4728_Matem_tica_Financeira_Aula_12_Vol_1

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Aula
SISTEMA DE AMORTIZAÇ ÃO CONSTANTE – SAC
12
Ob j e t i v o s
Ao final desta aula, voĉe deveŕa ser capaz de:
1 entender os conceitos do Sistema de Amortização
Constante –SAC;
2 interpretar e resolver os problemas propostos.
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Matemática Financeira | Sistema de Amortização Constante – SAC
I NTRODUÇÃO
Neste sistema, as amortizações periódicas são constantes e
iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de paga-
mentos. Sabemos que os juros incidem sobre o saldo deve-
dor, que nesse caso decrescem de forma constante após o paga-
mento das prestações. Como conseqüência do comportamento
da amortização e dos juros, as prestações periódicas esucessivas
doSACsão decrescentes em progressão aritmética.
SAC – SEM CARÊNCIA
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�Exemplo 12.1
Um empréstimo de R$ 10.000,00 será pago pelo Sistema
de Amortização Constante em quatro prestações mensais, sem
perı́odo de carência. Se a taxa de juros contratada for de 10% ao
mês, construa a planilha.
Soluç̃ao: A amortização mensal é
Ak =
10.000,00
4
= 2.500,00,1 ≤ k≤ 4.
Planilha do financiamento
Meses Saldo devedor Amortizaç̃ao Juros Prestaç̃ao
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = i ×Sdk) (Pk = Ak +Jk)
0 10.000,00 - - -
1 7.500,00 2.500.00 1.000,00 3.500,00
2 5.000,00 2.500.00 750,00 3.250,00
3 2.500,00 2.500.00 500,00 3.000,00
4 2.500.00 250,00 2.750,00
TOTAL - 10.000,00 2.500,00 12.500,00
� É fácil estabelecer expressões genéricas de cálculo deforma
a determinar cada parcela da planilha doSAC,sem carência.
Amortizaç̃ao (Ak) : os valores são iguais em cada perı́odo
k e obtidos porAk =
Sd0
n , ondeSd0 é o valor do financiamento
(saldo inicial ou principal),n éno¯ de prestações e 1≤ k≤ n.
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Saldo devedor(Sdk): é decrescente emPA (progressão arit-
mética) de razãoAk =
Sd0
n , portanto o saldo do perı́odok, deno-
tado porSdk, será dado por
Sdk = Sd0−k×
Sd0
n
, ou
Sdk = Sd0−k×Ak,1≤ k≤ n.
Juros (Jk): tendo em vista a redução constante do saldo
devedor, os juros também diminuem em progressão aritmética
cujo 1o¯ termo éi ×Sd0 e razãoi ×
Sd0
n , logo os juros referentes
aok-ésimo perı́odo serão dados por
Jk = i ×Sd0− (k−1)× i ×
Sd0
n
, isto é,
Jk =
[
Sd0− (k−1)
Sd0
n
]
× i ⇒ Jk =
Sd0
n
× (n−k+1)× i ou
Jk = Ak× (n−k+1)× i.
Prestaç̃ao(Pk): ak-ésima prestação será obtida pela soma da
respectiva amortização com os respectivos juros, ou seja, Pk =
Ak +Jk e, portanto, tem-se que:
Pk =
Sd0
n
+
[
Sd0
n
(n−k+1)
]
× i ⇒
Pk =
Sd0
n
[1+(n−k+1)× i] ou
Pk = Ak[1+(n−k+1)× i].
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�Exemplo 12.2
Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado
pelo sistema de amortização constante em 40 parcelas mensais.
A taxa de juros contratada para a operação é de 4% ao mês.
Determinar:
a) o valor de cada amortização mensal;
b) o valor dos juros e da prestação referentes ao 22o¯ paga-
mento;
c) o valor da última prestação;
d) o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento
da 10a¯ prestação.
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Matemática Financeira | Sistema de Amortização Constante – SAC
Soluç̃ao: Sabe-se queSd0 = 80.000,00, n = 40 meses ei = 4% a.m.
ou i = 0,04 a.m.
a) Ak =
80.000,00
40 = 2.000,00 com, 1≤ k≤ 40
b) Sabemos que os juros dok−ésimo perı́odo pode ser obtido através
da equação
Jk =
Sd0
n
× (n−k+1)× i,
portanto, temos que
J22 =
80.000,00
40
×(40−22+1)×0,04, isto é,J22= 2.000,00×
19×0,04⇒ J22 = 1.520,00,
e portanto,P22 = 2.000,00+1.520,00 = 3.520,00.
c) Sabe-se quek−ésima prestação pode ser obtida da expressão
Pk =
Sd0
n [1+(n−k+1)× i], logo,
P40=
80.000,00
40
[1+(40−40+1)×0,04= 2.000,00×1,04]⇒
P40 = 2.080,00.
d) O saldo após o pagamento dak−ésima prestação pode ser obtida
da expressãoSdk = Sd0−k×
Sd0
n
, logo,
Sd10 = 80.000,00−10×
80.000,00
40 ⇒ Sd10 = 60.000,00.
Respostas
a) R$ 2.000,00.
b) R$ 1.520,00 e R$ 3.520,00.
c) R$ 2.080,00.
d) R$ 60.000,00.
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1SAC COM CARÊNCIA
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�Exemplo 12.3
Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco
entrega no ato e que será pago pelo Sistema de Amortização
Constante. Sabendo que o banco concedeu três anos de carência,
que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amor-
tizado em quatro parcelas anuais, construa a planilha.
Ao se supor uma carência de 3 anos, três situações podem
ocorrer:
• 1o¯ Os juros s̃ao pagos durante a carência.
Soluç̃ao: A amortização mensal é100.000,004 = 25.000,00. O juro
pago no primeiro e no segundo perı́odo será de 10% sobre o saldo
inicial de R$ 100.000,00 sendo que este não se altera, pois não há
amortização nos perı́odos um e dois devido ao prazo de carˆencia.
A partir do perı́odo três, o comportamento é semelhante aorealizado
no problema sem carência. Temos então o seguinte quadro dedesem-
bolsos:
Planilha do financiamento
Anos Saldo devedor Amortizaç̃ao Juros Prestaç̃ao
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = i ×Sdk) (Pk = Ak +Jk)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
4 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00
5 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00
6 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00
7 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00
TOTAL - 100.000,00 55.000,00 155.000,00
• 2o¯ Os juros s̃ao capitalizados durante a carência e acresci-
dos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações de maior
valor.
Soluç̃ao: Nesse caso, o procedimento inicial é semelhante ao ante-
rior, isto é, no primeiro e no segundo perı́odos, os juros serão capi-
talizados e acrescidos ao saldo devedor. Temos então que, no primeiro
perı́odo, o saldo devedor passa a ser de R$ 100.000,00× 1,1 =
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Matemática Financeira | Sistema de Amortização Constante – SAC
R$ 110.000,00 e, no segundo perı́odo, o saldo passa a ser de R$110.000,00×
1,1 = R$ 121.000,00.
A partir do terceiro perı́odo dar-se-á o inı́cio do pagamento das
amortizações, sendo que estas serão calculadas tendo como base o
saldo do perı́odo três, isto é, R$ 121.000,00 e não R$ 100.000,00 como
no caso anterior. Temos então que o valor das amortizações será de
121.000,00
4 = 30.250,00 e, a partir do perı́odo três, o comportamento é
semelhante ao realizado no problema sem carência. Temos então o
seguinte quadro de desembolsos:
Planilha do financiamento
Anos Saldo devedor Amortizaç̃ao Juros Prestaç̃ao
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = iSdk−1) (Pk = Ak +Jk)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - 10.000,00 0,0
2 121.000,00 - 11.000,00 0,0
3 133.100,00 - 12.100,00 0,0
4 99.825,00 33.275,00 13.310,00 46.585,00
5 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,50
6 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00
7 0,00 33.275,00 3.327,50 36.602,50
TOTAL - 100.000,00 66.375,00 166.375,00
Resumo
Nesta aula, continuamos o estudo dos Sistemas de Amorti-
zação de Empréstimos. Os conceitos envolvidos nesse estudo
foram agora utilizados no desenvolvimento dos conceitos que
envolvem o estudo do Sistema de Amortização Constante.
Exerćıcio 12.1
1. Um financiamento de R$ 10.000,00 pelo SAC deverá ser
pago em dez prestações anuais e consecutivas sem carência,
com juros de 4% ao ano. Determine:
a) o valor do juro pago na oitava prestação;
Resposta:R$ 120,00.
b) o valor da quinta prestação;
Resposta:R$ 1.240,00.
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c) o valor do saldo devedor imediatamente após o paga-
mento da 5a¯ prestação;
Resposta:R$ 5.000,00.
d) o total de juros pagos durante o financiamento.Resposta:R$ 2.200,00.
2. Um empréstimo de R$ 100.000,00, será saldado em 25
amortizações quadrimestrais pelo sistema SAC, tendo sido
contratada a taxa de juros de 5% ao quadrimestre. Quais
são o saldo devedor, os juros e a prestação referentes ao
16o¯ quadrimestre?
Respostas:R$ 36.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 6.000,00.
3. Em janeiro de 1989, uma pessoa adquiriu uma casa fi-
nanciada por uma instituição financeira em 120 prestações
mensais pelo SAC. Sabendo que o valor financiado foi de
R$ 84.000,00, que a taxa de juro nominal contratual foi
de 18% ao ano e que a primeira prestação foi paga no mês
de fevereiro desse mesmo ano, calcule:
a) o valor das amortizações pagas até dezembro de 1989
(inclusive);
Resposta:R$ 7.700,00.
b) o valor da prestação a vencer em maio de 1991;
Resposta:R$ 1.676,50.
c) o total de juros pagos durante o ano de 1990;
Resposta:R$ 12.978,00.
d) o saldo após o pagamento da décima quinta prestação.
Resposta:R$ 73.500,00.
4. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa
de 2% ao mês, devendo ser devolvido em oito prestações
mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de três
meses, elabore a planilha de pagamentos.
5. Uma empresa em fase de expansão obtém de uma agência
governamental o financiamento de R$ 48.000.000,00 a ser
liberado em três parcelas quadrimestrais seqüenciais, sendo
de R$ 13.000.000,00 a primeira, de R$ 30.000.000,00 a
segunda e de R$ 5.000.000,00 a terceira. Os encargos fi-
nanceiros são basicamente os seguintes:
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Matemática Financeira | Sistema de Amortização Constante – SAC
a) Taxa efetiva de juros: 9% a.a.
b) Comissão de abertura de crédito igual a 0,5% sobre
o valor do financiamento, esse valor será cobrado
quando da liberação da primeira parcela.
c) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) de 1%
sobre o total geral, ou seja, valor do financiamento
mais encargos financeiros.
O órgão financiador concede 4 quadrimestres de carência,
sendo os juros pagos durante a carência. O prazo total do
financiamento será de 5 anos, e o sistema de amortização
adotado é o SAC. As amortizações serão quadrimestrais.
Construir a planilha do financiamento.
6. Um banco empresta R$ 1.000.000,00 sob as seguintes con-
dições:
a) juros de 20% ao ano, pagos semestralmente;
b) carência de um ano;
c) comissão de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor
financiado, pago no ato;
d) comissão de l% sobre o saldo devedor anual;
e) IOF de l% sobre o valor total do financiamento (prin-
cipal + encargos), pago no ato;
f) amortizações semestrais constantes;
g) prazo total de quatro anos e meio.
Construir a planilha do financiamento.
7. Uma dı́vida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através
do SAC em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao ano.
Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava pres-
tação.
Resposta:R$ 200.000,00.
8. Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes
condições:
a) taxa nominal de juros de 6% ao ano com capitalização
semestral;
b) prestações semestrais, sem carência;
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c) Sistema de Amortização Constante –SACou Sis-
tema Francês de Amortização.
Pede-se: para um empréstimo de R$ 12.000,00, qual seria
o valor da primeira prestação peloSACse, pelo Sistema
Francês, as prestações são iguais a R$ 1.406,77?
Resposta:R$ 1.560,00.
9. Um imóvel no valor de R$ 500.000,00 foi financiado por
um banco em 180 meses. A taxa de juros cobrada nesse
tipo de financiamento é de 1% ao mês e a amortização
pode ser efetuada tanto peloSAC -Sistema de Amortização
Constante como peloSAF –Sistema de Amortização Fran-
cês. Determinar em que momento os valores das prestações
apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais.
Resposta:Por volta da 65a¯ prestação (k = 64,96976).
10. A fim de expandir seus negócios, uma pessoa consegue
um financiamento de R$ 300.000,00, nas seguintes condi-
ções:
a) taxa de juros de 8% ao ano com capitalização se-
mestral;
b) amortizações peloSACcom pagamentos semestrais;
c) prazo de amortização: 5 anos.
Determine os juros pagos na décima prestação.
Resposta:R$ 1.200,00.
�
�
	
Auto-avaliação
Você conseguiu resolver todos os exercı́cios propostos sem
dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os
conceitos e as técnicas de resolução dos problemas que en-
volvem o Sistema de Amortização Constante. Se não con-
seguiu, não desista, volte à aula e reveja os conceitos e exem-
plos. Não deixe que suas dúvidas se acumulem. Procure
dirimi-las com os colegas do pólo e também com os tutores.
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