Axiomas de PEANO e a indução matemática

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Axiomas de Peano e a Indução Matemática
Apresentação: Johnattan B. Prates
A Construção dos Números Naturais:
• Segundo PINEDO (2013, p. 120), a base da construção de qualquer disciplina
matemática é o método axiomático. Isto é, o estabelecimento de um conjunto de
regras de raciocínio, de enunciados e axiomas (ou postulados) a partir dos quais, e
por regras de inferência do sistema, derivam-se outros enunciados ou proposições
chamados de teoremas. Os números naturais oferecem uma oportunidade de um
primeiro contato com uma estrutura axiomática. Assim, é possível pensar em uma
estrutura axiomática da seguinte forma: o que é essencial que se diga a respeito
dos números naturais para alguém que nunca teve nenhuma experiência com
eles?
A Construção dos Números Naturais:
• Esse esforço sobre os números naturais foi feito, no início do século XX, pelo
matemático Giuseppe Peano (1858-1932) que estabeleceu os axiomas necessários
que nos permitem definir e construir com precisão o conjunto dos números
naturais assim como demonstrar todas as propriedades aritméticas que ele
possui. Tais axiomas foram divulgados numa obra de 1889, denominada
Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita. É nesta obra que Peano apresenta
seus axiomas e enuncia a base de um processo demonstrativo designado como
Indução Finita.
A Construção dos Números Naturais:
• Iremos considerar que os números naturais podem ser ordenados em uma
sequência, em que cada elemento tem um “sucessor”, permitindo, assim,
construir um conjunto que satisfaça os axiomas de Peano.
Axiomas de Peano:
• ℕ é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. A essência da
caracterização de ℕ reside na palavra sucessor.
• Intuitivamente, quando �, �′ ∈ ℕ, dizer que �′ é o sucessor de � significa que �′ vem
logo depois de �, não havendo outros números naturais entre � e �′.
• Essa explicação apenas substitui o sucessor por logo depois, portanto não é uma
definição e o termo primitivo sucessor não é definido explicitamente.
Axiomas de Peano:
Seu uso e suas propriedades são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas:
a) Todo número natural tem um único sucessor;
b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1,
que não é sucessor de nenhum outro;
d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X∁ℕ). Se 1	
 e se, o sucessor de
todo elemento de 
 ainda pertence a 
, então 
 = ℕ.
Axiomática de Peano:
a) Todo número natural tem um
único sucessor;
b) Números naturais diferentes
têm sucessores diferentes;
c) Existe um único número
natural, chamado um e
representado pelo símbolo 1,
que não é sucessor de
nenhum outro;
d) Seja X um conjunto de
números naturais (isto é, X∁ℕ).
Se 1	
 e se, o sucessor de todo
elemento de 
 ainda pertence
a 
, então 
 = ℕ.
1 .
� 1 .
.
.
...
. �(1)
. �(� 1 )
.
.
...
ℕ = {1,2,3,4, … }
ℕ = {1, s 1 , s s 1 , s s s 1 , … }
Indução Finita:
A Indução Finita também pode ser visto em forma de
propriedades (ou proposições), ou seja, considerando-se
o conjunto dos números naturais como ℕ = {0,1,2,3, … }, o
Teorema de Indução Finita pode ser enunciado como:
“Considere �(�) uma afirmação relativa a � ∈ ℕ. Suponha
que:
A) � 1 é verdadeira
B) Para todo � ∈ ℕ, o fato de P(�) ser verdadeira, implica
que �(� � 1) é verdadeira, onde � � 1 é o successor de
�
Assim, �(�) é verdadeira para todo � ∈ ℕ.”
Indução Finita:
• A indução finita, geralmente, é trabalhada nas primeiras séries do Curso de
Matemática de maneira técnica, isto é, como uma receita a ser seguida. Sendo
assim, os estudantes não são levados a pensar e refletir no porquê da existência e
na utilidade da indução no desenvolvimento do pensamento matemático, como
também, de sua aplicação na própria matemática.
• A indução se aprende através da execução de muitos exercícios e afirmar que os
livros que apresentam o conteúdo de indução devam trazer respostas e
soluções detalhadas de todos os exercícios para que os alunos não fiquem
frustrados sem saberem se resolveriam certo ou errado, acredita-se que esta não
seria uma boa estratégia para se trabalhar com a indução finita
Exemplo 1:
• Determinar uma expressão para a soma dos n primeiros números naturais
ímpares. Em seguida, prove esta fórmula por indução matemática
Observemos as igualdades:
É possível perceber até esse ponto, um padrão de construção. Somos levados a 
desconfiar, que provavelmente, a regra que está por traz dessa construção é: 
“A soma dos � primeiros números naturais ímpares será igual a �� ”
Exemplo 1:
�� = 1 � 3 � ⋯ � 2� − 1 = �
�
Hip: �� = 1 � 3 � ⋯ � 2� − 1 = �
�.
Tese: ��!" = (� � 1)
�
Observe que �(1) é verdadeira:
1 = 1�
Suponhamos que, para algum � natural, �� seja verdadeira, ou seja, que:
1 � 3 � ⋯ � 2� − 1 = ��
Queremos provar que �(� � 1) é verdadeira. Somando 2� � 1 , que é o próximo
número ímpar após 2� − 1, obtemos a igualdade também é verdadeira:
1 � 3 � ⋯ � 2� − 1 � 2� � 1 = �� � 2n � 1 = n � 1 �
Logo, por Indução Matemática, a expressão para a soma dos n primeiros números
naturais ímpares é: �� = �
� para todo � ∈ ℕ.
Exemplo 2:
• Determinar uma expressão para a soma dos n primeiros números naturais. Em
seguida, prove esta expressão por indução matemática:
Para conjecturar uma expressão, primeiro fazemos os cálculos para alguns valores de �, como 
mostra a tabela abaixo, onde �� representa o valor da soma desejada:
� � = 1 � 2 � ⋯ � � =
� � � 1
2
Exemplo 2:
Hip: � � = 1 � 2 � ⋯ � � =
� �!"
�
Tese: � � = 
�!" ∗(�!�)
�
Note que :
� 1 = 1 =
" "!"
�
é verdadeira.
Observe também que:
� � � 1 = 1 � 2 � ⋯ � � � � � 1 =
� � 1 � � 2
2
Agora, suponhamos que para algum � ∈ ℕ, tenhamos �(�) verdadeira, isto é, a fórmula é válida para
tal valor de � . Somando � � 1 a ambos os lados dessa igualdade, temos que é verdadeira a
igualdade:
1 � 2 � ⋯ � � � � � 1 =
� � � 1
2
� (n � 1)
1 � 2 � ⋯ � � � � � 1 =
� � � 1 � 2(� � 1)
2
1 � 2 � ⋯ � � � � � 1 =
� � 1 ∗ (� � 2)
2
Logo, por Indução Matemática, a expressão para a soma dos n primeiros números naturais é: � � =
 
�!" ∗(�!�)
�
 para todo � ∈ ℕ..
Exemplo educação básica:
Questionamento inicial (PEREIRA, 2013):
• A árvore genealógica da família Pereira tem uma característica bem singular.
Cada indivíduo tem sempre dois filhos e cada um dos dois filhos tem sempre
dois filhos também, e assim sucessivamente. Quantos descendentes terá a 3ª
geração da família Pereira? E a enésima geração?
Determinar o número de descendentes da 3ª geração é uma tarefa bem simples.
Pode-se montar um gráfico, como a seguir, e contar o número de descendentes de
cada geração, teremos uma solução investigativa. Veja o gráfico e a tabela que expõe
os resultados nele obtidos:
Questionamento inicial:
A terceira geração terá 8 descendentes. Quanto à segunda pergunta, temos uma
boa suspeita para a resposta: na enésima geração teremos descendentes. Mas
isso tem que ser provado. Vamos à demonstração por indução:
� 1 significa que a 1ª geração tem dois descendentes. O que é verdade pelo nosso
gráfico;
Suponha que para algum �, �(�) é verdadeira, isto é, a enésima geração tem 2�
descendentes. Como, por hipótese, cada individuo tem sempre dois filhos, uma
geração qualquer sempre terá o dobro de indivíduos da geração anterior. Logo, a
geração de ordem (� � 1) terá 2 ∗ 2� = 2�!".
Conclui-se, portanto, que �(� � 1) é verdadeira e assim, por indução, a proposição vale
para qualquer número natural, o que significa que a enésima geração da família
Pereira terá 2� descendentes.
Questionamento inicial:
Hip: � � = 2)
Tese: � � = 2�!"
Para � 1 = 2" = 2
Suponha que para algum �, �(�) é verdadeira.
Para � � 1:
� � � 1 = 2 ∗ 2� = 2�!".
Logo, por indução, é verdadeira.
Indução Finita:
• Considerando a indução finita como um método, precisa-se estudá-lo e analisá-lo
para que sua aplicação não fique restrita às fórmulas que os alunos não têm idéia
de onde vieram.
Exemplo:
Encontre uma fórmula que dê a soma dosângulos internos de um
polígono convexo de n lados (n ≥ 3).
�� = � − 2 ∗ 180°
b) Prove que a fórmula encontrada é verdadeira:
Hip: ��= � − 2 ∗ 180°
Tese: �� = � − 1 ∗ 180°
Para �, = 3 − 2 ∗ 180° = 1 ∗ 180° = 180°
Queremos mostrar que a fórmula é válida para (� � 1) é verdadeira, partindo da
hipótese de indução de que o resultado é verdadeiro para n ≥ 3. Desejamos provar
que ��!" = (� − 1) ∗ 180°.
Exemplos:
Temos que: 
��!" = �� � 180°
��!" = � − 2 ∗ 180° � 180°
��!" = � − 2 � 1 ∗ 180°
Ou ainda,
��!" = � � 1 − 2 ∗ 180°
��!" = (� − 1) ∗ 180°
Logo, por Indução Matemática, a fórmula da soma dos ângulos internos é igual a �� =
� − 2 ∗ 180°
A fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer é 
verdadeira para � = � � 1, o que mostra sua validade para todo polígono convexo de �
lados para � ≥ 3.
Exemplos:
• Seja um polígono convexo com n lados. Qual o número de diagonais desse
polígono?
Por exemplo, se um polígono tem 8 lados, de cada vértice contamos 8 segmentos,
dos quais 3 deles não são considerados diagonais, ou seja, teremos 8 – 3 diagonais, ou
seja, apenas 5.
Nesse sentido, para um polígono de � lados, teremos, saindo de cada vértice, � – 3 diagonais.
Como temos n vértices, a quantidade de diagonais será � (� − 3)
Exemplos:
O número de diagonais de um polígono é dado por: d) =
�∗ �0,
�
, para � ≥ 3.
Hip: d) =
�∗ �0,
�
Tese: d)!" =
(�!")∗ �!"0,
�
=
(�!")∗ �0�
�
Para n= 3, temos d1 =
1∗ 10,
�
= 0 23456�43�
Supomos que d) =
�∗ �0,
�
é válido algum valor de n ∈ ℕ com n ≥ 3.
2�!" = 2� � (n � 1) − 3 � 1
Exemplos:
2�!" =
� ∗ � − 3
2
� n − 1
2�!" =
� ∗ � − 3 � 2� − 2
2
2�!" =
�� − 3� ∗ 2� − 2
2
2�!" =
�� − 3� � 2� − 2
2
2�!" =
�� − � − 2
2
2�!" =
� � 1 ∗ (� − 2)
2
Logo, por Indução Matemática, o número de diagonais de um 
polígono é dado por: d) =
�∗ �0,
�
.
Exemplos:
Desenham-se n círculos num plano π de acordo com o seguinte: todos os círculos
cortam-se sempre em dois pontos e três círculos não passam nunca pelo mesmo
ponto.
a) Encontre o número de regiões do plano π dado pelos círculos, incluindo a que é
exterior a todos os círculos.
b) Prove a fórmula encontrada para todo n ≥ 1
Conclusão:
• A investigação matemática no ensino de indução pode parecer para os
alunos uma dificuldade a mais, contudo, tem-se que eles obtêm sua primeira
experiência matemática, isto é, eles irão, num primeiro momento, buscar
casos particulares, depois conjecturar e finalmente, provar suas afirmações.
Referências:
• PEREIRA, Paulo César Antunes. O PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA – uma abordagem
no ensino médio. 2013. 46 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Matemática -
Profmat, IMPA, Rio de Janeiro, 2013. Disponível em: https://impa.br/wp-
content/uploads/2016/12/paulo_pereira.pdf. Acesso em: 31 mar. 2021
• PEDREIRA, Michel da Silva Pinto; GRILO, Jaqueline de Souza Pereira; GRILO, Marcos.
Tópicos de Teoria dos Números abordados na Educação Básica: uma análise sobre um livro
didático. Unión, p. 64-84, 15 jan. 2020.
• SAVIOLI, Angela Marta Pereira das Dores. Uma Reflexão sobre a Indução Finita: relato de
uma experiência. Bolema: Mathematics Education Bulletin, Rio Claro, v. 20, n. 27, p. 1-10.
• SILVA, Bruno Thiago da. Indução Matemática: discussão teórica e uma proposta de
ensino. 2015. 98 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Ufnr, Natal, 2015.
Disponível em:
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/19744/1/BrunoThiagoDaSilva_DISSERT.
pdf. Acesso em: 31 mar. 2021.