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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Exemplo 7: Calcule 
Pela regra da potência, adicionamos 1 ao 
expoente 5, obtendo 6 e dividimos por 6. 
Assim, . 
• Propriedades da Integral Indefinida 
Considere 𝑓, 𝑔: 𝐼 → ℝ e 𝑘 uma constante, então: 
 
Exemplo 7: 
 
Exemplo 8: 
 
Exemplo 9: 
 
• Aplicações da Integral Indefinida de uma 
Função 
Suponha que um veículo se move sobre 
o eixo x segundo a equação de velocidade 𝑣(𝑡) = 
5𝑡 + 2. No instante 𝑡 = 0 o veículo está na posição 
𝑥 = 5. Qual a posição 𝑥(𝑡) do veículo no instante 
𝑡? 
Como temos que então 
 
Sabendo que 𝑥(0) = 5, podemos escrever 
Logo, 𝐶 = 5 e, portanto, 
 
Exercícios Propostos: 
1) Decida se cada função 𝐹 apresentada é 
primitiva da respectiva função 𝑓. 
 
2) Calcule as integrais indefinidas a seguir: 
3) 
Considere a função 𝑓′(𝑥) = 10𝑥² − 4𝑥 + 
335. Sabendo que 𝑓(0) = 835, determine a função 
𝑓. 
4) Suponha que uma função 𝑅 seja dada por 
𝑅′(𝑥) = 1000 − 4𝑥. Se 𝑅(0) = 0, determine 𝑅(𝑥). 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
Nesta aula apresentamos a técnica de 
Integração de Substituição (ou mudança de 
variável) em algumas situações nas quais não é 
possível efetuar o cálculo da integral de 
determinada função usando a Tabela de Integrais 
Imediatas. 
Exemplo 1: Calcule a integral 
 
Vamos definir a variável Então 
 
Observe que, se multiplicarmos (e dividirmos) a 
integral por 12 teremos: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
61 
 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule a integral . 
Fazendo 𝑢 = 1 + 𝑥, teremos 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥. 
Assim, 
 
Exemplo 3: Calcule a integral 
Fazendo 𝑢 = 6 − 7𝑥³, teremos 𝑑𝑢 = −21𝑥2² 𝑑𝑥. 
Assim: 
 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule a integral ∫ 6𝑠𝑒𝑛(5𝑥 − 2) 𝑑𝑥. 
Fazendo 𝑢 = 5𝑥 − 2, teremos 𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥. Assim: 
 
 
 
Exercício Proposto: Calcule as integrais 
indefinidas. 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
O problema apresentado a seguir 
consiste em calcular a área A da região 
compreendida entre o gráfico de 𝑓 e o eixo 𝑥, 
onde 𝑓(𝑥) ≥ 0, como mostra a figura a seguir. 
 
Admitindo conhecida uma noção intuitiva 
de área de uma figura plana, e ainda, que a área 
de um retângulo de base 𝑏 e altura ℎ é dada por 
𝑏. ℎ, será descrito a seguir um processo para 
determinar a área 𝐴. 
Exemplo 1: Calcule a área sob o gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥² no intervalo (3,5). 
 
Definição: Se existe, dizemos que a 
função 𝑓 é integrável em [a, b]. 
• Teorema Fundamental do Cálculo 
Um aspecto relevante do Cálculo 
Diferencial e Integral consiste na relação entre a 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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tangente ao gráfico de uma função e o cálculo da 
área delimitada por esta função. O Teorema 
Fundamental do Cálculo estabelece tal relação. 
Teorema Fundamental do Cálculo: 
suponha f uma função contínua no intervalo [a, 
b]. Seja , a função 𝐹 é 
derivável para todo 𝑥 do intervalo [a, b] e é válido 
que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Podemos escrever também que 
 
• Teorema 
Se 𝑓 é contínua sobre o intervalo [a, b] e 
se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 neste intervalo, então 
 
Exemplo 2: Calcular a integral 
 . 
Usando as propriedades da integral definida e o 
Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se: 
 
Exemplo 3: Calcular a integral 
Fazendo u = 2y, então 
 
Substituindo na integral acima, tem-se que: 
 
 
 
• Observações: 
Para as integrais definidas segue-se o 
mesmo procedimento de cálculo utilizado nas 
integrais indefinidas. A única diferença 
corresponde à substituição dos limites de 
integração após a resolução da integral. 
Para as integrais que utilizam o método 
de integração por partes, a substituição dos 
limites de integração ocorre somente após a 
resolução de todas as integrais envolvidas no 
problema. 
• Propriedades da Integral Definida 
I. Seja f uma função integrável definida no 
intervalo [a, b]. Seja ainda c um número real 
qualquer. Então a função c. f também será 
integrável e vale que 
 
II. Sejam f e g funções integráveis no intervalo 
[a, b]. Então a soma f + g também será 
integrável no intervalo [a, b] e teremos: 
III. 
III. Considere um número real c tal que a < c 
< b e f função integrável em [a, c] e em [c, b]. 
Segue que a função f será integrável no 
intervalo [a, b] e vale que 
 
IV. Seja f uma função integrável em [a, b] e 
 
Segue então que 
 
Exercício Proposto: Calcule as integrais 
definidas a seguir. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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ÁREAS 
Nesta aula utilizaremos a integral 
definida para o cálculo de áreas. A princípio 
calcularemos áreas compreendidas entre o eixo 
𝑥 e uma curva qualquer que seja a representação 
gráfica de uma dada função 𝑓 com 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 
todo 𝑥 pertencente a um intervalo [𝑎, 𝑏]. Assim, a 
região a ser calculada a área é delimitada pelo 
eixo 𝑥, pelo gráfico de 𝑓 e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 
𝑏, conforme a figura a seguir. Esta área 
corresponde à integral definida 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 
+ 2 no intervalo [1,3]. 
O gráfico da função dada é uma reta e, portanto, 
a região para a qual devemos calcular a área é 
um trapézio, conforme vemos na figura. 
 
 
 
Já sabemos da Geometria Plana que essa área 
é: 
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝 = . 
Como a base maior mede 5, a menor mede 3 e a 
altura mede 2 (verifique), temos que 
 
Usando a integral definida: 
 
Neste caso, pode parecer mais fácil obter a área 
usando a fórmula do trapézio. Entretanto, isso 
não seria possível se o gráfico da função não 
determinasse uma figura da qual dispomos de 
uma fórmula para o cálculo da área, como é o 
caso do próximo exemplo. 
Exemplo 2: Determinar a área sob a curva 
 no intervalo [9,12]. 
Neste caso, o gráfico é uma parábola e a região 
para a qual vamos calcular a área está 
representada na figura a seguir. 
 
 
Usando a integral definida, temos: 
 
 
No caso em que 𝑓(𝑥) ≤ 0 no intervalo de 
integração, teremos que o valor da integral será 
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negativo e o módulo desse valor corresponderá 
numericamente à área procurada. 
Exemplo 3: Determinar a área sob a curva 
no intervalo [1,2]. 
Novamente, o gráfico é uma parábola e a região 
para a qual vamos calcular a área está 
representada na figura a seguir. 
 
 
 
Usando a integral definida, temos: 
 
 
Portanto, a área da região destacada vale 
aproximadamente 1,97 𝑢. 𝑎. 
Se, no intervalo de integração a função for 
positiva em uma parte do intervalo e negativa em 
outra, devemos considerar cada parte 
separadamente, lembrando que a área da região 
que se encontra abaixo do eixo 𝑥 é o inverso da 
integral encontrada. 
Exemplo 4: Determine a área entre a parábola 𝑦 
= 𝑥² − 3𝑥 e o eixo 𝑥 no intervalo [1,4]. 
Como a função dada tem como raízes 0 e 3, ela 
troca de sinal em 𝑥 = 3, que está no intervalo 
dado. Portanto, devemos calcular 
separadamente as integrais e 
tomando os módulos de seus 
resultados e, em seguida, somando-os para obter 
a área desejada, que está representada a seguir. 
 
 
 
Portanto, a área em destaque vale 
 
Exercícios propostos: 
1) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 2𝑥 + 5 no 
intervalo [1,4]. 
2) Determinar a área sob a curva 𝑦 = −𝑥 + 3 no 
intervalo [3,4]. 
3) Determinar a área sob a curva 𝑦 = −𝑥 + 3 no 
intervalo [0,4]. 
4) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [2,3]. 
5) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [1,3]. 
6) Determinar a área sob a curva 𝑦 = 𝑥 – 𝑥² no 
intervalo [0,3]. 
 ÁREAS ENTRE CURVAS 
• Cálculo de Áreas de Figuras Planas 
O cálculo de áreas de figuras planas 
pode ser feito por integração. 
Considere as funções f(x) e g(x) 
mostradas no gráfico a seguir, 
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Definição: O cálculo da área da figura plana 
limitada pelas funções f(x) e g(x), pelas retas x =a 
e x = b, onde f(x) e g(x) são funções

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