Polígonos: Conceitos e Demonstrações Matemáticas

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Instituto Federal De Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo 
Câmpus Araraquara 
 
Licenciatura em Matemática 
 
 
 
Polígonos: Conceitos e Demonstrações Matemáticas 
 
Crysthian de Melo Pires 
Mariana Desiree Tita de Souza 
Marlene Ferreira de Oliveira Curti 
Otávio Traldi da Silva 
Sérgio Ferreira Guimarães Júnior 
 
 
 
Relatório apresentado às disciplinas: 
Conjunto e Noções de Lógica, ministrada pelo Prof. Leandro José Elias; 
Construções Geométricas, ministrada pelo Prof. Marcos Vinícius Ferreira Fernandes; 
Leitura, Produção e Interpretação de Textos, ministrada pela Prof.ª Caroline Carnielli Biazolli; 
Geometria Plana, ministrada pela Prof.ª Karla Barbosa de Freitas Spatti. 
 
 
Araraquara, 16 de junho de 2018 
2 
 
Resumo 
 
O presente trabalho sobre os polígonos, pesquisado e desenvolvido pelo grupo, 
tem o objetivo de demonstrar fórmulas utilizadas para um melhor cálculo de suas 
características, como diagonais, ângulos internos, ângulos externos, área e 
apresentar como se dá a construção de um polígono regular. Buscamos apresentar 
conceitos básicos que ajudem na interpretação dos exercícios, conceitos esses, 
presentes no livro de um dos principais autores utilizado no desenvolvimento do 
trabalho, tratando-se de BARBOSA, João Lucas; o qual desenvolve demonstrações 
em seu livro “Geometria Euclidiana Plana”, dos axiomas, teoremas, proposições e 
corolários de Euclides, sendo esse um dos principais matemáticos gregos, 
considerado o pai da Geometria. Com isso, conseguimos resolver os exercícios 
propostos pelos professores, tendo uma visão mais ampla do conteúdo, adquirindo 
mais conhecimento e observando a influência e utilização deles no nosso dia-a-dia. 
Palavras-chave: Educação matemática. Polígonos. Geometria. Demonstração 
matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Índice 
 
1 Introdução 5 
2 Conceitos iniciais 7 
2.1 Pontos 7 
2.2 Reta 7 
2.2.1 Semirreta 8 
2.2.2 Segmento de reta 8 
2.2.2.1 Segmentos de reta consecutivos e colineares 9 
2.3 Plano 10 
2.4 Linha poligonal 10 
2.4.1 Linha poligonal aberta simples e complexa 11 
2.4.2 Linha poligonal fechada simples e complexa 12 
3 Polígonos 13 
3.1 Elementos de um polígono 13 
3.2 Nomeando os polígonos 15 
3.3 Polígono convexo e não-convexo 15 
3.4 Polígono regular 16 
4 Aplicando os conceitos 16 
4.1 Calculando o número de diagonais de um polígono 16 
4.2 Calculando a soma dos ângulos internos de um polígono 21 
4.3 Calculando a soma dos ângulos externos de um polígono 26 
4.4 Calculando a área de um polígono regular 29 
4.5 Construção geométrica de um hexágono regular 30 
4 
 
5 Conclusão e considerações finais 33 
6 Referências bibliográficas 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1 Introdução 
 
Desde a antiguidade, o homem buscou observar e representar o meio em que 
vive, mostrando grande interesse pelas formas. Entretanto, o homem não tinha 
nenhuma figura geométrica definida, como triângulos, quadrados ou retângulos, até 
que passou a construir suas próprias moradias. Com a evolução das construções, 
antes rústicas, foi necessário um aprimoramento nos projetos e execução dos 
planejamentos, tornando o desenho uma ferramenta básica no processo de 
construção, interligando as formas com a ideia de beleza. 
A origem da geometria é atribuída aos babilônios e egípcios, cerca de 3500 
anos atrás. Os babilônios criaram plaquetas com tabelas de multiplicas, de quadrados 
e de cubos, para facilitar o cálculo de áreas e volume. Já os egípcios desenvolveram 
sua geometria devido a necessidade do Faraó Sesóstris III, em dividir as terras 
egípcias para agricultura, com o objetivo de receber impostos dos proprietários, 
conforme o tamanho do terreno. Quando o Rio Nilo transbordava, era necessária uma 
nova medição de cada terra. Essas duas vertentes defendem que a origem da 
geometria está diretamente ligada às necessidades do cotidiano, como agrimensura, 
planificação de cidades e o traçado de mapas. Aristóteles, ao contrário disso, dizia 
que no Egito havia uma classe de sacerdotes que estudava a teoria dos elementos 
gráficos. Percebemos, assim, origens distintas para o surgimento da geometria, uma 
baseada na prática e outra na teoria. 
Um grande passo para o desenvolvimento e na teorização dos estudos das 
formas geométricas foi dado na Grécia. Acredita-se que a geométrica foi levada do 
Egito para a Grécia por Tales de Mileto, porém, ao contrário dos egípcios e babilônios, 
os gregos não consideravam a experiência como critério para a verdade, para eles os 
resultados deveriam ser provados através da razão. Euclides, grande nome da 
matemática, autor da obra “Os Elementos” introduziu o sistema axiomático, que faz 
uso de conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados / axiomas) 
para ordenar sua geometria. Com os conhecimentos práticos desenvolvido no Egito e 
na Babilônia, os gregos aperfeiçoaram a geometria, dando a ela toda a estrutura que 
se mantem até hoje. 
6 
 
Por entender a importância e a beleza da geometria e suas construções durante 
toda a história, esse trabalho foi elaborado visando atender as necessidades de 
entender, de forma básica, toda a construção de um polígono, que é uma das bases 
da geometria plana. 
O trabalho foi estruturado da forma com que é colocado abaixo. 
Esse primeiro capítulo traz um pouco sobre com a geometria se formou e se 
aprimorou ao decorrer dos anos, a motivação e objetivo que norteou o trabalho e a 
estrutura de organização do mesmo. 
O segundo capítulo contém conceitos necessários para entender em que se 
baseia a geometria plana e como se é dada a construção de um polígono, que é o 
foco dos nossos estudos. 
O terceiro capítulo mostra as definições e nomenclatura de polígono e seus 
elementos. Informações necessárias para entender e aplicar nos seus cálculos, no 
capítulo posterior. 
No quarto capítulo se baseia na aplicação dos conceitos e na utilização de 
fórmulas matemáticas para facilitar e agilizar o entendimento de suas propriedades. 
E, por fim, no quinto capítulo encontra-se as considerações finais aos estudos 
realizados que resultou nesse trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
2 Conceitos iniciais 
 
Antes de começarmos a estudar os polígonos e suas particularidades é 
necessário que alguns conceitos sejam abordados para que assim haja uma melhor 
compreensão do que se seguirá. E esses conceitos são: 
 
2.1 Ponto 
 
Ponto é um “objeto” que não possui definição, forma ou dimensão, ou seja, não 
tem comprimento, largura, altura, área, volume, etc. É representado por um “pingo” ou 
bolinha. 
 
2.2 Reta 
 
Reta é o conjunto de pontos compreendidos como uma linha infinita que não 
faz curva. Por consequência são necessários infinitos pontos para formar uma reta. 
 
 
Fonte: Própria 
 
Por ser construída por infinitos pontos, é possível medir a distância entre dois 
pontos específicos sobre a reta e determinar semirretas e segmentos de reta. 
8 
 
2.2.1 Semirreta 
 
Semirreta é uma reta que possui começo (determinado por um ponto), mas não 
possui fim. 
 
 
Fonte: Própria 
 
2.2.2 Segmento de reta 
 
Segmento de reta é uma parte de reta que possui um ponto inicial e um ponto 
final (extremidades). 
 
Fonte: Própria 
9 
 
2.2.2.1 Segmentos de reta consecutivos e colineares 
 
Dois segmentos são ditos consecutivos quanto uma extremidade de um deles 
é também extremidade do outro. 
 
Fonte: Própria 
 
Dois segmentos são ditos colineares quando estão sobre uma mesma reta. 
 
 
Fonte: Própria 
10 
 
2.3 Plano 
 
Assim como a reta é formada por infinitos pontos, o plano é o “objeto” formado 
por um conjunto infinito de retas. É dentro dos planos que são definidas as figuras 
geométricas. 
 
Fonte:Própria 
 
2.4 Linha poligonal 
 
É uma linha formada por um conjunto de segmentos de retas consecutivas e 
não-colineares. 
 
Fonte: Própria 
11 
 
2.4.1 Linha poligonal aberta simples e complexa 
 
Uma linha poligonal é aberta quando possuir duas extremidades (distintas). 
Podendo ser simples, quando nenhum segmento corta o outro; ou complexa, quando 
um ou mais segmentos cortam os outros. 
 
Fonte: Própria 
 
Fonte: Própria 
 
12 
 
2.4.2 Linha poligonal fechada simples e complexa 
 
Uma linha poligonal é fechada quando possuir o final do último segmento de 
reta ligado ao início do primeiro segmento de reta (não possuir extremidades soltas). 
Uma linha poligonal fechada possui parte interna e externa. Chamamos de simples 
quando possui uma, e apenas uma, parte interna e de complexa quando possui mais 
de uma parte interna 
 
Fonte: Própria 
 
Fonte: Própria 
13 
 
3 Polígonos 
 
Polígono é uma figura geométrica plana formada por uma linha poligonal 
fechada e simples com seu interior. 
 
Fonte: Própria 
 
3.1 Elementos de um polígono 
 
• Lados: são os segmentos de reta que formam o polígono; 
• Vértices: são os pontos que ligam dois lados consecutivos de um 
polígono; 
• Fronteira: é a união dos lados que compõe o polígono; 
• Interior: é a região delimitada pela linha poligonal que define o polígono. 
 
Fonte: Própria 
14 
 
• Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não consecutivos 
do polígono. 
 
Fonte: Própria 
 
• Ângulo interno do polígono: é a região do plano, pertencente ao 
interior do polígono, determinada pelo encontro de cada par de 
segmentos consecutivos. O vértice do ângulo coincide com o vértice do 
polígono. 
• Ângulo externo do polígono: dado um dos ângulos do polígono, 
obtêm-se o ângulo externo relativo a ele tomando um dos seus lados e 
o prolongamento do outro, de modo que não divida o ângulo interno. 
 
Fonte: Própria 
15 
 
3.2 Nomeando os polígonos 
 
Os polígonos são nomeados de acordo com o número de lados que possui. 
Essa denominação segue na tabela abaixo: 
Nº de lados Nome Nº de lados Nome 
1 Não existe 15 Pentadecágono 
2 Não existe 16 Hexadecágono 
3 Triângulo 17 Heptadecágono 
4 Quadrilátero 18 Octodecágono 
5 Pentágono 19 Eneadecágono 
6 Hexágono 20 Icoságono 
7 Heptágono 30 Triacontágono 
8 Octógono 40 Tetracontágono 
9 Eneágono 50 Pentacontágono 
10 Decágono 60 Hexacontágono 
11 Undecágono 70 Heptacontágono 
12 Dodecágono 80 Octacontágono 
13 Tridecágono 90 Eneacontágono 
14 Tetradecágono 100 Hectágono 
Fonte: Própria 
3.3 Polígonos convexo e não-convexo 
 
Um polígono é dito convexo quando ao marcar quaisquer dois pontos X e Y, 
sendo X diferente de Y, o segmento formado por eles está totalmente contido no 
interior do polígono. E é dito não-convexo (ou côncavo) quando o segmento corta 
qualquer uma das regiões da fronteira. 
 
Fonte: Própria 
Polígono convexo Polígono não-convexo 
16 
 
3.4 Polígono regular 
 
Um polígono dito regular é equilátero e equiângulo simultaneamente, ou seja, 
quando possui todos os seus lados e ângulos com medidas iguais. 
 
Fonte: Própria 
 
4 Aplicando os conceitos 
 
4.1 Calculando o número de diagonais de um polígono 
 
Através de uma fórmula matemática é possível determinar a quantidade de 
diagonais que um polígono qualquer tem, considerando sua quantidade de lados (ou 
vértices, pois, em um polígono, o numero de lados e vértices são iguais). Mas antes 
de provar a validade dessa fórmula, vamos entender sua construção? 
 
17 
 
 
Fonte: Própria 
Dado um quadrilátero qualquer, ao traçar 
as ligações partindo do vértice A, obtemos AA, 
AB, AC e AD. Mas, note que AA é o próprio vértice 
A e os segmentos AB e AD são lados do 
quadrilátero. Com isso, temos que apenas AC é 
diagonal. Logo, 4 – 3 diagonais. 
 
O mesmo pode ser constatado com o 
pentágono. Traçando as ligações partindo do 
vértice A, obtemos AA, AB, AC, AD e AE. Da 
mesma forma, note que AA é o próprio vértice 
A e os segmentos AB e AE são lados do 
pentágono. Com isso, temos que apenas AC 
e AD são diagonais. Logo, 5 – 3 diagonais. 
 
Fonte: Própria 
 
 
 
Fonte: Própria 
 
E com o hexágono. Traçando as ligações 
partindo do vértice A, obtemos AA, AB, AC, AD, 
AE e AF. Da mesma forma, note que AA é o 
próprio vértice A e os segmentos AB e AF são 
lados do hexágono. Com isso, temos que 
apenas AC, AD e AE são diagonais. Logo, 6 – 
3 diagonais. 
 
18 
 
Isso sempre acontecerá com qualquer polígono. Por exemplo, se um polígono 
tem 7 lados, de cada vértice contamos 7 ligações, das quais 3 delas não são 
consideradas diagonais, ou seja, 7 - 3 diagonais. Nesse sentido, para um polígono de 
n lados, teremos saindo de cada vértice n – 3 diagonais, ou seja, n vezes n – 3 
diagonais. Observe a tabela abaixo: 
 
Nº DE VÉRTICES 4 5 6 7 n 
Nº DE DIAGONAIS 4 (4 – 3) 5 (5 – 3) 6 (6 – 3) 7 (7 – 3) n (n – 3) 
Fonte: Própria 
Note também que, ao contar as diagonais que partem de cada vértice, estamos 
contando cada diagonal duas vezes. Observe: 
 
 
 
AC = CA 
DB = DB 
AC = CA 
AD = DA 
BD = DB 
DE = EB 
CE = EC 
AC = CA 
AD = DA 
AE = EA 
BD = DB 
BE = EB 
BF = FB 
CE = EC 
CF = FC 
DF = FD 
 
Fonte: Própria 
19 
 
Como cada diagonal foi contada duas vezes, basta dividir o total obtido por 
dois. Conclui-se, então, que o número de diagonais de um polígono pode ser obtido 
através da fórmula: 
 
Mas, vale lembrar que n deve ser maior que 3, pois um polígono que tem 
exatamente 3 lados (caso do triângulo) não possui nenhuma diagonal. 
Para provar que a fórmula obtida é válida para qualquer polígono, é necessário 
demonstrar que ela é válida não só para n lados, mas também para n + 1 lados. 
Partiremos, então, para a demonstração. 
Inicialmente tomemos 𝒏 = 𝒌, com k ∈ ℕ e k > 3. 
 
 
Dado um polígono qualquer de 
k lados, temos: 
 
𝑑𝑛 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
 
 
𝑑𝑛 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
𝒅𝒌 =
𝒌(𝒌 − 𝟑)
𝟐
 
Hipótese: O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por 𝒅𝒏 =
𝒏(𝒏−𝟑)
𝟐
, 
com 𝒏 = 𝒌. 
Tese: O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por 𝒅𝒏 =
𝒏(𝒏−𝟑)
𝟐
, com 
𝒏 = 𝒌 + 𝟏. 
 
Fonte: Própria 
 
20 
 
 
 
 
Para obter o polígono de k+1 
lados, adicionamos um vértice C ao 
polígono de k lados. Dessa forma, 
perdemos o segmento AB e 
ganhamos os segmentos CA e CB, ou 
seja, k-1+2 = k+1. 
 
 
Observe que: 
O número de diagonais do polígono k continua o mesmo; 
O segmento AB que era lado do polígono k lados, se tornou diagonal do 
polígono k+1 lados, ou seja 𝐝𝒌 + 1 diagonal; 
Partem k ligações do vértice C, menos CA e CB que são lados do polígono k+1, 
ou seja, k – 2 diagonais. 
Conclui-se, então, que para calcular o número de diagonais do polígono k + 1 
lados basta somar o número de diagonais do polígono n lados + 1 diagonal + k – 2 
diagonais, ou seja: 
 
dk+1 = dk + 1 + 𝑘 − 2 ⟹ 𝑑𝑘+1 = 𝑑𝑘 + (𝑘 − 1) ⟹ 𝑑𝑘+1 =
𝑘(𝑘 − 3)
2
+ (𝑘 − 1) 
 
𝑑𝑘+1 =
𝑘2 − 3𝑘
2
+
𝑘 − 1
1
 ⟹ 𝑑𝑘+1 =
𝑘2 − 3𝑘 + 2𝑘 − 2
2
 
 
 
 
 
𝒅𝒌+𝟏 =
𝒌𝟐 − 𝒌 − 𝟐
𝟐
 
 
Fonte: Própria 
 
21 
 
Agora, na fórmula 𝑑𝑛 =
𝑛(𝑛−3)
2
, substituiremos n por k+1, e compararemos 
com 𝑑𝑘+1 para provar sua validade. 
 
𝑑𝑘+1 = 𝑑𝑛 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 𝑘 + 1) 
 
𝑘2 − 𝑘 − 2
2
 = 
(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) − 3]
2
 
 
𝑘2 − 𝑘 − 2
2
 = 
(𝑘 + 1)(𝑘 − 2)
2
 (÷ 2) 
 
𝑘2 − 𝑘 − 2 = (𝑘 + 1)(𝑘 − 2) 
 
𝑘2 − 𝑘 − 2 = 𝑘2 − 2𝑘 + 1𝑘 − 2 
 
 
 
Chegamos, assim, a uma igualdade. Provando que a fórmula 𝑑𝑛 =
𝑛(𝑛−3)
2
 é 
válida tanto para 𝑛 = 𝑘, como para 𝑛 = 𝑘 + 1. 
 
4.2 Calculando a soma dos ângulos internos de um polígono 
 
Mostre, por indução matemática, que a soma dos ângulos internos de um 
polígono de 𝑛 lados, para 𝑛 ≥ 3, é dada por 𝑆𝑛 = 180 ⋅ (𝑛 − 2). 
𝒌𝟐 − 𝒌 − 𝟐 = 𝒌𝟐 − 𝒌 − 𝟐 
221. Teorema 6.5: A soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°. (Livro: Geometria Euclidiana Plana/ Joao Lucas 
Marques Barbosa, pág. 103) 
2. Se a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180, então a 
somas dos ângulos internos de um polígono é dada por 𝑆𝑛 = 180 
⋅ (𝑛 − 2) 
 
Observe os polígonos abaixo: 
 
• Quadrilátero: 
 
Tendo em vista que diagonais são formadas por dois pontos não consecutivos, 
escolhemos um vértice qualquer do quadrilátero abaixo e traçamos todas diagonais 
possíveis partindo desse vértice. Podemos observar então as diagonais partindo do 
vértice A, formando a diagonal AD, dividindo o quadrilátero ABCD em dois triângulos, 
sendo eles ABC e ABD. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triangulo é 
180°, basta multiplicarmos 180 por 2 já que houve a formação de dois triângulos. 
Sendo assim, 180°.2= 360°, portanto a soma dos ângulos internos de um quadrilátero 
é 360°. 
Observe: 
Hipótese: A soma dos ângulos internos de um triangulo é 180. 
Tese: A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por Sn=180. (n-2) 
 
23 
 
 
 
• Pentágono: 
 
Repetimos o passo a passo explicado no exemplo anterior, escolhendo um 
vértice qualquer, traçamos todas as diagonais possíveis saindo desse vértice, como 
observado na figura abaixo. Escolhido o vértice A, traçamos as diagonais AC e AD, 
formando assim 3 triângulos, sendo eles ABC, ACD e ADE. Desta forma observamos 
a formação de 3 triângulos, então para sabermos a soma dos ângulos internos de um 
pentágono basta multiplicamos 180° por 3. Portanto a soma dos ângulos internos de 
um pentágono é 180°.3= 540°. 
 
 
• Hexágono: 
𝑛= 4 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ (𝑛 − 2). 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ (4− 2). 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ 2 
𝑆𝑛 = 360° 
 
 
 
𝑛= 5 
 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ (𝑛 − 2). 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ (5− 2). 
𝑆𝑛 = 180° ⋅ 3 
𝑆𝑛 = 540° 
 
Fonte: Própria 
 
Fonte: Própria 
 
24 
 
Analogamente, traçamos todas as diagonais partindo do vértice A, 
correspondendo a AC, AD e AE, formando 4 triângulos, sendo eles ABC, ACD, ADE 
e AEF. Portanto, para saber a soma dos ângulos internos de um hexágono basta 
multiplicarmos 180 por 4. Logo, a soma dos ângulos internos de um hexágono é 
180.4=720. 
 
Vamos agora provar que a formula é válida para k e k+1, em que k ∈ ℕ e k ≥ 3. 
Observamos a figura abaixo de k lados. 
 
Sendo a soma dos ângulos 
internos desse polígono dado por: Si= 
180. (k-2), sendo esta então nossa 
hipótese de indução. Agora vamos 
observar uma figura de (k+1) lados. 
 
𝑛= 6 
 
𝑆𝑛 = 180 ⋅ (𝑛 − 2). 
𝑆𝑛 = 180 ⋅ (6− 2). 
𝑆𝑛 = 180 ⋅ 4 
𝑆𝑛 = 720 
 
Fonte: Própria 
 
Fonte: Própria 
 
25 
 
Podemos observar que se a figura 
fechasse no Ak a soma dos ângulos 
internos seria dado por Si= 180. (k -2), 
mas a figura fecha no vértice Ak+1, 
formando então um triangulo a mais, 
portanto para saber a soma dos ângulos 
internos de um polígono de Ak+1 lados, 
basta somar 180 à hipótese de indução, 
observe: 
 
 
𝑆𝑘+1 = 180 + 180(𝑛 − 2) 
𝑆𝑘+1 = 180(1 + 𝑘 − 2) 
𝑆𝑘+1 = 180(𝑘 − 1) 
 
Agora, substituímos na fórmula, com n = k + 1: 
 
𝑆𝑛 = 180(𝑛 − 2) 
𝑆𝑛 = 180(𝑘 + 1 − 2) 
𝑆𝑛 = 180(𝑘 − 1) 
 
Chegamos então em uma igualdade, concluindo que a formula é válida para n= 
k+1, sendo que o número de triângulos formados sempre será o número de lados 
menos 2 unidades, pois, visto que diagonais são formadas entre dois pontos não 
consecutivos, independente de qual for o vértice escolhido para traçarmos as 
diagonais esse vértice sempre terá 2 pontos consecutivos a ele. 
Ak+1 
180 
180.(k-2) 
Fonte: Própria 
 
26 
 
 
4.3 Calculando a soma dos ângulos externos de um polígono 
 
1. Ângulo suplementar é aquele cujo a soma é 180º. Exemplo: Ângulo 
externo + interno = 180 pois são suplementares 
2. Chamamos o ângulo externo de “Se” e o interno de “Si”. 
Se temos um polígono qualquer, então a soma dos ângulos externos dele é 
360°. 
 
Observe os polígonos abaixo: 
• Triângulo: 
Definido o que é ângulo suplementar, traçamos os ângulos internos e externos 
do triangulo abaixo para sabermos quantos ângulos suplementares são formados. 
 
Podemos observar que a 
quantidade de ângulos suplementares 
formados é igual a quantidade de 
vértices e lados que o polígono possui, 
sendo assim, para sabermos a soma 
total dos ângulos internos somado com 
os externos existem basta 
multiplicarmos 180 pelo número de 
vértices existentes. Observe: 
 
 
 
Hipótese: Um polígono qualquer. 
Tese: Soma dos seus ângulos externos é 360°. 
 
Se + Si = 180. 3 
Fonte: Própria 
 
27 
 
Porém, queremos provar quanto 
vale o ângulo externos (Se), como 
provado anteriormente a soma dos 
ângulos internos é dada por Si= 180. (n-
2), o qual “n” é o número de lados ou 
vértices. Tendo essa informação 
conseguimos isolar o externo e descobri-
lo. 
 
 
• Quadrilátero: 
 
Analogamente, traçamos o quadrilátero para observarmos quantos ângulos 
suplementares serão formados. 
 
 
Observamos então a formação de 
quatro ângulos suplementares, portanto 
para saber a soma total dos ângulos 
internos somado aos externos basta 
multiplicarmos 180 pelo total de vértices, 
que no caso do quadrilátero são 4. 
Repare: 
 
 
 
Novamente, como queremos achar a soma dos externos, basta isolarmos ele. 
 
 
 
 
Se + Si = 180. 3 
Se= 180. 3 – Si 
Se = 180.3 – 180. (3-2) 
Se = 540 – 180. 1 
Logo, Se= 360 
 
Se + Si = 180. 4 
Se = 180. 4 – Si 
Se = 180. 4 – 180 (4-2) 
Se= 720-360 
Logo, Se = 360 
2234 
 
 
Se + Si = 180. 4 Fonte: Própria 
 
28 
 
 
 
• Pentágono: 
 
Repetidamente, desenhamos um pentágono para observamos quantos 
ângulos suplementares existem. 
 
Como o pentágono tem 5 
lados e 5 ângulos, basta 
multiplicarmos 180 por 5 para saber 
a soma total dos ângulos internos e 
externos. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos então, concluir que a soma dos ângulos externos de qualquer 
polígono é 360. Para um polígono de n lados, a soma dos externos será: 
 
 
 
Se + Si = 180. 5 
Se = 180. 5 – Si 
Se= 180. 5 – 180. 
(5-2) 
Se = 900 -540 
Logo, Se= 360 
 
Se + Si = 180. n 
Se = 180. n – 180. (n-2) 
Com n ≥ 3 e n ∈ ℕ. Sendo n o 
número de vértices que o 
polígono possui. 
Fonte: Própria 
 
29 
 
4.4 Calculando a área de um polígono regular 
 
Mostre que a área de um polígono regular qualquer é dada por 𝐴 = 𝑝 ⋅ 𝑎, onde 
𝑝 é o semiperímetro do polígono e 𝑎 é a medida de seu apótema. 
 
 
 
O Hexágono pode ser divido em 6 triângulos, e todos esses triângulos são 
congruentes. 
O ângulo de um triângulo vale um sexto do ângulo de uma volta completa que 
é 360 no hexágono. 
360
6
= 60º 
 
Assim sendo o ângulo de cada triângulo vale 60º no hexágono. 
Todos os ângulos acabam tendo a mesma medida, porque a soma dos seus 
lados são iguais, fazendo com que seja um triângulo equilátero. 
Ao conseguir dividir esse hexágono em 6 triângulos, conseguimos determinar 
a área desse hexágono, basta encontrar a área de um triângulo e multiplicar por 6. 
Para conseguir calcular a área de um triângulo, faz-se base vezes sua altura e 
dividir o resultado por 2. 
30 
 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
 
 
Se formos aplicar, a Base do triângulo será L e a altura m, que é o apótema do 
hexágono. 
𝐴𝑡 = 𝑎.
𝑚
2
 
 
𝐴𝑝𝑜𝑙 = 𝑛. 𝐴𝑡 =.
𝑛. 𝑎. 𝑚
2
 
 
𝑃 = 𝑛.
𝑎
2
 
 
2. 𝑝 = 𝑛. 𝑎 
 
2.
𝑝. 𝑚
2
 
 
𝐴𝑝𝑜𝑙 = 𝑝 . 𝑚 
 
4.5 Construção geométrica de um hexágono regular 
Agora que já conhecemos as propriedades de um polígono, partiremos para a 
construção geométrica de um deles em particular. 
31 
 
 
 
Passo a passo: 
 
Passo 01: traçamos uma reta r a qual iremos transferir o segmento do lado do 
nosso hexágono (segmento AB). 
Passo 02: Marcamos um ponto A’ na reta r e transportamos o segmento AB 
para a reta r, o que nos dará um segmento A’B’ que é igual ao segmento AB. 
Passo 03: Agora vamos encontrar o centro do nosso hexágono epara isso com 
ponta seca do compasso em A’ e abertura em B’ traçamos o arco 1, e de forma 
análoga com abertura do compasso em B’ e abertura em A’ traçamos o arco 2, a 
intersecção desses arcos forma um ponto C que é o centro do hexagono. 
Passo 04: Traçamos o circulo de centro C e raio A’. 
Passo 05: Usando a mesma abertura do passo anterior, partindo com ponta 
seca em B’ traçamos um arco 3 formando um ponto D gerado da intercecçao entre o 
arco 3 e o circulo.Repetiremos esse passo mais 4 vezes ate chegar ao ponto A’ 
novamente, durante esse processo encontraremos alem do ponto D, os pontos E,F e 
G. 
Fonte: Própria 
 
32 
 
Passo 06: Agora é a hora de fecharmos nosso hexagono ligando os pontos B’ 
ao D, o D ao E, o E ao F, o F ao G e finalmente o G ao A’ construindo assim um 
hexagono regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
5 Conclusão e considerações finais 
 
Após o desenvolvimento e entendimento do presente trabalho, chegamos a 
conclusão de que a geometria sempre foi e continua sendo de fundamental 
importância na evolução da humanidade. Concluímos, também, que entender a 
formação e as propriedades dos polígonos nos dá aparatos para aplicá-los de forma 
mais eficiente às suas necessidades. Através dos conhecimentos, não só os 
demonstrados nesse trabalho, como também de tantos outros baseados na 
geometria, que se é planejado e executado projetos de construções civis, móveis, 
utensílios domésticos, automóveis e muitos outros. 
Esperamos que o esse trabalho sirva de referência para o estudo dos 
polígonos, e que a partir dele tome ciência da importância no desenvolvimente de 
vários setores educacionais e empresarias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
6 Referências bibliográficas 
 
BARBOSA, J. L. M. (1984). Geometria Euclidiana Plana. 11. ed. Rio de Janeiro, 
SBM, 2012. 273 p. (Coleção do Professor de Matemática; 11). 
 
ROQUE, T. CARVALHO, J. B. P. Tópicos de História da Matemática. Rio de 
Janeiro, SBM, 2012. 467 p. (Coleção PROFMAT; 03). 
 
EVES, H. (2004). Tradução: DOMINGUES, H. H. Introdução à História da 
Matemática. Campinas, SP, Editora da Unicamp, 2008. 
 
REZENDE, E. Q. F. QUEIROZ, M. L. B. (2000) Geometria Euclidiana Plana e 
construções geométricas. 2. ed. Campinas, SP, Editora da Unicamp, 2008.