Atividade para avaliação Elementos da Álgebra- Semana 6 Resolvido

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Informações do teste
PERGUNTA 1
Seja  uma extensão de corpos. Dizer que um número complexo é algébrico sobre F
signi�ca:
que não existe nenhum polinômio não-nulo  tal que  .
que existe um polinômio não-nulo  tal que  .
que  é gerado como espaço vetorial sobre F por .
que  para todo polinômio  .
que  é gerado como espaço vetorial sobre F por .
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PERGUNTA 2
Na construção de Cayley-Dickson, o produto de pares de números complexos é de�nido pela
fórmula  , em que  . Escrevendo 
 e  , com  , assinale a alternativa que contém todas as
soluções da equação  :
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PERGUNTA 3
I. é um espaço vetorial sobre F.
II. é um espaço vetorial sobre  .
III. é a interseção de todos os subcorpos de  que contêm .
Seja  uma extensão de corpos e seja  um número algébrico sobre F. Sobre a
extensão simples  , considere as a�rmações:
Assinale a alternativa correta:
I, II e III são verdadeiras.
Apenas III é verdadeira.
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p
Apenas II e III são verdadeiras.
Apenas I e II são verdadeiras.
Apenas a a�rmação I é verdadeira.
PERGUNTA 4
As partes real e imaginária do número complexo  são, respectivamente:
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PERGUNTA 5
Vamos denotar por  a extensão simples do subcorpo  pelo
número . É correto a�rmar que:
, mas 
, mas 
, mas 
 e 
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PERGUNTA 6
Assinale a alternativa que contém o produto dos números complexos  e  :
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PERGUNTA 7
Classi�que as a�rmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), lembrando que um
número  é algébrico sobre um subcorpo  caso seja raiz de um polinômio não-
nulo com coe�cientes em F.
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I. O número é algébrico sobre  .
II. Se um número  é algébrico sobre  , então seu conjugado  também é
algébrico sobre  .
III. Se  é algébrico sobre  , então os números  são linearmente
independentes sobre  .
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
V – V – F
F – V – F
V – V – V
F – F – F
V – F – V
PERGUNTA 8
I. O conjunto das raízes n-ésimas da unidade contém exatamente n elementos.
II. O conjunto das raízes n-ésimas da unidade, com a adição usual de números
complexos, é um grupo.
III. O conjunto das raízes n-ésimas da unidade, com a multiplicação usual de números
complexos, é um grupo.
Lembre-se de que um número complexo  que satisfaz a equação  é chamado
de uma raiz n-ésima da unidade. Por exemplo,  são raízes quartas da unidade.
Considere as seguintes a�rmações:
Considerando as a�rmativas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinale a alternativa correta:
V – F – V
F – V – F
F – F – V
V – F – F
V – V – V
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PERGUNTA 9
Seja  o inverso multiplicativo do número complexo  . Assinale a alternativa
que contém o número complexo  :
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PERGUNTA 10
Os graus das extensões de corpos  ,  e  valem, respectivamente:
∞, 2, ∞
2, 3, 4
2, 2, 2
∞, 2, 2
∞, ∞, 2
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