integral de linha

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA FARROUPILHA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Liani Belmont Santos
Professor Frank Jonis Flores de Almeida
São Borja
2020
Integral de Linha de Campos Vetoriais
Podemos definir integrais de linhas de campos vetoriais. Tais integrais são usadas, por exemplo, para determinar o trabalho exercido ao mover uma partícula ao longo de uma curva lisa C. Seja F é um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b, então a integral de linha de F ao longo de C é
 
Lembre-se que: 
• F r(t) = F (x(t), y(t)) para campos vetoriais em R² e 
• F r(t) = F (x(t), y(t), z(t)) para campos vetoriais em R³ 
Integrais de Linha com Respeito a x, y e z. Considere um caminho liso C descrito por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b, e suponha que F (x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. A integral de linha do campo vetorial F pode ser escrita como
em que,
 
são chamadas integrais de linha ao longo do caminho C com relação a x, y e z, respectivamente.
Exemplo 1:
 
 Integre ƒ(x, y, z) = x – 3y² + z sobre o segmento de reta C unindo a origem ao ponto (1, 1, 1) (Figura 16.2). Solução Escolhemos a parametrização mais simples que pudermos imaginar: r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. Os componentes possuem derivadas de primeira ordem contínuas e |r’(t)| = |i + j + k| = √1 2 + 1 2 + 1² = √3 nunca é 0, portanto a parametrização é lisa. A integração de ƒ sobre C é
 
Aditividade
Integrais de linha têm a propriedade útil de que se uma curva lisa definida em trechos C for feita ligando-se um número finito de curvas lisas C1, C2,..., Cn pelas extremidades, então a integral de uma função sobre C é a soma das integrais sobre as curvas que a compõem:
EXEMPLO 2:
A Figura 16.3 mostra outra trajetória a partir da origem a (1, 1, 1), a união dos segmentos de reta C1 e C2. Integre ƒ(x, y, z) = x – 3y2 + z sobre C1 ª C2. Solução: Escolhemos as parametrizações mais simples para C1 e C2 que pudermos encontrar, calculando os comprimentos dos vetores velocidade à medida que prosseguimos:
· C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤1; |𝑟| = √1 2 + 1² = √2 
· C2: r(t)= i + j + tk, 0≤t≤1; |𝑟| = √0 2 + 0² + 1² = 1.
Com essas parametrizações, descobrimos que
Centro de Massa
A massa de um fio com densidade variável ρ que descreve um caminho C em R³, é dada por
O centro de massa do fio é um ponto (x¯, y¯, z¯) dado por
Momento de Inércia
As integrais de linha com respeito ao comprimento de arco também podem ser usadas para determinar o momento de inércia. Seja δ(x, y, z) a distância perpendicular de um ponto (x, y, z) ∈ C à um eixo L. Nesse caso, o momento de inércia IL é dado por em que ρ(x, y, z) denota a densidade em (x, y, z). Os momentos de inércia com respeito aos eixos coordenados são denotados por Ix , Iy e Iz .
EXEMPLO 3:
Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo do semicírculo y2 + z2 = 1, z ≥ 0, no plano yz (Figura 16.4). Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x, y, z) no arco for d(x, y, z) = 2 – z. Solução: Sabemos que x = 0 e y = 0 porque o arco está no plano yz com sua massa distribuída simetricamente em relação ao eixo z. Para encontrar z, parametrizamos a circunferência como r(t) = (cos t)j + (sen t)k, 0 ≤ t ≤ p. r(t) = (cos t)j + (sen t)k, 0 ≤ t ≤ p. Para essa parametrização
Portanto, ds = |r| dt = dt. As fórmulas na Tabela 16.1 então fornecem
Com 𝑧̅ arredondado ao centésimo mais próximo, o centro de massa é (0, 0, 0,57).
Integrais de linha no plano
Existe uma interpretação geométrica interessante para as integrais de linha no plano. Se C for uma curva lisa no plano xy parametrizado por r(t) = x(t)i + y(t)j, a≤ t ≤ b, a partir da definição
onde ∆sk → 0 conforme n→ ∞, vemos que a integral de linha ∫ 𝑓𝑑𝑠 𝑐 é a área da parede exibida na figura a seguir.