CB0664 - Prova Final (2020.2) - Calculo Fundamental - JONATAN FLORIANO DA SILVA

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Universidade Federal do Ceará - UFC
Departamento de Matemática
Prova Final - Cálculo Fundamental
Aluno(a): Matŕıcula:
1. (1.0) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, me-
dindo 8cm de largura e 15cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é constrúıda virando os
lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados
para a produção de uma caixa de volume máximo.
2. (3.0) Resolva os itens abaixo:
(a) Calcule
∫ 2
1 x
2 + 1dx usando a definição (limite de um somatório).
(b) Calcule a área da região R delimitada pelas funções y = −x2 + 5, y = x2 − 1;
(c) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta x = 4.
3. (2.0) Resolva as integrais:
(a)
∫
x7(lnx)3dx;
(b)
∫
3x2+2
−x2+2x+15dx.
4. (1.0) Calcule a área da superf́ıcie de uma esfera de raio 1.
5. (1.0) Seja f cont́ınua que satisfaz
∫ x
0 f(t)dt =
∫ 1
x t
2f(t)dt+ x
16
8 +
x18
9 +c, para todo x. Determine
uma expressão explicita para f(x) e encontre o valor da constante c.
6. (1.0) Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um peŕıodo t́ıpico de 24
horas, a temperatura em certa cidade é dada por T (t) = 3 − 23(t − 13)
2, 0 ≤ t ≤ 24, graus
Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?
7. (1.0) Use o Teorema de Comparação para determinar se a integral∫ +∞
1
x3
x5 + 2
dx
é convergente ou divergente.
”Bem-aventurado o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire conhecimento;
Porque é melhor a sua mercadoria do que artigos de prata, e maior o seu lucro que o
ouro mais fino. Mais preciosa é do que os rubis, e tudo o que mais possas desejar não se
pode comparar a ela”(Provérbios 3:13-15).