ASSAF NETO, 2001). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de 
seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. 
 
Solução: 
Desconto 
 
 
Valor Descontado 
 
 
 
5) (ASSAF NETO, 2001). Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu 
vencimento, sendo seu valor de regate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10. 
 
Solução: 
 
 
72 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 
 
FV = M PV = C FV = VALOR FUTURO PV = VALOR PRESENTE 
73 
 
EXERCÍCIOS – PARA ENTREGAR 
 
 
 
 
 
 
7) Um capital de R$ 75.000,00 aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% a.m., precisa de quantos meses 
para resultar em um montante de R$ 84.486,94? 
 
8) Qual o montante produzido por uma capital inicial de R$ 1.000,00 durante 2 meses, taxa de 10% ao mês e 
regime de juros compostos? 
 
9) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o 
montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza 
à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que 
Saulo consiga comprar tal casa? 
10) Qual deve ser o capital inicial que um cidadão deve aplicar em um fundo de renda fixa, que utiliza o sistema 
de juros compostos e que rende 20% ao ano, de modo que ele tenha R$ 1.440,00 ao final de doisanos? 
11) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação 
de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB 
(certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: 
 Rendimento mensal (%) IR (imposto de renda) 
POUPANÇA 0,560 ISENTO 
CDB 0,876 4% sobre o ganho 
 Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: 
A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. 
C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
D) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
E) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
 
 
FLUXO DE CAIXA 
 
74 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Uma loja vende um tapete em 12 parcelas mensais de $ 97,49 ou em 24 parcelas de $61,50. Nos dois 
casos, o cliente não dará entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5%am, qual é o melhor 
sistema para o comprador? 
 
2. Uma loja vendo uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 parcelas, a juros de 3,5%am. 
Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada? $ 151,63 
 
3. Em uma garagem o preço de um carro, a vista é de $ 50.000,00. Qual é o valor da prestação, se o carro 
for financiado em 24 prestações mensais sem entrada, e a taxa de juros for 3%am? 
 
4. Uma Biz está a venda por R$ 4.951,00 à vista ou em 18 parcelas de $ 399,00. Pergunta-se qual é melhor 
opção de compra se a taxa cobrada é de 3,5%am? 
 
5. Um equipamento foi vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais 8 prestações de R$ 760,00. 
Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 2,5%am, calcule o preço a vista do equipamento. $7.449,30 
 
6. O valor a vista de um bem é R$ 6000,00. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3 
parcelas mensais de R$ 2000,00 cada uma. Se a taxa de juros que foi cobrada é 7%am, calcular o valor 
da entrada. 571,37 
 
FLUXO DE CAIXAS EQUIVALENTES 
 
 
Operação de Aplicações 
A importância e a utilização dos fluxos 
de caixa equivalentes residem nas 
definições de diversas opções de 
pagamentos de empréstimos, compras 
financiadas, substituições de saldos 
devedores por outros de maior 
conveniência, reescalonamento de 
dívidas, etc. 
 
75 
 
Exemplo: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal igual a R$10.000,00 e outro de valor 
nominal igual a R$12.000,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível 
em 4 meses. Sendo a taxa de juros compostos igual a 10% ao mês, qual o valor do novo título ? 
 
CÁLCULO DE PRESTAÇÕES - Financiamento 
Uma coisa muito comum na vida de todos nós, pelo menos na vida da grande maioria da população brasileira, são as tão 
onipresentes prestações, visto que nem sempre possuímos a quantia necessária para realizarmos a compra à vista daquele 
bem tão imprescindível e principalmente por não termos a cultura de acumular mês a mês um certo valor, até totalizarmos o 
valor necessário. 
 
Quando não há na operação de compra, pelo menos de forma declarada, a cobrança de juros, basta que dividamos o valor da 
mercadoria pelo número de parcelas, para obtermos o valor de cada prestação, mas e no caso de haver incidência de juros, 
como podemos realizar os cálculos? Como podemos saber que não estamos sendo ludibriados por algum vendedor 
inescrupuloso? 
Neste tópico iremos estudar o que é coeficiente de financiamento e como poderemos utilizá-lo no cálculo de prestações, 
assim como tendo o valor capitalizado, encontrarmos o valor à vista sem juros, por exemplo. 
Formula do cálculo das Prestações Iguais: PMT = PV. CF 
Onde: 
PMT = Parcelas Iguais; 
PV = Valor Presente ( C ) – valor do bem a vista 
CV = Coeficiente de financiamento 
 
 
 
O coeficiente de financiamento é um fator que ao ser multiplicado pelo valor a ser financiado, irá nos fornecer o valor de cada 
prestação. 
O cálculo do coeficiente de financiamento tem como variáveis tanto a taxa de juros, quanto o número de períodos da 
operação. Ele é calculado através da seguinte fórmula: 
 CF= 
 
 
 
( ) 
 
 
A variável CF representa o próprio coeficiente de financiamento, já as variáveis i e n representam respectivamente a taxa 
de juros cobrada pelo financiamento e o período ou número de parcelas mensais, já que quase invariavelmente as prestações 
são mensais. 
Assim como nos cálculos envolvendo juros simples e juros compostos, no caso do cálculo de prestações tanto a taxa de 
financiamento, quanto o período, devem estar na mesma unidade de tempo. Como geralmente as prestações são mensais, a 
taxa de juros também deverá ser expressa ao mês. 
 
Vejamos alguns exemplos de vendas envolvendo juros: 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
 
Vejamos agora um exemplo de a partir do valor final com juros, chegarmos ao valor à vista: 
Aquela famosa loja de comércio eletrônico tem um outro aparelho de TV à venda pelo valor total R$ 
3.174,12 se pago em 12 vezes à taxa de juros é 1,99% ao mês. Qual é o valor desta TV à vista? 
 
Financiamento de Veículo 
Loucos por carros, é difícil de se encontrar um brasileiro que não almeje ter um automóvel próprio. 
Se pudessem todos teriam, mas com o elevado valor dos veículos e das altas taxas de juros, a aquisição do 
carro próprio fica um pouco distante para a maioria dos interessados. 
Mas vamos supor que a situação esteja melhorando e que você já possa se planejar para compra do seu tão 
desejado carrinho, ou então trocar de carro por um outro ainda melhor. 
Este não é um site sobre automóveis, mas sim sobre matemática, porém tentando unir o útil ao agradável, esta 
página foi construída na forma de uma calculadora, na qual você informa o preço do carro, o valor que está 
disposto a pagar de prestação, o número de parcelas do financiamento e a sua taxa de juros, obtendo 
como resposta o valor da entrada, de sorte que você consiga pagar as prestações no valor que você estima 
caber no seu orçamento. 
Além de poder realizar algumas simulações com ela, caso de fato você esteja pensando em comprar um 
automóvel, com esta calculadora você ainda aprenderá como estes cálculos são realizados. 
Se estiver com tempo disponível poderá brincar um pouco, fazendo simulações de financiamento e verificando 
em quanto a variação da taxa de juros ou mesmo do prazo de pagamento pode pesar nas suas finanças. 
 
 
Como Faremos os Cálculos do Financiamento? 
No tópico cálculo de prestações vimos o que vem a ser o coeficiente de financiamento e que o calculamos 
através da seguinte fórmula: 
 
Vimos que as variáveis CF, i e n se referem respectivamente ao coeficiente de financiamento, a taxa de 
juros e aoperíodo de tempo, sendo que i e n devem se referir à mesma unidade de tempo. Aqui estamos 
trabalhando em meses. 
Vimos também que ao realizarmos uma compra sem entrada podemos utilizar a seguinte fórmula para 
obtermos o valor da prestação: 
 
 
 
Onde PV é o valor presente que em nosso caso se refere ao valor que estaremos financiando, já descontado 
do preço do carro o valor dado de entrada. 
A variável PMT se refere ao valor das prestações. 
Ora, se multiplicando o valor a ser financiado pelo coeficiente de financiamento obtemos o valor da 
prestação, se tivermos o valor da prestação e fizermos o cálculo inverso, o dividindo pelo coeficiente de 
financiamento, iremos obter o valor a ser financiado: 
 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/CalculoPrestacao.aspx
79 
 
Então na realização dos cálculos do financiamento vamos utilizar estas duas fórmulas: 
 
 
Cálculo Detalhado do Financiamento para a Obtenção do Valor da Entrada 
Segundo os dados informados queremos financiar um automóvel que custa R$ 30.000,00, com prestação 
mensal no valor de R$ 1.000,00. A taxa dejuros é 2% a.m. e 36 é o número de parcelas do financiamento: 
 
 
 
Agora iremos calcular qual é o valor que financiado a uma taxa de juros de 2% a.m. pode ser quitado 
em 36prestações de R$ 1.000,00. 
Para obtermos este valor precisamos primeiramente calcular o coeficiente de financiamento: 
 
 
Agora que sabemos que o coeficiente de financiamento é igual a 0,039232853, basta dividirmos 
os R$ 1.000,00 da prestação por este coeficiente: 
 
 
 
Então quitamos um financiamento de R$ 25.488,84 em 36 meses, com uma taxa de juros de 2% a.m. e com 
prestações de R$ 1.000,00. 
 
O valor da entrada será a diferença entre o valor do financiamento e o preço do automóvel: 
 
 
 
Portanto o valor da entrada deverá ser de R$ 4.511,16. 
 
Independentemente de ser necessário ou não dar um valor de entrada, não se esqueça de que você irá precisar 
de uma quantia extra para o pagamento da TAC - taxa de abertura de crédito, do licenciamento, 
do IPVA e do seguro, além de outras despesas que poderão surgir em função da sua mais nova aquisição. 
 
Como você já sabe, o valor da entrada é pago no ato da contratação do financiamento. Caso a compra seja 
feita à vista, no momento da compra você paga o valor total do veículo, não havendo a incidência de juros na 
operação financeira. 
 
Agora atente ao fato de que independentemente de pago uma entrada ou não, em compras a prazo neste 
molde o valor da primeira prestação é pago somente depois de decorrido o primeiro período de um mês. Por 
isto um veículo que custeR$ 30.000,00, financiado a uma taxa de juros de 2% a.m. e pago em apenas uma 
prestação, será quitado porR$ 30.600,00 e não por R$ 30.000,00, isto porque a diferença de R$ 600,00 se 
refere justamente aos juros decorrentes deste período de um mês. 
 
 
 
80 
 
Depósitos Periódicos e Iguais 
Quando estudamos o regime de capitalização de juros compostos, tínhamos a situação onde fazíamos um único depósito 
no início da aplicação e não realizávamos nenhum outro depósito durante todo o seu período. Neste tópico vamos tratar de 
investimentos com depósitos periódicos e iguais. 
Para estudarmos este caso vamos utilizar uma aplicação exemplo onde iremos realizar 4 depósitos 
mensais deR$ 400,00 a uma taxa de juro composto de 2,5% a.m., sendo que realizaremos o resgate logo após o último 
depósito. 
Para facilitar o entendimento vamos nos utilizar da tabela abaixo: 
 1° mês 2° mês 3° mês 4° mês 
1° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 R$ 410,00 + 2,5% = R$ 420,25 R$ 420,25 + 2,5% = R$ 430,76 
2° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 R$ 410,00 + 2,5% = R$ 420,25 
3° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 
4° depósito R$ 400,00 
Valor a Resgatar R$ 1.661,01 
 
Observe que cada depósito só sofre o acréscimo de juros ao término de cada mês. No caso do primeiro depósito haverá acréscimo de juros ao 
término do primeiro, segundo e terceiro mês, passando de R$ 400,00 a R$ 430,76. 
Como você pode notar, a cada depósito o número de meses com acréscimo de juros diminui, obviamente porque temos menos períodos até o 
término da aplicação. 
Como os juros são computados no início do próximo período, obviamente o quarto depósito não irá sofrer o acréscimo de juros, pois a 
aplicação será resgatada no início do quarto período, logo após o quarto depósito. 
 
Fórmula de Cálculo do Valor Acumulado com Resgate ao Iniciar o Último Período 
Neste caso o resgate será realizado logo após o último depósito, não sendo portanto computados juros 
referentes a este depósito, nem aos depósitos anteriores. 
Para chegarmos ao valor resgatado de R$ 1.661,01 da situação acima, podemos recorrer à seguinte fórmula: 
 
Onde: 
 S: É o valor acumulado no período. 
 T: É o valor de cada depósito periódico. 
 i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro. 
 n: É o número de depósitos da aplicação. 
 
O termo também é conhecido como fator de acumulação de capital, representado pela 
variável s. 
Podemos então obtê-lo através da seguinte fórmula: 
 
Abaixo temos identificadas as variáveis do nosso problema para calcularmos o valor acumulado no período: 
 
 
Basta-nos substituí-las na fórmula e executarmos os cálculos: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/JurosCompostos.aspx
81 
 
Chegamos então aos R$ 1.661,01 correspondentes à soma dos montantes dos três primeiros depósitos, mais 
o valor do quarto depósito, depósito este que não teve juros computados, mas qual seria a fórmula se 
tivéssemos computado os juros do quarto período? 
 
 
Fórmula de Cálculo do Valor Acumulado com Resgate ao Terminar o Último Período 
Neste outro caso o resgate se dará somente após o acréscimo dos juros referentes ao último depósito, assim 
como dos depósitos anteriores. 
Para esta situação vamos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
As variáveis são as mesmas do caso anterior. Ao substituí-las na fórmula e executarmos os cálculos temos: 
 
Veja que agora obtivemos um valor acumulado de R$ 1.702,53. 
Podemos verificar o resultado obtido através da fórmula, calculando os juros resultantes imediatamente após o 
término do quarto período nos dados da tabela anterior: 
 
 1° mês 2° mês 3° mês 4° mês Após o 4° mês 
1° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 R$ 410,00 + 2,5% = R$ 420,25 R$ 420,25 + 2,5% = R$ 430,76 R$ 430,76 + 2,5% = R$ 441,53 
2° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 R$ 410,00 + 2,5% = R$ 420,25 R$ 420,25 + 2,5% = R$ 430,76 
3° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 R$ 410,00 + 2,5% = R$ 420,25 
4° depósito R$ 400,00 R$ 400,00 + 2,5% = R$ 410,00 
Valor a Resgatar R$ 1.702,54 
 
Note que a diferença de um centavo deve-se apenas ao erro de arredondamento resultante dos diferentes 
cálculos efetuados por um método e outro. 
 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
82 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
Exemplos de Cálculo para a Obtenção de Taxas Efetivas Equivalentes 
 
84 
 
 
 
Sistemas de Amortização 
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em 
função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do 
pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros são sempre 
calculados sobre o saldo devedor! 
 
Os principais sistemas de amortização são: 
 
Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no final. 
Sistema de Pagamentos variáveis: Vários pagamentos diferenciados. 
Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados período a período. 
Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período. 
Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos (prestações) são iguais. 
Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. 
 
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo 
devedor, isto é: Pagamento = Amortização + Juros 
 
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que 
será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%. 
 
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações 
essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está 
indicada abaixo, com os elementos indicados: 
 
Sistema de Amortização 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 
 
300.000,00 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
0 
Totais 
 
300.000,00 
 
85 
 
Sistema de Pagamento Único 
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 
períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: M = C (1+i)
n 
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final. 
 
Sistema de Pagamento Único 
n Juros 
Amortizaçãodo 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 
 
312.000,00 
2 12.480,00 
 
324.480,00 
3 12.979,20 
 
337.459,20 
4 13.498,37 
 
350.957,57 
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação 
realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. 
Uso comum: Cartões de crédito. 
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma: 
 No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros 
 No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros 
 No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros 
 No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros 
 No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00 
 
 
Sistema Americano 
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos 
juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º período. 
 
Sistema Americano 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 
 
12.000,00 300.000,00 
2 12.000,00 
 
12.000,00 300.000,00 
3 12.000,00 
 
12.000,00 300.000,00 
4 12.000,00 
 
12.000,00 300.000,00 
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 
 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. 
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação 
 
86 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 
 
 
Sistema Price (Sistema Francês) 
Todas as prestações (pagamentos) são iguais. 
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. 
Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela 
fórmula 
 
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece: 
P = K × Vf = 67.388,13 
Sistema Price (Sistema Francês) 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 
 
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de 
Amortização Constante (SAC). 
Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação. 
Cálculo: PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2 
n PSAC PPrice PSAM 
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06 
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07 
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07 
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07 
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07 
 
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
n Juros 
Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94 
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11 
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20 
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14 
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0 
Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94 
87 
 
Dentro das formas acima, as mais utilizadas são: 
 
 
 
Sistema Amortização Constante 
(SAC) 
Tabela PRICE ( Sistema Francês) 
Prestações Decrescentes Constantes 
Amortizações Constantes Crescentes 
Juros Decrescentes Decrescentes 
Vantagem 
Saldo devedor diminui mais rapidamente 
em relação a Tabela Price, o valor das 
prestações cai continuamente 
Valor da prestação é o mesmo durante o 
financiamento e a prestação inicial é 
menor em relação a calculada pela SAC 
Desvantagem 
Prestação inicial maior em relação a 
calculada pela Tabela Price, e o valor 
das prestações varia todo mês 
Saldo devedor diminui mais lentamente 
em relação a SAC, o valor das prestações 
não diminui 
 
Exercício: 
O Sr. e a Sra. Silva, encontraram um imóvel no valor de R$ 250.000,00. Pretendem pagar em 24 parcelas. 
Considerando que a taxa de juros é de 2,5% ao mês, calcular os valor das prestações, e o valor total através dos 
sistemas de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema Price ( Sistema 
Francês). 
 
 
Depreciação 
 Os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a constantes desvalorizações, devido, principalmente, ao 
desgaste, ao envelhecimento e ao avanço tecnológico. 
 
 A depreciação constitui, portanto, a diferença entre a preço da compra de um bem e seu valor de troca (valor residual), 
depois de certo tempo de uso. 
 
 A depreciação pode ser real ou teórica. A depreciação real é a diferença do preço de um bem novo e seu valor de revenda, 
após períodos de uso, enquanto a depreciação teórica é baseada em tempo de uso e critérios de desvalorização. A 
depreciação real é de difícil cálculo, pois seria necessária uma avaliação de todo o patrimônio da empresa a cada depreciação 
realizada. 
 
 Normalmente, as empresas adotam o método de depreciação linear para lançamento contábil. Mesmo utilizando o 
método linear em sua contabilidade, a empresa pode utilizar outro método para determinar o custo de produção de seus 
produtos, uma vez que a depreciação é um custo para a empresa. (KUHNEN, 2001). 
 
 Método de Depreciação Linear 
 O método de depreciação linear é o método mais simples e mais utilizado. Consiste apenas em dividir o total a depreciar 
pelo número de anos de vida útil do bem. 
 
Fórmula : 
 
 
Exemplo 
 
1) Calcular o valor da depreciação de uma máquina de R$ 400.000,00, sabendo que a vida útil é de 5 anos, e o valor residual 
de R$ 50.000,00. 
Solução: 
 
Onde: 
DL = Depreciação Linear; 
PV = Valor Presente ou VALOR DE AQUISIÇÃO; 
R = Valor RESIDUAL; 
n = tempo da depreciação 
88 
 
 
Plano de depreciação 
n Valor de Depreciação Depreciação Acumulada Residual 
0 - x - - x - R$ 400.000,00 
1 R$ 70.000,00 R$ 70.000,00 R$ 330.000,00 
2 R$ 70.000,00 R$ 140.000,00 R$ 260.000,00 
3 R$ 70.000,00 R$ 210.000,00 R$ 190.000,00 
4 R$ 70.000,00 R$ 280.000,00 R$ 120.000,00 
5 R$ 70.000,00 R$ 350.000,00 R$ 50.000,00 
 
Método de Depreciação da Taxa Constante 
 
 O método de depreciação da taxa constante consiste em estabelecer uma taxa constante de depreciação, a qual é 
calculada sobre o valor do bem no fim de cada exercício. 
 
 Fórmula: 
 
 Exemplo 
 
1) Determinar a taxa constante e elaborar o plano de depreciação de um bem adquirido por R$ 400.000,00, com vida útil de 
5 anos e valor residual de R$ 50.000,00. 
 
Solução: 
 
 
 
Plano de depreciação 
 
n Taxa Fixa Valor de Depreciação Depreciação Acumulada Residual 
0 - x - - x - - x - R$ 400.000,00 
1 34,0246% R$ 136.098,40 R$ 136.098,40 R$ 263.901,60 
2 34,0246% R$ 89.791,46 R$ 225.889,86 R$ 174.110,14 
3 34,0246% R$ 59.240,28 R$ 285.130,14 R$ 114.869,86 
4 34,0246% R$ 39.084,01 R$ 324.214,15 R$ 75.785,85 
5 34,0246% R$ 25.785,83 R$ 349.999,98 R$ 50.000,02 
 
 
89 
 
Método de Depreciação de Cole 
 
 O método de depreciação de Cole consiste em estabelecer uma fração a ser depreciada a cada ano. A fração terá como 
numerador a quantidade de depreciação que ainda precisamos fazer, incluindoa que estamos fazendo, e o denominador 
será a soma numérica dos anos da vida útil. 
 
Fórmula 
 
 
 Exemplo 
 
Elaborar o plano de depreciação de um equipamento adquirido por R$ 400.000,00, cujo valor residual, após 5 anos, é de R$ 
50.000,00, utilizando o método de cole. 
 
Solução: 
 
 
Plano de depreciação 
 
n Fração Valor de Depreciação Depreciação Acumulada Residual 
0 - x - - x - - x - R$ 400.000,00 
1 5/15 R$ 116.666,67 R$ 116.666,67 R$ 283.333,33 
2 4/15 R$ 93.333,33 R$ 210.000,00 R$ 190.000,00 
3 3/15 R$ 70.000,00 R$ 280.000,00 R$ 120.000,00 
4 2/15 R$ 46.666,67 R$ 326.666,67 R$ 73.333,33 
5 1/15 R$ 23.333,33 R$ 350.000,00 R$ 50.000,00 
 
90 
 
 TAXA ANUAL de Equipamentos e Material Permanente ( exemplos) 
• Aeronaves 5 % 
• Aparelhos de medição 10 % 
• Aparelhos e equipamentos de Comunicação 10 % 
• Aparelhos e equipamentos de Medicina, Odontologia e Laboratórios Hospitalares 10 % 
• Aparelhos e equipamentos para Esportes e Diversões 10 % 
• Aparelhos e utensílios domésticos 10 % 
• Armamentos 10 % 
• Bandeiras, flâmulas e insígnias 20 % 
• Coleções e material bibliográfico 10 % 
• Embarcações 5 % 
• Equipamentos de manobra e patrulhamento 10 % 
• Equipamentos de proteção, patrulhamento e socorro 10 % 
• Instrumentos musicais e artísticos 10 % 
• Máquinas e equipamentos de natureza industrial 10 % 
• Máquinas e equipamentos energéticos 20 % 
• Máquinas e equipamentos gráficos 10 % 
• Equipamentos para áudio, vídeo e foto 20 % 
• Máquinas, utensílios e equipamentos diversos 10 % 
• Equipamentos de processamento de dados 20 % 
• Máquinas, instalações e utensílios de escritório 10 % 
• Máquinas, ferramentas e utensílios de oficina 10 % 
• Equipamentos hidráulicos e elétricos 20 % 
• Máquinas e equipamentos agrícolas e rodoviários 20 % 
• Mobiliário em geral 10% 
• Obras de arte e peças de museu 5 % 
• Semoventes e equipamentos de montaria 20 % 
• Veículos diversos 20 % 
• Veículos ferroviários 20 % 
• Peças não incorporáveis a imóveis 10 % 
• Veículos de tração mecânica 20 % 
• Carros de combate 20 % 
• Equipamentos, peças e acessórios aeronáuticos 10 % 
• Equipamentos, peças e acessórios de proteção de vôo 20 % 
• Equipamentos de mergulho e salvamento 20 % 
• Equipamentos, peças e acessórios marítimos 10 % 
• Equipamentos sobressalente de máquinas e motor de navios e esquadra 20 % 
• Outros materiais permanentes 10 % 
http://www.tj.pr.gov.br/depat/dcp/depreciacao.htm 
 
 
 
 
No mundo das finanças, Renda Variável é o investimento em uma classe de ativos em que a remuneração ou retorno de 
capital investido é variável, não garantido, podendo inclusive gerar perdas financeiras sobre o capital principal. 
Apesar de parecerem complexos, nos mercados de renda variável, existe uma única síntese verdadeira, independente de 
quais sejam os mercados ou suas condições. Os ativos de renda variável poderão: 
- Subir, podendo gerar uma alta bem maior do que as obtidas pela Renda Fixa; 
- Ou Cair podendo até gerar perdas nominais no capital principal; 
- Ou ficarem indefinido ou estagnado, nem subindo e nem caindo 
RENDA VARIÁVEL 
http://www.tj.pr.gov.br/depat/dcp/depreciacao.htm
91 
 
Mesmo com a possibilidade de poder sofrer perdas nominais no capital principal, as altas acabam por compensar, o que 
justificam plenamente o investimento em ativos de renda variável. 
 
Investimentos de Renda Variável 
Podemos citar como os maiores representantes dentro desta classe de ativo: 
- Ações 
- Fundos de renda variável (fundo de ações, multimercado, e outros) 
- Commodities 
- Moedas 
- Mercados derivativos 
Os riscos envolvidos em investimentos de renda variável se traduzem na perda financeira do capital principal. 
 
Mas por que os mercados caem ou sobem? 
Os investimentos de renda variável espelham mais do que nunca a situação econômica, seja do país ou do mundo. E as altas 
e quedas são simplesmente reflexos destas condições. 
Em uma economia capitalista há apenas 4 cenários possíveis: 
- Expansão ou Crescimento 
- Recessão 
- Inflação 
- Deflação 
 
Os cenários de expansão e recessão, bem como o de inflação e deflação são exclusivos, ocorrendo um ou outro. 
Porém, importante notarmos que poderá ocorrer uma expansão da economia com inflação ou expansão com deflação bem 
como é possível uma recessão com inflação ou recessão com deflação. 
Em um crescimento econômico, as empresas vendem mais, exportam mais, lucram mais, contratam mais funcionários, e estes 
passam a gastar mais, gerando mais lucros e criando um ciclo virtuoso para a economia e para as empresas. 
Como não poderia deixar de ser, investimento no mercado de capitais ou a bolsa de valores, ou investimento direto (abertura 
de um negócio ou empresa), são típicos investimentos que se beneficiam nesta fase de crescimento. 
O capitalismo é o melhor de todos os sistemas econômicos, pois é o que melhor espelha a natureza, portanto o mais eficaz. 
Tão eficaz, que se auto-corrige quando comete excessos. 
Isso já aconteceu diversas vezes, e acontecerão tantas outras, pois o comportamento humano parece não mudar ao longo dos 
séculos, apesar de todas as lições pregressas. 
E quando ele corrige estes excessos, surgem então os cenários de recessão. E neste momento tudo o que era de virtuoso no 
crescimento vira vicioso. 
As empresas vendem menos, exportam menos, lucram menos chegando inclusive a registrar prejuízos, demitem funcionários, 
e os que se permanecem empregados passam a gastar menos com medo serem demitidos, gerando mais recessão e criando 
um ciclo vicioso para a economia e para as empresas. 
Neste tipo de cenário, por lógica associativa, já é possível compreender o porquê o mercado de capitais caem. Neste tipo de 
cenário o medo e a incerteza reinam e os investidores procuram a liquidez e investimentos defensivos, como a Renda Fixa. 
Resumo 
1 - Nos investimentos de Renda Variável há o risco de se perder o principal. 
2 - Os mercados só possuem três tipos de movimentos: 
- Alta 
- Baixa 
- Indefinição 
3 - O mercado de capitais são favorecidos nos cenários de crescimento econômico 
4 – A busca por liquidez e investimentos mais defensivos como a Renda Fixa se torna prioridade nos cenários de incertezas e 
recessão. 
 
http://www.clubedevienna.com.br/guia-do-iniciante/acoes
http://www.clubedevienna.com.br/guia-do-iniciante/cambio
92 
 
REGIMES CAMBIAIS 
Para que as transações internacionais sejam viáveis, os preços nos diferentes países devem poder ser comparados, e deve haver alguma 
forma de converter a moeda de um país na moeda de outro. A taxa de câmbio nos mostra qual é a relação de troca entre duas unidades 
monetárias diferentes, ou seja, o preço relativo entre diferentes moedas. 
 
Existem duas modalidades de taxa de câmbio: nominal e real. Por taxa de câmbio nominal entende-se o preço de uma moeda em relação a 
outra. 
 
Para determinar os fluxos comerciais entre os países, a taxa de câmbio relevante é a chamada taxa de câmbio real, que corresponde ao 
relativo de preços entre o produto nacional e estrangeiro (ou vice-versa, conforme definição da taxa de câmbio nominal). Tomando como 
referência o dólar, a taxa de câmbio pode ser obtida peIa seguinte expressão: 
 
ê = EP* / P 
em que: 
 ê = taxa de câmbio real; 
E = taxa de câmbio nominal (R$/$); 
P* = preço do produto estrangeiro em $; 
P = preço do produto nacional em R$. 
EXEMPLO : 
Considere que um automóvel produzido no Brasil custe R$ 30.000, e o mesmo automóvel nos Estados Unidos custe $ 12.000. Se a taxa de 
câmbio nominal no Brasil ÍDl de R$ 2/$, teremos a seguinte taxa de câmbio real: 
 ê = 2 (R$/$) . $ 12.000/R$ 30.000 = 0,8. 
Uma desvalorização da taxa de câmbio real significa que o produto nacional ficou relativamente mais barato que o estrangeiro, estimulando a 
demanda por esses produtos, tanto pelas exportações como pela diminuição das importações (porque fica relativamente mais caro consumirprodutos importados). Observe que uma desvalorização da taxa de câmbio nominal não necessariamente significa uma desvalorização da real. 
 
Por exemplo, suponhamos que a taxa de câmbio nominal se desvalorize em 10% num certo intervalo de tempo e nesse mesmo período o 
preço interno tenha se elevado em 20% e o externo tenha se mantido constante. 
 
Percebemos que não só não houve uma desvalorização da taxa de câmbio real como na realidade esta se valorizou, isto é, o produto nacional 
ficou relativamente mais cara. 
 
Concluímos, portanto, que, para verificar o grau de competitividade de um pais para fins de comércio, a taxa de câmbio relevante é a taxa real 
e não a nominal. 
 
Câmbio real e nominal e regimes cambiais 
Definidos os principais conceitos de taxa de câmbio, a segunda questão importante é como se determina o valor da taxa nominal de câmbio. 
 
Os dois principais tipos de regime cambial são o de câmbio fixo e o de câmbio flutuante. Como já vimos anteriormente, no primeiro caso, o 
Banco Central determina o valor da taxa de câmbio e se compromete a comprar e vender divisas à taxa estipulada. Note que, para esse 
regime poder funcionar, o Banco Central deve possuir moeda estrangeira em quantidade suficiente para atender a uma situação de excesso de 
demanda por estas (uma situação de déficit na balança de pagamentos) a uma taxa estabelecida, bem como deve adquirir qualquer excesso 
de oferta de moeda estrangeira. 
 
Quanto ao segundo regime cambial, o de taxas flutuantes, a sua característica básica é que a taxa de câmbio deve se ajustar de modo a 
equilibrar o mercado de divisas. Em uma situação de excesso de demanda por moeda estrangeira, esta terá seu preço elevado, ou seja, a 
moeda nacional se desvalorizará. 
 
Quando houver um excesso de oferta de moeda estrangeira, seu preço cairá, isto é, a moeda nacional será valorizada. 
 
Observe que o princípio básico do regime de câmbio flutuante é um mercado de divisas do tipo concorrência perfeita, sem 
intervenções do Banco Central, de modo que qualquer desequilíbrio seja prontamente eliminado pelo mecanismo de preço (alteração da taxa 
de câmbio). Com isso, a balança de pagamentos estará sempre em equilíbrio, com câmbio flutuante. O mercado determinando a taxa de 
câmbio, tornando-a menos sujeita às intervenções das autoridades governamentais, e a liberdade dada à política monetária são as principais 
vantagens atribuídas ao sistema de câmbio flutuante. 
 
Algumas desvantagens são associadas a esse sistema. A principal delas refere-se à instabilidade devido a maior volatilidade da taxa de 
câmbio. As maiores flutuações das taxas podem desestabilizar os fluxos comerciais, restringindo o comércio internacional (ressurgimento de 
protecionismo), e, ao ampliar a incerteza, podem levar a reduções nos investimentos.