Métodos Numéricos em Engenharia Mecânica

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Engenharia Mecânica
Calculo Numérico 
2021
Métodos diretos: Os	Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros	de arredondamento, fornecem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio de um número finito de operações aritméticas.
Métodos Interativos: Os métodos Interativos são aqueles que, teoricamente, produzem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por	meio	de um número infinito de operações aritméticas.
Método da Bisseção: O método da bisseção é um método de busca de raízes que bissecta repetidamente um intervalo e então seleciona um subintervalo contendo a raiz para processamento adicional. Trata-se de um método simples e robusto, relativamente lento quando comparado a métodos como o método de Newton ou o método das secantes. Por este motivo, ele é usado frequentemente para obter uma primeira aproximação de uma solução, a qual é então utilizada como ponto inicial para métodos que convergem mais rapidamente.
Exemplo(1) do Método da bisseção: 
Exemplo(2) do Método da bisseção: 
Método das aproximações sucessivas: Um ponto fixo de uma função “f” é um numero “p” tal que “f(p)=p”.
Exemplo(1) do Método das aproximações sucessivas:
Exemplo(2) do Método das aproximações sucessivas:
Método de Newton: O método de Newton, desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abscissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função.
Exemplo(1) do Método de Newton:
Exemplo(2) do Método de Newton:
Método da Secante: O método da secante é um algoritmo de busca de raízes que usa uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada vez melhor a raiz de uma função “f”. O método da secante pode ser pensado como uma aproximação por diferenças finitas do método de Newton. No entanto, foi desenvolvido independentemente do método de Newton, e antecedeu-o por mais de 3.000 anos.
Exemplo(1) do Método da secante:
Exemplo(2) do Método da secante:
Comparando os Métodos Diretos e Interativos:
	Indicador
	Método direto
	Método Interativo
	Aplicação
	Para a resolução de sistemas de equações densos de pequeno a médio porte.
	Para a resolução de sistemas de equações de grande porte, notadamente os esparsos.
	Esparsidade
	Destrói a espasidade da matriz dos coeficientes durante a fase de eliminação.
	Preserva a espasidade da matriz dos coeficientes.
	Numero de operações
	É possível determinar, a priori, o numero de operações necessárias.
	Não é possível determinar a complexidade da priori.
	Convergência
	Se a matriz dos coeficientes não é singular, então a solução é sempre obtida. 
	Há garantia de se obter a solução somente sobre certas condições.
	Erros de Arredondamento
	São ampliados durante os cálculos. Podem ser minimizados usando uma técnica de pivotação.
	Não afetam os resultados obtidos em cada interação. Apenas a solução final pode conter erro.
Analise comparativa dos Métodos:
+x-6=0
	
	Dados Iniciais
	X
	F(x)
	Erro em x
	# de interações
	Bissecção
	[1;2,5]
	2,0
	
	
	20
	Ponto Fixo
	
	2,0
	
	
	11
	Newton
	
	2,0
	
	
	4
	Secante
	
	2,0
	
	
	5
Referencias Bibliográficas
Lobão, Diomar Cesar. Introdução aos métodos numéricos. Universidade Federal Fluminense. Disponível em: <http://www.professores.uff.br/diomarcesarlobao/wpcontent/uploads/sites/85/2017/09/note6.pdf>. Acesso em: 18 maio. 2021.
Cavalcanti, Jorge. Resolução numérica de equações. Calculo numérico. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/4CN_Parte3_Comparacao.pdf>. Acesso em: 19 maio. 2021.
Andrade, Doherty. O método da secante. Universidade estadual de Maringá. Disponível em: <http://www.dma.uem.br/kit/calculo-numerico-2/copy_of_kit-secante.pdf>. Acesso em: 19 maio. 2021.
Valle, Marcos Eduardo. Calculo numérico. Método de Newton e da secante. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula10.pdf>. Acesso em: 19 maio. 2021.
Romanazzi, Giuseppe. Métodos do ponto fixo, Método de Newton. Calculo numérico. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~roman/courses/MS211/1s2020/zeros4.pdf>. Acesso em: 20 maio. 2021.