Base de um Espaço Vetorial

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Aula 4 - Base de um espaço 
vetorial 
 
31/08/2020 
 
Definição 1. (Base de um espaço 
vetorial) 
 
 Um subconjunto ! de um espaço 
vetorial V é uma base de V se as 
seguintes condições forem satisfeitas: 
 
(i) ! é linearmente independente; 
 
(ii) ! gera V, i.e, todo vetor de V é 
combinação linear de vetores de !. 
 
 
Justificativa: 
Afirmação I: {e₁,e₂} é l.i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A única solução é c₁=c₂=O. Logo, 
{e₁,e₂} é l.i. 
Afirmação II: {e₁,e₂} gera o ℝ². 
 
 
 
 Pergunta: existem c₁ e c₂ tais que 
 
 v = c₁e₁ + c₂e₂ ? 
 
c e sei o
cereal II
X
Seja V 4 e ir um vetor qualquer da né
 
 
 
 
Resposta: sim, basta tomar c₁=v₁ e 
c₂=v₂. 
Assim, !={e₁,e₂} é base do ℝ². 
 
Exemplo 2. Os vetores 
 
 
 e₁= e₂= , e₃= . 
 
 
formam uma base (canônica) do ℝ³. 
 
Justificativa. 
Afirmação I. {e₁,e₂,e₃} é l.i. 
 
 
 
 
µ Hi
Hi Hi Hi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A única solução é c₁=c₂=c₃=O. Logo, 
{e₁,e₂,e₃} é l.i. 
Afirmação 2. {e₁,e₂,e₃} gera o ℝ³. 
 
 
 
 
Pergunta: existem c₁,c₂,c₃∊ℝ tais que 
 
 v= c₁e₁ + c₂e₂ + c₃e₃ ? 
 
C C Cala Cze z O
e e ei
seja um vetor qualquer do IR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: sim, basta tomar c₁=v₁, c₂=v₂ 
e c₃=v₃. 
Assim, !={e₁,e₂,e₃} é base do ℝ³. 
 
Exemplo 3. Os vetores 
 
 
 
 
 
 
formam uma base (canônica) do ℝⁿ. 
 
e e ei f
ii ei L
 
Justificativa: Análoga ao caso do ℝ². 
 
Exemplo 4: Os vetores 
 
 
 e₁= e₂= 
 
 
não formam uma base do ℝ³ porque 
eles não geram o ℝ³. 
 
 
Justificativa: 
 
Os vetores de ℝ³ gerados por e₁ e e₂ 
são da forma: 
 
 
 c₁e₁ + c₂e₂ = c₁ + c₂ = 
 
 
 
 
tititi
1
 
Em particular, o vetor 
 
 
 e₃= 
 
 
não é gerado por e₁ e e₂, isto é, e₃ 
não é combinação linear de e₁ e e₂. 
 
 
 
 
 
Em termos de cores rgb, o azul (e₃) 
não pode ser obtido misturando tons 
de vermelho (e₁) e verde (e₂). 
 
O
Í
ei EI ei eip
 
Exemplo 5. Os vetores 
 
 
 
 
 
 
não formam uma base do ℝ³ porque 
eles não geram o ℝ³. 
 
Justificativa: 
 
Os vetores de ℝ³ gerados por f₁ e f₂ 
são da forma: 
 
 
 v = = c₁f₁ + c₂f₂ = 
 
 
 
 
 
 
Hit
H it
IF
Assim, obtemos o sistema linear: 
 
 
 
 
 
A matriz aumentada do sistema é: 
 
 
 
 
 
 
Efetuando operações elementares, 
obtemos a forma reduzida: 
 
 
 
 
 
 
 
Iii H
C a
1 foiO cibiam
1 E
Elite
Assim, o vetor v é gerado pelos 
 
vetores f₁ e f₂ se e somente se 
 
 c-b+a=O. 
 
Em particular, os vetores f₁ e f₂ não 
geram nenhum dos vetores 
 
 
 
 
 
 
Em termos de cores rgb, temos a 
seguinte interpretação: as cores 
amarelo e água (aqua) não geram 
 
 
 
 
 
 
1
titudt fá lo lÃ
 
nenhuma das cores primárias 
vermelho (e₁), verde (e₂) e azul (e₃). 
 
Proposição 1. Seja !={f₁,f₂,…,fᵣ} um 
conjunto de r vetores do ℝⁿ. As 
seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
(i) se r<n então ! não gera o ℝⁿ; 
(ii) se r>n então ! é um conjunto l.d. 
 
Teorema 1. Seja !={f₁,f₂,…,fᵣ} um 
conjunto de r vetores do ℝⁿ. As 
seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
(i) ! é base do ℝⁿ se e somente se 
r=n e Det (f₁,f₂,…,f )≠O; 
 
(ii) Toda base do ℝⁿ tem n vetores. 
 
 
 
 
n
 
Exemplo 6. Os vetores 
 
 
 
 
 
formam uma base do ℝ³. 
 
Justificativa. 
 
 
 Det 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, pelo Teorema 1, {f₁,f₂,f₃} é base 
do ℝ³. 
 
 
f te te
1 1212 1
1 3 1
p il Hilal
5 O 110 5 f O
 
 Exemplo 7. Encontre uma base para o 
espaço vetorial 
 
 
 
 
 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, W= span (f₁,f₂). 
 Logo, !={f₁,f₂} gera W. 
 Afirmamos que !={f₁,f₂} é l.i. 
 De fato, 
 
 c₁f₁ + c₂f₂ = O " 
 
W Fg a c IR e be IR
ta
f f z
IÊ a E oCzc n
 
Outros espaços vetoriais 
 
Exemplo 8. Mostre que as matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
formam uma base (canônica) do 
espaço vetorial M 
 
Justificativa. 
 
(i) != 
 
 
 
 
 
 
E L Er_foi
E fi E L
2 2
En En En En não li
pEp t Cr Eu z Ez Cy Ezzi O
c tal 1 tal ali L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, ! é l.i. 
 
 
(ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ! gera M 
live.in ii e
iii H
Assim
C Cz z y O
Seja f EM Então
1 ali b liotti af
A Epp t b E z t C Ez t d Eu
2 2
 
Exemplo 9. As matrizes mxn 
 
 
formam uma base (canônica) do 
espaço vetorial M onde E Denota 
a matriz de ordem mxn com 1 na 
linha i coluna j e O no restante. 
 
Exemplo 10. Encontre uma base para o 
espaço vetorial 
 
 
 
 
 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
F pp Ern Eu zn Em F mm
man if
W ba aetre bek EMaxi
1 1 6 1 D
filial
 
 
 
 
 
 
 
 
Afirmarmos que ! é l.i. 
De fato, as seguintes equações são 
equivalentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, ! é base de W. 
 
span fé E d
Logo
rs Il i I if gera w
aG a EH E
e
a b O
 
Exemplo 11. Mostre que !={1,x,x²,…,xⁿ} 
é uma base (canônica) de P. 
 
Justificativa. 
 
 
 
 
 
 
 Logo, ! é l.i. 
 
 
 p∊P 
 
 
 
 
Assim, p é combinação linear de 
elementos de !, isto é, ! gera P 
 
i Béli
CotCs Casch 1 Cnx O TK
o C Cz Cn
O
Iii n
Logo
p 2 ao ta se t Anson
ri
 
Exemplo 12. Mostre que !={1,x,x²,xⁿ,…} 
é uma base (canônica) de P. 
 
Justificativa. 
A justificativa é bem parecida com 
aquela apresentada no Exemplo 11.