Apresentacao_Dados_Quantitativos

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1 
 
Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Estatística 
 
 
Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) ─ Profª Silvana Heidemann Rocha 
Estudante: ____________________________________________ Código: ______________ 
 
APRESENTAÇÃO DE DADOS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA 
 
1 TABELA E GRÁFICO PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
 
• Tabela de distribuição de frequências, com os dados não agrupados em classes 
• Histograma de haste 
 
2 TABELA E GRÁFICOS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA1 
 
• Tabela de distribuição de frequências, com os dados agrupados em classes 
o Elementos de uma tabela de distribuição de frequências, com 𝑘 classes: 
▪ Variável (𝑋), cuja amostra é representada por 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 e a amplitude 
amostral (𝐴𝐴𝑋) é calculada por 𝐴𝐴𝑋 = 𝑚á𝑥{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} − 𝑚í𝑛{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 
▪ Tamanho da amostra (𝑛) 
▪ Classe de frequências (𝑖), com 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑘 
▪ Limites de classe 
✓ Limite inferior (𝑙𝑖) 
✓ Limite superior (𝐿𝑖) 
▪ Amplitude de classe ou intervalo de classe (ℎ𝑖) , com ℎ𝑖 = 𝐿𝑖 − 𝑙𝑖 
▪ Amplitude total da distribuição (𝐴𝑇), com 𝐴𝑇 = 𝐿𝑘 − 𝑙1 
▪ Ponto médio de classe (𝑥𝑖), com 𝑥𝑖 =
𝐿𝑖+𝑙𝑖
2
 
▪ Frequência simples ou absoluta de classe (𝑛𝑖), com ∑ 𝑛𝑖 = 𝑛
𝑘
𝑖=1 . 
▪ Frequência relativa de classe (𝑓𝑟𝑖), com 𝑓𝑟𝑖 =
𝑛𝑖
𝑛
 e ∑ 𝑓𝑟𝑖 = 1
𝑘
𝑖=1 
▪ Frequência acumulada de classe (𝐹𝑖), com 𝐹𝑗 = ∑ 𝑛𝑖
𝑗
𝑖=1 
▪ Frequência relativa acumulada de classe (𝐹𝑟𝑖), com 𝐹𝑟𝑗 = ∑ 𝑓𝑟𝑖
𝑗
𝑖=1 
▪ Densidade de frequência relativa de classe (𝛥𝑖), com 𝛥𝑖 =
𝑓𝑟𝑖
ℎ𝑖
 
• Histograma de frequência simples ou histograma de frequência absoluta 
 
1 Quando uma variável discreta apresentar uma quantidade grande de resultados, de forma que a tabela de 
distribuição de frequências sem intervalos de classe tenha muitas linhas, é usual agrupar os dados em 
intervalos de classe. Também é usual elaborar tabela de distribuição de frequências, com dados agrupados em 
classes, quando uma variável estiver com escala intervalar ou com escala de razão. No entanto, deve-se ter 
cautela ao realizar operações matemáticas quando a variável estiver com escala intervalar, pois os resultados 
matemáticos podem não representar a realidade. 
2 
• Histograma de frequência relativa 
• Histograma de densidade de frequência relativa: obrigatório para distribuição de 
frequências, com amplitudes de classes diferentes. 
• Histograma de frequência acumulada 
• Histograma de frequência relativa acumulada 
• Polígono de frequência (absoluta, relativa, acumulada, relativa acumulada) 
• Polígono de densidade de frequência relativa 
• Curva polida 
 
3 DIAGRAMA DE CAIXA (BOX PLOT): usado para visualizar eventuais assimetria e pontos 
discrepantes, nos dados. 
 
4 DIAGRAMA RAMO-E-FOLHAS: usado para preservar os dados brutos, organizados em rol 
 
5 OBSERVAÇÕES SOBRE TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS, COM DADOS 
AGRUPADOS EM CLASSE 
 
• Usualmente, é recomendado que uma tabela de distribuição de frequências, com dados 
agrupados em classe, apresente de 4 a 20 classes. 
• Numa tabela de distribuição de frequências, com dados agrupados em classe: 
o não pode haver classe com frequência nula; 
o numa mesma classe, só podem ser agrupados elementos semelhantes entre si, de 
modo que o ponto médio da respectiva classe represente realmente todos os 
elementos agrupados naquela classe; 
o o número de classes, 𝑘, é calculado por chute inicial e as fórmulas mais comuns são: 
𝑘 = √𝑛 , para 𝑛 ≤ 400, e 𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 (fórmula de Sturges) 
o a amplitude de classe é calculada por chute inicial por meio da fórmula ℎ𝑖 =
𝐴𝐴𝑋
𝑘
, com 
𝐴𝐴𝑋 = 𝑚á𝑥{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} − 𝑚í𝑛{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}, isto é, 𝐴𝐴𝑋 é a amplitude amostral; 
o as amplitudes de classe não precisam ser todas iguais; o mais importante é que 
nenhuma classe tenha frequência nula, pois, ao se tentar ajustar uma curva de 
densidade de probabilidade ao histograma de densidade de frequência relativa, 
mediante testes de aderência ou de ajustamento, são realizadas divisões pela 
frequência simples de cada classe; 
o em geral, o limite inferior da primeira classe, 𝑙1 , é igual ao menor valor observado 
na amostra, mas isso não é obrigatório; o mais importante é que o ponto médio 
de cada classe realmente represente os dados agrupados naquela classe.
3 
Tabela genérica para dados agrupados em classe 
Classe 
(𝑖) Variável (𝑋) 
Frequência 
simples (𝑛𝑖) 
Ponto médio 
(𝑥𝑖) 
Frequência 
relativa (𝑓𝑟𝑖) 
Frequência 
acumulada (𝐹𝑖) 
Frequência relativa 
acumulada (𝐹𝑟𝑖) 
Densidade de 
frequência relativa (∆𝑖) 
1 𝑙1 𝐿1 𝑛1 𝑥1 𝑓𝑟1 𝐹1 𝐹𝑟1 ∆1 
2 𝑙2 𝐿2 𝑛2 𝑥2 𝑓𝑟2 𝐹2 𝐹𝑟2 ∆2 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑘 𝑙𝑘 𝐿𝑘 𝑛𝑘 𝑥𝑘 𝑓𝑟𝑘 𝐹𝑘 𝐹𝑟𝑘 ∆𝑘 
 Total 𝑛 1,000 
 
Fonte: A autora. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Preencha a tabela abaixo: 
 
Peça de automóvel da fábrica Carro Popular, segundo o diâmetro, em centímetros – Almirante Tamandaré – Agosto/2018 
Classe 
(𝑖) Diâmetro, em cm (𝑋) 
Nº de peças 
(𝑛𝑖) 
Ponto médio 
(𝑥𝑖) 
Frequência 
relativa (𝑓𝑟𝑖) 
Frequência 
acumulada (𝐹𝑖) 
Frequência relativa 
acumulada (𝐹𝑟𝑖) 
Densidade de 
frequência relativa (∆𝑖) 
1 20 30 4 
2 30 50 8 
3 50 100 12 
4 100 120 6 
 Total 30 
Fonte: Dados fictícios. 
 
2) Esboce o histograma de frequência, o histograma de frequência relativa e o histograma de densidade de frequência relativa. Qual deles 
representa adequadamente os dados? Justifique. 
3) Esboce o polígono de frequência, o polígono de frequência relativa e o polígono de densidade de frequência relativa, sobre o respectivo 
histograma do exercício 2. Após, esboce a respectiva curva polida. 
4) Esboce o histograma de frequência relativa acumulada e, sobre ele, o respectivo polígono de frequência relativa acumulada. Após, esboce 
a respectiva curva polida. 
4 
6 MEDIDAS ESTATÍSTICAS PARA UM CONJUNTO DE DADOS QUANTITATIVOS 
 
 Das medidas estatísticas, abaixo, é preciso verificar quais delas são adequadas à 
escala da variável em questão. 
 
• Medidas de posição, separatrizes ou quantis2 
 
• Mediana (Me ou �̃�) 
• Tercil (T) 
• Quartil (Q) 
• Decil (D) 
• Percentil ou centil (P) 
 
• Medidas de tendência central 
 
• Médias3 
▪ Média aritmética (�̅�): simples, ponderada 
▪ Média geométrica (�̅�
𝑔
): simples, ponderada 
▪ Média harmônica (�̅�
ℎ
): simples, ponderada 
• Mediana (�̃�) 
• Moda (Mo) 
 
• Medidas de dispersão ou de variabilidade 
• Amplitude total (AT) 
• Desvio médio absoluto (DMA) 
• Variância 
▪ Populacional (𝜎2) 
▪ Amostral (s2) 
• Desvio-padrão 
▪ Populacional (𝜎) 
▪ Amostral (s) 
• Coeficiente de variação (CV) 
▪ Populacional 
▪ Amostral 
 
• Medidas de forma: assimetria4 e curtose5 
 
• Momentos6 : Momentos absolutos, momentos centrados, momentos conjuntos 
 
2 Quando os dados estão discretizados, há vários métodos para calcular os quantis e, geralmente, os resultados 
obtidos são diferentes, de método para método. Aqui, para dados discretizados, o cálculo dos quantis será feito 
pelo método mais básico. Quando os dados estão agrupados em classe, o cálculo dos quantis pode ser feito a 
partir da tabela de distribuição de frequências ou pelo histograma de densidade de frequência relativa, supondo 
os dados estarem distribuídos uniformemente dentro de cada classe. 
3 Nas engenharias, na maioria das vezes, os levantamentos de dados envolvem variáveis quantitativas 
contínuas, para as quais o adequado é a média aritmética, geralmente. Por isso, nesta disciplina, serão 
trabalhadas fórmulas obtidas a partir da médiaaritmética. Os conceitos, definições e aplicações dos outros tipos 
de média podem ser encontrados em MILONE, G. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 
2006; em PEDROSA, A. C., GAMA, S. M. Introdução computacional à probabilidade e estatística com Excel. 3. 
ed. Porto-PT: Porto, 2016. 
4 Para os interessados em conhecer um pouco mais sobre assimetria, vide MILONE, G. Estatística geral e 
aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 
5 Idem 
6 Ibidem. 
5 
7 CONCEITOS OU DEFINIÇÕES SOBRE MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
 
7.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO, SEPARATRIZES OU QUANTIS PARA UM CONJUNTO CONTÍNUO 
 
Seja 𝑋: 𝑥(1), 𝑥(2), 𝑥(3), … , 𝑥(𝑛) um conjunto de dados quantitativos, ordenados, para 
uma variável 𝑋. Os conceitos referentes às medidas de posição "mediana", "tercil", 
"quartil", "decil" e "percentil", para um conjunto contínuo, estão representados 
abaixo, respectivamente. Essas medidas são denominadas genericamente por 
"quantil". Dos quantis, os mais comuns são a mediana, os quartis e os percentis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (MÉDIA ARITMÉTICA OU MÉDIA, mais simplesmente) 
 
7.2.1 Populacional 
 Seja 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁 um conjunto de dados quantitativos para uma variável 𝑋, 
levantados por meio de um recenseamento. A média aritmética populacional de 𝑋, 
denotada por 𝜇𝑋, é dada por 𝜇𝑋 = 
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
=
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑁
𝑁
 . 
 
7.2.2 Amostral 
 Seja 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 um conjunto de dados quantitativos para a variável 𝑋, 
levantados por meio de amostragem. A média aritmética amostral de 𝑋, denotada 
por �̅�, é dada por �̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛
 . 
 
T1 T0 
T3 T2 
3
1 das observações 
3
1 
3
1 
Q0 Q1 Q2 Q3 Q4 
25% das observações 25% 25% 25% 
D0 D1 D2 D3 D4 D5 D7 D8 D9 D6 
D10 
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 
1% 
P50 P90 P10 P0 P100 
P99 
Mín Mediana ( x~ ) Máx 
50% das observações 50% 
... ... ... ... 
6 
7.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
7.3.1 Amplitude Amostral 
Seja 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 um conjunto de dados quantitativos, amostrais, para 
uma variável 𝑋. A amplitude amostral de 𝑋, denotada por 𝐴𝐴𝑋, é dada por 
𝐴𝐴𝑋 = 𝑚á𝑥(𝑋) − 𝑚í𝑛(𝑋), onde 𝑚á𝑥(𝑋) e 𝑚í𝑛(𝑋) são os valores máximo e mínimo de 
𝑋, respectivamente. 
 
7.3.2 Desvio Médio Absoluto 
 Seja 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 um conjunto de dados quantitativos, amostrais, para a 
variável 𝑋. O desvio médio absoluto de 𝑋, denotado por 𝐷𝑀𝐴(𝑋), é dado por: 
𝐷𝑀𝐴(𝑋) = 
∑ |𝑥𝑖−�̅�|
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
|𝑥1−�̅�|+|𝑥2−�̅�|+⋯+|𝑥𝑛−�̅�|
𝑛
, com �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
7.3.3 Variância 
 
a) Populacional 
Seja 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁 um conjunto de dados quantitativos, populacionais, para a 
variável 𝑋. A variância populacional de 𝑋, denotada por 𝜎𝑋
2 ou por 𝜎2, é dada por: 
𝜎𝑋
2 = 
∑ (𝑥𝑖−𝜇𝑋)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
= 
(𝑥1−𝜇𝑋)
2+(𝑥2−𝜇𝑋)
2+⋯+(𝑥𝑁−𝜇𝑋)
2
𝑁
, com 𝜇𝑋 = 
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
 
b) Amostral 
 Seja 𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 um conjunto de dados quantitativos, amostrais, para a 
variável 𝑋. A variância amostral de 𝑋, denotada por 𝑠𝑋
2 ou por 𝑠2, é dada por: 
𝑠𝑋
2 = 
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
= 
(𝑥1−�̅�)
2+(𝑥2−�̅�)
2+⋯+(𝑥𝑛−�̅�)
2
𝑛−1
, com �̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
7.3.4 Desvio-padrão 
 Calcula-se extraindo a raiz quadrada da variância. 
 
a) Desvio-padrão populacional da variável 𝑋, denotado por 𝜎𝑋 ou por 𝜎: 
𝜎𝑋 = √𝜎𝑋
2 = √
∑ (𝑥𝑖−𝜇𝑋)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
 , com 𝜇𝑋 = 
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
b) Desvio-padrão amostral da variável 𝑋, denotado por 𝑠𝑋 ou por 𝑠: 
𝑠𝑋 = √𝑠𝑋
2 = √
∑ (𝑥𝑖−�̅� )
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
, com �̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
7 
7.3.5 Coeficiente de Variação 
 
 Relativiza o desvio-padrão em relação à média do conjunto de dados. 
 
a) Coeficiente de variação populacional da variável 𝑋, denotado por 𝐶𝑉𝑋 : 
 𝐶𝑉𝑋 = 
𝜎𝑋
𝜇𝑋
 . 100% , onde 𝜎𝑋 e 𝜇𝑋 são o desvio-padrão populacional e a média 
populacional da variável 𝑋, respectivamente. 
 
b) Coeficiente de variação amostral da variável 𝑋, denotado por 𝐶𝑉𝑋: 
 𝐶𝑉𝑋 = 
𝑠𝑋
�̅�
 . 100% , onde 𝑠𝑋 e �̅� são o desvio-padrão amostral e a média 
amostral da variável 𝑋, respectivamente. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Considere os conjuntos de dados amostrais X: 2, 25, 17, 5, 40 e Y: 3, 12, 10, 29, 12, 3, 
sendo X e Y duas variáveis em escala de razão. Para resumir descritivamente esses 
conjuntos de dados, calcule e interprete as respectivas medidas estatísticas solicitadas: 
 
a) n b) AA c) �̃� d) �̅� e) Mo 
f) Q1 g) Q3 h) P10 i) P90 
j) s k) CV 
 
2) Represente os conjuntos de dados do exercício 1, em um único diagrama de pontos. Em 
qual deles a variabilidade dos dados é maior? Justifique sua resposta. 
 
3) Esboce um diagrama ramo-e-folhas e um diagrama box-plot para cada conjunto de dados 
do exercício 1. 
 
4) Calcule, respectivamente, um coeficiente de assimetria para ambos os conjuntos de dados 
do exercício 1. Verifique se há pontos discrepantes. 
 
 
 
 
 
 
8 
5) Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deveriam conter 
16,50 kg. A pesagem de uma amostra de 400 sacas revelou os resultados representados 
na tabela abaixo: 
 
i Massa (kg) Nº de sacas xi fri Fi Fri 𝜟𝒊 
 14,55 ⎯ 15,55 2 
 15,55 ⎯ 16,25 40 
 16,25 ⎯ 16,75 123 
 16,75 ⎯ 17,05 155 
 17,05 ⎯ 18,00 80 
 Total 400 
 
 Fonte: Dados fictícios. 
 
 
a) Preencha a tabela dada. 
b) Esboce o histograma de densidade de frequência relativa e, sobre ele, o respectivo 
polígono e a curva polida. 
c) Esboce o histograma de frequência relativa acumulada e, sobre ele, o respectivo polígono 
e a curva polida. 
d) Determine e interprete as medidas estatísticas, abaixo, utilizadas para resumir 
descritivamente o conjunto de dados. Não se esqueça de colocar a respectiva unidade de 
medida, em cada valor calculado. Obtenha as medidas, abaixo, manualmente; por meio de 
calculadora científica, usando as funções estatísticas, naquilo que for possível; por uma 
planilha eletrônica; por um software estatístico: 
• a amplitude total da distribuição; 
• o peso médio, o peso mediano e a moda bruta, por saca; 
• a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação; 
• o primeiro quartil, o terceiro quartil, o décimo percentil e o nonagésimo percentil; 
• um coeficiente de assimetria e um coeficiente de curtose. 
e) Classifique essa distribuição de frequências, quanto à assimetria e à curtose 
f) Abaixo de qual peso encontram-se 70% das sacas? 
g) Acima de qual peso encontram-se as 100 sacas mais pesadas? 
h) O peso médio por saca é uma boa medida de tendência central para representar essa 
distribuição de frequências? Justifique. 
 
 
 
 
 
9 
 
6) Considere o conjunto de dados populacionais de uma variável X, representado por 
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁. Usando propriedades de somatório, mostre que a variância 
populacional de 𝑋, dada por 𝜎𝑋
2 =
∑ (𝑥𝑖−𝜇𝑋)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
, pode ser escrita mais convenientemente7 
por 𝜎𝑋
2 =
∑ 𝑥𝑖
2𝑁
𝑖=1
𝑁
− 𝜇𝑋
2 , com 𝜇𝑋 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 . 
 
7) Considere o conjunto de dados amostrais de uma variável X, representado por 
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛. Usando propriedades de somatório, mostre que a variância amostral de 
X, dada por 𝑠𝑋
2 =
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
, pode ser escrita mais convenientemente8 por 𝑠𝑋
2 =
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
−
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛(𝑛−1)
 , com �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 . 
 
8) Abaixo, está representada uma tabela genérica de distribuição de frequências, com 
intervalos de classe, para uma variável X. Nesse caso, a variância amostral é dada por: 
𝑠𝑋
2 = 
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2 ∙ 𝑛𝑖
𝑘
𝑖=1 
𝑛−1
 = 
(𝑥1−�̅�)
2 ∙ 𝑛1+(𝑥2−�̅�)
2 ∙ 𝑛2+⋯+(𝑥𝑘−�̅�)
2 ∙ 𝑛𝑘
𝑛−1
 
Use propriedadesde somatório para demonstrar que: 
 𝑠𝑋
2 =
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2 ∙ 𝑛𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛−1
 = 
∑ 𝑥𝑖
2�̅�∙𝑛𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛−1
−
(∑ 𝑥𝑖∙𝑛𝑖
𝑘
𝑖=1 )
2
𝑛(𝑛−1)
 , 
 onde: 
𝑛𝑖 é a frequência absoluta a 𝑖-ésima classe, 
𝑛 é o tamanho da amostra, com 𝑛 =∑ 𝑛𝑖
𝑘
𝑖=1 , 
𝑘 é o número de classes da distribuição de frequências, 
𝑥𝑖 é o ponto médio da 𝑖-ésima classe. 
 
Tabela genérica: 
𝑖 X 𝑛𝑖 𝑥𝑖 
1 𝑙1 ⎯ 𝐿1 𝑛1 𝑥1 
2 𝑙2 ⎯ 𝐿2 𝑛2 𝑥2 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑘 𝑙𝑘 ⎯ 𝐿𝑘 𝑛𝑘 𝑥𝑘 
 Total 𝑛 
 
7 O uso da fórmula que representa a definição de variância ocasiona perda de casas decimais, caso a média não 
seja um valor inteiro ou um decimal exato. Essa outra fórmula diminui os erros decorrentes de arredondamento. 
8 Idem. 
10 
 
9) Considere o conjunto de dados populacionais de uma variável X, representado por 
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁. O que acontece com a média populacional 𝜇𝑋 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 e com a 
variância populacional 𝜎𝑋
2 =
∑ 𝑥𝑖
2𝑁
𝑖=1
𝑁
− 𝜇𝑋
2 , quando: 
a) Soma-se uma constante real não nula c, a cada valor de X ? 
b) Multiplica-se cada valor de X por uma constante real não nula c? 
 
10) Considere o conjunto de dados populacionais de uma variável X, representado por 
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁, cuja média populacional e variância populacional são dadas por 
𝜇𝑋 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 e 𝜎𝑋
2 =
∑ (𝑥𝑖−𝜇𝑋)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
=
∑ 𝑥𝑖
2𝑁
𝑖=1
𝑁
− 𝜇𝑋
2 , respectivamente. Ainda, considere as 
variáveis 𝑌 e 𝑍, tais que, 𝑌: 𝑥1 + 𝑐, 𝑥2 + 𝑐, 𝑥3 + 𝑐, … , 𝑥𝑁 + 𝑐 e 𝑍: 𝑐𝑥1, 𝑐𝑥2, 𝑐𝑥3, … , 𝑐𝑥𝑁, 
com 𝑐 ∈ 𝑅+
∗ , sendo 𝑅 o conjunto dos números reais. Prove que: 
a) 𝜇𝑌 = 𝜇𝑋 + 𝑐 b) 𝜎𝑌
2 = 𝜎𝑋
2 c) 𝜇𝑍 = 𝑐𝜇𝑋 d) 𝜎𝑍
2 = 𝑐2𝜎𝑋
2 
 
11) Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique as sentenças falsas: 
 
( ) Na prática, a média será tanto mais representativa do conjunto de dados, quanto 
menor for o valor do seu coeficiente de variação. 
(...) Uma curva simétrica se caracteriza por possuir a moda maior que a mediana e que 
a média. 
(...) Numa distribuição de frequências em que a variável estudada só apresenta um 
único valor, o desvio-padrão será 1. 
(...) Se, numa distribuição de frequências, 50% dos dados situam-se abaixo da média, 
pode-se dizer que essa distribuição é simétrica. 
(...) Se todos os elementos de um conjunto de dados populacionais forem multiplicados 
por uma constante real não nula, a média não se alterará e a variância ficará 
multiplicada por essa constante. 
(...) Em qualquer distribuição de frequências, a mediana sempre será igual a média 
aritmética entre o primeiro e o terceiro quartis. 
 
12) Num processo de amostragem, peças de um mesmo tipo foram inspecionadas, tendo sido 
coletados dados referentes ao número de defeitos por peça. Os resultados foram os 
seguintes: 5, 6, 4, 8, 7, 5, 10, 5, 5, 7, 7, 7, 10, 10, 5, 5, 4, 3, 6, 4. 
a) Identifique a variável, classifique-a e identifique sua escala de medida. 
b) Construa uma tabela de distribuição de frequências e o histograma adequado para a 
variável, levando em conta a classificação dela.