Lista11-Taxa_variacao

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ICEx - UFMG
Lista 11- Resolução de Problemas (16-abril-2015).
Resolver e entregar próxima quinta feira 09 de abril (no inicio da aula).
A derivada como taxa de variação: na definição de derivada f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
ou equivalentemente f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
. Olhe para o quociente (de Newton)
f(x)− f(x0)
x− x0
é uma taxa de variação da função f (ié, f(x)− f(x0)), com relação à variação da variável x (ié,
x− x0).
A ideia geometrica do quociente de Newton
f(x)− f(x0)
x− x0
é a inclinação da reta ”secante”ao
gráfico da função f que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)). E o limite acima quando
x → x0 (f ′(x0)), é a inclinação da reta limite ”tangente”no ponto (x0, f(x0)). A derivada
também pode ser pensado de outras formas:
a) Em F́ısica, se f(t) representa a distância percorrida por um móvel no tempo t, o quociente
f(t)− f(t0)
t− t0
, é a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [t0, t]. E o limite acima
quando t → t0 (f ′(t0)), representa a velocidade ”instantânea”do móvel no instante t0. Da
mesma forma, se a função f(t) representa a velocidade de um móvel no tempo t, o quociente
f(t)− f(t0)
t− t0
, é a aceleração média do móvel no intervalo de tempo [t0, t]. E o limite acima
quando t→ t0 (f ′(t0)), representa a aceleração do móvel no instante t0.
b) Se se f(x) representa a massa de uma barra no ponto x (sobre a barra), então o quociente
f(x)− f(x0)
x− x0
, é a densidade média da barra no pedaço da barra entre [x0, x], logo a derivada
f ′(x0) é densidade no ponto x0.
c) Se f(t) é o número de indiv́ıduos de uma população no instante t, então o quociente
f(t)− f(t0)
t− t0
,
é a taxa média de crescimento dos indiv́ıduos durante o peŕıodo [t0, t], logo a derivada f
′(t0)
é a taxa de crescimento instantâneo em t0.
d) Se f(x) representa a função custo total de uma empresa na produção de x unidades de um
produto, então o quociente
f(x)− f(x0)
x− x0
, é a taxa média de variação do custo se o número de
itens produzidos estiver crescendo de x0 para x, logo a derivada f
′(x0) é a taxa de variação
instantânea da variação do custo em x0; chamado pelo economistas de custo marginal.
A infinidade de formas em que se pode aplicar a taxa de variação instantânea (derivada) é
inimaginável.
Q 1. Se uma bola for atirada verticalmente para cima com uma velocidade de 80 pés/s, então
sua altura depois de t segundos é s = s(t) = 80t− 16t2.
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
b) Qual a velocidade da bola quando estiver 96 pés acima do solo na subida?
Q 2. Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulação circular que cresce para
fora a uma velocidade de 60cm/s. Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do ćırculo
está crescendo depois de
(a) 1s. (b) 3s. (c) 5s. (d) O que pode concluir?
Q 3. Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da su-
perf́ıcie (S = 4πr2) em relação ao raio r quando r é:
(a) 1 pé. (b) 2 pés. (c) 3 pés. (d) O que pode
concluir?
Q 4. A função custo para uma certa mercadoria é C(x) = 84 + 0, 16x− 0, 0006x2 + 0, 000003x3
a) Encontre e interprete C ′(100)
b) Compare C ′(100) com o custo de produzir o 101o item.
Q 5. Suponha que uma população de bactérias inicialmente com 500 bactérias triplique a cada
hora.
a) Qual a população depois de 3 horas? Depois de 4 horas? Depois de t horas?
b) Calcule a taxa de crescimento da população de bactérias depois de 6 horas.