Lista de exercícios: Cálculo 4 - Sequências e séries infinitas - James Stewart - Cálculo Volume 2 - Cápitulo 11.1

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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
CÁLCULO 4 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES 
 
 
LIVRO: STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010 
EXERCÍCIOS: 17, 19, 21, 23, 27, 29, 33, 37, 41, 61 e 69 do capítulo 11.1 
 
EXERCÍCIO 17 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = 1 − (0,2)
𝑛 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
1 − (0,2)𝑛 = 1 − 0 = 1 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟏 
EXERCÍCIO 19 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 =
3 + 5𝑛2
𝑛 + 𝑛2
 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
3 + 5𝑛2
𝑛 + 𝑛2
= lim
𝑛→∞
3
𝑛2
+ 5
1
𝑛 + 1
=
0 + 5
0 + 1
= 5 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟓 
EXERCÍCIO 21 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = 𝑒
1 𝑛⁄ 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑒1 𝑛⁄ = 𝑒0 = 1 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟏 
 
EXERCÍCIO 23 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = tg (
2𝑛𝜋
1 + 8𝑛
) 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
 tg (
2𝑛𝜋
1 + 8𝑛
) = lim
𝑛→∞
 tg (
2𝜋
1
𝑛 + 8
) = tg (
2𝜋
0 + 8
) = tg (
𝜋
4
) = 1 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟏 
EXERCÍCIO 27 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = cos (
𝑛
2
) 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
cos (
𝑛
2
) (não existe) 
A sequência diverge. 
EXERCÍCIO 29 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = {
(2𝑛 − 1)!
(2𝑛 + 1)!
} 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
(2𝑛 − 1)!
(2𝑛 + 1)!
= lim
𝑛→∞
(2𝑛 − 1)!
(2𝑛 + 1)(2𝑛)(2𝑛 − 1)!
= lim
𝑛→∞
1
2𝑛(2𝑛 + 1)
= 0 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟎 
EXERCÍCIO 33 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = {𝑛
2𝑒−𝑛} 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛2𝑒−𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑒𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛
𝑒𝑛
= lim
𝑛→∞
2
𝑒𝑛
= 0 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟎 
 
EXERCÍCIO 37 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = 𝑛 sen (
1
𝑛
) 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
 𝑛 sen (
1
𝑛
) = lim
𝑛→∞
sen (
1
𝑛)
1
𝑛
= lim
1
𝑛
→0+
sen (
1
𝑛)
1
𝑛
= lim
𝑥→0+
sen 𝑥
𝑥
= 1 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟏 
EXERCÍCIO 41 
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
𝑎𝑛 = ln(2𝑛
2 + 1) − ln(𝑛2 + 1) 
RESOLUÇÃO 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
ln(2𝑛2 + 1) − ln(𝑛2 + 1) = lim
𝑛→∞
ln (
2𝑛2 + 1
𝑛2 + 1
) = lim
𝑛→∞
ln (
2 +
1
𝑛2
1 +
1
𝑛2
) = ln (
2 + 0
1 + 0
) = ln 2 
A sequência converge. 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝐥𝐧 𝟐 
EXERCÍCIO 61 
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛 + 3
 
RESOLUÇÃO 
O 2𝑛 está sendo somado ao denominador da fração de 𝑎𝑛 e quanto maior o denominador, menor é a fração. 
Desse modo, à medida que 𝑛 aumenta, o denominador também aumenta, e 𝑎𝑛 vai decrescendo. 
 
Logo, a sequência é decrescente. 
 
Como a sequência é decrescente, ela é limitada superiormente pelo termo 𝑎1, pois é impossível ter um termo 
maior que 𝑎1. A sequência também é limitada inferiormente por 0, pois 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
1
2𝑛 + 3
= 0 
 
Como a sequência é limitada superiormente e inferiormente então {𝑎𝑛} é uma sequência limitada. 
EXERCÍCIO 69 
Mostre que a sequência definida por 
𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 3 −
1
𝑎𝑛
 
é crescente e que 𝑎𝑛 < 3 para todo 𝑛. Deduza que {𝑎𝑛} é convergente e calcule seu limite. 
RESOLUÇÃO 
• Provando que a sequência é crescente: 
 
𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀ 𝑛 ≥ 1 
 
o 𝑛 = 1 
 
𝑎2 = 3 −
1
𝑎1
= 3 −
1
1
= 2 > 𝑎1 
 
o 𝑛 = 𝑘 
 
𝑎𝑘+1 > 𝑎𝑘 
 
o 𝑛 = 𝑘 + 1 
 
𝑎(𝑘+1)+1 = 3 −
1
𝑎𝑘+1
 
 
o Usando 𝑎𝑘+1 > 𝑎𝑘: 
 
 
1
𝑎𝑘+1
<
1
𝑎𝑘
⇒ −
1
𝑎𝑘+1
> −
1
𝑎𝑘
⇒ 3 −
1
𝑎𝑘+1
> 3 −
1
𝑎𝑘
⇒ 𝑎(𝑘+1)+1 > 𝑎𝑘+1 
∴ a sequência é crescente 
• Provando que 𝑎𝑛 < 3: 
 
o 𝑛 = 1 
 
Já vale, pois 𝑎1 = 1 < 3 
 
o 𝑛 = 𝑘 
 
𝑎𝑘 < 3 
 
o 𝑛 = 𝑘 + 1 
 
1
𝑎𝑘
>
1
3
⇒ −
1
𝑎𝑘
< −
1
3
⇒ 3 −
1
𝑎𝑘
< 3 −
1
3
⇒ 𝑎𝑘+1 < 3 −
1
3
< 3 
 
∴ 𝒂𝒏 < 𝟑 
• O Teorema da Sequência Monótona nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) 
e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como a sequência satisfaz as condições do teorema, 
pois é monótona (crescente) e limitada (1 ≤ 𝑎𝑛 < 3). 
 
∴ {𝒂𝒏} é convergente. 
 
• Calculando o limite de {𝑎𝑛}: 
 
𝑎𝑛+1 = 3 −
1
𝑎𝑛
⇒ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑛→∞
 3 −
1
𝑎𝑛
 
 
Usando lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛: 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
−
1
𝑎𝑛
⇒ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 3 −
1
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
 
 
Tomando lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿: 
 
𝐿 = 3 −
1
𝐿
⇒ 𝐿2 = 3𝐿 − 1 ⇒ 𝐿2 − 3𝐿 + 1 = 0 ⇒ 𝐿 =
3 ± √5
2
⇒ 𝐿+ ≈ 2,618 e 𝐿− ≈ 0,381 
 
Como 𝑎1 = 1 e a sequência é crescente 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 =
𝟑 + √𝟓
𝟐