GABARITO GERAL CALCULO DIFERENCIAL E

Prévia do material em texto

GABARITO GERAL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
1- A figura a seguir mostra o gráfico da função Com base nesse gráfico
e em seu conhecimento, leia as asserções sobre o ponto (0,0). I. É o único ponto crítico.II. Pode
ser considerado um ponto de mínimo local. III. É um ponto de sela. É correto o que se afirma em:
R:I e III, apenas.
2- Uma chapa de metal tem a forma indicada na figura, a
seguir: (SHENK. Cálculo e geometria analítica, v. 2. Rio de Janeiro: Campus, 1984, p.
234.) Podemos calcular a área da chapa utilizando uma integral dupla em coordenadas polares,
cujos limites de integração devem ser:
R: 0 menor ou igual a r menor ou igual a 1 mais cos parênteses de abertura theta fechar parênteses
vírgula espaço 0 menor ou igual a theta menor ou igual a pi
3- O Monte Shasta está localizado na Cordilheira das Cascatas, ao norte
do estado americano da Califórnia. A figura a seguir mostra as curvas de nível que representam a
topografia da região, com destaque para as curvas de 5.000, 7.500 e 10.000 pés. Repare que há
mais uma curva em destaque próxima ao topo, cuja altura correspondente não foi indicada. (A.
SHENK. Cálculo e geometria analítica, v. 2. Rio de Janeiro: Campus, 1984, p. 139.) Observando o
espaçamento entre as curvas, qual das alternativas a seguir representa corretamente uma
estimativa de altura para o cume?
R:14.000 pés.
4- Considere um bloco retangular cuja densidade varia com a posição
na forma Com base em seu conhecimento, analise as asserções a seguir: I. O domínio de é
formado pelos números reais, menos (0,0).II. O valor da densidade no ponto (1,2) é 10.III. O ponto
onde a densidade é mínima é (0,0). É verdade o que se afirma em:
R:II e III, apenas.
5- As coordenadas polares podem ser utilizadas para simplificar o
cálculo de determinadas integrais. Considere a integral realizada sobre a região .Em coordenadas
polares, essa integral torna-se:
R: begin mathsize 12px style integral subscrito 0 superscript 2 pi end superscript integral
subscrito 0 sobrescrito 3 raiz quadrada de 9 menos r raiz quadrada da extremidade r d r d teta. estilo final
6- Uma camada fina de metal, localizada no plano , tem temperatura
no ponto ,dada pela função Observando a função exposta, leia as asserções a seguir:I. O valor
da função no ponto (0,0) é II. A função varia de forma equivalente em relação a e a .III. O domínio
de é o conjunto É verdade o que se afirma em:
R: I e II, apenas.
7- A figura a seguir mostra o gráfico e as curvas de nível para a
função . Com base em seu conhecimento e nas representações gráficas apresentadas, analise as
asserções a seguir:I. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local, chamado de ponto de sela.II.A direção de máxima variação de no ponto (1,1) é III. Os pontos onde é máxima são e . É correto o
que se afirma em:
R: II e III, apenas.
8- A função define uma superfície chamada de paraboloide circular.
Para essa superfície, analise as asserções a seguir: I. O gradiente de no ponto (1,1,2) é II. A
equação do plano tangente no ponto (1,1,2) é III. As equações que definem a reta normal à
superfície em (1,1,2) são É verdade o que se afirma em:
R: I e III, apenas.
9- A derivada, uma das ideias fundamentais em cálculo, é utilizada para resolver uma ampla gama de problemas que envolvem tangentes e taxas de variação. Algumas derivadas são apresentadas em tabelas, asim como algumas integrais, mas os estudantes e profissionais que utilizam o cálculo diferencial cotidianamente as tem na memória. Marque a alternativa que apresenta as derivadas primeira e segunda da função :
R: y apóstrofo é igual a e elevado à potência de x espaço espaço espaço ponto e vírgula espaço espaço espaço y "
é igual a e elevado à potência de x
10- : A produção de bicicletas da empresa Roda Gira é de unidades por mês, e seu custo total é descrito pela função . A função de custo marginal é dada por:
R: C espaço apóstrofo espaço fino le parêntese x espaço parêntese direito é igual a espaço 5
11- O processo de diferenciação de uma função pode ser facilitado quando utilizamos algumas estratégias algébricas, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, entre outras. Para cada função distinta que precisamos diferenciar será necessário mobilizar conhecimento acerca das várias estratégias, para que se possa escolher a mais adequada para o caso em estudo. Algumas vezes, é possível determinar a derivada de uma função por meio de diferentes estratégias de cálculo. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função
R: f apóstrofo le parêntese t espaço entre parênteses direito é igual a espaço numerador de fração
t negativo à potência de 4 mais 3 t ao quadrado mais 2 t sobre o denominador le parênteses t ao cubo
mais 1 fração final quadrada do parêntese direito
12- A derivada pode ser entendida como taxa de variação instantânea e, geometricamente, como a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva. Determinar a equação da reta tangente à curva é um dos problemas que o cálculo diferencial resolve. Em pontos que estão na vizinhança do ponto para o qual temos a derivada, o comportamento da reta tangente à curva é muito próximo do comportamento da própria curva. Portanto, determinar a reta tangente à curva em um ponto pode ser útil, por exemplo, para aproximar valores da função com uma equação mais simples. A figura a seguir mostra uma tangente à cuva no ponto . Marque a alternativa que apresenta a equação da reta tangente à f(x) no ponto onde a = 1
R: r le parêntese x parêntese direito é igual a e x.
13- Há diferentes formas de se estabelecer processos de otimização, a diferenciação não é a única ferramenta matemática para se encontrar pontos de máximo ou de mínimo, mas é bastante eficiente e adequada para casos em que se conhece a função que descreve o comportamento da variável que se deseja otimizar, como nos problemas envolvendo custos, receita e lucro de uma empresa.Considere que a função , em reais, modela o valor da receita em função do número de unidades vendidas. O valor de que maximiza a receita é igual a:
R: 2,5 unidades.
14- Algumas integrais indefinidas podem ser determinadas a partir da relação existente entre derivadas e primitivas, quando podemos usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, temos o que chamamos de integrais imediatas, algumas delas presentes em tabelas de integrais. Marque a alternativa que apresenta o resultado de .
R: negativo 10 espaço ln espaço linha vertical x espaço linha vertical mais espaço C.
15- O processo de diferenciação de uma função pode ser facilitado quando utilizamos algumas estratégias algébricas, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, entre outras. Para cada função distinta que precisamos diferenciar será necessário mobilizar conhecimento acerca das várias estratégias, para que se possa escolher a mais adequada para o caso em estudo. Algumas vezes, é possível determinar a derivada de uma função por meio de diferentes estratégias de cálculo. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função .
R: f apóstrofo le parêntese x espaço entre parênteses direito é igual a espaço 1 mais e elevado à potência de x
sobre x menos e elevado à potência de x sobre x ao quadrado
16- O conceito de derivada nos permite avaliar o comportamento de uma função, por exemplo, seu ponto de máximo, ou de mínimo; podendo ser aplicado a diferentes contextos, como aqueles destinados a estudar receita, custos e lucro.Dada a função , em milhares de reais, que descreve o valor da receita em função do número de unidades vendidas , o valor da receita máxima será de:
R: R$ 12.500,00.
17- A derivada pode ser entendida como taxa de variação instantânea e, geometricamente, como a inclinação da reta tangente a uma curva, em um ponto desta curva. Determinar a equação da reta tangente à curva é um dos problemas que o cálculo diferencial resolve. Em pontos que estão na vizinhança do ponto para o qual temos a derivada, o comportamento da retatangente à curva é muito próximo do comportamento da própria curva. Portanto, determinar a reta tangente à curva em um ponto pode ser útil, por exemplo, para aproximar valores da função com uma equação mais simples. A figura a seguir mostra uma tangente à cuva no ponto (4, 2). Encontre a equação da reta tangente à f(x) no ponto (4, 2)
R: y espaço é igual a espaço 1 quarto x mais espaço 1.
18- A primeira derivada informa onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. A segunda derivada nos fornece informações sobre o modo como o gráfico de uma função derivável entorta ou muda de direção, ou seja, muda sua concavidade, em determinado intervalo. Marque a alternativa que mostra um ponto de inflexão de .
R: abrir parênteses pi vírgula espaço 3 fechar parênteses
19- Ao estudar uma função y = f(x), frequentemente nos vemos interessados no comportamento da função próximo de ponto específico, e para isso utilizamos a ideia de limite.Marque a alternativa que apresenta o resultado de
R: 3.
20- Em Economia, o processo utilizado por uma empresa para aumentar seu ativo é chamado formação de capital. Se o montante M do capital (milhares de reais) no instante t (meses) pode ser modelado através de uma função M(t), a taxa de variação instantânea de M em relação a t é denominada fluxo líquido de investimento. A empresa Especulex tem seu fluxo líquido de investimento aproximado por uma função em milhares de reais.A estimativa para o montante da formação de capital da empresa Especulex, durante os próximos três anos e quatro meses, por meio do processo de integração é, aproximadamente, de
R: R$ 168.654,80.
21- Segundo Thomas (2012, p. 87), a representação gráfica de uma função contínua pode ser entendida como uma curva passível de ser desenhada sem levantar o lápis do papel, sobre o domínio dessa função, ou seja, para os valores de x que tal função f(x) está definida. Sobre a continuidade da função y
R: f(x) é contínua em x = 3
22- Algumas integrais indefinidas podem ser determinadas a partir da relação existente entre derivadas e primitivas, quando podemos usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, temos o que chamamos de integrais imediatas, algumas delas presentes em tabelas de integrais. Marque a alternativa que apresenta o resultado de .
R: negativo 10 espaço ln espaço linha vertical x espaço linha vertical mais espaço C.
23- A primeira derivada informa onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e se o mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. A segunda derivada nos fornece informações sobre o modo como o gráfico de uma função derivável "entorta" ou muda de direção, ou seja, muda sua concavidade, em determinado intervalo. Determine a concavidade de .
R: Côncavo para baixo no intervalo le parenthesis 0 comma space pi right parenthesis e côncavo para cima no intervalo le parenthesis pi comma space 2 pi right parenthesis
24- A partir de um estudo sobre os dados da produção, gerados no sistema integrado utilizado pela Calçadus S. A., o modelo de custo total para produzir x unidades de seu principal produto, a sapatilha lisa preta, é descrito pela equação C(x) = 500 +50x, em reais.Determine a função que descreve o custo médio de produção, para que subsidie o processo de tomada de decisão da direção da Calçadus S. A.
R: C m é d i o le parêntese x espaço entre parênteses direito é igual ao numerador da fração 500 mais 50 x
acima do denominador x fração final
25- A partir de um estudo sobre os dados da produção, gerados no sistema integrado utilizado pela Calçadus S. A., o modelo de custo total para produzir x unidades de seu principal produto, a sapatilha lisa preta, é descrito pela equação C(x) = 500 +50x, em reais.Determine a função que descreve o custo médio de produção, para que subsidie o processo de tomada de decisão da direção da Calçadus S. A.
R: C m é d i o le parêntese x espaço do parêntese direito é igual ao numerador da fração 500 mais 50 x sobre
denominador x fração final
26- O fluxo líquido de investimento é definido como a taxa de variação instantânea de M (em milhares de reais) em relação ao instante t (em meses). O montante M no instante t pode ser modelado a partir de uma função M(t).A Financeira Especulex tem seu fluxo líquido de investimento aproximado por uma função em milhares de reais.Marque a alternativa que apresenta uma função que retorna o montante da formação de capital da empresa Especulex
R: M le parênteses t parênteses à direita é igual ao numerador da fração t elevado à potência de 1 vírgula 5 fim
expoente sobre o denominador 1 vírgula 5 fração final mais C
27- : Há diferentes formas de se estabelecer processos de otimização, a diferenciação não é a única ferramenta matemática para se encontrar pontos de máximo ou de mínimo, mas é bastante eficiente e adequada para casos em que se conhece a função que descreve o comportamento da variável que se deseja otimizar, como nos problemas envolvendo custos, receita e lucro de uma empresa.Considere que a função , em reais, modela o valor da receita em função do número de unidades vendidas. O valor de que maximiza a receita é igual a:
R: 2,5 unidades
28- A derivada, uma das ideias fundamentais em cálculo, é utilizada para resolver uma ampla gama de problemas que envolvem tangentes e taxas de variação. Algumas derivadas são apresentadas em tabelas, asim como algumas integrais, mas os estudantes e profissionais que utilizam o cálculo diferencial cotidianamente as tem na memória. Marque a alternativa que apresenta as derivadas primeira e segunda da função :
R: y apóstrofo igual a e elevado à potência de x espaço espaço espaço ponto e vírgula espaço espaço espaço y "igual a
e elevado a x
29- Expressar uma função racional (quociente de polinômios) como uma soma de frações mais simples constitui uma técnica de integração chamada de frações parciais. Essas frações mais simples são fáceis de integrar. Determine a integral
R:5 sobre 2 colchetes abertos ln barra vertical aberta x menos 1 barra vertical fechada menos ln aberto
barra vertical x mais 1 barra vertical fechada fecha colchetes mais C
30- Algumas integrais indefinidas podem ser determinadas a partir da relação existente entre derivadas e primitivas, quando podemos usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, temos o que chamamos de integrais imediatas, algumas delas presentes em tabelas de integrais. Marque a alternativa que apresenta o resultado de
R: negativo 10 espaço ln espaço linha vertical x espaço linha vertical mais espaço C.
31- O conceito de derivada nos permite avaliar o comportamento de uma função, por exemplo, seu ponto de máximo, ou de mínimo; podendo ser aplicado a diferentes contextos, como aqueles destinados a estudar receita, custos e lucro.Dada a função , em milhares de reais, que descreve o valor da receita em função do número de unidades vendidas , o valor da receita
R: R$ 12.500,00
32- : A produção de bicicletas da empresa Roda Gira é de unidades por mês, e seu custo total é descrito pela função . A função de custo marginal é dada por:
R: C espaço apóstrofo espaço fino le parêntese x espaço parêntese direito é igual a espaço 5
33- O processo de diferenciação de uma função pode ser facilitado quando utilizamos algumas estratégias algébricas, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, entre outras. Para cada função distinta que precisamos diferenciar será necessário mobilizar conhecimento acerca das várias estratégias, para que se possa escolher a mais adequada para o caso em estudo. Algumas vezes, é possível determinar a derivada de uma função por meio de diferentes estratégias de cálculo. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função .
R: f apóstrofo le parêntese x espaço entre parênteses direito é igual a espaço 1 mais e elevado à potência de x
sobre x menos e elevado à potência de x sobre x ao quadrado34- A derivada pode ser entendida como taxa de variação instantânea e, geometricamente, como a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva. Determinar a equação da reta tangente à curva é um dos problemas que o cálculo diferencial resolve. Em pontos que estão na vizinhança do ponto para o qual temos a derivada, o comportamento da reta tangente à curva é muito próximo do comportamento da própria curva. Portanto, determinar a reta tangente à curva em um ponto pode ser útil, por exemplo, para aproximar valores da função com uma equação mais simples. A figura a seguir mostra uma tangente à cuva no ponto . Marque a alternativa que apresenta a equação da reta tangente à f(x) no ponto onde a = 1.
R: r le parêntese x parêntese direito é igual a e x.
35- A ideia de limite de uma função é aplicada com o objetivo de explicar o comportamento de uma função nas proximidades de determinados valores. Uma função f(x) tem um limite L quando x tende ao valor l. Marque a alternativa que apresenta o resultado de
R: -3
36- A derivada é uma das ideias fundamentais em cálculo e é utilizada para resolver uma ampla gama de problemas que envolvem tangentes e taxas de variação. Algumas derivadas são apresentadas em tabelas, assim como algumas integrais. Estudantes e profissionais que utilizam o Cálculo diferencial cotidianamente as têm na memória. Marque a alternativa que apresenta as derivadas primeira e segunda da função y = 4 + sen x.
R: y' = cos x e y " = - sen x
37- Se não pudermos colocar uma equação F(x, y) = 0 na forma y = f (x) para derivá-la da maneira usual, poderemos, então, determinar por intermédio da derivação implícita. Utilizando a técnica da derivação implícita, determine se
R: numerador da fração d y sobre o denominador d x fração final é igual ao numerador da fração negativa 5
x elevado à potência de 4 sobre o denominador 4 y fração de extremidade cúbica
38- A partir de um estudo sobre os dados da produção, gerados no sistema integrado utilizado pela Calçadus S. A., o modelo de custo total para produzir x unidades de seu principal produto, a sapatilha lisa preta, é descrito pela equação C(x) = 500 +50x, em reais.Determine a função que descreve o custo médio de produção, para que subsidie o processo de tomada de decisão da direção da Calçadus S. A.
R: C m é d i o le parêntese x espaço entre parênteses direito é igual ao numerador da fração 500 mais 50 x
acima do denominador x fração final
39- Expressar uma função racional (quociente de polinômios) como
uma soma de frações mais simples constitui uma técnica de integração chamada de frações
parciais. Essas frações mais simples são fáceis de integrar. Determine um dx integral
R: 6 espaço na barra vertical aberta x mais 2 espaço na barra vertical fechada mais 5 le parênteses x mais 2 à direita parênteses à potência do expoente final negativo 1 mais C
40- Intuitivamente, qualquer função y = f(x), cujo gráfico possa ser esboçado sobre seu domínio em um movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua.. (THOMAS, 2012. pg. 87). Sobre a continuidade da função y = f(x), representada no gráfico acima, é correto afirmar que:
R: Não existe limite para f(x) quando x tende a 1, portanto f(x) não é contínua em x = 1
41- A primeira derivada informa onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. A segunda derivada nos fornece informações sobre o modo como o gráfico de uma função derivável entorta ou muda de direção, ou seja, muda sua concavidade, em determinado intervalo. Marque a alternativa que mostra um ponto de inflexão de .
R: open parentheses pi comma space 3 close parentheses