CAPITULO 3-Base

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31
CAPITULO III 
 
 
3. BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
 Consideremos um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço 
vetorial V. Diz-se que este conjunto de vetores constitui uma base E de V, se todo vetor de 
V for uma combinação linear dos vetores de E. 
 O fato de E ser uma base de V equivale dizer que E gera V e que a dimensão de V, 
indicada por dimV, é igual ao número de vetores de E. 
 Os conceitos acima motivam os exemplos que seguem: 
 
3.1. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 1 
 
 Suponha que V1 é o espaço vetorial sobre  , cujos vetores são classes de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas numa reta r. 
 
 
 
 
 Fig 3.1 
 
 Os vetores de V1 têm a direção de r. 
 Se v

 for um vetor não nulo (forma um conjunto LI ), então v

 pode constituir uma 
base E de V1 que será denotada por E = ( v

). 
 A Fig 3.1 sugere que E = ( v

) é uma base de V1, pois os demais vetores de V1 
podem ser escritos a partir de v

. Isto é, a cada vetor w

 de V1, existe  real tal que 
w v
 
. O número  é chamado de coordenada de w

 em relação a E. 
 Uma base de V1 possui exatamente um vetor não nulo, logo, dimV1= 1. 
 
3.2. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 2 
 
 Suponha que V2 é o espaço vetorial sobre  , cujos vetores são classes de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas num plano  . 
 
 
 
 
 
 
 Fig 3.2 
 
Os vetores de V2 estão no plano  . 
Vimos em 2.2.2, exemplo (b) citado, que dois vetores não nulos e não paralelos 
 r r 
 ,w v  
 
 
 v

 
 r 
 v

 w

 
 
 
  u

 s 
 
 32
formam um conjunto LI e, em exemplo 2.1(1), exercícios resolvidos, que três vetores 
coplanares formam um conjunto LD. Portanto, se considerarmos vetores u

 e v

 não nulos e 
não paralelos e qualquer outro vetor w

 de V2, segue que {u

, v

, w

} é LD. Assim, existem 
1 , 2 e 3 reais não todos iguais a zero tal que 1 2 3 0u v w    
   
. 
 Sendo 3 0  , então 1 2
3 3
w u v
 
 
    
    
   
  
. Entende-se que os vetores u

 e v

 
formam um conjunto LI e constituem uma base E para V2 e que os demais vetores de V2 
são escritos como combinação linear de u

 e v

. A base E é denotada por E = (u

, v

). 
 
3.2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA – V2 
 
 Observe a construção abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos os vetores 1OUu 
 
 e 2OUv 
 
 com as respectivas direções das retas 
r e s não paralelas. Seja ABw 
 
 um vetor de V2. 
 Existe um único ponto P em  tal que AB OPw  
  
. 
 Conduzindo por P paralelas as retas s e r têm-se os pontos P1 em r e P2 em s. Os 
vetores 1OP

 e u

 são paralelos, logo, 1OP

 =  u

 para algum  real. Analogamente, 
2OP

 =  v

 para algum real. 
 Os pontos O, P1, P e P2 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo, 
2 1OP P P v 
  
. 
 Temos que 1 1OP OP P Pw   
   
, assim, OPw u v   
   
. Isto mostra que E 
gera V2, isto é, todo vetor de V2 é uma combinação linear dos vetores u

 e v

 de E. 
 A Fig 3.3 sugere que ao adotar um referencial (O, u

, v

) em V2, onde O é um 
ponto fixo e os vetores u

 e v

 (nesta ordem) formam uma base E de V2, se estabelece uma 
correspondência biunívoca entre os vetores de V2 e os pontos do plano  . Assim, a cada 
vetor w u v  
  
, ,   , fica associado, univocamente, um ponto P de coordenadas 
( , )E  do plano . Isto é, se (u

, v

) é base de V2, então todo vetor w

 se exprime de 
maneira única como combinação linear de u

e v

. 
 
 s 
 B 
 P2 P ( , )  
 U2 w

 
 w

 
 v

 A 
 r 
 O u

 U1 P1  Fig 3.3 
 
 33
 Portanto, OPw u v   
   
 = ( , )E  . 
 Não havendo dúvidas quanto a base utilizada, a notação acima pode ser 
simplificada w

 = ( , )  
 Os reais  e  são chamados, indiferentemente, de coordenadas tanto para o 
ponto P em relação ao referencial (O, u

, v

) quanto para indicar a decomposição de w

. 
 Uma base de V2 é formada com exatamente dois vetores, logo, dimV2 = 2. 
 
Operações com os vetores de V2 em relação a (O, u

, v

): 
 
Adição: Sejam os vetores 1 1( , )g  

 e 2 2( , )h  

 de V2 
 Mostremos que g h 
 
1 2 1 2( , )     
 g h 
 
1 1( , )  + 2 2( , )  = 1 1( )u v 
 
 + 2 2( )u v 
 
 = 
 = 1 2( ) u 

 + 1 2( ) v 

 = 
 = 1 2 1 2( , )     
Produto de vetor por escalar: Sejam 1 1( , )g  

 um vetor de V2 e   . 
 Mostremos que 1 1( , )g  

 
 1 1( , )g   

 = 1 1( )u v  
 
 = 1 1u v 
 
 = 1 1( , )  . 
 
 O vetor nulo possui suas coordenadas iguais a zero, 0 (0,0)

, visto que a 
extremidade P do vetor coincide com a origem O. 
 
3.3. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 3 
 
 Suponha que V3 é o espaço vetorial sobre  , cujos vetores são classes de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes considerados no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z 
 C D 
 A B 
 
 E 
 
 
 
 F 
 
 
 y 
 
 
 
 x 
 Fig 1.8 
 34
 Sabemos do exemplo 2.1(2) que um conjunto de três vetores {u
, v

, w

}, sendo 
u

, v

 e w

 não nulos e não coplanares, é LI e que quatro vetores do espaço V3 formam um 
conjunto LD. 
 Portanto, se tomarmos os vetores u

, v

 e w

 e um vetor t

 qualquer de V3, existirão 
escalares 1 , 2 , 3 e 4 , não todos iguais a zero, tal que 1 2 3 4 0u v w t      
    
. 
 Sendo 4 0  , então 1 2 3
4 4 4
t u v w
  
  
       
       
     
   
. Entende-se que 
os vetores u

, v

 e w

 formam um conjunto LI e constituem uma base E para V3 e que os 
demais vetores de V3 são escritos como combinação linear de u

, v

 e w

. A base E é 
denotada por E = (u

, v

, w

). 
 
3.3.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA – V3 
 
 Observe a construção abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos os vetores 1OUu 
 
 , 2OUv 
 
 e 3OUw 
 
 com as respectivas 
direções das retas r, s e g. Seja ABt 
 
 um vetor de V3. 
 Existe um único ponto P no espaço tal que AB OPt  
  
. 
 Conduzindo pela extremidade P do vetor t

 uma paralela a reta g , obtemos o 
ponto M no plano OU1U2 . Conduzindo por M paralelas as retas s e r obtemos P1 em r e P2 
em s tais que 1OP

 = u

 e 
2O P

 = v

, ,   . Conduzindo por P um plano paralelo a 
OU1U2, temos o ponto P3 tal que 3OP

= w

, para algum  real. 
 
 g 
 
 P( ,  , ) 
 P3 
 
 t

 B
 w

 s 
 U3 
 w

 v

 U2 t

 
 P2 
 v

 
 M 
 O Fig 3.4 
 u

 P1 u

 
 U1 
 A r 
 35
 
 Os pontos O, P1, M e P2 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo, 
2 1OP P M v 
  
. Os pontos O, M, P e P3 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, 
logo, MP w
 
. 
 Temos que 1 1OP OP P M MPt    
    
, assim, OPt u v w     
    
. Isto 
mostra que E gera V3 . 
 A Fig 3.4 sugere que ao adotar um referencial (O, u

, v

, w

) em V3, onde O é um 
ponto fixo e os vetores u

, v

 e w

 (nesta ordem) formam uma base E de V3, se estabelece 
uma correspondência biunívoca entre os vetores de V3 e os pontos do espaço. Assim, a cada 
vetor t u v w    
   
, , ,    , fica associado, univocamente, um ponto P de 
coordenadas ( , , )E   do espaço. Isto é, se (u

, v

, w

) é base de V3, então todo vetor t

 se 
exprime de maneira única como combinação linear de u

, v

 e w

. 
 Portanto, t u v w    
   
 = ( , , )E   . 
 Não havendo dúvidas quanto a base utilizada, a notação acima pode ser 
simplificada w

 = ( , , )   
 Os reais  ,  e  são chamados, indiferentemente, de coordenadas tanto para o 
ponto P em relação ao referencial (O, u

, v

, w

) quanto para indicar a decomposição de w

. 
 Uma base de V3 é formada com exatamente três vetores, logo, dimV2 = 3. 
 
Operações com os vetores de V3 em relação a (O, u

, v

, w

): 
 
Adição: Sejam os vetores 1 1 1( , , )f   

 e 2 2 2( , , )g   

 de V3 
 Mostremos que f g 
 
1 2 1 2 1 2( , , )        
 f g 
 
1 1 1( , , )   + 2 2 2( , , )   = 
 = 1 1 1( )u v w   
  
 + ¨2 2 2( )u v w   
  
 = 
 = 1 2( ) u 

 + 1 2( ) v 

 + 1 2( ) w 

= 
 = 1 2 1 2 1 2( , , )        
Produto de vetor por escalar: Sejam 1 1 1( , , )f   

 um vetor de V3 e   . 
 Mostremos que 1 1 1( , , )f   

 
 1 1 1( , , )f    

 = 1 1 1( )u v w    
  
 = 1 1 1u v w   
  
 = 
 = 1 1 1( , , )   . 
 Vetor oposto: Sejam 1 1 1( , , )f   

 um vetor de V3 e 1  . O vetor oposto de 
f

 é o vetor f

, tal que 1 1 1 1 1 11. 1.( , , ) ( , , )f f              
 
. 
 Diferença de vetores: Dados 1 1 1( , , )f   

 e 2 2 2( , , )g   

. O vetor diferença 
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f g                   
 
= 1 2 1 2 1 2( , , )        . 
 
 36
 Proposições: Fixada uma base de V3, tem-se as proposições: 
 
 1ª) Vetores paralelos: Os vetores 1 1 1( , , )f   

 e 2 2 2( , , )g   

, não nulos e 
sem coordenadas iguais a zero formam conjunto LD (são paralelos, //f g
 
), se e somente se 
1 1 1
2 2 2
  
  
  . Caso apenas 2 0  , então 1 0  e 
1 1
2 2
 
 
 . Segue raciocínio análogo 
para 2 0  ou 2 0  . 
 
 2ª) Vetores coplanares: Os vetores 1 1 1( , , )f   

, 2 2 2( , , )g   

 e 3 3 3( , , )h   

 
formam conjunto LD (são coplanares), se e somente se 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
D 0
  
  
  
  . 
 Não demonstraremos esta proposição. 
 Esta proposição nos informa também que sendo D 0 os vetores não serão 
coplanares e, neste caso, formam uma base para V3. 
 O vetor nulo possui suas coordenadas iguais a zero, 0 (0,0,0)

, visto que a 
extremidade P do vetor coincide com a origem O. Logo, (O, 0

, g

, h

) não é base de V3. 
 
3.4. BASES ORTONORMAIS 
 
 Uma base de V2 é chamada de ortonormal se os seus vetores forem unitários (ver 
1.1.3) e ortogonais (ver 1.1.7). A base ortonormal é denotada por E = ( , )i j
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 Um vetor v

 qualquer de V2 , em relação a base E = ( , )i j
 
, é dado por v a i b j 
  
 
e o 2 2v a b 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Fig. 3.5 
 j

 
 1 
 i

 
Temos que: 
i

= (1, 0) e j

 = (0, 1) 
1i 

 e 1j 

 e i

 j

 
 
 b 
 v

 b j

 
 j

 
 a i

 
 i

 Fig. 3.6 
 Os vetores a i

 e b j

 são ortogonais. 
Utilizando Pitágoras, segue que 
2 2 2
v a i b j 
  
. 
Daí,
2 2 22 2
. .v a i b j 
  
. Sendo 1i 

 e 1j 

,
temos 
2 2 2 2 2v a b a b   

. 
 Portanto, 2 2v a b 

 
 37
 Uma base de V3 é chamada de ortonormal se os seus vetores forem unitários e dois 
a dois ortogonais. A base ortonormal é denotada por E = ( , , )i j k
  
.Um vetor v

 qualquer de V3 , em relação a base E = ( , , )i j k
  
, é dado por 
v a i b j c k  
   
 e o 2 2 2v a b c  

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 Vetores ortogonais: Consideremos dois vetores u

 e v

 em relação a base 
ortonormal E= ( , , )i j k
  
e o vetor soma u

+ v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se u

 e v

 são ortogonais, então vale a relação de Pitágoras: 
2
u v
 
= 
2
u

 + 
2
v

, 
daí, 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )u v u v u v     = (
2 2 2
1 2 3u u u  ) + (
2 2 2
1 2 3v v v  ). 
 Simplificando a igualdade acima, temos a condição de ortogonalidade dos vetores: 
 
 1 1 2 2 3 3. . . 0u v u v u v   
 
 
 1 
 k

 j

 
 i

 1 
 1 
 Fig. 3.7 
Temos que: 
 
i

= (1,0, 0), j

 = (0, 1, 0) e k

 = (0, 0, 1) 
1i 

, 1j 

 e 1k 

 
 i

  j

 , i

 k

 e j

 k

 
 c 
 
 
 k

 v

 
 j

 c k

 
 i

 r

 
 ai

 
 b j

 Fig. 3.8 
 Temos que 
2
2 2r a b 

. Utilizando 
Pitágoras 
2 2 2
v r c k 
  
. 
Daí,
2 2 22
.v r c k 
  
. Visto que 
1k 

, segue que 
2
2 2 2v a b c  

. 
 Portanto, 2 2 2v a b c  

. 
 
 
 v

 
 u

 
 u

+ v

 
 k

 
 j

 
 i

 
 Fig 3.9 
 Se u

 =  1 2 3, ,u u u e v

 =  1 2 3, ,v v v , 
então u

+ v

 =  1 1 2 2 3 3, ,u v u v u v   . 
 Os quadrados dos módulos destes 
vetores são: 
 
2
2 2 2
1 2 3u u u u  

 
 
2
2 2 2
1 2 3v v v v  

 
 
2
2 2 2
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )u v u v u v u v      
 
 38
3.4.1. OBTER UM VETOR A PARTIR DE DOIS PONTOS DADOS 
 
 Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), em relação base ortonormal E = ( , )i j
 
de 
V2, obtenha o vetor ABv 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados os pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB), em relação base ortonormal 
E= ( , , )i j k
  
de V3, obtenha o vetor ABv 
 
. 
 z 
 zB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabemos que ABv 
 
= AE EB
 
, sendo, AE

= A'D'

= A'C ' C'D '
 
 e EB

= D'B'

. 
Logo, ABv 
 
= A'C' C'D' D'B' 
  
. 
 Portanto, ABv 
 
= (xB  xA) i

+ (yB  yA) j

+ (zB  zA) k

. 
Nota: A expressão de v

 acima, exibindo os vetores da base ( , , )i j k
  
, é chamada por alguns 
 autores de expressão cartesiana de v

ou forma algébrica de v

. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 y 
 yB B 
 
 v

 Fig.3.10
 
 yA A C 
 
 j

 
 x 
 i

 xA xB 
 Sabemos que 
 
 ABv 
 
= AC CB
 
. 
 
 Logo, 
 
 ABv 
 
= (xB  xA) i

 + (yB  yA) j

 
 zA v

 B 
 A 
 
  
 k

 j

 yA E yB y 
 xA i

 A’ v

 B’ 
 
 xB C’   D’ 
 
 x Fig 3.11 
 39
EXEMPLO 3.1 
 
1) Dados os pontos A(2,1,3) e B(5,3,1), em relação a base ortonormal E= ( , , )i j k
  
, obtenha 
 o vetor ABv 
 
. 
 Solução: 
 ABv 
 
= (52) i

+ (31) j

 + (13) k

 = 3 i

 + 2 j

  2 k

. 
 
2) São dados os vetores (2,1,0)u 

, (0, 1, 2)v  

 e ( 3, 0, 1)w   

 em relação a uma base 
 de V3. Pede-se: 
 a) u v
 
 
 Solução: u v
 
 = (2,1,0) + (0, 1, 2) = (2+0, 1+(1), 0+2) = (2, 0, 2) 
 b) 2 3u v w 
  
 
 Solução: 2 3u v w 
  
 = (2,1,0) + 2 (0, 1, 2)  3(3, 0, 1) = 
 = (2,1,0) + (0,2, 4) + (9, 0, 3) = 
 = (2+0+9, 12+0, 0+4+3) = (11, 1, 7) 
 
3) Os vetores (2,1,0)u 

, (0, 1, 2)v  

 e ( 3, 0, 1)w   

 podem formar uma base para V3 ? 
 Solução: 
 
2 1 0
D 0 1 2 4
3 0 1
   
 
 ( 0). 
 Os vetores u

, v

 e w

 não são coplanares. Logo, podem formar uma base para V3. 
 
4) Determinar m de modo que os vetores (2,0,1)u 

, (0, , 2)v m

 e ( 3, 0, )w m 

 
 formem uma base de V3. 
 Solução: 
 O conjunto dos vetores deverá ser LI, isto é, eles não podem ser coplanares. 
 2
2 0 1
D= 0 m 2 2 3 0
-3 0 m
m m    0m  e 
3
2
m

 . 
 
5) Dados os vetores i

= (1,0,0) , j

= (0,1,0), k

= (0,0,1), mostre que u

= (x,y,z) é combina- 
 ção linear de i

, j

 e k

. 
 Solução: 
 Devemos ter escalares a, b e c tais que a i

+ b j

 + c k

 = u

 ( I ) 
 Substituindo i

, j

, k

 e u

 em ( I ), tem-se 
 a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = (x,y,z) 
 (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = (x,y,z) 
 (a, b, c) = (x,y,z) 
 40
 Portanto, a = x , b = y e c = z 
 Assim, u

 = a i

+ b j

 + c k

 = x i

+ y j

 + z k

. 
 
6) Verifique se os vetores (6, 1, 2)u  

 e (2, 6, 3)v  

, dados em relação a base ( , , )i j k
  
, 
 são ortogonais . 
 Solução: 
 A soma dos produtos das correspondentes coordenadas de u

 e v

 é igual a zero, 
isto é, (6 . 2) + (1 . 6) + (2 . 3) = (12) + (6) + (6) = 0. Assim, u

 e v

 são ortogonais. 
7) Verifique se 
2 13 3
( , , )
182 182 182
u
 


, 
2 1 3
( , , )
14 14 14
v



 e 
3 2
( , 0, )
13 13
w 

, 
 dados em relação a base E = ( , , )i j k
  
, formam uma base ortonormal de V3. 
 Solução: 
 Os vetores devem ser respectivamente ortogonais: 
 u

 v

, pois 
2 2 13 1 3 3 4 13 9
. . . 0
182 14 182 14 182 14 182 . 14
    
    
 u

 w

, pois 
2 3 13 0 3 2 6 0 6
. . . 0
182 13 182 13182 13 182 . 14
   
    
 v

 w

, pois 
2 3 1 0 3 2 6 0 6
. . . 0
14 13 14 13 14 13 182 . 14
  
    
 Os módulos dos vetores devem ser iguais a 1: 
 
2 2 2 2 2 22 2 13 3 2 ( 13) ( 3) 4 169 9
1
182 182182 182 182
u
                      
     

 
 
2 2 2 2 2 22 2 1 3 2 1 ( 3) 4 1 9
1
14 1414 14 14
v
                    
     

 
  
2 2 2 2 22 23 2 3 0 (2) 9 0 4
0 1
13 1313 13
w
              
   

 
 Portanto, (u

, v

, w

) é uma base ortonormal de V3. 
 
8) Escreva o vetor (1,2,3)t 

 como combinação linear dos vetores (6,1,2)u 

, 
 (2, 1,2)v  

 e ( 3,1, 1)w   

, dados em relação a uma base E de V3. 
 Solução: 
 Devemos ter escalares x, y e z tais que x (6,1,2) + y (2, 1,2) + z (3,1, 1) = (1,2,3). 
E, daí, ( 6x + 2 y  3 z, 1x 1y + 1z, 2x + 2 y  1 z ) = (1,2,3). 
 Logo, temos o sistema linear de equações: 
 
6 2 3 1
1 1 1 2
2 2 1 3
x y z
x y z
x y z
  
   
   
 ( I ) 
 
 41
 Vamos resolvê-lo utilizando a regra de Cramer: 
a) Obter o valor do determinante das incógnitas 
6 2 3
1 1 1
2 2 1

  

 = 12 ( 0) 
b) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável x substituída 
pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do 
sistema) 
 
1 2 3
2 1 1
3 2 1
x

  

 = 12 
c) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável y substituída 
pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do 
sistema) 
 
 
6 1 3
1 2 1
2 3 1
y

 

 = 24 
d) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável z substituída 
pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do sistema) 
 
 
6 2 1
1 1 2
2 2 3
y   = 36 
e) Calculo dos escalares x, y e z: 
 
 x = 
x

 = 
12
12


 = 1 , y = 
y

 = 
24
12


 = 2 e z = 
z

 = 
36
12


 = 3. 
 
Portanto, 
 1 (6,1,2) + 2 (2, 1,2) + 3 (3,1, 1) = (1,2,3) 
Assim, 
 1 u

 + 2 v

 + 3 w

 = t

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Nota: O sistema linear ( I ) acima pede ser resolvido por Inversão de Matrizes 
 
6 2 3 1
1 1 1 2
2 2 1 3
x y z
x y z
x y z
  
   
   
 ( I ) 
 Considerar o sistema na forma matricial: 
 42
 
6 2 3
1 1 1
2 2 1
 
  
  
. 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = 
1
2
3
 
 
 
 
 
. 
 Temos que 
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = 
1
6 2 3
1 1 1
2 2 1
 
  
  
. 
1
2
3
 
 
 
 
 
 ( II ) 
 Observação: Chamamos M =
6 2 3
1 1 1
2 2 1
 
  
  
 de matriz das incógnitas 
 
 Obtenção da matriz M1 ( inversa da matriz das incógnitas x, y e z) : 
 
 Sabe-se que: ( III ) 
 
 
a) Determinante da matriz das incógnitas 
6 2 3
1 1 1
2 2 1

  

 = 12 . O Fato de  ser 
diferente de zero indica que existe M1. 
 
 b) A matriz Mcof , chamada Matriz dos Cofatores, é obtida substituindo-se cada 
elemento da matriz M pelo correspondente Complemento algébrico. 
 Exemplificando: 
  A posição onde esta o 6 (1ª linha e 1ª coluna) em M é substituída por 
1 1
2 1


= 1. 
 O determinante 2x2 foi obtido suprimindo-se 1ª linha e 1ª coluna de  . O seu sinal é 
mantido porque ocupa a “posição par” ( no da linha + no da coluna = par). 
  A posição onde esta o 2 (1ª linha e 2ª coluna) é substituída por ( 
1 1
2 1
)= 3. Houve 
troca de sinal no determinante 2x2, obtido suprimindo-se 1ª linha e 2ª coluna, porque o 2 
ocupa “posição ímpar” ( no da linha + no da coluna = ímpar). 
 
 Procedendo assim, obtemos 
 Mcof = 
1 3 4
4 12 8
1 9 8
 
    
    
 
 M1 =  T1 Mcof

 
 43
 c) A matriz  TMcof , transposta da matriz dos cofatores, é construída do 
seguinte modo: sua primeira linha é igual a primeira coluna de Mcof , sua segunda linha é 
igual a segunda coluna de Mcof e a sua terceira linha igual a terceira coluna de Mcof 
  TMcof = 
1 4 1
3 12 9
4 8 8
   
   
   
 
 d) Aplicando ( III ), segue que 
 M1 =  T1 Mcof

 = 
1
12
1 4 1
3 12 9
4 8 8
   
   
   
 = 
1 12 1 3 1 12
1 4 1 3 4
1 3 2 3 2 3
 
  
  
 
 
 Voltando ao sistema ( II ), temos: 
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = 
1
6 2 3
1 1 1
2 2 1
 
  
  
. 
1
2
3
 
 
 
 
 
 = 
1 12 1 3 1 12
1 4 1 3 4
1 3 2 3 2 3
 
  
  
 . 
1
2
3
 
 
 
 
 
 = 
(1 12).1 (1 3).2 (1 12).3
( 1 4).1 (1) . 2 (3 4).3
( 1 3).1 ( 2 3).2 (2 3).3
  
    
    
 
 Logo, 
 
x
y
z
 
 
 
 
 
 = 
(1 12) (2 3) (3 12)
( 1 4) (2) (9 4)
( 1 3) ( 4 3) (6 3)
  
    
    
 = 
1
2
3
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 1 u

 + 2 v

 + 3 w

 = t

. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.1 
 
1) Dados os vetores i

= (1,0) e j

= (0,1), mostre que u

= (x,y) é combinação linear de i

e j

. 
 
2) Dados os vetores a

= (1,2) e b

= (3,4) em relação a base ortonormal, escreva u

= (3,6) 
 como combinação linear de a

 e b

. 
 ¨ R. u

 = 3 a

 
3) Escreva, se for possível, o vetor u

= (6,25,9) como sendo combinação linear dos vetores 
 a

= (1,2,0), b

= (3,8,4) e c

= (1,7,1) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo 
 caso não seja possível escrevê-lo. 
 ¨ R. u

 = a

 + 2b

+ c

 
4) Escreva, se for possível, o vetor u

= (6,5,3) como sendo combinação linear dos vetores 
 a

= (2,1, 0), b

= (2, 8, 0) e c

= (1, 5, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o 
 motivo caso não seja possível escrevê-lo. 
 R. Não é possível escrever a CL, pois a

, b

e c

 são coplanares e u

 não é coplanar 
com eles. 
 
 44
5) Escreva, se for possível, o vetor u

= (6,5,0) como sendo combinação linear dos vetores 
 a

= (2,1, 0), b

= (12, 8, 0) e c

= (10, 5, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o 
 motivo caso não seja possível escrevê-lo. 
 R. 3 0u a b c   
   
 ou 
3
0
5
u a b c  
   
. Os vetores a

, b

, c

 e u

 são coplanares, 
sendo a

// c

 e a

 não paralelo a b

. Portanto, a

e b

 ou b

e c

 formam uma base do plano. 
 
6) Escreva, se for possível, o vetor u

= (6,5,0) como sendo combinação linear dos vetores 
 a

= (2,1, 0), b

= (4, 2, 0) e c

= (6, 3, 0) em relação a uma base de V3. Justifique omotivo caso não seja possível escrevê-lo. 
 R. Não é possível escrever a CL. Os vetores a

, b

, c

 e u

 são coplanares. Temos 
a

// c

//b

, logo, não formam uma base do plano e u

 tem a direção diferente de a

, b

ou c

. 
 
7) Escreva, se for possível, o vetor u

= (12,6,0) como sendo combinação linear dos vetores 
 a

= (2,1, 0), b

= (4, 2, 0) e c

= (6, 3, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o 
 motivo caso não seja possível escrevê-lo. 
 R. u a b c  
   
, 5 2u a b c  
   
 e muitas outras mais. Os vetores a

, b

, c

 e u

 são 
coplanares e a

// c

//b

//u

. Assim, a

ou b

ou c

 forma uma base da reta com direção de u

. 
 
8) Fixada uma base de V3, tem-se os vetores u

 = (3,2,5), v

 = (1,2,5) e w

 = (5,2,5). Pede: 
 a) calcular (u

+ v

), (u

  2 v

 + w

) e (2 u

  v

 + 3 w

) . 
 b) determinar x e y de modo que se tenha w

 = x u

 + y v

. 
 R. a) (4,4,10), (6,0,0) e (20,8,20) b) x = 2 e y = 1. 
9) Os vetores (1,5,2)u 

, (0,1, 1)v 

 e (3, 13,4)w 

 podem formar uma base para V3 ? 
 R. Não 
10) Dados os vetores v

 = 2 i

3 j

 + k

 e w

 = 3 i

 j

 2 k

, determinar 
 a) o vetor oposto de w

 R. (-3,1,2) 
 b) v

 + w

 R. (5,-4,-1) 
 c) w

  v

 R. (1,2,-3) 
 d) 4 v

 R. (8, -12, 4) 
 e) 3
2
v
w
 
 R. (10, 9/2, 11/2) 
 
11) Determinar o módulo dos vetores 
 a) 12 5c i j 
  
 R. 13 
 b) 3 4u i j k  
   
 R. 26 
 
 
 45
12) Sabendo-se que u

 é versor de v

 se u

= 
v
v

 , pede-se determinar o versor de 
 a) 2 2v i j k  
   
. R. 
1 2 2
3 3 3
u i j k  
   
 
 b) 2v i j k  
   
 R. 
2 1 1
6 6 6
u i j k  
   
 
 c) v

 = (1, 0, 0) R. u

 = v

 
 
13) Verificar se são ou não paralelos os vetores 
 a) 2 4u i j k  
   
 e 
1 1
2 4
v i j k  
   
 R. //u v
 
 
 b) (3,0,2)r 

 e (6,0,4)s 

 R. //r s
 
 
 c) ( 3,2,1)a 

 e ( 3, 1,0)b   

 R. a

 // b

 
14) Dados os vetores u

 e v

 em relação a base ortonormal ( , , )i j k
  
, verifique se são 
 ortogonais . 
 a) 2 4u i j k  
   
 e 2v i j k  
   
 R. sim 
 b) 2 3u i j k  
   
 e 5 2v i j k  
   
 R. não 
 c) 6 3u i j k  
   
 e 3 7 3v i j k  
   
 R. sim 
 
15) Determinar as coordenados do vetor no plano xy que forma ângulo de 30º com o eixo 
 das abscissas, sentido positivo, e tem módulo 2 . 
 R. (
6 2
( , )
2 2
 e 
6 2
( , )
2 2
 
16) Se M(9,5) é ponto médio de um segmento de reta de extremidade A(7,2), determinar, 
 em relação ao sistema ortonormal, as coordenadas da outra extremidade. R. (25, 8) 
 
17) Dados os pontos A(3, 1, 2) e B(2, 1, 0) em relação a base ortonormal, determinar 
 as coordenadas do ponto P que esta a 2/5 de A para B. R.(13/5, 1/5, 6/5) 
 
18) Dados os pontos A(2, 1), B(11, 0) e C(3,1) em relação a base ortonormal,determinar as 
 coordenadas do ponto D tal que AB CD
 
. R. (12, 0) 
19) Dados os pontos R(1, 0, 2), S(2, 1, 3 ) e T(0, 1, 2) em relação a base ortonormal, 
 determinar as coordenadas do ponto U tal que 
1
2RS TU
2

 
. R. (4, 5, 18) 
20) Se 2u i j 
  
 , 2v i j 
  
 e 4 3w i j 
  
, escrever o vetor w

 como combinação 
 linear dos vetores u

 e v

. R. 
11 10
3 3
w u v 
  
 
21) Determinar m e n, sabendo-se que os pontos A(m, 3, 1) , B(6, 1, 4) e C(3, 2, n), em 
 relação a base ortonormal, estão sobre a mesma reta. R. m = 18 e n = 21/4 
 
 46
22) Dados os pontos A(0, 6), B(2, 1) e C(4,2) em relação a base ortonormal. Sabendo-se 
 que M é ponto médio do segmento BC e que o ponto P esta a ¼ de C para A. 
 Determinar a medida do segmento MP. R. 5/2 
 
23) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(0, 1, 1) e C(1, 0, 1) em relação a base ortonormal, 
 determinar a medida da mediana do triângulo ABC, correspondente ao vértice A. 
 R. 26 / 2 
24) Dados os pontos A(3, 5), B(1, 0) e C(2,8) em relação a base ortonormal, determinar as 
 coordenadas do ponto D tal que o quadrilátero ABCD seja um paralelogramo. 
 R. (2, 3) 
25) Dados os pontos A(3, 5), B(1, 0) e C(2,8) em relação a base ortonormal, classificar o 
 triângulo ABC quanto a medida dos seus lados. 
 R. isósceles 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3.5. MUDANÇA DE BASE 
 
 Acreditamos que o conceito de mudança de base será entendido ao resolvermos o 
seguinte problema: 
  Sendo conhecidos, em relação a uma base E = ( 1e

, 2e

, 3e

) de V3, um dado 
vetor u

= (xE, yE, zE) e, também, os vetores que compõem uma outra base F = ( 1f

, 2f

, 3f

) 
de V3, pelas equações: 
 
11 1 21 2 31 31
12 1 22 2 32 32
13 1 23 2 33 33
f a e a e a e
f a e a e a e
f a e a e a e
   
   
   
   
   
   
, ( I ) 
obtenha as coordenadas de u

 em relação a base F, isto é, u

= (xF, yF, zF). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
Devemos ter u

= (xE, yE, zE)= (xF, yF, zF). 
Então, u

= xE 1e

+ yE 2e

+ zE 3e

 = xF 1f

+ yF 2f

+ zF 3f

. ( II ) 
 Substituindo ( I ) em ( II ), segue que 
xE 1e

+ yE 2e

+ zE 3e

 = xF ( 11 1 21 2 31 3a e a e a e 
  
) + yF ( 12 1 22 2 32 3a e a e a e 
  
)+ zF ( 13 1 23 2 33 3a e a e a e 
  
) 
 
 1e

 1f

 
 E F 
 u

= (xE, yE, zE) 
 O 2e

 2f

 O’ 
 
 u

= (xF, yF, zF) ? 
 
 3e

 Fig. 3.11 3f

 
 47
 Efetuando-se os produtos indicados do 2º membro da igualdade e evidenciando os 
elementos da base E, temos: 
xE 1e

 +yE 2e

 +zE 3e

= (xF 11a +yF 12a +zF 13a ) 1e

+(xF 21a +yF 22a +zF 23a ) 2e

+(xF 31a +yF 32a +zF 33a ) 3e

 
 
 Comparando os membros da igualdade acima, obtemos o sistema de equações: 
 
E 11 F 12 F 13 F
E 21 F 22 F 23 F
E 31 F 32 F 33 F
x a x a y a z
y a x a y a z
z a x a y a z
  
   
   
 
 O sistema pode ser colocado na forma matricial 
 
E
E
E E
x
y
z
 
 
 
  
= 
11 12 13
21 22 23
31 32 33 E F
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
. 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
 
 A matriz MEF = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33 E F
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
será chamada de matriz mudança da base E 
para F. Observe que as coordenadas de 1f

, 2f

e 3f

 são, respectivamente, os elementos das 
colunas da matriz MEF . 
 A matriz das coordenadas de u

 na base F é obtida multiplicando-se a matriz -1EFM 
pela matriz de u

 na base E: 
 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
 = -1EFM 
E
E
E E
x
y
z
 
 
 
  
 
 
Notação: -1EFM = MFE é a matriz mudança da base F para E. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXEMPLO 3.2 
 
1) Dados, em relação a uma base E = ( 1e

, 2e

, 3e

), o vetor u

= 2 1e

 + 3 2e

  3e

 e os vetores 
 1f

 = 1e

 + 3 2e

  3e

 
 2f

= 1e

 + 2e

 + 3e

 
 3f

= 2 1e

  2e

 + 3 3e

 
 que compõem uma outra base F = ( 1f

, 2f

, 3f

). Determine u

 = Fu

 = (xF, yF, zF). 
 
 Solução: 
 
 48
 Temos o sistema matricial 
E
2
3
1
 
 
 
  
= 
E F
1 1 2
3 1 1
1 1 3
 
  
  
. 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
 e queremos obter o 
sistema 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
 = 
-1
EF
1 1 2
3 1 1
1 1 3
 
  
  
. 
E
2
3
1
 
 
 
  
. 
 Necessitamos obter a matriz -1EFM = 
-1
EF
1 1 2
3 1 1
1 1 3
 
  
  
= MFE . 
 
 Procedimento para obter MFE: (Exemplo 3.1 (8) – nota) 
 
 M = MEF = det M cof M (cof M)T M1 =  T1 Mcof

 
E F
1 1 2
3 1 1
1 1 3
 
  
  
 
 
 4 
 
E F
4 8 4
1 5 2
3 7 2
 
   
    E F
4 1 3
8 5 7
4 2 2
  
  
   
 
FE
1 1/ 4 3/ 4
2 5/ 4 7 / 4
1 1/ 2 1/ 2
  
  
   
 
 
 Assim, 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
= 
FE
1 1/ 4 3/ 4
2 5/ 4 7 / 4
1 1/ 2 1/ 2
  
  
   
. 
E
2
3
1
 
 
 
  
= 
F
2
2
1
 
  
  
. 
 
 Portanto, u

 = Fu

 = 2 1f

  2 2f

 + 3f

. 
 
2) Dada uma base E = ( 1e

, 2e

, 3e

) de V3 e os vetores 1f

 = 1e

+ 2 2e

 , 2f

 = 1e

  3e

 e 
 3f

 = 2e

 + 3e

, pede-se que 
a) Verifique se F = ( 1f

, 2f

, 3f

) é também uma base de V3. 
b) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . 
c) Sendo 1 2 32v f f f  
   
, obter as coordenadas de v

 em relação a base E. 
d) Sendo F uma base de V3 e 1 2 32w e e e  
   
, obter as w

 em relação a base F. 
 Solução: 
 
a) Consideremos o determinante formado pelas coordenadas dos vetores 1f

, 2f

 e 3f

, 
 D = 
1 2 0
1 0 1
0 1 1
 = 1. 
 49
 O fato de ocorrer D 0 significa que os vetores 1f

, 2f

 e 3f

 não são coplanares 
e, daí, formarem um conjunto LI. Portanto, F = ( 1f

, 2f

, 3f

) é base de V3. 
 
b) A matriz MEF é obtida dispondo-se as coordenadas de 1f

, 2f

 e 3f

 , 
respectivamente, como sendo as suas respectivas colunas. 
 MEF = 
EF
1 1 0
2 0 1
0 1 1
 
 
 
  
 
c) Temos que 1 2 32v f f f  
   
. Substituindo os vetores 1f

, 2f

 e 3f

 dados na base E, 
obtemos: 1 1 22 3 32( 2 ) ( ) ( )v e e e e e e     
      
= 1 3 35 2e e e 
  
. 
 
d) Devemos construir o sistema matricial: 
 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
 = -1EFM 
E
2
1
1
 
 
 
  
 
 
 Obtenção de -1EFM : 
 M = MEF = det M cof M (cof M)T M1 =  T1 Mcof

 
E F
1 1 0
2 0 1
0 1 1
 
 
 
  
 
 
 1 
 
E F
1 2 2
1 1 1
1 1 2
  
  
    E F
1 1 1
2 1 1
2 1 2
 
   
   
 
FE
1 1 1
2 1 1
2 1 2
  
  
  
 
 
 Assim, 
F
F
F F
x
y
z
 
 
 
  
= 
F E
1 1 1
2 1 1
2 1 2
  
  
  
. 
E
2
1
1
 
 
 
  
= 
F
0
2
1
 
 
 
  
. 
 Portanto, u

 = Fu

 = 0 1f

 + 2 2f

+ 1 3f

. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.2 
 
1) Dada uma base E = ( 1e

, 2e

, 3e

) de V3 e os vetores 1f

 = 2e

+ 3e

 , 2f

 = 1e

 + 3e

 e 
 3f

 = 1e

 + 2e

, pede-se que 
a) Sendo 1 2 32 3v f f f  
   
, obter as coordenadas de v

 em relação a base E. 
b) Verifique se F = ( 1f

, 2f

, 3f

) é também uma base de V3. 
c) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . 
d) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MFE de mudança de base de F para E . 
e) Sendo F uma base de V3 e 1 2 32w e e e  
   
, obter as w

 em relação a base F. 
 50
 R. a) 1 2 32 3v e e e   
   
 b) D = 2  0, F é base de V3 
c) MEF = 
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 
 
 
  
 d) MFE = 
FE
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
 
  
  
 e) w

 = 1 2 31 0 2f f f  
  
 
 
2) Dada uma base E = ( 1e

, 2e

, 3e

) de V3 e os vetores 1f

 = 2e

+ 3e
, 2f

 = 1e

  3e

 e 
 3f

 = 1e

  2e

, pede-se que 
a) Verifique se F = ( 1f

, 2f

, 3f

) é também uma base de V3. 
b) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . 
c) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MFE de mudança de base de F para E . 
d) Sendo F uma base de V3 e 1 25w e e 
  
, obter as w

 em relação a base. 
 
 R. a) D = 2  0, F é base de V3 
b) MEF = 
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 
  
  
 c) MFE = 
FE
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
   
  
   
 d) w

 = 1 2 36 2 2f f f  
  