exercicios 13-7

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494 Capítulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais
de uma superfície lisa S orientável que também está em D. Assim, pelo Teo-
rema de Stokes,
t F . dr = Jf V X F . n da- = O.
c s
A segunda é para curvas que apresentam intersecção consigo mesmas,
como aquela na Figura 13.69. A idéia é quebrar essas curvas em laços simples
gerados por superfícies orientáveis, aplicar o Teorema de Stokes a um laço de
cada vez e somar os resultados.
FIGURA13.69 Em uma região aberta
simplesmente conexa no espaço, curvas
deriváveis que apresentam intersecção
consigo mesmas podem ser divididas
em laços aos quais o Teorema de
Stokes se aplica.
o diagrama a seguir resume os resultados para campos conservativos defi-
nidos sobre regiões abertas conexas e simplesmente conexas.
F conservativo
sobre D
Teorema 2,
Seção 13.3
ê
.e
1F8dr=üc
sobre todo
caminho
fechado em D
EXERCíCIOS 13.7
Usando o Teorema de Stokes para Calcular a
Circulação
Nos exercícios 1-6, use a integral de superfície no Teorema de
Stokes para calcular a circulação do campo F ao redor da curva C
no sentido indicado.
1. F = x2i + 2xj + ik
C: A elipse 4r + 1 = 4 no plano xy, no sentido anti-horário
quando vista de cima.
2. F = 2yi + 3xj - z2k
C: A circunferência r + 1 = 9 no plano xy, no sentido anti-
horário quando vista de cima.
3. F =yi + xzj +z2k
C: A fronteira do triângulo cortado do plano x + y + z = 1
pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando visto de
cima.
4. F = (I + i)i + (X2+ Z2)j + (X2+ I)k
c: A fronteira do triângulo cortado do plano x + y + z = 1
pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando visto de
cima.
Teorema 1,
Seção 13.3
~'";"""""""<,Rf' ,ro~: F= 'VfonD
Teorema 6
~~i.'}:{f!itfET'lcit.~~'~1
VxF=OemD
Conexidade simples
do donúnio +
Teorema de Stokes
5. F = (I + l)i + (x2+ I)j + (X2+ I)k
C: O quadradolimitadopelas retasx = :t 1 e y = :t:1 no
planoxy, no sentidoanti-horárioquandovistodecima.
6. F = x2l i + j + zk
C: A intersecção do cilindro r + 1 = 4 e do hemisfério
X2 + 1 + Z2 = 16, z ~ O.
Fluxo do Rotacional
7. Seja n o vetor unitário normal exterior da casca elíptica
s: 4X2 + 9y2 + 36z2 =36, z ~ O,
e seja
F = yi + x2j + (X2 + y4)3/2 sen e v'xYZk.
Encontre o valor de
ff V X F . n du.
s
(Dica: Uma parametrização da elipse na base da casca é x = 3
cos t, Y = 2 sen t, O ::; t::; 21T.)
-----..
I'r
8. Seja n o vetor unitário normal exterior (nonnal no sentido
oposto da origem) da casca parabólica
S: 4xz + y + ZZ= 4, Y 2: O,
e seja
F=(-Z+2~X}+(arctgy)j+(X+ 4~z)k.
Encontre o valor de
f JV X F .n do-.
s
9. Seja S o cilindro ro + i = aZ,O :::;z :::;h, junto com seu topo,
r + i :::;aZ,Z = h. Seja F = -yi + xj + rk. Use o Teorema
de Stokes para encontrar o fluxo exterior de V X F através de S.
10. Calcule
J J V X (yi) . n do-,
s
onde S é o hemisfério xZ + I + l = 1,z 2: O.
11. Fluxo do rotacional FMostre que
f JJ VXF'ndo-s
tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas S que
se estendem sobre C e que induzem o mesmo sentido positivo
sobre C.
12. EscrevendoparaaprenderSeja F um campo vetorial diferen-
ciável definido sobre uma região que contenha uma superfície
S lisa, fechada e orientada em seu interior. Seja n o campo de
vetores unitários normais em S. Suponha que S seja a união de
duas superfícies SI e Sz unidas ao longo de uma curva C fe-
chada, simples e lisa. Pode-se dizer algo sobre
JJV X F .n do-?
s
Justifique sua resposta.
Teorema de Stokes para Superfícies
Parametrizadas
Nos exercícios 13-18, use a integral de superfície no Teorema de
Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo F através da
superfície S no sentido do vetor unitário normal exterior n.
13. F = 2zi + 3xj + 5yk
S: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (4 - rZ)k, O~ r:::;2,
O ~ O:::; 27T
14. F = (y - z)i + (z - x)j + (x + z)k
S: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (9 - r2)k, O:::;r:::;3,
O :::; 0$ 27T
15. F = xZyi + 2lzj + 3zk
S: r(r, O) = (r cos O)i + (r sen O)j + rk, O:::; r $ 1,
Os O~ 27T
16. F = (x - y)i + (y - z)j + (z - x)k
S: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (5 - r)k,
O ~ 9 $ 27T
O :::; r :::; 5,
L
13.7 Teoremade Stokes 495
17. F = 3yi + (5 - 2x)j + (l - 2)k
S: r( ep, 9) = (V3 sen epcos 9)i + (V3 sen epsen 9)j +
(V3 cos ep)k, Os ep$ Tr12, O:::;O:::;2Tr
18. F = li + lj + xk
S: r( ep, 9) = (2 sen epcos O)i+ (2 sen epsen 9)j + (2 cos
<jJ)k, 0$ ep$ 7T/2, 0$ 8$ 27T
Teoria e Exemplos
19. Circulaçãozero Use a identidade V X VI = O (equação (8) no
texto) e o Teorema de Stokes para mostrar que as circulações
dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície
orientávellisa no espaço são zero.
~
;
i
i
I
(a) F = 2xi + 2yj + 2zk
(b)F = V(xl~)
(c) F = V X (xi + yj + zk)
(d) F = VI
20. CirculaçãozeroSeja/(x,y, z) = (xz + i + zZ)-1I2. Mostre que
a circulação no sentido horário do campo F = VIaoredor da
circunferência xZ + yZ= aZ no plano xy é zero
(a) Tomando r = (a cos t)i + (a sen t)j, O:S t:::;27T,e inte-
grando F .dr sobre a circunferência.
(b) Aplicando o Teorema de Stokes.
21. Seja C uma curva simples, fechada e lisa no plano 2x + 2y +
z = 2, orientada como mostrado aqui. Demonstre que o
T2YdX + 3zdy -xdz
c
z
y
if
~
11
I
III,
x
depende apenas da área da região limitada por C, e não da po-
sição ou forma de C.
22. Mostre que, se F = xi + yj + zk, então V X F = O.
23. Encontre um campo vetorial com componentes duas vezes de-
riváveis cujo rotacional é xi + yj + zk ou prove que tal campo
não existe.
24. EscrevendoparaaprenderO Teoremade Stokesdiz algo espe-
cial sobre a circulação em um campo cujO rotacional é zero?
Justifique sua resposta.
25. Seja R uma região no plano xy que é limitada por uma curva C
fechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentos
de inércia de R em relação aos eixos x e y sejam Ix e Iy. Calcule
a integral
fi;
j
~
'1
496 Capítulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais
f V(r4) . n ds,
c fF'drc
não é zero se C é a circunferência r + i = 1 no plano~. .(O
Teorema 6 não se aplica aqui porque o domínio de F não é
simplesmente conexo. O campo F não é definido ao longo do
eixo z, assim não há nenhuma maneira de contrair C a um
ponto sem deixar o domínio de F.)
onde r = V X2 + y2, em termos de Ix e Iy.
26. Rotacional zero, mas não conservativo Mostre que o rotacional de
F -y. + x . + k= --z2~ ~J zx+y x+y
é zero, mas que
Teorema da Divergência e uma Teoria Unificada
Divergente em Três Dimensões. Teorema da Divergência. Prova
do Teorema da Divergênciapara RegiõesEspeciais. Teoremada
Divergênciapara Outras Regiões. lei de Gauss: Umadas Quatro
Grandes leis do Eletromagnetismo . Equação da Continuidadede
Hidrodinâmica . Unificando os Teoremas que EnvolvemIntegrais
A forma da divergência do Teorema de Green no plano afirma que o fluxoexte-
rior líquido de um campo vetorial através de uma curva fechada simples pode
ser calculado integrando-se a divergência do campo sobre a região limitada pela
curva. O teorema correspondente em três dimensões, chamado de Teorema da
Divergência, afirma que o fluxo líquido de um campo vetorial para fora atr(;lvés
de uma superfície fechada no espaço pode ser calculado integrando-se a diver-
gência do campo sobre a região limitada pela superfície. Nesta seção, provare-
mos o Teorema da Divergência e mostraremos como ele simplifica o cálculo de
fluxo. Também deduziremos a Lei de Gauss para fluxo em um campo-elétricoe
a equação de continuidade da hidrodinâmica. Por fim, unificaremos os teoremas
de integrais vetoriais do capítulo em um único teorema fundamental.
Divergente em Três Dimensões
O divergentede umcampovetorialF = M(x,y, z)i + N(x,y, z)j + P(x,y, z)ké
a funçãoescalar
div F = V . F = 8M + 8N + 8P.
8x éJy 8z
O símbolo 'div F' é lido como 'divergente de F', 'div F' ou 'divergente de F'.
A notação V . F é lida como 'nabla escalar F' .
Div F tem em três dimensões a mesma interpretação física que tem em
duas. Se F é o campo de velocidade de um escoamento fluido, o valor de div F
em um ponto (x, y, z) é a taxa à qual o fluido está sendo injetado ou drenado em
(x, y, z). O divergente é o fluxo por unidadede volume ou densidade de fluxo I!.°
ponto.
(1)
Exemplo 1 Encontrando o Divergente
Encontre o divergente de F = 2xzi - xyj - zk.
Solução O divergente de F é
8 8 8
V . F = - (2xz) + - (- xy) + - (- z) = 2z - x-I.
8x 8y 8z
..