Exercício Probabilidade 6

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Ciência e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
Lista de Exerćıcios: Variáveis Aleatórias
Exerćıcios Resolvidos
1. Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir
dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Seja X
o número de aparelhos vendidos. Calcule a média e o desvio-padrão de X, isto é, do número de
aparelhos vendidos.
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Solução
• Observe-se que a tabela apresenta valores de f(x) que são pesos (ou probabilidades), ou
seja, vamos usar estes pesos no cálculo da média e do desvio-padrão;
• Para o cálculo da média de X usamos a fórmula µ = E(X) =
∑k
i=1 xi.f(xi), que é uma
média ponderada;
• Lembre-se que basta multiplicar cada valor de X por sua probabilidade, ou seja, o primeiro
valor de X é 0 e sua probabilidade é 0,1. Assim, 0 × 0, 1. Faça isso para todos os valores
de X e some os resultados. Fica assim:
• E(X) = 0× 0, 1 + 1× 0, 1 + 2× 0, 2 + 3× 0, 3 + 4× 0, 2 + 5× 0, 1 = 2,7 aparelhos;
• Para o cálculo do variância de X usamos a fórmula σ2 = V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2, que
é um cálculo ponderado;
• Lembre-se que E(X2) =
∑k
i=1(xi)
2f(xi);
1
• Lembre-se que começamos elevando cada valor de X ao quadrado e multiplicamos por sua
probabilidade, ou seja, o primeiro valor de X é 0, eleva-se ao quadrado 02 e multiplica-se
por sua probabilidade que é 0,1. Fica assim, 02× 0, 1. Faça isso para todos os valores de X
e some os resultados. Fica assim:
• E(X2) = 02 × 0, 1 + 12 × 0, 1 + 22 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 42 × 0, 2 + 52 × 0, 1 = 9,3 aparelhos2;
• Lembre-se que E(X) = 2, 7calculado anteriormente;
• Assim, V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2;
• V ar(X) = 9, 3− (2, 7)2 = 2,01 aparelhos2;
• Para o cálculo do desvio-padrão de X, basta tirar a raiz quadrada;
• DP (X) =
√
2, 01 = 1,418 aparelhos.
2. O tempo de vida em horas de um certo dispositivo eletrônico pode ser considerado uma variável
aleatória com função de distribuição definida por
F (x) = 1− e
−x
100 , para x > 0.
(a) Qual a probabilidade de um desses dispositivos eletrônicos durar mais de 100 horas?
(b) Qual a probabilidade de um desses dispositivos eletrônicos durar entre 50 e 150 horas?
Solução
• Lembre-se que f(x) representa uma função densidade de probabilidade, ou seja, o resultado
desta função é uma densidade e não uma probabilidade. A integral desta função é que
calcula uma probabilidade;
• Lembre-se que F (x) representa uma função de distribuição de probabilidade acumulada, ou
seja, o resultado desta função é uma probabilidade. Só que esta probabilidade é uma pro-
babilidade acumulada, que vai do ińıcio da função até o valor de x considerado. Lembrando
que a função deste exerćıcio começa no 0, ou seja, x > 0;
(a) O interesse aqui é na P (X > 100). Primeiramente, sei que a área total da função f(x) =
1
100e
−x
100 é 1.
2
• Como o interesse é em P (X > 100), sei que X = 100. Lembre-se que, no caso cont́ınuo,
maior e maior igual são calculados da mesma maneira;
• Substituindo na função F (x) = 1− e
−x
100 ;
• Tem-se que F (100) = 1 − e
−100
100 = 1 − e−1 = 0, 6321 (ver v́ıdeo de uso da calculadora
cient́ıfica);
• Lembre-se que essa resultado representa a área do 0 (valor inicial da função) até o 100
(valor pedido na probabilidade);
• O interesse não está nesta probabilidade e sim na P (X > 100) apresentada abaixo:
• Sei que F (100) + P (X > 100) = 1;
• Assim: 0, 6321 + P (X > 100) = 1;
• Finalizando P (X > 100) = 1− 0, 6321 = 0,3679.
(b) O interesse está em P (50 < X < 150), ou seja, na área apresentada aqui:
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• Como o interesse está em P (50 < X < 150), temos dois valores de X (50 e 150);
• Portanto, vamos usar a função F (x) duas vezes, ou seja:
• F (x) = 1− e
−x
100 ;
• F (50) = 1− e
−50
100 = 1− e−0,5 = 0, 3935;
• F (150) = 1− e
−150
100 = 1− e−1,5 = 0, 7769;
• Sabemos que F (150) = 0, 7769, área do 0 até o 150;
• Sabemos que F (50) = 0, 3935, área do 0 até o 50;
• Pelo desenho apresentado, verifica-se que a parte vermelha é a de interesse (do 50 até o
150);
• A parte azul F (50) + parte vermelha P (50 < X < 150) = parte azul de cima F (150);
• Assim: F (50) + P (50 < X < 150) = F (150);
• Assim: 0, 3935 + P (50 < X < 150) = 0, 7769;
• P (50 < X < 150) = 0, 7769− 0, 3935 = 0,3834.
Exerćıcios Propostos
1. Classifique as variáveis aleatórias em discretas ou cont́ınuas.
(a) Número de coroas obtido no lançaamento de duas moedas;
(b) Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;
(c) Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;
(d) Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote;
(e) Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;
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(f) Tempo de resposta de um sistema computacional;
(g) Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo peŕıodo de tempo.
2. A distribuição de probabilidade de X, o número de imperfeições a cada dez metros de um tecido,
é dada por:
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
(a) Determine o número médio de imperfeições por dez metros de tecido;
(b) Determine a variância e o desvio padrão do número de imperfeições por dez metros de tecido.
3. O tempo de vida, em horas, de um componente eletrônico é uma variável aleatória com função
de distribuição acumulada
F (x) = 1− e
−x
50 , x > 0
(a) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente seja menor que 70 horas.
(b) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente exceda 70 horas.
(c) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente esteja entre 50 e 100
horas.
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