Esfera descendo canaleta

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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul 
 
 
 
 
Graduação em Física Ambiental 
 
 
 
 
Unidade Dourados 
 
 
 
 
MOVIMENTO DE UMA ESFERA DESCENDO UMA CANALETA 
 
 
 
 
 
FERNANDO ANSELMO 
 
 
 
Relatório ministrado a pedido do 
professor Dr. Paulo de Souza 
Silva da disciplina de Física 
Experimental Básica 
 
 
 
 
 
Setembro de 2005 
Dourados - MS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
Simular e entender a variação do alcance (A) de uma esfera em função de sua altura de 
lançamento h em que a mesma é abandonada na canaleta. 
 
 
Introdução Teórica 
 
Energia 
 
Energia designa tudo o que pode ser transformado em calor, trabalho mecânico (movimento) 
ou luz graças a uma máquina (por exemplo, motor, caldeira, refrigerador, alto-falante, lâmpada) ou a 
um organismo vivo (por exemplo, os músculos). A etimologia tem suas raízes na palavra grega εργοs 
(ergos), que significa "trabalho 
 
Qualquer coisa que esteja a trabalhar - por exemplo, a mover outro objeto, a aquecê-lo ou a 
fazê-lo ser atravessado por uma corrente elétrica - está a gastar energia (na verdade ocorre uma 
"transferência", pois nenhuma energia é perdida, e sim transformada ou transferida a outro corpo). 
Portanto, qualquer coisa que esteja pronta a trabalhar possui energia. Enquanto o trabalho é realizado, 
ocorre uma transferência de energia, parecendo que o sujeito energizado está a perder energia. Na 
verdade, a energia está a ser transferida para outro objeto, sobre o qual o trabalho é realizado. 
 
O conceito de Energia é um dos conceitos essenciais da Física. Nascido no século XIX pode 
ser encontrado em todas as disciplinas da Física (mecânica, termodinâmica, eletromagnetismo, 
mecânica quântica, etc.), assim como em outras disciplinas, particularmente na Química. 
 
Energia Mecânica 
 
Energia mecânica é a energia que pode ser transferida por meio de forças. A energia mecânica 
total de um sistema é a soma da energia potencial com a energia cinética. Se o sistema é conservativo, 
ou seja, apenas forças conservativas atuam nele, a energia mecânica total conserva-se e é uma 
constante de movimento. 
Energia cinética 
Em física, a energia cinética é a quantidade de trabalho que teve que ser realizado sobre um 
objeto para tira-lo do repouso e coloca-lo a uma velocidade V. 
Para um objeto de massa m a uma velocidade v a energia cinética é calculada como: 
 
 
Dedução da energia cinética 
Da definição de energia cinética como trabalho para colocar um corpo em movimento, 
podemos obter a expressão geral dada acima para o cálculo da energia cinética: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Trabalho
http://pt.wikipedia.org/wiki/Trabalho
 
como o deslocamento em instante infinitesimal de tempo é, , obtemos: 
 
Físicos adoram cancelar infinitesimais do tipo dt que aparecem em denominadores com os que 
aparecem em numeradores, apesar da ânsia que isto causa nos matemáticos. Cancelando o dt na 
expressão acima podemos escrever 
 
 
Energia Potencial 
É a energia que um objecto possui devido à sua posição. Um martelo levantado , uma mola 
enroscada e um arco esticado de um atirador, todos possuem energia potencial. Esta energia está 
pronta a ser modificada noutras formas de energia e, consequentemente, a produzir trabalho: quando o 
martelo cair, pregará um prego; a mola, quando solta, fará andar os ponteiros de um relógio; o arco 
disparará um seta. Assim que ocorrer algum movimento, a energia potencial da fonte diminui, 
enquanto se modifica em energia do movimento (energia cinética). Levantar o martelo, enrolar a mola 
e esticar o arco faz, por sua vez, uso da energia cinética e produz um ganho de energia potencial. 
Generalizando, quanto mais alto e mais pesado um objecto está, mais energia potencial terá.(É dada 
pelo produto do peso do objeto pela altura do corpo - mgh). 
Corpo rígido 
 
Pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias 
entre si, mesmo sob aplicação de um esforço externo. Os sólidos reais sempre se deformam sob 
aplicação de uma carga, mas em muitos casos ela é tão pequena que pode ser desprezada. 
 
 Um corpo rígido pode ter um movimento de translação, quando todos os pontos percorrem 
trajetórias paralelas, como em A da Figura 1.1. Ou pode ter um movimento de rotação, quando os 
pontos percorrem trajetórias circulares, como em B da Figura 1.1. 
 
 O caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é exemplificado em C da Figura 1.1, 
ou seja, uma combinação de translação e rotação. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Martelo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mola&action=edit
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arco
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%B3gio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia#Energia_cin.C3.A9tica#Energia_cin.C3.A9tica
 
Figura 1.1. 
 
 
 
Momento de inércia 
 
Na Figura 1.2, um corpo rígido gira em torno de um eixo vertical y com velocidade angular 
w. O momento angular, de uma massa elementar dm é dado por: 
 
dL = dm R x v, onde v é a velocidade tangencial. O módulo de R é r/sen a e o de v, wr (ver 
movimento circular em Dinâmica I). Desde que dL e R são ortogonais, o módulo de dL é 
dL = dm r w r / sen a = dm r2 w / sen a. E o componente dLy é dado por: 
dLy = dL cos( 90 - a) = dL sen a. E o módulo dLy = dL sen a = (dm r
2 w / sen a) sen a 
 
 
Figura 1.2 
 
Assim, em geral, o momento angular L não é paralelo ao eixo de rotação. Entretanto, pode-se 
demonstrar que, para qualquer corpo, existem pelo menos 3 eixos perpendiculares entre si para os 
quais o momento angular é paralelo ao eixo. Eles são chamados eixos principais de inércia, 
designados por X0, Y0 e Z0. E os respectivos momentos angulares são os momentos principais de 
inércia. 
Ix0, Iy0 e Iz0. Para um eixo principal, vale, portanto a igualdade vetorial: L = I w #II.3#. 
 
 
 Se um corpo tem um eixo de simetria. Ele é um eixo principal de inércia. Exemplo: para uma 
esfera homogênea, qualquer eixo que passa pelo centro é um eixo principal de inércia. 
 
http://myspace.eng.br/fis/mec/dim1.asp
 Para rotação fora de um eixo principal, o momento angular é dado por: 
L = Ix0wx0 + Iy0wy0 + Iz0wz0 #II.4#. Onde wx0, wy0 e wz0 são as projeções do vetor velocidade angular 
nos eixos principais. 
 
A unidade do momento de inércia de massa no Sistema Internacional é o kg m2. Existe 
conceito semelhante de momento de inércia aplicado a superfícies. Desde que superfícies não têm 
massa, a unidade elementar é uma área e o momento de inércia tem como unidade m4 (na prática, é 
mais usado cm4). 
 
Raio de giração 
 
É definido por: K = (I / M)1/2 #IV.1# onde M é a massa do corpo. Pode ser entendido como a 
distância que uma massa concentrada de valor M produziria o mesmo momento de inércia. 
 
 Para corpos homogêneos, o raio de giração depende apenas de parâmetros geométricos. 
Assim, é uma forma prática de se especificar indiretamente o momento de inércia, de acordo com a 
forma do corpo. Nesta tabela, são dados os raios de giração para algumas formas comuns, 
considerandos em relação aos eixos de simetria indicados em vermelho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação do corpo rígido 
 
A relação entre momento angular e torque é T = dL/dt. Conforme tópico 2 desta página, L = I 
w. E, substituindo, temos: 
 
I dw / dt = T. O termo dw/dt é a variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, a aceleração 
angular, que será designada por a. Assim, 
 
T = I a #V.1#. Notar a semelhança com a relação para o movimento de translação, F = m a. 
 
Notar também que, se o torque é nulo, a aceleração angular também é, pois o momento de 
inércia não é nulo num corpo real. Isso significa que a velocidade angular é constante. 
http://myspace.eng.br/fis/mec/dim2.asp#mom_lin
 
Essas igualdades valem para rotação em torno de um eixo principal, que éa situação prática mais 
comum. 
 
A tabela faz uma comparação de grandeza para os dois movimentos. 
 
Translação Rotação 
Momento linear 
b = mv 
Momento angular 
L = Iw 
Força 
F = db/dt 
Torque 
T = dL/dt 
Força e aceleração 
F = ma 
Torque e aceleração 
angular T = Ia 
Energia cinética 
Ec = (1/2)mv
2 
Energia cinética 
Ec = (1/2)Iw
2 
Potência 
P = F . v 
Potência 
P = T . w 
 
 
 
Procedimento experimental 
 
Inicialmente, com o auxílio de um paquímetro foram medidos o diâmetro (D) da esfera e a 
abertura interna (d) da canaleta. 
 
Posteriormente, com uma trena foi medida a altura de queda da esfera (H), verticalmente com 
o auxílio de um prumo. E também se mediu com a trena duas alturas (h) de lançamento da esfera na 
canaleta. 
 
Então, a esfera foi solta através de duas alturas diferentes das quais originaram dois alcances 
(A). O alcance (A) foi medido a partir da posição vertical do ponto onde a esfera abandona a canaleta, 
até o ponto onde a esfera toca a mesa. O ponto foi identificado com o auxílio de papel carbono. 
 
 
Apresentação e Análise dos resultados 
 
Na tabela 1 a seguir podemos verificar alguns dados relativos ao experimento. 
 
Tabela 1 
 Unidades em cm Altura (h) da canaleta Alcance (A²) 
Altura de queda H = 43 5 605,336 
Diâmetro da (D) da esfera = 1,8 10 1210,672 
Abertura da canaleta (d) = 2,0 
Raio da esfera R = 0,900 
Raio de rotação da esfera R’ = 0,855 
 
Foi construído um gráfico do quadrado do alcance em função da altura (A²xh), no qual através 
de seu coeficiente angular podemos determinar a constante de proporcionalidade média αm.= 121,0678 
± 34,7961 mm. 
No gráfico de A2 em função da altura H, aplicamos o Método dos Mínimos Quadrados para 
achar a melhor reta. 
 
 
 
 
 
 
xi yi x2 xi yi 
5 605,335 25 3026,675 
10 1210,671 100 12106,71 
 = 15  = 1816,006  = 125  = 15133,385 
 
 
 25)15()125(*2 2 =−= 
 
( ) 001,015*382,15133125*006,1816
25
1
=−=a 
 
 
( ) 067,121006,1816*15385,15133*2
25
1
=−=b 
 
 
Coeficiente angular: 121,0678 
Coeficiente linear: 0,001 
y = 0,001 + 121,067x 
 
 
Para o valor teórico de alfa médio, temos : αm = ___4H ____ 
 1 + 2 D² 
 5D’² 
Onde: H é a altura de lançamento 
 D é o diâmetro da esfera 
 D’ é o diâmetro de rotação da esfera 
 
αm = ___4.43 ____ 
 1 + _2(1,8) ² 
 5(1,757)² 
 
 
αm = 121,060 
 
O erro do alfa médio foi calculado pela equação: 
 
 4H_ 
∂ αm = ___4____ |∂H| + ___5____ 4R | 1 – R² | ∂ R| + R² d | ∂d | 
 1 + 2 R² 1 + 2 R² R’² R’² R’ 
 5 R’² 5 R’² 
 
∂ αm = 31,7627 
( )   −

= iiiii xyxxya
21 ( ) ( )( ) −

= iiii yxyxnb
1 ( )( ) −= 22 ii xxn
 
Conclusão 
 
O alfa médio foi calculado com base nos resultados teóricos e experimentais. Em seu valor 
teórico temos : αm = 121,060 e experimentalmente αm.= 121,0678. Podemos perceber que possui 
valores bem parecidos o que significa que o experimento teve uma boa precisão. Mas em contrapartida 
possui um erro acentuado (∂ αm = 31,7627) . 
Os erros podem ser: instrumentais, estatísticos, determinados e indeterminados. E se devem a 
fatores que podem ou não ser evitado. Os erros instrumentais, determinados e estatísticos podem ser 
evitados trabalhando-se com equipamentos de alta precisão e uma boa acurácia. Já os indeterminados 
são impossíveis de se eliminar completamente, pois são as pequenas imprecisões humanas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
Barthem,R. B., Tratamento e Análise de Dados em Física Experimental, 4° edição, UFRJ. 
 
Halliday, D., Resnick, R., Física 1,4ª edição, R.J.,LTC Editora, 1984